3 pistettä 1.
Mistä kuviosta on väritetty puolet?
(A) (B) (C) (D) (E)
2.
Mikä seuraavista luvuista on lähinnä lukua 20,15 ⋅ 51,02 ?
(A) 10 (B) 100 (C) 1 000 (D) 10 000 (E) 100 000
Ratkaisu: 20,15 ⋅ 51,02 ≈ 20 ⋅ 50 = 1000.
3.
Don teki kaksi tornia liimaamalla palikat yhteen.
Sitten hän liimasi tornit yhteen. Mikä lopputulos on mahdoton?
(A) (B) (C) (D) (E)
Ratkaisu: Rakennelmassa B on kaksi palikkaa päällekkäin, joiden täytyy olla liimattu toisiinsa kiinni.
Kaksi reunimmaista palikkaa eivät siis voineet olla alun perin yhdessä.
4.
Diana piirsi oheisen pylväsdiagrammin neljän puulajin lukumääristä biologian kenttäkurssilla.
Jasper haluaisi esittää saman aineiston sektori diagrammina käyttäen samoja värejä. Miltä sektoridiagrammi näyttäisi?
(A) (B) (C) (D) (E)
Ratkaisu: Mustaa on vähiten, tumman harmaata toisiksi vähiten, vaaleaa harmaata eniten.
5.
Kuvan saari on hyvin mutkainen. Kuinka moni sammakoista on kuivalla maalla?
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9
Ratkaisu:
Värittämällä ja laskemalla saadaan 6 sammakkoa.
6.
Andrea syntyi vuonna 1997 ja hänen sisarensa Charlotte vuonna 2001. Heidän ikäeronsa on siis varmasti
(A) alle 4 vuotta (B) ainakin 4 vuotta (C) tasan 4 vuotta (D) yli 4 vuotta (E) vähintään 3 vuotta
Ratkaisu:
Ikäero voi olla kuinka lähellä hyvänsä kolmea vuotta, ei välttämättä edes neljää. Toisaalta ikäero voi olla myös yli 4 vuotta, joten myös A on väärin.
7.
Jack rakensi kuution 27 pienestä kuutiosta kuvan mukaisesti. Mustilla ja valkoisilla kuutioilla ei ole yhteisiä tahkoja. Kuinka monta valkoista kuutiota Jack tarvitsi?
(A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15
Ratkaisu: Ylä- ja alakerroksessa on 4 valkoista ja keskikerroksessa 5, yhteensä 4 + 5 + 4 = 13 valkoista.
8.
Kaikki 31 kokonaislukua luvusta 2001 alkaen lukuun 2031 asti lasketaan yhteen ja summa jaetaan luvulla 31. Mitä saadaan tulokseksi?
(A) 2012 (B) 2013 (C) 2015 (D) 2016 (E) 2496
Ratkaisu: Kyseessä on lukujen 2001, …, 2031 keskiarvo. Koska luvut ovat tasavälein, tämä on sama kuin lukujen 2001 ja 2031 keskiarvo, joka on 2016.
9.
Kun pieni orava on maassa, se ei mene viittä metriä kauemmas kotipuustaan eikä viittä metriä lähemmäs koirankoppia. Mikä tummennetuista alueista vastaa parhaiten aluetta, jolla pikku orava liikkuu?
(A) (B) (C) (D) (E)
Ratkaisu: Koska orava ei mene viittä metriä kauemmaksi puustaan, se liikkuu vain ympyrässä, jonka keskipisteessä puu kasvaa. Koska orava pysyy vähintään viiden metrin päässä koirankopista, se ei liiku ympyrässä, jonka keskipisteessä on koirankoppi.
Kun poistetaan edellisestä ympyrästä se alue, joka kuuluu jälkimmäiseen ympyrään, saadaan alue, jolla orava liikkuu. Vaihtoehto C on siis oikein.
10.
Juomalasi on katkaistun kartion muotoinen.
Lasin ulkopinta päällystetään värillisellä paperilla. Minkä muotoinen paperi tarvitaan?
(A)
suorakulmio
(B)
puolisuunnikas
(C)
ympyräsektori
(D)
tasakorkuinen nauha
(E)
osa sektoria
Ratkaisu: Kartion vaippa on auki levitettynä ympyräsektori. Katkaistun kartion vaippa muodostuu siis sektorista, josta on poistettu pienempi sektori.
