Simulation of temper rolling

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Materiaalitekniikan osasto

Ville Kähkönen

Tempervalssauksen simulointi

Diplomityö, joka on jätetty opinnäytteenä tarkastettavaksi diplomi-insinöörin tutkintoa varten

Espoossa 28.3.2007

Työn valvoja Professori Seppo Kivivuori

Työn ohjaaja Dosentti Jari Larkiola

Alkusanat

Tämä diplomityö on tehty VTT:n Valmistuksen simulointi ryhmässä yhteistyössä TKK:n Materiaalien muokkaus ja lämpökäsittely laboratorion kanssa 9/2006- 3/2007 välisenä aikana. Työn rahoitti Rautaruukki Oyj Hämeenlinna.

Haluaisin kiittää kaikkia henkilöitä VTT:llä (Valmistuksen simulointi ryhmässä), jotka ovat auttaneet työni etenemisessä. Lisäksi kiitän Rautaruukkia diplomityön rahoituksesta ja mielenkiintoisesta aiheesta (Jari Nylander ja Elina Metsälä). Erityistä kiitosta ansaitsee työn ohjaaja dosentti Jari Larkiola hyödyllisistä tiedoista ja kommenteista.

Erityistä kiitosta ansaitsevat myös kaikki ystäväni, perheeni ja erityisesti avovaimoni Maija, joka on jaksanut kannustaa opintojen suorittamista.

Ville Kähkönen

TEKNILLINEN KORKEAKOULU DIPLOMITYÖN TIIVISTELMÄ Materiaalitekniikan osasto

Tekijä:

Diplomityö:

Ville Kähkönen

Tempervalssauksen simulointi

Päivämäärä: 8.3.2007 Sivumäärä: 85 Professuuri: Materiaalien muokkaus ja Koodi: Mak-65

lämpökäsittely

Valvoja: Professori Seppo Kivivuori Ohjaaja: Dosentti Jari Larkiola Avainsanat: Tempervalssaus, FEM

Tämä diplomityö käsittelee tempervalssausta. Tempervalssaus on valssausprosessin viimeinen pisto, jonka tarkoituksena on poistaa hehkutuksessa syntynyt korostunut myötöraja, parantaa pinnan laatua ja kontrolloida nauhan tasaisuutta. Reduktiot tempervalssauksessa ovat erittäin pieniä noin 0,5 - 2 %, verrattuna normaaleihin kylmävalssaustilanteisiin.

Kirjallisen osan tavoitteena oli esitellä erilaisia kylmävalssausteorioita ja -malleja.

Tutkimusosassa tarkoituksena oli tutkia simuloimalla elasto- plastisella elementtimenetelmällä valssikidan muotoa ja kitapituutta, sekä verrata valssausvoimia todellisesta prosessista mitattuihin parametreihin. Simuloidun kidan muodon avulla on mahdollista selvittää onko valssin elastinen muokkautuminen pyöreää vai joudutaanko kidan muotoa kuvaamaan polynomifunktioilla. Simuloinnit suoritettiin Abaqus (6.6) elementtimenetelmäohjelmistolla.

Simuloinneista havaittiin, että valssin elastinen muokkautuminen oli pyöreää tai polynomin kaltaista riippuen käytetyistä valssausparametreistä, kuten reduktio, nauhan paksuus ja materiaalin lujuus.

Simulointien pohjalta kehitettiin yksinkertainen kitapituus- ja voimamalli, joka voidaan ohjelmoida tempervalssaimen automaatiojärjestelmään valssausvoiman laskemiseksi.

Mitattujen ja uudella mallilla laskettujen voimien vastaavuus oli hyvä.

HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Department of Materials Science and Engineering

ABSRACT OF THE MASTER’S THESIS Author:

Thesis:

Ville Kähkönen

Simulation of Temper Rolling Date:

Professorship:

8.3.2007

Processing and Heat Treatment of Materials

Number of pages:

Code:

85 Mak-65 Supervisor:

Instructor:

Professor Seppo Kivivuori Docent Jari Larkiola Keywords: Temper rolling, FEM

The object of this work is to study temper rolling. Temper rolling is the final stage of rolling process. Function of the temper rolling is to remove discontinuous yield stress point, improve surface quality and control strip flatness. In temper rolling thickness reductions are small 0,5 - 2 % compared to normal cold rolling processes.

The aim of the literary study is to bring forward cold rolling theories. The empirical part of the study is concentrated to use of elasto- plastic finite element method simulations to find out roll shape, contact length and rolling force. One aim of the study is to compare simulated rolling forces and measured values. Other is to find out through simulated roll shapes that does the roll flattening follow circular or non- circular theories. Simulations were carried out with Abaqus (6.6) finite element method software.

Simulation results described that roll flattening was circular or non- circular depending on the rolling parameters such as reduction, strip thickness and material yield strength.

Simple contact length model were developed from the simulation results to control temper rolling mill. The correspondences between measured and calculated roll force values were good.

1. Johdanto...3

1.1 Johdatus tempervalssaukseen... 4

1.2 Metallurgia tempervalssauksessa... 5

2.1 Matemaattiset mallit kylmä-ja tempervalssaukseen... 7

2.1.1 Valssien litistyminen - Hitchcock... 7

2.1.2 Valssausvoima - Ford, Ellis ja Bland...9

2.1.3 Tempervalssauksen empiirinen malli...10

2.1.4 Muokattu tempervalssausmalli - S. Chandra, U.S. Dixit... 11

2.1.5 Yksinkertaistettu matemaattinen malli valssausvoiman laskemiseksi... 12

2.2 Polynomin kaltainen valssin muoto...15

2.2.1 Uusi malli ohuen nauhan valssaukseen - N. A. Fleck ja K.L. Johnson /3/... 15

2.2.1.1 Valssin käyttäytyminen...16

2.2.1.2 Aihion/Nauhan käyttäytyminen... 17

2.2.1.3 Voima ja vääntömomentti...17

2.2.2 Paranneltu malli ohuen nauhan valssaukseen (1992)... 18

2.2.2.1 Tärkeimmät yhtälöt...18

2.2.22 Kategoria I, II vai III... 20

2.3 Mallit reaaliaikaiseen ohjaukseen... 22

2.3.1 Muodonmuutoksen mekaniikan mallintaminen valssauksessa... 22

2.3.1.1 Tempervalssausmalli... 23

2.3.2 Malli ohuen nauhan-ja folion valssaukseen /12/... 27

2.3.3 Muokattu Hertzian- kontaktimalli foliovalssaukseen /13/... 27

2.3.4 Matemaattinen malli ohuen nauhan kylmä- ja tempervalssaus prosessille /14/... 29

2.3.5 Nopea ja vakaa laskentamalli metallin valssaukseen /4/... 33

2.3.6 Pinnankarheuden huomioiva kitamalli ja sovellus tempervalssaukseen /15/... 33

2.3.7 Polynomin muotoinen kontaktimalli teräksen valssausprosessin ohjaamiseen /19/...35

2.3.8 Likimääräinen keino folion valssauksen “influence function”- menetelmän ratkaisemiseksi /9/... 37

3. Valssauksen simulointi FE- menetelmällä...38

3.1 ABAQUS... 41

3.2 Verkon tiheyden vaikutus simulointi tuloksiin... 41

3.3 Simuloinnit 44

3.3.1 Materiaalit... 44

3.3.2 Parametrit... 45

3.3.3 Vedot... 45

4. Simuloinnin tuloksia... 46

4.1 Valssin muoto... 47

4.1.1 DC01 (1608)... 48

4.1.2 Materiaali 2... 50

4.1.3 Materiaali 3... 51

4.2 Valssin muodon tarkastelu... 52

4.3 Kontaktipaine... 53

4.3.1 DC01 (1608)... 53

4.3.2 Materiaali 2... 55

4.3.3 Materiaali 3... 56

4.4 Kontaktipaineen tarkastelu... 58

5. Simuloinneista kehitetty malli... 59

5.1 Voimien vertailu... 61

5.2 Mitattujen voimien ja uudella kitapituusmallilla laskettujen voimien vertailu... 62

5.3 Mitattujen ja Robertsin menetelmällä laskettujen korjattujen voimien vertailu...64

5.4 Voiman korjaaminen regressiomallilla... 66

6. Laboratoriomittakaavan tempervalssaimen ja simuloitujen arvojen vastaavuus...69

6.1 Voimien ja kitapituuksien vastaavuus... 69

6.2 Simuloitu valssin muoto... 70

6.3 Simuloitu kontaktipaine... 72

6.4 Tulosten tarkastelu... 73

7. Voiman lasku koijatulla Ford, Ellis ja Bland-menetelmällä... 74

7.1 Uusi voima- ja kitapituusmalli... 74

7.2 Tulokset... 75

7.3 Tulosten tarkastelu... 77

8. Mitattujen arvojen vertailu... 78

9. Yhteenveto... 80

10. Jatkotutkimukset... 83

11. Viitteet... 84

2

1. Johdanto

Valssaus on yleisin metallien muokkausprosessi. Valssaus voidaan jakaa useaan eri kategoriaan ja jakoa voidaan suorittaa myös valssattavien tuotteiden ja materiaalien suhteen. Tässä tutkimuksessa keskitytään kylmävalssaukseen ja erityisesti temper- eli viimeistelyvalssaukseen.

