-(t+;)z+i :' i:: - ' (r): 0 /(,) :{1'o<r<r' funktion :,i. ::tr*zg, : - Mat-l.

(1)

Matematiikan laitos Teknillinen korkeakoulu

Mat-l. 1131 Peruskurssi C3-I Tentti 19.72.2009

Kuusi

Täytä selvästi ioka'iseen uastauspaperi,i'n kaiwiotsaketiedot. Merkitse kurssikoodi-kohtaan opintojakson numero' nimi

ia

onko kyseessä

tentti

vai välikoe. Tutkinto-ohjelmakoodit

ovat

ARK, AUT, Bro, EST, ENtr, GMA, INF, KEM, KTA, _{KON, MAR)}_MTE?puu, _RRT,TFM, TIK) TLT, TUo, ..yT.

Kokeessa saa

käyttää funktiolaskinta,

_ei

muita

apuvälineitä. _Koeaikaon 4h.

1. Etsi kaikki

yhtälöiden

a) Ln(z) - ^1- ^itrf

²^,

b)

sin(.:)

: _-3i

kornpleksiset

ratkaisut

_muodossa

::tr*zg, missär,g

€IR..

2. Etsi

funktioiderr

a) 1lz.

b)

cos(:)

Taylorin sarjat kehityskeskuksena

: :,i. _Mitkä

_ovat_sarjojensuppenemissäteet?

3.

Laske

funktion

(

/(,) :{1'o<r<r'

|.

0

^muulloin.

2n-'iaksollinen Fourier-sarja.

Mikä

on

funktion / ^ja

^senFourier-sarjan yhteys

väliliä (tr,Jn).

Laske myös

f':n

Fourier-muunnos.

4' olkoon./: c '* ^c, ^f (r): _J(r+ia),

anaryyttinen funktio, ionka ^reaariosa

Re(,/(z)) - ^ra.

i:*:

^,f^:nimaginääriosa

ja

_perustele

_tarkåin,

_miksi_saamasi

funktio ./

^ontodella analyyt-

5.

Olkoon

!(z) ' :

₂₂

-(t+;)z+i

kompieksiarvoinen

funktio.

_Laskeintegraali

I" ^f @

^d,z,

kunkäyrä c

on positiiviseen _kier- tosuuntaan kerran

kierrettynä

a)

2 säteinen ymp54rä keskipisteenään odgo,

b)

1-säteinen ympyrä keskipisteenään _e,

c)

l-säteinen ympyrä keskipisteenään _L

-(t+;)z+i :' i:*: - '* (r): 0 /(,) :{1'o<r<r' funktion :,i. ::tr*zg, : - Mat-l.