4 pistettä 11.
Neliön muotoinen paperi taitellaan katkoviivoja pitkin pieneksi neliöksi missä järjestyksessä hyvänsä. Pienen neliön yksi kulma leikataan pois, ja paperi taitellaan taas auki. Kuinka monta reikää siinä on?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 9
Ratkaisu: Riippumatta taittelutavoista keskimmäinen pikkuneliö menettää leikkauksessa yhden kulmansa ja pitää muut. Reikiä tulee siis vain yksi. Paperin reunasta lähtee myös paloja, mutta reikää ei voi syntyä reunaan.
12.
Kuinka moni seuraavista neljästä kuvioista voidaan piirtää nostamatta kynää paperista ja piirtämättä samaa viivaa kahdesti?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Ratkaisu: Kaikki muut paitsi toisen kuvion voi piirtää:
13.
(𝑎 − 𝑏)3+ (𝑏 − 𝑎)3 =
(A) 0 (B) 2(𝑎 − 𝑏)3 (C) 2𝑎3− 2𝑏3
(D) 2𝑎3 + 2𝑏3 (E) 2𝑎3+ 6𝑎2𝑏 + 6𝑎𝑏2+ 2𝑏3
Ratkaisu: Luvut 𝑎 − 𝑏 ja 𝑏 − 𝑎 ovat vastalukuja, joten myös niiden kolmannet potenssin ovat.
Summa on siis 0.
(𝑎 − 𝑏)3+ (𝑏 − 𝑎)3 = (𝑎 − 𝑏)3+ [−(𝑎 − 𝑏)]3 = (𝑎 − 𝑏)3− (𝑎 − 𝑏)3 = 0 14.
Ella haluaa täydentää kuvan ketjun siten, että jokaisen ympyrän luku on kahden viereisen luvun summa. Mikä numero kuuluu kysymysmerkin paikalle?
(A) -5 (B) -16 (C) -8 (D) -3 (E) Ella ei voi
onnistua.
Ratkaisu: Lukujen 3 ja 5 välissä pitää olla 8. Tästä eteenpäin voidaan päätellä lukuja kuvan
mukaisesti. Kysymysmerkin täytyisi olla sekä -16, -5 että -3, jotta ehto toteutuisi jokaisen ympyrän kohdalla. Ellan projekti on siis tuhoon tuomittu.
15.
Kuinka moneen osaan koordinaattiakselit sekä funktioiden 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2 ja 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1 kuvaajat jakavat 𝑥𝑦-tason?
(A) 10 osaan (B) 11 osaan (C) 12 osaan (D) 13 osaan (E) 14 osaan
Ratkaisu:
16.
Petralla on kolme erilaista sanakirjaa ja kaksi eri romaania kirjahyllyllään. Kuinka monella tavalla Petra voi järjestää kirjat, jos hän pitää sanakirjat vierekkäin ja romaanit vierekkäin?
(A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 60 (E) 120
Ratkaisu: Kolme vierekkäistä sanakirjaa voidaan järjestää 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 tavalla ja romaanit 2 tavalla.
Sanakirjat voivat olla romaanien oikealla tai vasemmalla puolella, joten vaihtoehtoja on 6 ⋅ 2 ⋅ 2 = 24.
17.
√(2015 + 2015) + (2015 − 2015) + (2015 ⋅ 2015) + (2015 ∶ 2015) =
(A) √2015 (B) 2015 (C) 2016 (D) 2017 (E) 4030
Ratkaisu: Neliöjuuren alle ilmestyy muistikaava 𝑎2 + 2𝑎 + 1 = (𝑎 + 1)2.
√(2015 + 2015) + (2015 − 2015) + (2015 ⋅ 2015) + (2015 ∶ 2015) =
√20152 + 2 ⋅ 2015 + 1 = √(2015 + 1)2 = 2016.
18.
Kun nämä väitteet luetaan vasemmalta oikealle, mikä on ensimmäinen tosi väite?
(A) kohta C on totta.
(B) kohta A on totta
(C) kohta E on epätosi
(D) kohta B on epätosi
(E) 1 + 1 = 2
Ratkaisu: Väite C on väärä, koska se väittää kohtaa E epätodeksi. Siksi myös A on väärä, koska se väittää kohtaa C todeksi. B on epätosi, koska se väittää kohtaa A todeksi. Ensimmäinen tosi väite on siis D, joka sanoo todenmukaisesti kohdan B olevan epätosi.
19.
Kun lukuja on 𝑛 kappaletta, niiden geometrinen keskiarvo on lukujen tulon 𝑛. juuri. Erään kolmen luvun geometrinen keskiarvo on 3, ja kolmen muun luvun geometrinen keskiarvo on 12. Mikä on näiden kaikkien kuuden luvun geometrinen keskiarvo?
(A) 4 (B) 6 (C) 152 (D) 156 (E) 36
Ratkaisu: Olkoot luvut 𝑎, 𝑏, 𝑐 ja 𝑑, 𝑒, 𝑓. Tehtävänannon mukaan pätee seuraavaa:
√𝑎𝑏𝑐3
= 3, √𝑑𝑒𝑓3 = 12 ⇒ 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓 = 33⋅ 123 = 363 Lukujen geometrinen keskiarvo on siis
√𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒𝑓
6 = √366 3 = 3612 = 6.
20.
Winger-planeetan jokaisella asukkaalla on ainakin kaksi korvaa. Kolme planeetan asukasta, Imi, Dimi ja Trimi, tapaavat kraaterin luona. Imi sanoo: ”Näen 8 korvaa”. Dimi sanoo: ”Näen 7 korvaa”.
Trimi sanoo: ”Outoa, minä näen vain 5 korvaa.” Kukaan ei näe omia korviaan. Montako korvaa Trimillä on?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 12
Ratkaisu: Olkoon Imin korvien määrä 𝑥. Koska Dimi näkee yhden korvan vähemmän kuin Imi, hänellä on yksi korva enemmän itsellään eli 𝑥 + 1. Trimi näkee 5 korvaa, eli 5 = 𝑥 + 𝑥 + 1, eli Imillä on 𝑥 = 2 korvaa.
Dimin näkemästä 7 korvasta 2 on siis Imin ja loput 5 Trimin.
5 pistettä 21.
Ruukussa on 2015 marmorikuulaa, joihin on maalattu luvut 1 – 2015, yksi kuhunkin. Kukin kuula on väritetty sen mukaan, mikä sen luvun numeroiden summa on. Saman numerosumman kuulat on väritetty samalla värillä, eri numerosumman kuulat eri väreillä. Kuinka montaa eri väriä marmorikuulia ruukussa on?
(A) 10 (B) 27 (C) 28 (D) 29 (E) 2015
Ratkaisu: Välin 1 – 2015 suurin numerosumma on luvulla 1999, nimittäin 1+9+9+9 = 28, ja pienin luvulla 1, nimittäin 1. Myös kaikki summat tältä väliltä onnistuvat, eli värejä on 28 erilaista.
22.
Kuvassa on kolme samankeskistä ympyrää ja niiden kaksi toisiaan vastaan kohtisuoraa halkaisijaa.
Tummennettujen alueiden alat ovat yhtä suuret ja pienimmän ympyrän säde on 1. Mikä on kaikkien kolmen säteen tulo?
(A) √6 (B) 3 (C) 3√32 (D) 2√2 (E) 6
Ratkaisu: Olkoot säteet 𝑟1 = 1, 𝑟2 ja 𝑟3.
Sisin tummennettu alue on neljännesympyrä, ja sen ala on 𝐴1 = 14𝜋 ⋅ 12 = 𝜋4.
Seuraavaksi sisimmän harmaan alueen ala saadaan kahden neljännesympyrän alojen erotuksena:
𝐴2 =𝜋
4⋅ 𝑟22−𝜋 4= 𝜋
4(𝑟22− 1) Koska 𝐴2 = 𝐴1, täytyy olla 𝑟22− 1 = 1 eli 𝑟22 = 2.
Vastaavasti kolmas ala on
𝐴3 =𝜋
4⋅ 𝑟32−𝜋
4⋅ 𝑟22 =𝜋
4(𝑟32− 𝑟22) Koska 𝐴3 = 𝐴1, saadaan 𝑟32− 𝑟22 = 1, eli 𝑟32= 1 + 𝑟22 = 1 + 2 = 3.