Valssausongelmia on yritetty ratkaista numeerisesti jo pitkään. Ensimmäiset kylmävalssausteoriat ovatkin jo 1920- luvulta. Vaikka ongelmia on yritetty ratkaista jo kauan, on aihe silti ajankohtainen. Laskentatehojen kasvu, teorioiden kehitys ja tietämyksen kasvu mahdollistavat entistä tarkempien fysikaalisten mallien kehittämisen ja soveltamisen todellisiin prosesseihin ja tilanteisiin. Kasvavien laatuvaatimusten ja tuotekehitysaikojen pienentyessä onkin tärkeää kuvata prosessia laskennallisella mallilla. Tällöin voidaan eliminoida suhteellisen pitkä ja kallis kokeiluvaihe uudelle tuotteelle. Käytettäessä simulointia ja laskennallisia malleja voidaan tuotematriisia laajentaa pienemmillä kustannuksilla kuin aikaisemmin. Tuotteiden laatua pystytään parantamaan, koska voidaan saada tietoa myös alueilta, joita ei aikaisemmin ole pystytty kokeellisin keinoin selvittämään.

Tämän tutkimuksen tarkoitus on tutkia simuloimalla tempervalssauksen kitapituutta, kidan muotoa ja verrata saatuja voiman arvoja mitattuihin arvoihin. Kidan muodon arvioinnin tarkoitus on selvittää kuuluvatko kyseiset valssaustapaukset perinteisten kylmävalssausteorioiden piiriin vai onko valssin muoto polynomin kaltainen sen ollessa kontaktissa nauhan kanssa eli kontaktipituuden ajalla.

1.1 Johdatus tempervalssaukseen

Valssatuilta tuotteilta vaaditaan tarkkoja mittoja ja ominaisuuksia. Näiden saavuttamiseen tarvitaan hyvä teoreettinen malli. Näin haluttu laatu voidaan varmistaa silloinkin, kun valssattavaa tuotetta prosessissa vaihdetaan. Nykyään ei ole varaa etsiä tuotannossa oikeita asetuksia kokeilemalla yritys- ja erehdysmetodilla vaan valssattavan tuotteen asetukset pitää olla jo tiedossa, kun tuote on menossa valssaukseen. Tätä varten on tärkeää kehittää teoreettisia malleja, joita voidaan hyödyntää tuotannossa, niin ettei hukkatavaraa synny.

Tempervalssaus on prosessin viimeinen pisto ja sen tarkoituksena on poistaa hehkutuksen yhteydessä syntynyt korostunut myötöraja. Kohonneen myötörajan poiston tarkoituksena on käsitellä useimmat vähähiiliset hehkutetut teräkset niin, että niiden jälleen muovaaminen on mahdollista ilman, että syntyy myötöjuovia (Liiders Iines). Tempervalssauksessa voidaan myös vaikuttaa tuotteen pinnanlaatuun ja tasaisuuteen, sekä haluttuihin mekaanisiin ominaisuuksiin kuten lujuuteen.

Tempervalssauksessa reduktiot ovat pieniä verrattuna muihin valssaustilainteisiin.

Reduktiot ovat vain noin 0,2 - 2 %.

Tempervalssaus tapahtuu yleensä märkävalssausnesteellä ja harvemmin kuivana, ilman voiteluaineita, jolloin nauhan pinta on sellaisenaan valmis jatkoprosessiin.

Voiteluaineen käytön tarkoituksena on kasvattaa reduktiota kuin normaalisti tai saavuttaa erityisen hyvä pinnan puhtaus. Myös ruosteen estävää voiteluainetta voidaan käyttää, kun nauha rullataan kelalle./l/

Tempervalssauksessa olosuhteet valssin ja aihion välillä poikkeavat hyvin paljon normaaleista kuuma- tai kylmävalssausolosuhteista. Elastisen muodonmuutoksen osuus on suuri ja näin ollen perinteisiä valssausteorioita ei voida käyttää suoraan tempervalssauksessa.

Kidassa olosuhteiden tutkiminen kokeellisesti on erittäin haastavaa tai mahdotonta, koska valssauksen aikana ei kidan sisällä pääse tarkastelemaan tapahtumaa. Jotta saadaan käsitys tempervalssauksessa vallitsevista kidan olosuhteista, tulee suorittaa simulointeja eri parametreillä ja arvioida näiden kautta eri teorioiden soveltuvuutta, sekä verrata näitä todellisesta prosessista saataviin parametreihin.

4

Simulointien luotettavuuteen liittyen tulee materiaalimallien ja olosuhteiden vastata hyvin todellista prosessia. Käytännössä on mahdotonta mallintaa täydellisesti koko prosessia, ja joudutaan tekemään yksinkertaistuksia. Voidaan valita kaksiulotteinen (2D)- tilanne, jolloin saadaan käyttöön tarkempi malli leveyden karsiutuessa pois simuloinnista. Valittaessa kolmiulotteinen (3D)- malli joudutaan tyytymään pienempään laskentaverkon tarkkuuteen, sekä luultavimmin laskenta-ajan pituus on silti liian suuri johtuen mallin erittäin suuresta koosta. Yksinkertaistuksia tehtäessä on tärkeää pohtia miten nämä vaikuttavat mallin käyttäytymiseen, jotta se edelleen pystyy kuvaamaan prosessia riittävän tarkasti.

1.2 Metallurgia tempervalssauksessa

Hundy /1/ osoitti vuonna 1955, että tempervalssauksessa materiaali ei muokkaudu tasaisesti vaan muokkautuminen tapahtuu osissa, jotka ovat vastakkaiset valssaussuuntaan nähden jos käytetään normaaleja tempervalssausreduktioita. Näiden muokkautuneiden alueiden välissä on muokkautumattomia alueita.

Tempervalssauksessa oikean tai halutun reduktion saavuttaminen on herkkä prosessi.

Pienemmillä kuin 0,5 % reduktioilla myötölujuus (yield point) alenee kasvavan venymän kanssa (Kuva 1). Tämä johtuu siitä, että teräksessä vallitsevat olosuhteet, jotka pitävät dislokaatiot yhdessä hajoavat. Kun taas normaaleilla venymillä yli 0,5 % myötölujuus kasvaa, kun reduktio kasvaa /1/. Dislokaatiooden poisto tapahtuu siis pienen reduktion avulla, jolloin vapaat typpi- ja hiiliatomit sitovat dislokaatioita mahdollisimman tasaisesti. Siis 0,5 % muutos reduktiossa voi lisätä myötölujuutta 30 MPa. Tällöin tempervalssauksessa on erittäin tärkeää kontrolloida tarkasti reduktioita, jotta haluttu lopputulos voidaan saavuttaa./2/

Tempervalssauksen tavoitteena on poistaa kohonnut myötöraja, joka yleensä näkyy jännitys- venymä- käyrässä kohonneena Rp 0,1 %/Rp 0,2 % - rajana. Reduktion suhteen tuleekin päästä riittävän suureen reduktioon, jotta edellä mainittu raja ylitetään, mutta reduktio ei saa olla liian suuri, jottei materiaali muokkauslujitu liikaa. Yleensä hyvänä reduktion arvona pidetään n. 1 %, joka riittää poistamaan kohonneen myötörajan, muttei vielä muokkauslujita materiaalia.

250

1,5 2 2,5

Reduktio Щ

Kuva 1. Myötölujuuden muutos reduktion suhteen (CR4)

Myllykoski, Larkiola, ja Nylander /2/ ovat artikkelissaan tutkineet lämpötilan vaikutusta myötölujuuteen ja päätyneet tulokseen, että tempervalssauksessa lämpötilan nostolla on luultua pienempi vaikutus, ja lämpötilaa suurempi vaikuttava tekijä on reduktio, kun lämpötila on alle 100°C .

Muokkauslujittuminen voidaan laskea seuraavasti (Hollomonin muokkauslujittumisyhtälö):

o- = ken, O)

jossa

cr = Todellinen jännitys (True Stress) s = Todellinen venymä (True Strain) n = Muokkauslujittumiseksponentti

k = Materiaalivakio (The Strength coefficient)

Yhteys raekoon ja muokkauslujittumiseksponentin välille saadaan seuraavasti:

n = ■ 5

1У2 ⁽²⁾

10 + d' d= Raekoko (mm)

6

2.1 Matemaattiset mallit kylmä- ja tempervalssaukseen

Tempervalssaus poikkeaa muusta kylmävalssauksesta, koska valssien elastinen venymä on merkittävä ja näin ollen perinteisten kylmävalssausmallien pätevyys on kyseenalainen, kuten Hitckockin (Esitellään osiossa 2.1.1), Karmanin ja Orowanin /1/

kylmävalssausmallit. Edellä mainitut matemaattiset mallit olettavat valssin muodon olevan pyöreä, joka ei välttämättä kuitenkaan kuvaa tempervalssaustilannetta oikein.

Nykyään jotkin käytössä olevat mallit olettavat, että valssin muoto ei ole pyöreä ja se koostuu useista eri vyöhykkeistä. Tempervalssausmallit ovat monessa tapauksessa johdettu erittäin ohuen nauhan valssauksen malleista, joten niiden soveltuminen paksummille nauhoille ja pienille reduktioille ei välttämättä onnistu.

N.A. Fleck ja K. L. Johnson /3/ julkaisivat merkittävän tutkimuksen vuonna 1987, jossa oletetaan valssin muodonmuutoksen poikkeavan elliptisestä muodostaja plastisen muodonmuutoksen tapahtuvan aihion sisään- ja ulostulokohdissa. Sen sijaan keskellä esiintyy no-slip- alue, jossa ei tapahdu reduktioita. Tällöin valssin muotoa kuvaisi paremmin polynomifunktio, kuin litistyneen valssin säde.

Edellä mainittuun julkaisuun perustuvat myös monet uudemmat teoriat, joissa mallit on viety pidemmälle niin, että niihin voidaan ottaa mukaan myös mm. kehittyneempiä kitka-, lämmönsiirto-, muokkauslujittumis- ja pinnankarheusmalleja. Kyseisten teorioiden kehitys on suurelta osalta keskittynyt kyseisten mallien tehokkaampaan matemaattiseen ratkaisemiseen ja näin kehittämään niiden soveltuvuutta prosessin reaaliaikaiseen ohjaukseen.

2.1.1 Valssien litistyminen

Hitchcock

Vuonna 1935 julkaistu J. Hitchcockin kylmävalssausteoria /1/ on tunnettu valssin litistymismallista. Malli olettaa, että valssien elastinen muodonmuutos on ympyrän muotoinen, jolloin deformoituneen valssin sädettä/halkaisijaa voidaan arvioida seuraavasti:

4 63F

D'=D{ 1+ -££), (3)

EAh jossa

D'= Litistyneen valssin halkaisija, D = Valssin halkaisija,

E = Valssin kimmomoduli, F = Valssausvoima,

Ah = Ohentuma,

Kaavoja on muokattu monissa tapauksissa juuri tiettyä tarkoitusta varten. Litistyneen valssin säde voidaan esittää myös muodossa /4/:

jossa

R'=R 1 +16(1 -v2r)F

nERAh (4)

E = Valssin elastinen moduli (Young’s modulus) [MPa], F = Valssausvoima [N],

Er = Valssin kimmomoduli, vr = Poissonin luku (vakio), Ah = Ohentuma [mm].

Erittäin ohuille kappaleille on kehitetty myös oma kaava:

f

D'=D 1 + 2 F 2 F + - V V E Ah E Ah missä

(5)

D'= Litistyneen valssin säde [mm], D = Valssin säde [mm],

E = Valssin kimmomoduli [MPa], F = Valssausvoima [N],

Ah = Ohentuma [mm].

Jos oletetaan valssien pysyvän muokkautumattomina, voidaan kontaktipituutta arvioida seuraavasti:

jossa

D = Valssin halkaisija [mm], Ah = Ohentuma [mm].

8

Kylmävalssauksessa valsseissa tapahtuu elastista muodonmuutosta. Tällöin voidaan kontaktipituutta arvioida litistyneen valssin säteen mukaan seuraavasti:

D' Ah

(7) jossa

D'= Litistyneen valssin säde [mm], Ah = Ohentuma [mm].

Litistyneen valssin säde on suurempi kuin litistymättömän, jolloin myös kontaktipituus kasvaa. Hitchcockin teoria onkin ensimmäinen, joka selittää yhteyden litistyneen ja litistymättömän valssin halkaisijoiden välillä.

Artikkelissa /4/ on esitetty nauhan profiilille yhtälö, jos valssin litistymisen oletetaan olevan elliptistä:

h{x) = h0 + 2R' 1 - cos(sin 1 —^) ,

R' ⁽⁸⁾

missa

h0 =Nauhan/aihion paksuus jättö tasolla (eli lopullinen paksuus),

x = Paikka x- suunnassa, R'= Litistyneen valssin säde.

2.1.2 Valssausvoima

Ford, Ellis ja Bland

Ford, Ellis ja Bland /5/ esittävät mallin, jonka tarkoituksena on ratkaista valssausvoima käyttäen apuna graafisia taulukoita, joiden avulla voidaan nopeasti ratkaista tiettyjä tarvittavia parametreja. Mallilla saatiin hyvä vastaavuus Orowanin 1943 esittämään yleiseen valssausteoriaan.

(9) Jossa,

-jR'ih^ -h2) = kontaktipituus, cr, = Syöttökireys,

f3(a,r,b)= Dimensioton valssausvoima (saadaan taulukoista), cr 2 = Jättökireys.

Kyseistä mallia voidaan käyttää hyvin kylmävalssauksessa prosessin ohjaamiseen, mutta sen soveltuvuus pienille reduktioille on kyseenalainen. Fleck ja Johnsonn artikkelissaan esittävät /61 tuloksia, joissa on saatu hyvä vastaavuus, kun aihion paksuus ja reduktio olivat riittävän suuria. Näissä tapauksissa reduktiot olivat normaalia tempervalssausta suurempia.

2.1.3 Tempervalssauksen empiirinen malli

Roberts esittää kirjassa Flat recessing of steels /1/ empiirisisesti johdetun mallin kitapituudelle ja valssausvoimalle sekä vääntömomentille, joka kuvaa paremmin tilannetta juuri tempervalssaustapauksessa.

PERIPHERAL SPEED _OF ROLLS V

i

X

Kuva 2. Kidan geometria tempervalssauksessa /1/

Flat processing of steel /1/ kirjassa on esitetty empiirinen matemaattinen malli tempervalssauksen “kaaren” pituudelle.

(10)

jossa

L = Kontakti pituus (Arc of contact) [mm]

D = Valssin halkaisija [mm],

10

t = Nauhan sisääntulo paksuus [mm], r = Reduktio [desimaali %],

/л = Kitkakerroin.

Keskimääräinen muodonmuutosnopeus è (Average strain rate) voidaan arvioida seuraavasti:

missä

(H)

V= Valssausnopeus (m/s).

Aihion/nauhan myötölujuutta voidaan arvioida seuraavasti:

<7C =1.155(cr + ti.log]0(1000é)), (12)

<7 = Myötölujuus alhaisilla muodonmuutosnopeuksilla ( 10_3 Л’1 )

a = Kymmenkertainen muutos myötölujuudessa (vakio, noin 52 Mpa /1/) Jos valssikidassa keskimääräinen vetojännitys aA (tensile stress) aihiossa on oletettu olevan keskimääräinen syöttö- ja jättövetojäänityksistä, voidaan minimipainetta joka tarvitaan aihion muodonmuutokseen arvioida seuraavasti:

<7P = 1.155(cr + fl.loglo(1000é))+ <Jx + . (13) Neutraalipiste (Kuva 2) on kohta, jossa nauhan ja valssin nopeus on sama. Olettaen, että neutraalipiste on lähellä kontaktialueen keskipistettä, voidaan tempervalssausvoima per aihion yksikköleveys arvioida olevan /1/:

e'(1~r) -1

f = at{\-r)---. (14)

A

2.1.4 Muokattu tempervalssausmalli

Chandra, U.S. Dixit

Mallissa /7/ on julkaistu myös hieman muokattu versio Robertsin esittämästä tempervalssausmallista. Mallissa on jätetty vetojännitysten osuus pois ja muokattu kaavat kyseiselle tapaukselle sopiviksi. Tällöin vääntömomenttia voidaan arvioida seuraavasti:

(15)

Ja valssausvoimaa:

л 2 К)(А(1 г) Г »¿/(Å,(i-r)) J

'"Vi M 1 J (16)

joissa

(<jv)0 = Yksiaksiaalinen myötölujuus,

/г, = Aihion/nauhan paksuus ennen valssausta (sama kuin t kaavassa 14) [mm],

L = Kontakti pituus (Arc of contact) [mm], R = Valssin säde [mm],

r = Reduktio [desimaali %], // = Kitkakerroin.

Kontaktipituutta voidaan edelleen arvioida kaavalla:

(10)

Arvioitaessa mallien sopivuutta tempervalssaukseen Chandra ja Dixit otaksuvat, että kun nauhan/aihion sisääntulopaksuus on hyvin pieni (eli kun kyseessä on kalvo) ja muokkaus eli reduktio on suuri, valssin litistyminen ei noudata enää elliptistä muotoa.

Näissä tapauksissa painejakaumassa esiintyy yhden painehuipun sijasta useita painehuippuja.

Artikkelissa /7/ mallia on arvioitu vain yli 2 % reduktioille.

2.1.5 Yksinkertaistettu matemaattinen malli valssausvoiman laskemiseksi

Kirjassa Flat processing of steels /1/ esitellään yksinkertaistettu matemaattinen malli valssausvoiman laskemiseksi. Malli on etupäässä tarkoitettu normaaleille kylmävalssaustilanteille.

Mallilla voidaan laskea minimi valssausvoima jos oletetaan kitkaolosuhteiden myös olevan minimissä. Mallin suurin etu on sen yksinkertaisuus. Malli on esitetty US- mittajäijestelmän muodossa.

12

Tarvittavat tiedot:

D = Valssin halkaisija [in] (mm)

E = Valssin elastinen moduli [psi] (MPa) t = Aihion sisääntulo paksuus [in] (mm)

cr0 = Myötölujuus aihiosta alhaisilla muodonmuutosnopeuksilla (voidaan saada muokkauslujittumiskäyristä) [psi] (MPa)

A = Muodonmuutosvaikutus (paine [psi] (MPa) per kymmenkertainen muutos muodonmuutosnopeudessa)

r = Reduktio (desimaali prosentteina) V = Valssausnopeus [fpm]

<7, = Vetojännitys syöttöpuolella [psi] (MPa)

<r2 = Vetojännitys jättöpuolella [psi] (MPa) Kun nämä tiedot tiedetään, laskenta malli etenee seuraavasti:

1. è = 0,176FJ— , Tehollinen muodonmuutos nopeus 2. oc = l,155(cr0 + v41og10(1000¿)), Dynaaminen myötölujuus

0"l + (l — r)<72 3. <7, =

2-r —, Keskimääräinen vetojännitys 4. ap = <7c - aa , Minimi muokkauspaine

5. Lr = Dtr

, Kontaktipituus (Muokkautumaton valssi)

6. fr = <7PLR, Valssausvoima

fr

7. D{ 1 + 4,62-^J—), Muokkautuneen valssin halkaisija Etr

Erittäin ohuille aihioille:

D'=D 1 + 2.

fr + 2 fr

Etr Etr

8. L = ID'tr

, Kontaktipituus muokkautuneille valsseille 9. F = <7pL , Valssausvoima

(17) (18) (19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25) (26)

Jos siis otetaan huomioon valssien litistyminen mallissa, joudutaan iteroimaan sijoittamalla saatu tulos kohdasta 9 kohtaan 7 ja laskemaan uudestaan 8 kaaren- eli kontaktipituus. Tätä iterointia tulee jatkaa kunnes on saavutettu haluttu konvergenssi.

Malli on siis yksinkertaistettu, mutta sillä voidaan saada nopeasti laskettua suuntaa antavia tuloksia kylmävalssaustapauksissa.

14

2.2 Polynomin kaltainen valssin muoto

Edellä on käsitelty teorioita, joissa valssien muodonmuutoksen oletetaan olevan pyöreää eli valssit litistyvät, mutta silti säilyttävät pyöreän muodon. Kaikissa tapauksissa muodonmuutos ei noudata klassisia teorioita, vaan on kehitetty ”non- circular” teorioita. Näissä teorioissa oletetaan valssin muokkautuvan kontaktipituudelta polynomifunktion kaltaisesti ja sisältävän useita eri alueita, jolloin eri alueilla valssi ja nauha käyttäytyvät eri tavalla.

Arvioitaessa mitä teoriaa voidaan käyttää, tulee ottaa huomioon reduktio ja aihion/nauhan paksuus. Rajojen määrittäminen, mikä kuuluu mihinkin tapaukseen, on hankalaa. Esimerkiksi jos nauha on suhteellisen ohut, mutta reduktio on suuri, se luultavimmin kuuluu teorioiden piiriin, jotka olettavan valssin muodon olevan polynomin kaltainen, mutta kyseinen nauha voi kuulua myös teorioiden piiriin, jotka olettavat valssin muokkautuvan ympyrän kaltaisesti, jos reduktiot ovat riittävän pieniä.

Simuloinnin tarkoituksena on selvittää kontaktipituus, mutta myös antaa tietoa siitä millä teorioilla eri tapauksia voidaan arvioida ja selvittää valssin muotoa kidan sisällä.

2.2.1 Uusi malli ohuen nauhan valssaukseen

N.A. Fleck ja K.L. Johnson

Aikaisemmissa malleissa, kuten Jortnerin /8/ ja Grimblen /8/ teorioissa esiintyy konvergenssiongelmia, kun niillä yritetään ratkaista malleja, joissa aihio on ohut tai erittäin ohut ”kalvo”. Malli on raskas ratkaista, eikä näin ollen sovellu reaaliaikaiseen prosessin ohjaukseen (on-line control).

Fleck ja Johnson olivat ensimmäisiä, jotka onnistuivat ratkaisemaan konvergenssiongelmat /8/. Mallissa valssit voivat elastisesti muokkautua niin ettei niiden profiili ole pyöreä tai elliptinen. Malli olettaa myös, että aihion ja valssin välillä kidassa on merkittävä liukumaton alue eli neutraalialue (no-slip), jossa ei tapahdu aihion muokkautumista eli reduktioita. Tällä alueella ei myöskään tapahdu aihion ja valssin välistä liukumista eli poiketen useasta aikaisemmasta mallista tällä alueella ei esiinny liukumisnopeutta (slipping velocity). Neutraalipistettä ei ole, koska sen korvaa neutraalialue (no-slip).

Plastinen muodonmuutos tapahtuu aihion syöttö-ja jättöpuolella (Kuva 3).

Malli olettaa, että nauhan/aihion muokkautuminen on homogeenista ja tasapainoyhtälö pätee, jokaisella seitsemällä alueella.

(27) Yhtälö on johdettu ottamalla huomioon voimien tasapaino ohuelle pystysuuntaiselle segmentille.

STRESSES IN STRIP

-<T, =P = P0 /1- (£/ -КрДЬ, £ of Rolls

р0/к4)Чдьг

Elastic unloadini zones DiEancHDtEand

Plastic reduction, zone B.

Plastic reduction, zone F.

Kuva 3. Aihion jännitykset ja muodonmuutos /3/

2.2.1.1 Valssin käyttäytyminen

Valssin painetta ja muodonmuutosta voidaan arvioida modifioidulla Hertzian paineyhtälöllä seuraavasti /8/:

Р(х) = Рол !” — -KpAb,

V lûoJ (28)

jossa

p0 = Maksimi paine (maximum pressure),

a0 = Etäisyys sisääntulo kontaktista valssien keskiviivalle, 2Ab(x) = Aihion plastinen muodonmuutos pisteessä x,

16

(29) 8 e

К =--- — = ”Foundation modulus”, p 3 m0

missä

E*r ---r— = ”Tasomuodonmuutos moduuli”. (30)

2.2.1.2 Aihion/Nauhan käyttäytyminen

Nauhan muokkautumisen oletetaan olevan homogeenista ja käyttäytyvän elasto- plastisesti. Koska nauha on paljon ohuempi kuin valssien elastinen muodonmuutos on nauhan elastinen muodonmuutos z- suunnassa (pystysuunta) jätetty huomioimatta syöttö- ja jättöalueilla. Malli jakaa aihion seitsemään eri alueeseen (А-G) (Kuva 3).

Alue A

Nauha on elastinen ja nopeus on hitaampi kuin valsseilla. Kitka vetää aihion kitaan.

Nauhan paksuus on 2b0, koska elastista litistymistä ei oteta huomioon.

Alue В

Nauhalle tapahtuu plastista muodonmuutosta ja nauha ohenee 2A6,.

Alue F ja G

Aihio liikkuu nopeammin kuin valssit. Nauha käyttäytyy elastisesti alueella G ja plastisesti alueella F.

Alue C, D ja E

Alueilla ei tapahdu merkittävää plastista muodonmuutosta.

2.2.1.3 Voima ja vääntömomentti

Ottaen huomioon jännitykset voidaan voima ja vääntömomentti yksikköpituudelle laskea seuraavasti /8/:

F = f 2 p{x)dx .

J-a0

Q = f 2 - p(x)xdx.

J-a0

(31)

(32)

2.2.2 Paranneltu malli ohuen nauhan valssaukseen (1992)

N.A, Fleck, K. L. Johnson, M. E. Mear ja L C Zhang julkaisivat parannellun teorian folion valssaukeen /6/ vuonna 1992. Tarkoituksena oli koijata edellisen mallin puutteita. Mallin tärkeimmät kolme oletusta ovat

(1) ei tapahdu muokkauslujittumista, (2) muodonmuutos on homogeenista, (3) Coulumbin kitka on jatkuva.

Edellisessä mallissa esitelty ”mattress model” on hylätty ja valsseja käsitellään nyt elastisina puolikkaina.

2.2.2.1 Tärkeimmät yhtälöt

Valssin muokkautumisyhtälö voidaan ilmaista seuraavasti /6/:

B(x) = B0-1 /2(X„ -X2) + - \XlP(X')In X°+X2 Л Jxo X + X' dx'.

Aihion plastisen muokkautumisen yhtälö:

dP dR

- B(x) — + — + ccUP(x) = 0.

dx dx Voima

Tai

W= P p(x)dx.

J-a„

Jx0 V ääntömomentti

Q

J-a„

Tai

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

18

(38) Yhtälöissä on kahdenlaisia muuttujia, riippuvat muuttujat ovat:

B(x) = Aihion paksuus, p(x) = Valssien paine,

x = Sijainti valssin keskiviivan suhteen, W = Voima,

Q = Vääntömomentti.

Ja riippumattomat eli itsenäiset muuttujat:

cr0 = Syöttökireys, a 2 = Jättökireys, R = Valssin säde,

E*r = Valssin tasomuodonmuutos moduuli, 2b0 = Aihion sisääntulopaksuus,

Ys = Aihion tasomuodonmuutos myötölujuus, ju = Kitkakerroin.

Reduktio tässä tapauksessa lasketaan seuraavasti:

b0 b2 B0

K Bq

(39) missa.

b2 = Aihion ulostulopaksuus (B vastaavat dimensiottomat)

Siis valssausvoimaan ja - momenttiin vaikuttaa viisi riippumatonta (itsenäistä) dimensiotonta parametria.

r,g=/[50,£/,r,Z0,£2] (40)

missa

Bfí = 0 * = Paksuuden vaikutus,u D V2 (41) r = Reduktio,

S о — = Syöttökireys, (43)

E 2 = — = Jättökireys. (44)

2.2.2.2 Kategoria I, Il vai III

Malli /6/ jakaa valssauksen kolmeen eri kategoriaan (Regime) eli tapaukseen riippuen aihion paksuudesta. Ensimmäinen tapaus on paksummat aihiot, joissa on havaittu plastisen muodonmuutoksen olevan jatkuvaa. Tämä tapaus on lähellä perinteisiä kylmävalssausteorioita (kuten /5/). Artikkelin mukaan valssausvoima ja momentti vastaavat Bland ja Fordin teoriaa. Toinen tapaus oli keskipaksut aihiot, joissa plastinen reduktio tapahtuu syöttö- ja jättövaiheissa kidassa. Kolmannessa tapauksessa kyseessä on ohuet aihiot. Tällöin paine ensin kasvaa maksimiarvoonsa ja tämän jälkeen tipahtaa, jolloin aihioon muotoutuu epätasainen elastinen puristusjakauma.

X. X« X„ X^ x„ x;

Kuva 4. Kaavamainen esitys alueiden rajoista /9/

Kuva 5. Kaavamainen esitys eri valssaustapauksista (Kategoria I,II ja III). Vasemmalla painejakauma ja oikealla aihion/nauhan profiili. 19/

Kategoria I

Tapauksessa on kaksi plastista reduktioaluetta. Eli yksi ”forward-” ja yksi ”backward slip” alue. Tässä tapauksessa painejakauma on ”kumpumainen” eli esiintyy ”Friction Hill” ja on huomattu, että aikaisemmat ”circular” teoriat kuvaavat tapausta kohtuullisen hyvin (tempervalssaustapauksessa ei reduktio ole välttämättä tarpeeksi suuri, jotta teoria pätisi).

Kategoria II ja III

Näissä tapauksissa on havaittavissa keskellä tasainen alue (alueet C-E). Kategoria II tapauksessa keskialue on koko matkalta plastinen, eli alue koostuu pelkästään plastisesta alueesta (C). Kategoria III tapauksessa plastisen alueen välissä on myös

elastinen ”no-slip”- alue, eli keskialueella ilmenee kaikki C- E tapaukset. Eli plastisia alueita on nyt kahden sijasta kolme.

Malliin olisi periaatteessa mahdollista ottaa mukaan muokkauslujittuminen määrittelemällä lujuudet syöttö-ja jättöpuolella erikseen (reduktioalueilla).

Mallin ”heikkous” tai suurin kiistanalaisuus on jatkuvan kitkakertoimen käyttö (constant coefficient of friction). Malli ei myöskään huomioi elastista vyöhykettä kidan alussa ja lopussa niiden lyhyyden takia.

Tempervalssauksen kannalta mallin käyttökelpoisuus on kyseenalainen, koska tempervalssauksessa aihion paksuus on yleisesti pieni, kuten teoria olettaa, mutta reduktiot ovat myös huomattavan pieniä, toisin kun kyseisessä mallissa, joissa reduktiot olivat ennemminkin kylmävalssaustapauksiin soveltuvia.

2.3 Mallit reaaliaikaiseen ohjaukseen

Jotta tempervalssausprosessia voitaisiin ohjata reaaliaikaisesti, tulee käytettävissä olevien mallien olla nopeita ratkaista. FE- menetelmää ei voida käyttää prosessin ohjaamiseen, koska laskenta-ajat ovat liian pitkiä. Myös monet iterointiin perustuvat mallit ovat suhteellisen hankalia ja raskaita ratkaista. Niitä on edelleen kehitelty yksinkertaisimmiksi, jotta ne soveltuisivat prosessin ohjaamiseen.

2.3.1 Muodonmuutoksen mekaniikan mallintaminen valssauksessa

W.Y.D. Yuen, A. Dixon ja D.N. Nguyen /10/ ovat laajentaneet Fleckin ja Johnsonin /6/

mallia, jotta se myös pätisi myös tempervalssaukseen. Itse tempermalli perustuu Fleck

& Johnsonn aikaisempaan malliin /3/, mutta ottaa huomioon elastiset alueet ennen ja jälkeen plastisten muodonmuutosten.

Vaakasuoravoimayhtälö aihion elementille plastisella alueella on /10/:

dh df

p — + — = ±2q.

dx dx (45)

Tämä yhtälö sisältää neljä tuntematonta muuttujaa: Valssin paine p, leikkausjännitys aihion ja valssin rajapinnalla q, vaakasuora vetoj ännitys/voima f ja aihion paksuus h.

22

Malli olettaa, että jos reduktio on pieni, niin valssien litistyminen on lähinnä ympyrämäistä, jolloin aihion paksuus voidaan johtaa muokkautuneen valssin säteestä R’ (Kuva 6)

h - h2 + 2R' (1 - cos ф). (46)

Mallissa R’ lasketaan Hitchcockin yhtälöllä (4).

2.3.1.1 Tempervalssausmalli

Mallia on hieman muokattu, jotta se pätisi myös tempervalssaukselle. Aihion yhtälö on edelleen sama, mutta valssin muodonmuutos kaavaa on muokattu yksinkertaisemmaksi Hertzian kontaktin mukaan. Eli aihion yhtälö (45) on edelleen voimassa, mutta painejakauman yhtälö on tempervalssaustapauksessa eri kuin muissa ohuen tai erittäin ohuen aihion tapauksissa.

Leikkaus)ännitysjakauma aihion paksuudella on lineaarinen, josta saadaan

p + a = ku , (47)

jossa

(48) Nauhan tasomuodonmuutos myötöjännitys:

(49) missa

cr = Vaakasuora jännitys (puristuksessa positiivinen), г = Leikkausjännitys,

pp, liukumiskitka k/2, tarttumis kitka

Centreline of Ro*

к

(a) General.

(b) Circular.

Kuva 6. Valssauskidan geometria, yleinen ja pyöreä litistyminen /10/

Painejakauman valssissa oletetaan olevan temper- tapauksessa Hertzian kontaktin tapainen eli muokattu Hertzian kontaktipaine on:

missa

P(x) = PoJ1~ x-xn^\2 K xo J

-~KAh,

2 (50)

Po = Suurin Hertzian kontaktipaine, A h = Nauhan paksuuden muutos, hx = Alkuperäinen nauhan paksuus,

8 f E,

\

jx0(l-vr2)J ’ v = Poissonin luku/vakio,

(51)

24

E = Elastinen moduuli.

Kylmävalssauksessa on siis 7 eri vyöhykettä (Kuva 7)

Centreline of Ro8

(a) For large roll deformation.

Centreline of Roll

Zone A

(b) For small roll deformation.

Kuva 7. Valssauskidan geometria litistyneelle profiilille /10/

Alueiden rajat voidaan arvioida seuraavasti:

A; xa, myötymistä esiintyy alueella A

B; xa, p(x) on jatkuva ja dh/dx = 0 alueella В C; xc, a{x),q{x) ja dq(x)/dx ovat jatkuvia D; xd, cr(jc) ja q(x) ovat jatkuvia

E; xe, cr(x) ja p{x) ovat jatkuvia

F; xf, d(cr(x) +p(x))/dx on jatkuva ja myötymistä esiintyy alueella G

G; xg , P=0 ja cr(x) on yhtäläinen verrattuna sovellettuun ulostulo jännitykseen.

Edellä kuvailluilla eri alueilla (A- G) ratkaistaan valssin paine p, keskimääräinen nauhan vetojännitys cr , leikkausjännitys aihion ja valssin rajapinnalla q ja reduktio Ah kaavoilla (45), (50) ja (47). Alueille tarvittavat kaavat on esitetty taulukossa 1.

Taulukko 1. Tarvittavat kaavat (Kaavan numero)

Alue P <7* |q| Ah

A 50 45 HP » 0

В 45 ja 47 HP 50

C 50 47 45 h\ -hn

D 50 No slip 45 K-K

E 50 45 HP K -K

F 45 ja 47 HP 50

G 21 45 HP ^{~ /г,} - h2

Näiden rajojen ratkaiseminen tehokkaasti on edellytys reaaliaikaiselle prosessinohjaukselle. Artikkelissa /11/ on esitetty numeerinen ratkaisu.

Tempervalssausta kuvataan siis Fleck ja Johnson /3/ aikaisemmalla mallilla, sillä erolla että elastisten alueiden merkitys plastisten muokkausalueiden jälkeen on suuri ja näin ne pitää ottaa malliin mukaan.

