Korkeakoulu Ehtamo/Ruokokoski

Teknillinen Korkeakoulu Ehtamo/Ruokokoski

Systeemianalyysin

laboratorio

Mat-2.1 05

Optimoinnin

^perusteet

Kirjoita

ensin alla mainitussa ^j ärj estyksessä koepapereihin selvästi -

Mat-2.i

05 Optimoinnin perusteet,

tentti

I 8.5.2006

- sukunimi, etunimi, (puhuttelunimi alleviivattuna) - opiskelijanumero, koulutusohjelma

ja

vuosikurssi - päiväys

ja allekirjoitus

l.

Tee lyhyesti selko seuraavista

optimointiin liittyvista

käsitteista (1p / kohta)

a) Pareto-optimaalinenportfolio : , ''

b) "Kyllä-ei" -rajoitus _,

^'

c)

Lineaarinen

ohjelmointi

d) Vektorin x normi

_llxll

e)

Positiivisesti

semidefiniitti matriisi Q ^r

^i.',

' r

^',,',

0

^Funktion

^f

^{arvoon c}

^liittyvä

^käyrä

2.

a) Kuvaile

jokin l-ulotteinen optimointialgoritmi.

(3p)

b) Vertaa lyhyesti toisiinsa sakkofunktio-

ja

estefunktiomenetelmää. Erityisesti, miten ne eroavat toisistaan? (3p)

3. Etsi optimointitehtävän

min

^(x,-6)2+

(xr-3)2 .

^'

se. xl-xr3\

^i"

-xt * xz=2

xr

)0

xr<5

ratkaisu geometrisesti.

Piinä

kuvaan rajoitusehdot, käypä alue

ja

kohdefunktion käyrät. Esitä välttämättömät Karush-Kuhn-Tuckerin ehdot

ja tutki

toteuttaako löytämäsi piste ne. (6p) 4. a) Tarkastellaan lineaarista optimointitehtävää:

min

^xt

_-

^xz

st. 2x,+3xr-\+x4 3xr+xr+4xr-2xo

-xt-xz+2xr+xo =

⁶

xl x2)x3

Kirjoita

tehtävää vastaava duaalitehtäva. (3p)

b) Etsi seuraavan

funktion

stationaariset pisteet

ja tutki

niiden laatu

(minimi,

maksimi, satulapiste) (3p)

-f

(x,y)

₌

xt

+

yt -3xy

_{._}

,j i: t ,t :

^'

Käännä!

(^ - '\ l ^r i

r

Teknillinen Korkeakoulu

Systeemianalyysin

laboratorio

Mat-2.105

Optimoinnin

^perusteet

5. Tarkastellaan optimointitehtävää

max

z

=2xt ^l-3xz

.r/.

^{2xr+ x,}

xt +2xz

\,xz>

⁰

EhtamolRuokokoski

I L o0 ⁴

2

öc) u5

'L\ oÖ 1t lr)

^t1

I7

^t5

l 5

7 i ^{-rr

111u \

lr ^o

^I

le

'/,< z'i

⁾

- _-lr lr 4 ^\

/z,o _i

a)d

o. (L

ÅJ

?l

1L

(to

^L{

'Lt ö '

⁰

1 1 []6

:

lo -i ^t,6

*) _{2 r0q} It0a

ö c

a) Kirjoita

ongelma standardimuotoon

ja

ratkaise tehtävä

simplex-algoritmillä

käyttäen aloituspisteenä

(x,xr)

₌ (0,0) . Perustele

kukin

työvaihe. (4p)

b)

Esita alkuperäisen tehtävä käypä alue graafisesti

ja piinä

samaan kuvaan simplex-algoritmin eteneminen. (2p)

II

v

{-"

6 ^o -q.,

Alfait4+

*) t lct ri' ⁵

,t

if ^+lo-tt

0

L t4

₀

l7ö

^|

,

^t{)

Ll ^I

i 'l

^r't

=, l.t't

'ö

lA\ |

nln

t" _{'. 1} ^dj

öi1

r {l

t

or

!1{

tn _ta

I

f,rvJ I4\

öt1 l4

l; _-{v

^$,

* L*, {t c-

^[r

rt(l \tFt

^Ö

*r 1-Q) | ()

^t4

t], dl

⁵

.--).,.'9t'ö'-o''.=__.--@

f.-

;4'1 '-';p, -

''''tt $'" ''t _"

-h n-3

^ö

7 11 o

^{-1

-f o-z | ^_3

ai .l '1 -; _{') t

$.

n

TL,|

-) L.'

t{q

i*

'L {r

t76

iU

I I-

0

ti ,\y

I

r-\

I

f t{\-q t

_O

1- i /

^f)

ltöf

^;-

{.1

's

1'-s o ^o

qr

Är

It

(t

⁵⁾

(' r(\

c)l

Lr6

rr