Kysytty tulo on siis 𝑟1𝑟2𝑟3 = 1 ⋅ √2 ⋅ √3 = √6.
23.
Kuvan vaakoihin asetetaan painot 𝑎, 𝑏, 𝑐 ja 𝑑. Niistä kahden paikat vaihdetaan keskenään, jolloin jokainen kolmesta vaa’asta kääntyy kuvan mukaisesti. Mitkä kaksi painoa vaihdettiin?
(A) 𝑎 ja 𝑏 (B) 𝑏 ja 𝑑 (C) 𝑏 ja 𝑐 (D) 𝑎 ja 𝑑 (E) 𝑎 ja 𝑐
Ratkaisu: Vaakojen asennosta nähdään, että painoille pätee 𝑎 > 𝑏 ja 𝑐 > 𝑑. Kaikista neljästä painosta raskain on siis joko 𝑎 tai 𝑐.
Raskain paino ei kuitenkaan voi olla c, vaikka vasemmanpuoleinen vaakakuva olisikin silloin mahdollinen (esimerkiksi a = 6, b = 4, c = 8, d = 1). Jos nimittäin 𝑐 on raskain, sen siirtäminen ei kääntäisi isoa vaakaa toiseen asentoon. Jos 𝑐 taas jää paikoilleen, mikään vaihto ei saa
oikeanpuoleista pikkuvaakaa vaihtamaan asentoa.
Koska 𝑐 ei voi olla raskain, 𝑎 on. Ainoa tapa kääntää sekä vasemmanpuoleinen pikkuvaaka että iso vaaka on siirtää 𝑎 oikeanpuoleiseen pikkuvaakaan. Sen asennosta voidaan päätellä, että 𝑎
vaihdettiin painon 𝑑 kanssa. Tämä on mahdollista esimerkiksi painoilla a = 10, b = 3, c = 2, d = 1.
24.
Kuvan suorakulmiossa 𝐴𝐵𝐶𝐷 on 𝑀1 janan 𝐷𝐶 keskipiste, 𝑀2 janan 𝐴𝑀1 keskipiste, 𝑀3 janan 𝐵𝑀2 keskipiste ja 𝑀4 janan 𝐶𝑀3 keskipiste. Mikä on nelikulmioiden 𝑀1𝑀2𝑀3𝑀4 ja 𝐴𝐵𝐶𝐷 alojen suhde?
(A) 167 (B) 163 (C) 327 (D) 329 (E) 15
Ratkaisu: Lasketaan ensin neljän kolmion alat. Merkitään 𝐴𝐵 = 𝑎 ja 𝐵𝐶 = 𝑏. Kolmion 𝐴𝐷𝑀1 pinta-ala on 12𝑏 ⋅𝑎2= 14𝑎𝑏.
Kolmion 𝐴𝐵𝑀2 korkeus on 12𝑏, joten sen ala on 12𝑎 ⋅𝑏2 =14𝑎𝑏.
Kolmion 𝐵𝐶𝑀3 ala on hieman monimutkaisempi laskea. Pisteen 𝑀2 etäisyys janasta 𝐵𝐶 (merkitty punaisella) on 34𝑎 (koska 𝑀2 puolittaa janan 𝐴𝑀1). Kolmion 𝐵𝐶𝑀3 sinisellä merkitty korkeusjana on tästä puolet, eli 12⋅34𝑎 =38𝑎. Kolmion 𝐵𝐶𝑀3 ala on siis 12⋅38𝑎𝑏 = 163 𝑎𝑏.
Vastaavalla päättelyllä saadaan kolmion 𝐶𝑀4𝑀1 sinisellä merkityksi korkeusjanaksi 38𝑏 ja kolmion alaksi 12⋅38𝑏 ⋅12𝑎 =323 𝑎𝑏.
Neljän kolmion yhteenlaskettu ala on siis (1
4+1 4+ 3
16+ 3
32) 𝑎𝑏 = (8 32+ 8
32+ 6 32+ 3
32) 𝑎𝑏 = 25 32𝑎𝑏.
