• Ei tuloksia

Matemaattisen tilastotieteen perusteet 1. harjoitukset, 44. viikko 2011 1.1. Oletetaan, ett¨a P (X = 0) = 1 − P (X = 1) ja E(X) = 3 Var(X). Laske P (X = 0). 1.2. Olkoon satunnaismuuttujan X todenn¨ak¨oisyysfunktio f (x) = (|x| + 1)

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Matemaattisen tilastotieteen perusteet 1. harjoitukset, 44. viikko 2011 1.1. Oletetaan, ett¨a P (X = 0) = 1 − P (X = 1) ja E(X) = 3 Var(X). Laske P (X = 0). 1.2. Olkoon satunnaismuuttujan X todenn¨ak¨oisyysfunktio f (x) = (|x| + 1)"

Copied!
2
0
0

Kokoteksti

(1)

Matemaattisen tilastotieteen perusteet 1. harjoitukset, 44. viikko 2011

1.1. Oletetaan, ett¨aP(X = 0) = 1−P(X = 1) jaE(X) = 3 Var(X). Laske P(X= 0).

1.2. Olkoon satunnaismuuttujan X todenn¨ak¨oisyysfunktio

f(x) = (|x|+ 1)2

9 , x=−1,0,1. Laske E(X),E(X2) ja E(3X2−2X+ 4).

1.3. Olkoon h(x) = (x−b)2, miss¨a b ei ole X:n funktio. Mill¨a b:n arvolla odotusarvo E[(X−b)2] saavuttaa minimins¨a, kun oletetaan, ett¨a odo- tusarvo on olemassa. (Vihje: Tarkastele funktiotag(b) =E[(X−b)2] = E(X2)−2b E(X) +b2.)

1.4. Olkoon Ω ={ω1, ω2, ω3} ja P(ω1) =P(ω2) =P(ω3) = 13. M¨a¨aritell¨a¨an satunnaismuuttujat X, Y ja Z seuraavasti:

X(ω1) = 1, X(ω2) = 2, X(ω3) = 3, Y(ω1) = 2, Y(ω2) = 3, Y(ω3) = 1, Z(ω1) = 3, Z(ω2) = 1, Z(ω3) = 2.

(a) Osoita, ett¨a satunnaismuuttujilla X,Y ja Z on sama todenn¨ak¨oi- syysjakauma.

(b) M¨a¨arit¨a satunnaismuuttujien X+Y,Y +Z ja p

(X2+Y2)Z to- denn¨ak¨oisyysfunktio.

1.5. SatunnaismuuttujatXjaY noudattavat binomijakaumaa Bin(1,0.75), 0<

p <1 (eli Bernoullin jakauma Ber(0.75)). LaskeE(XY), kun (a) ei ole- teta X:n ja Y:n riippumattomuutta ja kun (b) oletetaan riippumatto- muus.

1.6. Informaatiol¨ahde l¨ahett¨a¨a 6-numeroisen viestin bin¨a¨arikoodina (nume- roita 0 ja 1) viestint¨akanavaan. Jokainen numero valitaan satunnaisesti toisistaan riippumatta ja numeron 1 todenn¨ak¨oisyys on 0.3. Laske to- denn¨ak¨oisyydet, ett¨a (a) viestiss¨a on 3 ykk¨ost¨a (b) v¨ahemm¨an kuin 2 nollaa.

1.7. Olkoon Z sellainen satunnaismuuttuja, joka noudattaa samaa jakau- maa kuin −Z. Tiedet¨a¨an, ett¨a P(Z = 1) = 0.15, P(Z = 2) = 0.1 ja P(Z = 5) = 0.25. M¨a¨arit¨a Z:n jakauma.

(2)

1.8. Laske todenn¨ak¨oisyys P(1≤X ≤2), kun X:n momenttifunktio on

M(t) =

10

X

x=1

1 10etx.

Viittaukset

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

Matematiikan perusmetodit I/Sov.. Harjoitus 10,

Osoita, että luku x−1 x+1 on irrationaalinen.... Milloin yhtäsuuruus

Matematiikan perusmetodit I/soveltajat. Harjoitus 8,

5. Time, in minutes, a ustomer uses in a bank follows exponential distri-. bution with parameteer λ = 1 /

n points are plaed randomly and independently to the unit disk of the plain R 2. Let R be the distane from origin of the point that is

Olkoon R origoa lähinnä olevan pisteen etäisyys origosta. Johda satunnaismuuttujan

Polynomin p(x) mahdolliset rationaa- liset nollakohdat ovat ±1, ±3

Yhden asiakkaan py¨oristysvirheest¨a liikkeenharjoittajalle koituva tappio on satunnaismuuttuja, joka saa arvot −2, −1, 0, 1, 2 kunkin todenn¨ak¨oisyydell¨a 0,2.. Olkoon X