• negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku • luvun etäisyys nollasta 1.1. Itseisarvo

(1)

1.1. Itseisarvo

• luvun etäisyys nollasta







 

0 kun x

, x -

0 kun x

, x x

Siis

•positiivisen luvun itseisarvo on luku itse

•negatiivisen luvun itseisarvo on luvun vastaluku

•nollan itseisarvo on nolla

(2)

E.1

a) 4 = 4

 4

b) = 4

c) 3  3  ( 3 3)

 3  3

sillä

3  3

^{< 0}

(3)

E.2. Poista itseisarvot lausekkeesta

 1 x

x – 1 ≥ 0

x ≥ 1

 1

x   







 

1 x 1

x -

1 x

, 1 x

a)

b)

2  x

2 – x ≥ 0 x ≤ 2

 x

2   







 

2 x

2 -

2 x

, 2

x x

 









 

2 x

2 2 x

, 2

x

(4)

Itseisarvon ominaisuuksia (ks. s. 8)

0 a

1) 

0 a

2)   

a a

3) 

a a  

4)

2 2

5) a  a

b a ab 

6)

b

 a b a 7)

(b ≠ 0)

 b



 b a a

8)

(5)

x

2

E.3.

a) = x²

1 3 x

²



b) = 3x² + 1

koska

3x² + 1 ≥ 0 + 1 > 0

(6)

1.1.2. Itseisarvon etäisyystulkinta

0 x

x

0

-3 3

E.4. a)

b) Pisteen 3 etäisyys pisteestä 1 on

pisteen 3 etäisyys pisteestä 8 on 2

1 3 

5 8

3 

Pisteen – 3 etäisyys origosta on 3 ja

pisteen 3 etäisyys origosta 3

(7)

Pisteiden a ja b etäisyys on











 

 b a a b

b a

b b a

a , ,

E.5. Lukusuoran pisteiden -2 ja 4 etäisyys on 6

) 2 (

4  

(8)

EI

KIRJOITETA

(9)

EI

KIRJOITETA

(10)

EI

KIRJOITETA

(11)

Kirjan esimerkit 3 – 5, sivu 10

E.6.

x  3

x= 3 tai x = -3 eli

x= 3

3 1 

 x

x = 2 tai x = -4

3 )

1 (  

 x

Etäisyys pisteestä -1 on 3





 1 3

x

(12)

EI

KIRJOITETA

(13)

EI

KIRJOITETA

(14)

1.1.3. Itseisarvofunktio

E.7. Piirrä funktion

y  x  1

kuvaaja

x

y  x  1

-3

-2

-1

0

1

2 1

3 



1 1

2 



0 1

1 



1 1

0 

2 1

1 

(15)

1.2. Itseisarvoyhtälöt

0) (a

a - f(x)

tai a

f(x)

)

( x  a    

f

E.1.

 3 x

x = 3 tai x = -3 eli

x= 3

0

-3 3

(Jos a < 0 , yhtälöllä ei ole ratkaisua) 1)

(16)

E.2.

3 1 

 x

x +1 = 3 tai x+1 = -3 x = 3 -1 tai x = -3 - 1 x = 2 tai x = -4

(17)

x x  1  2

 x - 1 = 2x tai x - 1 = -2x

 x - 2x = 1 tai x +2x = 1  -x = 1 tai 3x = 1  x = -1 tai x =1/3 Vastaus: x = 1/3

x  0 E.3.

2)

0) (g(x)

g(x)

- f(x)

tai g(x)

f(x)

)

( )

( x  g x    

f

Jos g(x) < 0, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua

(18)

g(x) -

f(x)

tai g(x)

f(x)

)

( )

( x  g x   

f

E.4.

x x  6  2

x - 6 = 2x tai x - 6 = -2x x - 2x = 6 tai x +2x = 6

-x = 6 tai 3x = 6 | : 3 x = -6 tai x = 2

Vastaus: x₁ = -6, x₂ = 2 4)

(19)

Lause

Jos a ≥ 0 ja b ≥ 0, niin a = b  a² = b²

g(x)

f(x)

)

( )

( x  g x 

²



²

f

Joten

E.5. (E.4)

x x  6  2

(x - 6)² = (2x)² x² – 12x + 36 = 4x² 3x² + 12x - 36 = 0 x² + 4x – 12 = 0

Vastaus: x₁ = -2, x₂ = -6

2 ) 12 (

1 4 4

4 

²

   

  x

2 8 4 

 

x

(20)

1.3. Itseisarvoepäyhtälöt

(21)

1. | ax - b | < r | ax - b | > r

-r < ax – b < r ax – b > r tai ax – b < -r

| 3x + 12 | < 3 -3 < 3x + 12 < 3 -15 < 3x < -9 -5 < x < -3

E.1. E.2.

| 3x -7 | > 2

3x - 7 > 2 tai 3x - 7 < -2

3x > 9 tai 3x < 5 x > 3 tai x < 5/3

(22)

2. | f(x) | < r ja vastaavat

E.3.(46a) E.4.(46b)

b a

b -

  

 b a

b a

tai b

   

 b a

a

(23)

3. | f(x) | < | g(x) | ja vastaavat

E.5.

2

a

2

b

a   

b a

tai b

   

 b a a

8 2

3 8 4 )

10 (

10 ²





  x

Nollakohdat:

16 2 10

 2

x 1 4

3

2

1  

x

(24)

Lisää esimerkkejä, kirja s. 26

EI KIRJOITETA

nk:

(25)

nk: