1 1 1 1 1 � t �

(1)

YLIOPPILASTUTKINTO 27.9.1974 MATEMATIIKKA, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

1. Ratkaise yhtälö �

2

₊ ₄₌ ₊ ₄ ₌ �2(= +

2) . 2.

3.

4.

5.

Mitkä reaaliset lukuparit

2 2

= ⁺ y + 2= - 2y ⁺ 2 = 0 ?

=, y toteuttavat yhtälön

Ratkaise yhtälö cos2 = = 3 cos =, kun 0

�

=

�

_2n.

2 2

Kolmiossa on yksi kulma 600 ja tämän viereiste n sivujen suhde 1 :3.

Laske kolmion muut kulmat (0,10:n tarkkuudella).

Piste P on kolmion ABC sivulla AB, Q sivulla SC ja R sivulla CA siten, että AP:PS ⁼ BQ:QC ⁼ CR:RA ⁼ 1 :2. Laske kolmioiden PQR ja ABC alojen suhde.

6. Funktio f on määritelty rationaalilukujen joukossa, ja

f(a+b) = f(a) + f(b) kaikilla rationaaliluvuilla a, b; lisäksi f (

2)

₌ _3. La sk e f ( 3 / 2 ) ^•

7. Jompikumpi seuraavista tehtävistä:

8.

a) Erään suppenevan geometrisen sarjan summa (� 0) on kolmasosa sen termien neliöiden muodostaman sarjan summasta. Minkä lukujen välissä on ensinmainitun sarjan ensimmäinen termi?

-+ -+

b)

Samasta pisteestä lähtevät vektorit PA ⁼ a

kolmion sivuina ja se on kolmion korkeusjana. Lausu vektori torien

�

ja

t

avulla.

Määritä vakio ^a (> 0) siten, että

1

^a ^ln^�⁼ ^d= ⁼ ^o.

ovat

-+

BC vek-

a) Määritä funktion

f(�) =

1

2= ^- 1

1

(x > 0)

1

2= - 1

1

+ 2x + 1 suurln Ja pienin arvo.

b)

Erään siemenlajikkeen itämistodennäköisyys on 2/3. Kuinka monta siementä on vähintään kylvettävä, jotta todennäköisyys sille, että niistä ainakin kaksi itää, olisi yli 95 % _?

a) Osoita, että tasossa on piste, joka on yhteinen kaikille (a:n ja b:n eri arvopareja vastaaville) ympyröille

2 2

= + Y - a= - by + 2a ⁺ b ^- 5 = o.

b)

Osoita, että differentiaaliyhtälöiden 2xyy' ^- 1 - y2 = 0 Ja (=2 ⁺ 1 )y' - 2=y = 0 integraalikäyräparvet ovat toistensa kanssa symmetriset suoran y = x suhteen.