2 log B τ 0 testattaessahypoteesia H 0

MTF/Tilastotiede

Tilastollinenpäättely2;Harj.5; 10.10.2014

1. Ratkaiseedelliskerranharjoitustenkohdat 4bja.

2. Luentojen HUS-esimerkissäesitettiin muunnetutBayesintekijät

2 log B τ 0

testattaessahypoteesia

H ⁰

vs.

H τ

^,missämuutoskohta

τ

^{voisaadaarvoja}

1, ...., n − 1

^{.Määritäeri}hypoteesejavastaavatreunaus- kottavuudet

p(y|H τ )

simuloimalla käyttäen harmonisen keskiarvon menetelmää, kun

α = β = 0.01

^.

Määritämyös'tarkat'numeerisetarvot.

3. Raamatussamainittujen14ensimmäisen ihmiseniätovat

930 912 905 910 895 962 365 969 777 950 600 438 433 464

Oletetaan, että ikänoudattaa jakaumaa

N(µ ¹ , τ 1 ⁻¹ )

ensimmäisellä

k

^{henkilöllä ja lopuilla jakaumaa}

N (µ ² , τ 2 ⁻¹ )

^.Hypoteesia

H k

^{,ettämuutostapahtuu}

k

^{:nnenhenkilönjälkeen,vastaasiisdiskreettipara-}

metri

k

^{,jokavoisaadaarvoja}

1, ..., n

^,missä

n = 14

^.Hypoteesi

H n

^vastaatilannetta,ettäkäännekohtaa eiaineistossaole.Oletetaankaikilleparametreille,

µ ¹

^,

µ ²

^,

τ ¹

^ja

τ ²

priorijakaumaksiepäinformatiivinen Gamma

(0.001, 0.001)

^.

a)MääritäBUGS:llaposterioriodotusarvotparametreille

µ ¹

^ja

µ ²

^sekäposterioritodennäköisyydethy- poteeseille

H k

^{.Huomaa,ettäBUGS:in(jamyösJAGS:in)}parametroinnissanormaalijakaumantoinen parametriontarkkuus(varianssinkäänteisluku)

τ

^.

b)Toistaanalyysiolettaen,että7.havainto(Henok)onsensuroituoikealta.Ts.oletetaan,että

y 7 > 365

^.

4. Olkoon

y = (y 1 , ..., y n )

^otosnormaalijakaumasta

N (µ, σ ² )

^{,missämolemmatparametritovattuntemat-}

tomia.Oletetaanepäaitopriorijakauma

p(µ, σ ² ) ∝ 1/σ ²

^{.Määritäuudenhavainnon}posterioriennuste- jakauma

p(˜ y|y)

a) integroimalla:

p(˜ y|y) = Z ^∞

0

Z ^∞

−∞

p(˜ y|µ, σ ² )p(µ, σ ² |y)dµdσ ²

b) hyödyntämälläyhtälöä

p(˜ y|y) = p(θ|y)p(˜ y|θ) p(θ| y, y) ˜ ,

missä

θ = (µ, σ ² )

^.

5. Allaolevassataulukossaon25.syyskuuta1988tehtyjenYhdysvaltainpresidentinvaalienkannatuskyse-

lyjentuloksetennenvaaliväittelyäjasenjälkeen.Kummassakintapauksessakysyttiin639äänestäjältä

(erihenkilötennenjajälkeen).Olkoon

α j 1 , j = 1, 2,

^Bushinja

α j 2

^Dukakisinkannattajienosuusja

α j 3

mielipiteettömienosuus

j

^{:nnenkyselynaikoihin.Aseta}epäinformatiivisetpriorijakaumatparametreille ja simuloi niidenposteriorijakaumaa.Laske posterioritodennäköisyydet seuraaville väitteille: 1) Mie-

lipiteettömien osuusväheni vaaliväittelyn jälkeen2) Bushinkannattajienosuus väheni vaaliväittelyn

jälkeenja 3) Bushinkannattajienosuusmielipiteellisistä äänestäjistä(niistä jotka aikovat kannattaa

jokoBushiataiDukakista)väheni.

Kysely Bush Dukakis Ei mielipidettä/muu Yhteensä

ennenväittelyä 294 307 38 639