Nelikulmion 𝑀1𝑀2𝑀3𝑀4 alaksi jää 327 𝑎𝑏; siis kysytty suhde on 327.
25.
Taululle on piirretty sinisiä ja punaisia suorakulmioita. Suorakulmioista tasan 7 on neliöitä.
Punaisia suorakulmioita on 3 enemmän kuin sinisiä neliöitä. Punaisia neliöitä on 2 enemmän kuin sinisiä suorakulmioita. Kuinka monta sinistä suorakulmiota taululla on?
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 6 (E) 10
Ratkaisu 1: Olkoon sinisiä neliöitä b kpl ja muita sinisiä suorakulmiota a kpl. Punaisia neliöitä on kaksi enemmän kuin sinisiä suorakulmioita, joten niitä on a + b + 2. Jos punaisia ei-neliöitä on x kpl, saa ehto ”punaisia suorakulmioita on 3 enemmän kuin sinisiä neliöitä” muodon
b + 3 = a + b + 2 + x, josta ratkaistuna x = 1 – a. Koska x ei voi olla negatiivinen, täytyy olla a = 1 tai a = 0.
Neliöitä on seitsemän, eli b + a + b + 2 = 7, eli 2b + a = 5. Tästä nähdään, että a ei voi olla nolla, joten a = 1 ja b = 2.
Sinisiä suorakulmioita on siis a + b = 3 kappaletta.
Ratkaisu 2:
Taulukoidaan:
neliö ei-neliö
sininen x z
punainen 7 - x y
Ehdot kuuluvat nyt:
(7 – x) + y = x + 3 , eli y = 2x – 4. Jotta y ei olisi negatiivinen, täytyy olla 𝑥 ≥ 2.
ja
7 – x = x + z + 2, eli z = 5 – 2x. Jotta z ei olisi negatiivinen, täytyy olla 𝑥 ≤ 212, eli x = 2.
Siis z = 1 ja y = 0.
26.
Suorakulmaisen kolmion terävän kulman puolittaja jakaa kolmion kateetin osiin, joiden pituus on 1 ja 2. Kuinka pitkä kulmanpuolittaja on?
(A) √2 (B) √3 (C) √4 (D) √5 (E) √6
Ratkaisu: Olkoon tuntematon kateetti 𝑎 ja hypotenuusa 𝑐.
Helpoin ratkaisu perustuu kulmanpuolittajalauseeseen: kulmanpuolittaja jakaa puolitetun kulman vastaisen sivun kulman kylkien suhteessa, eli 21= 𝑐𝑎, siis 𝑐 = 2𝑎. (Kulmanpuolittajalause myös takaa, että lyhyempi osista on nimenomaan kateetin vieressä.) Pythagoraan lauseella saadaan 32+ 𝑎2 = (2𝑎)2, eli 𝑎2 = 3. Kulmanpuolittajan pituudeksi saadaan taas Pythagoraan lauseella 𝑥2 = 12+ 𝑎2 = 1 + 3 = 4, eli 𝑥 = √4 = 2.
27.
Laskemiskerhon 96 jäsentä seisoo piirissä. He ryhtyvät laskemaan 1, 2, 3, 4, … siten, että jokainen sanoo yhden luvun. Parillisen luvun sanojat astuvat ulos piiristä ja loput jatkavat, niin että toisella kierroksella ensimmäinen sanottu luku on 97 ja niin edelleen. Lopulta vain yksi laskija on jäljellä.
Mikä luvun hän sanoi ensimmäisellä kierroksella?
(A) 1 (B) 17 (C) 33 (D) 65 (E) 95
Ratkaisu: Ensimmäisellä kierroksella laskijoita on parillinen määrä, eli luvun 1 sanonut aloittaa toisen kierroksen sanomalla parittoman luvun 97. Niin kauan kun mukana olevien määrä on parillinen, luvun 1 sanonut ei putoa pois. Lasketaan:
Kierros Laskijat kierroksen alussa Jäljellä olevien etäisyys toisistaan alkuperäisessä piirissä
1 96 1
2 48 2
3 24 4
4 12 8
5 6 16
6 3 32
Kuudennen kierroksen alussa jäljellä ovat laskijat, jotka sanoivat ensimmäisellä kierroksella luvut 1, 1+32 = 33 ja 33+32=65. Näistä 1 sanoo parittoman luvun, 33 parillisen ja putoaa pois, 65 parittoman ja lopulta 1 parillisen ja putoaa pois. Luvun 65 alussa sanonut jää jäljelle.