26

2.3.2 Malli ohuen nauhan- ja folion valssaukseen /12/

H.R. Le ja M.P.F. Sutcliffen teoria perustuu Fleck ja Johnson /6/ teoriaan, joka määrittää tartuntakitkan neutraalille alueelle ja liukukitkan muualle.

Erona on uusi malli neutraalialueelle. Malli olettaa, että neutraalialueella tapahtuu pieniä plastisia ja elastisia venymiä, jolloin ratkaisu pystytään saavuttamaan explisiittisesti, joka johtaa nopeampaan ja vakaaseen (robust) numeeriseen algoritmiin.

Eli elastisen ”no-slip” alueen arvioita on käytetty paineen laskemiseen tasaisella alueella /9/.

Muutoin malli seuraa Fleckin ja Johnsonin /6/ jalanjälkiä. Nopeampi ja yksinkertaisempi ratkaisu mahdollistaa myös hienostuneempien kitkamallien käytön.

2.3.3 Muokattu Hertzian- kontaktimalli foliovalssaukseen /13/

Artikkelissa /13/ on esitetty yksinkertaistuksia Fleck ja Johnson /3/ malliin. Tällöin siitä saadaan laskennallisesti nopeampi ja sitä voidaan käyttää prosessin ohjaamiseen.

Lähestymistapana on käytetty menetelmää, jossa ensin on uudelleen jäijestelty muuttujat ja käytetty menetelmää, jossa ratkaistaan ongelma likimääräisesti eli voidaan asettaa koijaustermejä alkuperäisen ongelman yksinkertaistamiseksi (”perturbation method”).

Fleck /3/ esittämät tärkeimmät yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti (tasapainoyhtälöt):

ах ах

Paine yhtälö vastaavasti:

(52)

P*=p'o J1---г -Mos'Q-b*).

U Xn f • V

x (53)

V Vxo ) Myötöehto (Tresca yield):

* * л

<тх+р =1. (54)

Coloumbin kitkamallin mukaan

* i * (55) q =±p .

Jos uudelleen järjestellään paineyhtälö aihion puoli paksuudeksi, käytetään Trescan myötöehtoa sekä Coloumbin kitkamallia saadaan yksinkertaistettu yhtälö tasapainoyhtälöstä plastisella alueella:

dp db , .

-b -d^ + — ±U0p =0 (56)

dx dx

Malli perustaa ajatukseen, jos s on pieni, niin derivaattaa voidaan arvioida seuraavasti:

db'w

dx ^{= 0.} (57)

ja aihion puolipaksuus:

¿>*(0) = 1. (58)

Eli mallissa oletetaan, ettei aihiossa/nauhassa tapahdu paksuusmuutosta. Tämä on hyvä arvio jos reduktio on luokkaa 0,1 %, mutta tempervalssauksessa, jossa tapahtuu reduktioita oletukset pätevät vain ensimmäiselle elastiselle alueella (Alue A). Mutta kaava (57) voidaan käyttää myös hyvänä arvioina litistyneillä alueilla A, C, D, E ja G, jolloin puolipaksuus on vakio, mutta ei sama vakio eli tämä arvo muuttuu eri alueilla.

Esimerkiksi alueella A b* = 1, alueilla C, D ja E b' = 1 - r, ja alueella G b* = \-r.

Tällöin ehto —- = 0 täyttyy kaikilla alueilla. Plastisen muokkautumisen alueilla В ja dx

F ei edellä mainittu ehto täyty. Alueella В voidaan käyttää arvioita b" = b\, mutta alueella F ei tiedetä nauhan paksuutta, joten paineyhtälö pitää valita niin, että paine on jatkuva. Artikkelin jälkikirjoituksessa on esitetty korjaustermit ja yhtälöt eri alueiden painejakaumien ratkaisemiseksi.

Kun painejakaumat tiedetään (Taulukossa 2) eri alueille voidaan voima (W) laskea seuraavasti:

W= \X\p\x*)dx'. (59)

J-X0

28

Taulukko 2. Tasaisten alueiden painejakaumat /13/

Zone Contribution

A /»o*2 (f + arcsin Va + VAy/\ - Vj')

В Pa(~ \ +eVe*0i~rj})/Uo

C, D, and E Po* (arcan Ve + Vgy/\ — VF — arcsin Ц — Vs^/l — V¿^

-Ifcï(i-*ïK(^-^)/e

F Prbîi-1 + )/Uo

G />p2(arcsin V2 + Viy/\ - F? - arcsin VP - VFX/l - V/) -tloynÛiVt - VF)/e

Malli pätee parhaiten pienille reduktioille. Isommilla reduktioilla virheen osuus kasvaa, mutta sitä voidaan pienentää käyttämällä korjaustermejä. Esitettyjen yksinkertaistusten ansioista ratkaistavien yhtälöiden määrä tippuu ja laskennallisesti malli on tehokkaampi.

Alueiden rajojen ratkaisuun tarvittavat kaavat ja korjaustermit on esitetty artikkelin /13/

j älkikiij oituksessa.

2.3.4 Matemaattinen malli ohuen nauhan kylmä- ja tempervalssaus prosessille /14/

Yuli Liu ja Won-Но Lee esittivät artikkelissaan /14/ uuden mallin tempervalssaukselle.

Malli eroaa edellisistä pääasiassa siinä, että perusiterointisilmukkana on valssin profiili, jolloin lasketut rajat tarkoittavat suoraan valssin rajoja (Kuva 8).

Roll center and origin of polar coordinates

Exit elastic Plastic zone zone

Entry elastic zone

Kuva 8. Kidan alueet /14/

Valssin elastinen muodonmuutos riippuu valssin paineesta lineaarisen integraalin välityksellä:

a{6) = J* Щ0 -1)p(t)dt + R , (60)

jossa

t - integroimis vakio, vaihtelee 0 -> ф , а(в) = Valssin säde pisteessä в,

R= Valssin alkuperäinen säde, p{t) = Normaali paineprofiili,

U{9 -t)= Jortner’s influence function.

Kidan profiili lasketaan valssin säteen mukaan nyt:

h{Q) = RS- 2a(&)

Ф0

jossa

h{9) = Kidan profiili,

Rs = Valssien keskipisteiden välinen matka,

30

ф0 = ”Mitattu” kulma valssien keskiviivalle (voidaan arvioida),

Фо=(

Laskentamalli etenee kuvan 9 mukaan.

Assume Rs

Assume h(8)

Calculate p< Й ) with equations (4).(5)

I Calculate a(8). h(8) with equations (1).(2).(з7

Roll Indentation ?

Modify h<8) Take indentation begin node

Recalculate p(6) with equations (4),(5).(6)

8) matches at jl

j Recalculate a(8). h(9) with New pressure profile

i(8 ) converge ?

¡eduction

Kuva 9. Vuokaavio mallin ratkaisemiseksi /14/

Kun tiedetään paine- ja kitaprofiilit voidaan voima laskea integroimalla paine ja kitka voima jakaumaa

P = f а{в) + т(в) tan ß\i6. (63)

J cosÇ

Malli eroaa perus influence function methoddla tehdyistä malleista periaatteessa kolmesta syystä:

(1) Aihion elastinen muodonmuutos syöttö- ja jättöalueilla on otettu huomioon

(2) Valssin profiili- iterointisilmukka on otettu perussilmukaksi, jolloin eri alueiden rajat tarkoittivat suoraan valssin rajoja.

(3) Uusi laskentamalli, jossa ei tarvitse etukäteen päättää menettelytapaa ja laskentametodia

Vaikka Fleck ja Johnson -mallilla on saavutettu käyttökelpoisia tuloksia, siinä oli vielä vajaavaisuuksia kuten:

(1) Aihion elastiset muodonmuutosalueet syöttö- ja jättöalueilla on laiminlyöty. Tämä johtaa siihen, että kuorma (load) voi olla todellista alhaisempi

(2) Painejakaumasilmukka on perussilmukka, joka johtaa siihen, että eri alueiden rajat pitää arvioida ylimääräisellä iterointisilmukalla, jolloin joissain tilanteissa iteraatio ei konvergoi

(3) Ratkaisu on jaettu kolmeen eri kategoriaan a. Ei neutraalia tasaista aluetta

b. Pieni neutraali tasainen alue ja kaksi painehuippua c. Iso neutraali tasainen alue ja kaksi painehuippua

Tämä johtaa siihen, että ennen kuin voidaan laskea tietty valssaustapaus pitää päättää mihin tapaukseen näistä kolmesta (a, b vai c) kyseinen tapaus kuuluu.

Kyseisen mallin vahvuus perustuu siis siihen, että siinä on vaihdettu perusiterointisilmukka, jolloin se kuvaa suoraan valssin kohtia eli eri alueiden rajoja, jotka normaalisti on laskettu aihion suhteen. Tämän ansiosta ei tarvita ylimääräistä silmukkaa rajojen hakemiseen. Myöskään ei tarvitse arvuutella mihin tapaukseen (Kategoria I,II vai III) kyseinen tapaus kuuluu, koska valssin profiilista saadaan suoraan tarvittava tieto, josta seuraa ettei etukäteen tarvitse päättää edellä mainittua tapausta ennen laskennan aloittamista. Laskentaproseduuri on siis sama kaikille tapauksille.

Mallilla on mahdollista ratkaista sekä ohuen kalvon tapauksia, että myös tempervalssaustapauksia, joissa reduktio on pieni.

32

2.3.5 Nopea ja vakaa laskentamalli metallin valssaukseen

Monilla esitetyillä malleilla on vaikeuksia konvergoinnin suhteen, sekä niiden ratkaiseminen on raskasta ja aikaa vievää, joten artikkelissa /4/ on esitetty uusi toimintatapa ratkaista valssausongelma. Malli perustuu ajatukselle, että se yhdistää sekä analyyttisiä, että laskennallisia menetelmiä aihion plastisen muodonmuutoksen laskemiseksi. Tällöin voidaan tuottaa tehokas ja nopea algoritmi, jota voitaisiin käyttää reaaliaikaiseen prosessin ohjaamiseen. Malli ottaa huomioon myös valssin litistymisen ja kirjoittajien (A E Dixon, WYD Yuen) mukaan on luultavimmin ensimmäinen kerta, kun tämä otetaan mukaan malliin, jota käytetään toiminnassa olevassa sovelluksessa.

Malli käsittelee erikseen tapaukset, joissa valssin muodonmuutos on elliptistä ja tapauksen, jossa se ei ole enää elliptistä esittäen näille molemmille tapauksille yhtälön kehittämisen.

2.3.6 Pinnankarheuden huomioiva kitamallija sovellus tempervalssaukseen /15/

Perustuu Yuen /10/ tempervalssausmalliin. Perustavana ajatuksena on, että kun reduktio on pieni, eivät valssi ja aihio ole aina täydellisessä kontaktissa keskenään kidan alueella, koska pinnat eivät ole täysin tasaiset (Kuva 10).

Kehitetty malli on laskennallisesti tehokas ja verrattavan vahva. Mallissa on yhdistetty Dixonin ja Yuenin aikaisemmin kehittämät analyyttiset ja numeraaliset menetelmät tempervalssauksen /10/ kitamallille ja Sutcliffem esittämät kontaktin karheusmallit (/16/ja/17/).

Roll with Asperities Contact Regions

Kuva 10. Kontakti aihion ja valssin välillä /15/

2c

Kuva 11. Murskautuneita ”karheuspiikkej ä” /15/

Kontakti ei siis ole täydellinen. Prosentuaalista kontaktipintaa täydellisen kontaktin suhteen voidaan arvioida seuraavasti (Kuva 11):

A = — . (64)

c

Toisaalta ”karheuspiikit” murskautuvat paineessa, joten pelkkä prosenttiosuusarviointi, ei ole pätevä. Keskimääräinen valssinpaine yli yhden karheusaallonpituuden p ja pitkittäissuuntaisen jännityksen crx voidaan määritellä seuraavasti:

p + ax = Y(\ + AxcxF(</>)/h) = Y, (65) jossa

Ф =

2 Y A

h = nauhan paksuus, Y = Myötöjännitys,

ф = ”fan-angle”,

F{(¡)) = Saadaan taulukoista/17/,

(66)

Y = Tehollinen myötöjännitys.

Tehollinen myötöjännitys on siis alempi pinnankarheuksien johdosta kuin materiaalin normaali myötöjännitys.

Hillin /18/ mukaan ennen kuin tapahtuu mitään aihion/nauhan venymää pinnankarheudet murskautuvat kontaktipaineen takia.

34

p = P/ = Y( 1 + я/2-в). (67)

Jos tämä yhtälö korvataan edellä mainitulla yhtälöllä (65), voidaan laskea aihion/nauhan plastisen muodonmuutoksen prosentuaalinen kontaktiala alussa.

Kontakti alan muutokset voidaan laskea käyttäen keskipainetta ja paksuusvaihtelua.

Edellä kuvailtu pinnankarheusmalli voidaan nyt yhdistää tempervalssausmalliin.

, d<Jr , _\dh

h +{crx+p) +2g = 0,

dx dx (68)

(crx +p) = Y , (69)

q = ±№- (70)

Kehitetyssä mallissa otetaan siis huomioon pinnankarheuden vaikutus laskettaessa valssausvoimaa. Pinnankarheudet pienentävät todellista kontaktialaa, joten jos niitä ei oteta huomioon ennustettu eli laskettu valssausvoima voi olla liian suuri.

2.3.7 Polynomin muotoinen kontaktimalli teräksen valssausprosessin ohjaamiseen /19/

Stefan Fuchshumer, Kurt Schlacher ja Georg Keintzel esittelevät artikkelissa /19/

valssauksen ohjaukseen soveltuvan mallin, joka huomioi valssien elastisen muodonmuutoksen. Mallissa on kiinnitetty erityisesti huomiota siihen, että se olisi laskennallisesti mahdollisimman tehokas ja nopea.

upper work roll

lower work roll

Kuva 12. Kidan muoto mallissa /19/

F

Kuva 13. ”Valssausongelma” /19/

Malli perustuu Rayleigh- Ritz menetelmään, jolloin voidaan määritellä säteen ja kehän muotofunktiot siirtymäkentille eli siirtymille, jotka voidaan yhdistää yleisiin koordinaatteihin.

Ratkaisun tarkkuus määrittyy valittujen muotofunktioiden mukaan. Valssin siirtymille malli käytti ”ansatz”- funktioita.

Aihion malli perustuu metallin muovauksen klassiseen malliin, jossa jaetaan nauha osiin joille pätee tasomuodonmuutostila (classical stripe model). Mallin perusajatuksena on, että tasomaiset aihion sektiot pysyvät tasomaisina koko kidan ajan.

Tämä tuottaa yhtälöt aihion plastisen ja elastisen muovautumisen alueille.

Kidan malli annetaan implisiittisinä algebrallisina joukkoina yhtälöitä, joiden arviointi tai ratkaisu vaatii yhtälöiden numeerista integroimista. Malli voidaan helposti muokata vastaamaan erilaisia vaatimuksia.

36

2.3.8 Likimääräinen keino folion valssauksen “influence function”- menetelmän ratkaisemiseksi /9/

T. A. M. Langlands, D. L. S. McElwain, S. A. Dom anti esittävät artikkelissaan /9/

likimääräisen keinon valssausongelman ratkaisemiseksi. Malli perustuu Fleck /6/

esittämään teoriaan. Tämä malli on kuitenkin laskennallisesti tehoton ja vaati iteroivia ratkaisu tekniikoita. Tasaiselle alueelle on esitetty uudenlainen ratkaisumenetelmä, joka perustuu ”Inverse Hilbert Transform” - menetelmän käyttöön.

Malli on käyttökelpoinen, vaikka tasaista (flat region) ei olisi olemassa.

Fleck ja Johnson /6/ esittämässä teoriassa on todelliseen prosessiin verrattuna monia puutteita, kuten lämmönsiirto, valssien nopeus ja plastinen muodonmuutos. Kyseinen malli sisältää myös ongelmia numeerisen ratkaisun suhteen, mikä estää sen käytön reaaliaikaisen prosessin ohjaamiseen. Esitetty malli ei ole vielä täydellinen, mutta siihen voidaan ottaa mukaan muokkauslujittuminen, sekä muuttuvan kitkan malli.

3. Valssauksen simulointi FE- menetelmällä

FE- menetelmä eli finite element method perustuu osittaisdifferentiaaliyhtälöiden likimääräisen ratkaisun löytämiselle. Menetelmän juuret voidaan jäljittää jo 1940- luvulle, jolloin A. Hrennikoff (1941) and R. Courant (1942) esittelivät teorian.

Valssausta on simuloitu FE- menetelmällä pitkään. Ensimmäisiä simulointeja suoritettiin jo 70 luvulla (Taulukossa 4).

Kun valssataan pitkää ja ohutta materiaalia eli kontakti pituuden ja leveyden suhde on tarpeeksi pieni, valssausongelma on etupäässä kaksiulotteinen (Reunojen osalta ongelma on monimutkaisempi). Jos vielä kidan pituuden suhde paksuuteen on suuri, monia ongelmia voidaan kuvatasopa yksiulotteisesti /20/.

Tempervalssaustilanteessa muokkautuminen on riippuvainen pystysuunnasta, jolloin yksiulotteiset mallit eivät kuvaa sitä enää oikein. Tällöin joudutaan käyttämään kaksiulotteisia tasomuodonmuutosmalleja. /20/

Valssauksen simuloinnissa on monia yhtäläisyyksiä monien muiden metallin muokkaus simulointien kanssa, kuten plastisuus, lämpötilasta riippuvat ominaisuudet ja kontakti ilmiöt, mutta se myös eroaa monista prosesseista esimerkiksi pyörivien valssien myötä.

Myös kitkan ja kontaktin vaikutus on suuri. Esimerkiksi kitkan tulee olla tarpeeksi suuri, jotta kappale ”imeytyy” kitkavoiman ansioista kitaan. Valssien pyörimisliikkeeseen ja siitä johtuviin ilmiöihin tuleekin kiinnittää erityistä huomiota simulointeja suoritettaessa. Käytettäessä FE- menetelmää voidaan valita monesta eri lähestymistavasta parhaiten sopiva (Taulukossa 3).

