MAT-10333 Insinoorimatematiikka C3 Tentti L4.3.2008
o Ei laskimia, ei omaa kirjallista materiaalia.
r Kdd,ntopuolella kaavakokoelma
1 . a ) o s o i t a , e t t d , f u n k t i o l l a f ( r ) : t -
" ' * 2 r * 4 o n k d d n t e i s f u n k t i o koko mddrittelyj oukossaan.
b) Mitri on (/-1)'(a) (kaanteisfunktion f-'(r) derivaatan arvo kohdassa r : 4 ) ?
2. Funktio a : f @): cosh(r) kuvaa vapaasti pd,dtepisteistddn riippuvaa ketjua. Kun pddtepisteet ovat suorallay:3. niin kuinka pitkd ketju on?
Vihjeitd: Ketju on symmetrinen y-akselin suhteen, kannattaa laskea ketjun puolikkaan pituus ja kertoa se kahdelia.
D ( s i n h ( r ) ) : c o s h ( r ) , D ( c o s h ( r ) ) - s i n h ( r ) , c o s h 2 ( r ) - sinh2(r) : t .3. Suppeneeko epdolecilinen integraali ja jos suppenee. niin mikd oli seri arvo
[ * , r _ " d ,
J O
4. Md,d,ritellAdn lukujono (a6) rekursiivisesti
o r : i , , o r : I j a o r , : a k - r . a k 2, k>3
ja muodostetaan tdstd kaksi sarjaa
sr : L"r, sz: t(-1)o-tou
k : l , k : i
a) Osoita suhdetestilld, ettd molemmat sarjat suppenevat.
b) Osoita. ettd, sarjan 51 summan arvo < 1.
c) Osoita, ettd sarian 52 summan aruo > j Vihje:
co
>, -' ^n, kun lql < 1
k - r q
. \ l -
v . . 1
< t f
I c : l {
, t -
Fi qi
+
itq) - i l c . i
i l
H a
(,
]JH
N
\:, ^iJ
- N
s
-P
' \i l -
a - r lo:l
= i l
rv d,. :
s ra (c f'- oo
F F _ _ _
r )
u
€
ti D-
i . l a . d
co c)
F r J
