Analyysi IV
Harjoitus 10, kevät 2003
1. Osoita, että jos f ∈L∞, g ∈L∞, silloin f g ∈L∞. 2. Todista Lemma 3.9.
3. Jos f ∈L1 ja g ∈L∞, silloin Z
|f g|dm≤dL1(f,0)dL∞(g,0).
4. Osoita, että jos mitallisten funktioiden jono{fn} suppenee kohden mitallista funk- tiota f mitan m suhteen, silloin {fn} on Cauchyn jono mitan m suhteen (Vihje:
Todista Antiteesin avulla).
5. Olkoonfn:R→R,
fn(x) =
½ 1/n , x∈[−n, n]
0 , muulloin. Suppeneeko {fn}
a) pisteittäin
b) mitan m suhteen
c)dLp-metriikan suhteen, kun 1≤p≤ ∞?
