Ei kirjoja, ei muistiinpanoja, ei laskinta.

73107 Differentiaaliyhtälöt Tentti 20.10.1999

Ei kirjoja, ei muistiinpanoja, ei laskinta.

Kysymys 1.

Etsi Greenin funktio alkuarvotehtävälle ),

(x f y

y′′− = y(0)= y′(0)=0

toisin sanoen sellainen funktio G, että ratkaisu on muotoa

∫

=

x

du u f u x G x y

0

) ( ) , ( )

( .

Kysymys 2.

Etsi kaksi ensimmäistä termiä sarjasta, joka on ei-vakio ratkaisu differentiaaliyhtälölle

1 ) 0 ( , 1 1

2

=

−

 =



 



 y

y dt

dy

Kysymys 3.

Etsi matriisieksponentiaali systeemille



 



 −

= 2 5 2 1 dt dx

käyttäen joko ominaisarvomenetelmää tai Cayley-Hamiltonin lausetta.

Kysymys 4.

Luokittele systeemin y

x y

y x

−

′=

−

′=

3

2 1

tasapainopisteet.

Kysymys5.

Numeerinen menetelmä

[

]

2 ^{1 1}

1 + +

+ = k + k k + k k

k h f x y f x y

y y

missä x_j = x₀ + jh, y_j = y(x_j), käytetään ratkaisemaan differentiaaliyhtälöä y′= f(x,y).

Näytä, että menetelmän kertaluku on 2.

Tampereen teknillinen korkeakoulu Robert Piché.