38

Taulukko 3. FEM menettelytapoja

Approach Application

Eulerian Fast and simple approach for steady state heat and material flow

Updated Eulerian Analysis of the start-up condition

Total Lagrangian Accurate stress distribution, calculation of the elastic springback and (elastic) roll flattening

Updated Lagrangian Accurate stress distribution, calculation of the elastic springback and (elastic) roll flattening

mixed Eulerian

Lagrangian methods Large grid distortion. Rezoning is usually involved

Taulukko 4. Kylmävalssaus simulointeja /8/

Year Authors Dimensions

Material model

Roll

model Formulation

1975 Oh, Kobavashi 3 Rigid plastic Rigid bod>' Eulenan

1976 Tozawa, Nakamura, Ishikawa 3 Rigid plastic Rigid bod)- Eulerian

Ishikawa, Nakamura. Tarawa 3 Rigid plastic Rigid bod)- Eulenan

1978 Zienkiewicz. Jam, Ouate 2 Viscoplastic Rigid bod)' Eulerian

Dawson, Thompson 2 Elastoviscopiastic Rigid body Eulerian

1979 Atreva. Lenard 2 Rigid plastic Elastic Eulenan

1980 Shima, Mori, Oda, Osakada 2 Rigid plastic Rigid bod)- Eulerian

Ishikawa, Nakamura, Tarawa 3 Rigid plastic Elastic Eulenan

1982 Ц Kobayashi 2 Rigid plastic Rigid body Eulenan and

Lagrangian

Thompson 2 Elastoviscopiastic Rigid body Eulerian

Mori, Oskada, Oda 2 Rigid plastic Rigid bod)’ Eulenan and

Lagrangian

Mori, Osakada 3* Rigid plastic Rigid bod)- Eulerian

Li, Kobayashi 3* Rigid plastic Rigid bod)' Lagrangian

1984

Tozawa, Ishikawa, Iwata Kiefer

3 3t

Rigid plastic Elastic Eulerian

Li, Kobayashi Mori, Osakada

3*

3*

Rigid plastic Rigid plastic

Rigid body Rigid bod)’

Lagrangian Hitakawa, Fujita, Kamara.

Yamada

2 Elastic plastic Rigid bod)' Lagrangian

Yanta, Mallett, Lee 2 Elastic piastre Rigid bod)’ Lagrangian

1985 Liu, Harriet, Stegess. Rowe 2 Elastic plastic Rigid bod)- T Agi’an^ian

1986 David, Bertrand, Cheuot 3t Vrscoplastic Rigid body Lagrangian

Liu. Harriet, Stegess. Rowe 3t Elastic plastic Rigid bod)’ Lagrangian

1987 Dawson 2 Vrscoplastic Rigid bod)' Eulerian

Liu, Harriet, Sturgess, Rowe 3t Elastic plastic Rigid bod)’ Lagrangian

Mori, Osakada, Nikaido, Naoi, Aburatani

3* Rigid plastic Rigid bod)' Lagrangian

1988 Hwu. Lenard 2 Rigid plastic Elastic Eulenan

Liu, Harriet, Stegess. Rowe 3t Elastic plastic Rigid bod)- Lapanaan

1991 Iguchi, Yarita 3 Rigid plastic Rigid bod)’ Eulenan

1992 Giatacos. Montmitonnet, Fmmholz C benot

2 Elastic plastic Elastic Lagrangian

Yamada, Ogawa, Ataka 3 Rigid plastic Elastic Eulenan

Yanagrmoto. Kiuchr 3 Rigid plastic Elastic Eulerian

1993 Kihara. Shew Arzawa 2 Elastic plastic Elastic Boundary

element

1994 Lin Huang 3 Elastic plastic Rigid bod)- Lagrangian

Giatacos, Montmitonnet, Fmmholz, Chenot

2 Elastic plastic Elastic Lagrangian

Laskentatehojen kasvaminen on mahdollistanut entistä tarkempien simulointien suorittamisen. Tempervalssauksessa reduktiot ovat erittäin pieniä ja ilmiöt tapahtuvat lokaalisti, joka asettaa simulointi mallille tietyt vaatimukset. Jotta kitapituutta voitaisiin arvioida tarkasti, tulee laskentaverkon olla erittäin tiheä, sekä simulointiajan riittävän pitkä. Tämä merkitsee sitä, että laskenta-aika on suhteellisen pitkä. Jotta laskenta-aika pysyisi järkevänä ja laskentaverkosta saataisiin riittävän tiheä, voidaan simuloinnit suorittaa 2D:ssä. Lämmönsiirto on jätetty pois, koska sen mukaan ottaminen olisi lisännyt laskenta-aikaa ja sen merkitys tulosten kannalta arvioitiin pieneksi.

40

3.1 ABAQUS

Abaqus (6.6) on kaupallinen elementtimenetelmä ohjelmisto. Perinteisesti se soveltuu parhaiten rakenneanalyyseihin, mutta tarjoaa kattavan valikoiman tapoja mallintaa myös monia muitakin ilmiöitä.

Koska laskenta-aika tempervalssaussimuloinneissa on suhteellisen pitkä, on massaskaalaus houkutteleva vaihtoehto nopeutta laskentaa. Artikkelissa /21/ on tutkittu massaskaalauksen vaikutusta valssausprosessin simuloinnissa ja havaittu, että massaskaalauskerrointa 100 voidaan vielä käyttää niin, että tulokset pysyvät lähes muuttumattomina. Massaskaalauskerrointa pohdittaessa tulee kuitenkin suorittaa koesimulointeja, koska kertoimen suuruus riippuu myös käytetystä nopeudesta.

V alssaussimulointej a voidaan pitää ”quasi-static”- simulointeina, jolloin massaskaalauksen käyttö ylipäätään on mahdollista, jos valssausnopeus kasvaakin liian suureksi voi olla ettei massaskaalausta voida enää käyttää.

Toinen laskentaa nopeuttava keino on suurentaa pienimmän elementin pituutta.

Eksplisiittisissä simuloinneissa laskenta-aika riippuu suoraan pienimmän elementin sivun pituudesta. Toisaalta elementin kokoa ei voida suurentaa liikaa, koska tällöin ratkaisun tarkkuus heikkenee.

3.2 Verkon tiheyden vaikutus simulointi tuloksiin

Simuloinnin parametrit on esitelty taulukossa 5. Taulukossa 6 on kahden käytetyn eri verkon elementtien minimipituudet. kuvassa 14 ja kuvassa 15 on esitetty verkon tiheyden vaikutus ratkaisun tarkkuuteen.

Taulukko 5. Käytetyt parametrit simuloinnissa

R (Valssi) 125 (mm) h(Nauha) 0,82 (mm) Reduktio (%) <1%

CAREA

Kuva 14. Verkon tiheyden vaikutus kontaktiin

Valssausvoima [N]

ro

E

"5

>

1.00E+02 0.00E+00 -1.00E+02 -2.00E+02 -3.00E+02 -4.00E+02 -5.00E+02 -6.00E+02 -7.00E+02 -8.00E+02

—I I

i) 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 "ÜTÍ4 0,16 Ö,W---Ü2

—•—Suurempi pituus 1

—— Suurempi pituus 2 Tiheämpi verkko 1

——Tiheämpi verkko 2

,r.\

■ У

Aika [s]

Kuva 15. Verkon tiheyden vaikutus valssausvoimaan

42

Taulukko 6. Elementtien koko

Elementin pienin pituus ~ (mm) Nauha Valssi

Suurempi pituus 0,1 0,05

Tiheä verkko 0,01 0,02

Kuten kuvista 14 ja 15 nähdään, laskentaverkko on riittävän tiheä tapauksessa

”Suurempi pituus”. Verkon tihentäminen ei siis tästä enää tarkenna ratkaisua vaan pidentää vain laskenta- aikaa. Käyriä on kaksi per tapaus. Toinen kuvaa kontaktissa olevan valssin ja toinen nauhan pintaa. Näiden tapausten ero voi johtua siitä, millä kriteerillä elementtien oletetaan olevan kontaktissa ja millä erillään.

3.3 Simuloinnit

Simulointien tarkoituksena oli löytää eri tapauksissa kontaktipituus, sekä voima ja verrata saatua arvoa teoriaan ja mitattuihin tuloksiin.

3.3.1 Materiaalit

Simuloinnit suoritettiin kolmella eri materiaalilla. Kaikkien muokkauslujittumiskäyttäytymiset perustuivat DC01 - teräksestä saatuihin vetokoetuloksiin. Ensimmäinen materiaali oli DC01 (1608). Materiaalimalli rakennettiin valitsemalla jännitys/venymä- käyrästä tarvittava määrä pisteitä (Kuva 16).

Muut kaksi materiaalia olivat muuten samat kuin ensimmäinen, mutta niiden lujuutta muutettiin valitsemalla myötölujuudeksi hieman vetokoetuloksia korkeammat arvot.

Taulukko 7. DC01 kemiallinen koostumus (% enintään)

c [%] M n i%l P [%]

DC01 0,12 0,6 0,045

Jännitys/Venymä- käyrä

450 400

<Л 350

& 300

C

250

J 200

-o 150 I-o

100 50

0

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

Todellinen Venymä

Kuva 16. Materiaalin DC01 jännitys/venymä- käyrä

44