W 0 ja arvo hetkel-

(1)

Tenttikysymykset

2012, Marraskuu 5

Tehtävät1-4kuuluvataineopintojententtiin jatehtävät1-5kuuluvatsyven-

tävien opintojen tenttiin.

1. Määrittele eurooppalainen osto-optio (all option) ja eurooppalainen

myyntioptio (put option).

2. Johda arbitraasivapaa hintafutuurille.

3. Tarkastellaan rahastoa

A

^, ^jonka ^arvo ^hetkellä

0

^on

W ⁰

^ja ^arvo ^hetkel-

lä

1

^on

W ¹

^. ^Oletetaan, ^että ^rahaston

A

bruttotuotto

U ^A = W ¹ /W ⁰

toteuttaa

EU ^A = 1 + µ,

^Var

(U ^A ) = σ ² ,

missä

µ, σ > 0

^. Muodostetaan portfolio

B

^hetkellä

0

^siten, ^että ^laina-

taan

kW ⁰

^pankista^korolla

r > 0

^ja sijoitetaan

(1 + k)W ⁰

^rahastoon

A

^,

missä

k > 0

^.^Portfolion

B

^arvo^hetkellä

0

^on^siis

W ⁰

^ja^hetkellä

1

^se ^on

W 1 ^B = (1 + k)W ⁰ U ^A − (1 + r)kW ⁰ .

(a) Laskeportfolion

B

^tuoton

U ^B = W 1 ^B /W ⁰

^odotusarvo^ja^varianssi.

(b) Osoita, että rahastolla

A

^ja portfoliolla

B

^on^sama ^Sharpen ^suh-

deluku.

4. Tarkastellaan portfoliota, jossa osakeen

S t ¹

^osuus ^on

1 − b

^,

b ∈ R

, ja osakkeen

S t ²

^osuus ^on

b

^. ^Tarkastellaan yhden askeleen portfolion valintaa ja oletetaan,että

E(S 1 ¹ /S 0 ¹ ) = 1 + µ ¹ ,

^Var

(S 1 ¹ /S 0 ¹ ) = σ 1 ² ,

E(S 1 ² /S 0 ² ) = 1 + µ ² ,

^Var

(S 1 ² /S 0 ² ) = σ 2 ² ,

(2)

Cov

(S 1 ¹ /S 0 ¹ , S 1 ² /S 0 ² ) = σ ¹² .

Johda

b

^kunmaksimoidaan Markowitzin kriteeriä

ER ¹ − γ

2

^Var

(R ¹ ),

missä

R ¹ = W ¹ /W ⁰ − 1 = (1 − b) S 1 ¹ /S 0 ¹ − 1

+ b S 1 ² /S 0 ² − 1

ja

W ⁰

^,

W ¹

^ovat^portfolion ^arvot^hetkellä

0

^ja

1

^.

HUOM. Tehtävä5 kuuluu vain syventävien opintojententtiin.

5. Anna rekursiivinen kaava, jolla amerikkalaisen myyntioption (put op-

tion) arbitraasivapaa hintavoidaanlaskea.

W 0 ja arvo hetkel-

A

0

W 0

1

W 1

A

U A = W 1 /W 0

EU A = 1 + µ,

(U A ) = σ 2 ,

µ, σ > 0

B

0

kW 0

r > 0

(1 + k)W 0

A

k > 0

B

0

W 0

1

W 1 B = (1 + k)W 0 U A − (1 + r)kW 0 .

B

U B = W 1 B /W 0

A

B

S t 1

1 − b

b ∈ R

S t 2

b

E(S 1 1 /S 0 1 ) = 1 + µ 1 ,

(S 1 1 /S 0 1 ) = σ 1 2 ,

E(S 1 2 /S 0 2 ) = 1 + µ 2 ,

(S 1 2 /S 0 2 ) = σ 2 2 ,

(S 1 1 /S 0 1 , S 1 2 /S 0 2 ) = σ 12 .

b

ER 1 − γ

2

(R 1 ),

R 1 = W 1 /W 0 − 1 = (1 − b) S 1 1 /S 0 1 − 1

+ b S 1 2 /S 0 2 − 1

W 0

W 1

0

1

W ⁰

W ¹

U ^A = W ¹ /W ⁰

EU ^A = 1 + µ,

(U ^A ) = σ ² ,

kW ⁰

(1 + k)W ⁰

W ⁰

W 1 ^B = (1 + k)W ⁰ U ^A − (1 + r)kW ⁰ .

U ^B = W 1 ^B /W ⁰

S t ¹

S t ²

E(S 1 ¹ /S 0 ¹ ) = 1 + µ ¹ ,

(S 1 ¹ /S 0 ¹ ) = σ 1 ² ,

E(S 1 ² /S 0 ² ) = 1 + µ ² ,

(S 1 ² /S 0 ² ) = σ 2 ² ,

(S 1 ¹ /S 0 ¹ , S 1 ² /S 0 ² ) = σ ¹² .

ER ¹ − γ

(R ¹ ),

R ¹ = W ¹ /W ⁰ − 1 = (1 − b) S 1 ¹ /S 0 ¹ − 1

+ b S 1 ² /S 0 ² − 1

W ⁰

W ¹