TILTA1B Matemaattisen tilastotieteen perusteet Ratkaisut harjoitus 4 48. viikko 2008

TILTA1B Matemaattisen tilastotieteen perusteet Ratkaisut harjoitus 4

48. viikko 2008

1. a) fX(x) =^P4_y=1 = x+y

32 = 2x+ 5

16 ,x= 1,2 f_Y(y) =^P2_x=1= x+y

32 = 3 + 2y

32 ,y= 1,2,3,4 b) E(X) = ²⁵₁₆,E(Y) = ⁴⁵₁₆,E(XY) = ³⁵₈

Cov(X, Y) =E(XY)−E(X)E(Y) =−₂₅₆⁵ V ar(X) = ₂₅₆⁶³,V ar(Y) = ²⁹⁵₂₅₆

Cor(X, Y) = Cov(X, Y)

pV ar(X)V ar(Y) ≈ −0.0367 2. a) f(y|x) = ^f(x,y)_f

X(x),y=x, x+ 1, . . . ,9, joten

f(x, y) = _10(10−x)¹ ,x= 0, . . . ,9 jay =x, x+ 1, . . . ,9 b) f_Y(y) = ₁₀^{1 Py}_x=010−x¹ ,y= 0, . . . ,9

E(Y|x) =^P9_y=x=yf(y|x) =. . .= ^x+9₂ 3. X∼Bin(3,¹₆) jaY ∼Bin(3,¹₂), joten

E(X) = ¹₂,E(Y) = ³₂, V ar(X) = ₁₂⁵,V ar(Y) = ³₄ Cov(X, Y) =−np_ipj =−¹₄ Cor(X, Y) = Cov(X, Y)

pV ar(X)V ar(Y) =−^√1

5

4. a) f_X(−1) = 2a+b, f_X(0) = 2b, f_X(1) = 2a+b fY(−1) = 2a+b, fY(0) = 2b, fY(1) = 2a+b b) E(X) = E(Y) = E(XY) = 0, joten

Cov(X, Y) = 0, mutta X ja Y eivät ole riippumattomia, sillä esimerkiksi f(0,0) = 0, mutta f_X(0)f_Y(0) = 4b²6= 0

5. P(X < Y) =P(0< X < Y) = R1 0

y

R

0

(x+y)dxdy =. . .= ¹₂

6. P(X <1) =

1

R

0

∞

R

0

(2e^−xe^−2y)dydx =. . .= 1−e⁻¹ 8. a) fX(x) =xe^−x,x >0

fY(y) =e^−y

b) f(y|x) =e^−y x >0, y >0 c) P(X >ln4) =

∞

R

ln4

∞

R

0

xe^−xdydx =. . .= ^1+ln4₄