28.
Alla on yhtälön (𝑥2+ 𝑦2 − 2𝑥)2 = 2(𝑥2+ 𝑦2) ratkaisujoukon kuvaaja.
Mikä suorista 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 on y-akseli?
(A) 𝑎 (B) 𝑏 (C) 𝑐 (D) 𝑑 (E) jokin muu
suorien 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 leikkauspisteen kautta kulkeva suora.
Ratkaisu: Yhtälössä muuttuja 𝑦 esiintyy vain toisena potenssina, joten jos jokin 𝑦:n arvo on ratkaisu, myös sen vastaluku on. Kuvaajan täytyy siis olla 𝑥-akselin suhteen symmetrinen. Kuvion ainoa symmetria-akseli on 𝑐, joten se on 𝑥-akseli ja 𝑎 puolestaan 𝑦-akseli.
29.
Oyla-muurahainen lähtee liikkeelle kuution kärjestä. Oyla haluaa kävellä särmiä pitkin, kulkea jokaisen särmän kokonaan ja palata lopuksi lähtöpisteeseensä. Kuinka pitkä tällainen reitti vähintään on? Kuution särmän pituus on 1.
(A) 12 (B) 14 (C) 15 (D) 16 (E) 20
Ratkaisu: 16 on mahdollista monella tavalla, esimerkiksi näin:
Oyla lähtee liikkeelle kärjestä A. Se kulkee ensin sinisen lenkin, aloittaa sitten vihreää ja käy sen aikana välissä kulkemassa pystysärmät ylös ja alas.
Vähemmän kuin 16 ei ole mahdollista, sillä kuutiossa on 8 kärkeä, joissa jokaisessa kohtaa 3 särmää. Jotta kaikki kolme särmää saataisiin kuljettua, kärjessä täytyy vierailla kahdesti. Siksi jokin kolmesta särmästä täytyy kävellä kahdesti. Kahdesti käveltäviä särmiä on siis vähintään yksi jokaista kärkeä kohti (koska myös lähtöpisteeseen pitää palata), mutta joka särmä on kiinni
kahdessa kärjessä. Kahdesti käveltävien särmien määrä on siis vähintään 82 = 4. Koska kuutiossa on 12 särmää, minimi on 12 + 4 = 16.
30.
Paperille kirjoitetaan kymmenen eri lukua. Jos jokin luvuista on yhtä suuri kuin yhdeksän muun luvun tulo, se ympyröidään. Kuinka monta lukua korkeintaan ympyröidään?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 9 (E) 10
Ratkaisu: Korkeintaan kaksi lukua voidaan ympäröidä. Olkoot 𝑥 ja 𝑦 kaksi ympyröitävää lukua, ja muiden kahdeksan luvun tulo 𝑎. Oletetaan, että mikään luvuista ei ole 0 (silloin ympäröitäviä lukuja ei olisi lainkaan.) Täytyy olla
{𝑥 = 𝑦𝑎 𝑦 = 𝑥𝑎
eli 𝑥 = 𝑦𝑎 = 𝑥𝑎 ⋅ 𝑎 = 𝑥𝑎2, joten 𝑎2 = 1 ⇒ 𝑎 = ±1. Näistä +1 ei käy, koska 𝑥 ≠ 𝑦. Siis 𝑎 = −1 ja 𝑥 = −𝑦.
Jos jotkin kaksi lukua siis ympyröidään, ne ovat toistensa vastalukuja. Jokaisen ympäröidyn luvun täytyy siis olla kaikkien muiden ympyröityjen lukujen vastaluku. Koska joka luvulla on vain yksi vastaluku, ympyröityjä lukuja voi olla korkeintaan kaksi.
Kaksi onnistuu, esimerkiksi luvut 7, −7, ja −2, 12, 3, 13, 4, 14, 5, 15.
toteuttavat ehdot. Kahdeksan jälkimmäisen luvun tulo on -1 ja kaikki toimii.
