Äärellisten ryhmien isomorfiatuloksia

(1)

Äärellisten ryhmien isomorfiatuloksia

Pro gradu -tutkielma Ville-Valtteri Nieminen 251476

Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto

3. marraskuuta 2021

(2)

Abstract

This master’s thesis considers finite groups. The key examples of finite groups can be constructed by congruence classes, permutations and cartesian pro- ducts of groups. The central issues of this thesis are especially the additive group Zn, and the multiplicative group Zp \ {[0]} consisting of congruence classes modulo p. The main result of the first part of the thesis shows that the group (Zp\ {[0]},⊙), where p is a prime, is cyclic. To prove this result, it is shown that every prime p has a primitive root. This requires Euler’s theorem, which is obtained as a by-product of group theory.

In the latter part of the thesis it is at first proven that every finite cyclic group G of order n is isomorphic to Zn. As one of the main results it is shown by using the principle of induction that if G is a finite abelian group of the order divisible by some prime p, then G contains an element of order p. As a corollary, every abelian group of orderpq, wherep and q are distinct primes, is isomorphic to Zpq. This generalizes the earlien result which states that Every group of order p, wherepis a positive prime, is isomorphic to the group Zp.

(3)

Tiivistelmä

Työssä tarkastellaan äärellisiä ryhmiä. Niitä voidaan muodostaa esimerkiksi jäännösluokista, permutaatioista ja ryhmien karteesisen tulon alkioista. Työn keskeisinä tarkastelun kohteina ovat erityisesti jäännösluokkien yhteenlasku- ryhmäZnja jäännösluokkien kertolaskuryhmäZp\ {[0]}. Työn ensimmäinen päätulos on, että ryhmä (Zp \ {[0]},⊙), missä p on alkuluku, on syklinen.

Siinä on olennaista, että jokaisella alkuluvullapon primitiivijuuri. Sen perus- telemiseen tarvitaan Eulerin lausetta, jolle saadaan todistus ryhmien teorian sivutuotteena.

Työn jälkipuolella todistetaan, että jokainen äärellinen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n, on isomorfinen yhteenlaskuryhmänZn kanssa. Työssä osoitetaan induktioperiaatetta käyttäen, että josGon äärellinen Abelin ryh- mä, ja jos p on alkuluku, joka on ryhmän G kertaluvun tekijä, niin ryhmä G sisältää alkion, jonka kertaluku on p. Tästä seuraa, että jokainen Abelin ryhmä, jonka kertaluku onpq, missäpjaqovat erilliset positiiviset kokonaisluvut, on isomorfinen ryhmän Zpq kanssa. Tämän yleistää työssä aiemmin todistetun lauseen "Jokainen ryhmä, jonka kertaluku on positiivinen alkuluku p, on isomorfinen ryhmän Zp kanssa".

(4)

Sisällys

1 Johdanto 1

2 Lukuteoriaa 1

2.1 Lukuteorian perusteita . . . 1

2.2 Kongruenssin perusteet . . . 3

2.3 Primitiivijuuri . . . 7

3 Ryhmä 10 3.1 Esimerkkejä ryhmistä . . . 11

3.1.1 Permutaatioryhmät . . . 11

3.1.2 Jäännösluokkaryhmät . . . 13

3.1.3 Tuloryhmät . . . 15

3.2 Ryhmien perusominaisuuksia . . . 16

3.3 Aliryhmät . . . 20

3.4 Isomorfismi . . . 23

3.5 Kongruenssirelaatio ryhmissä . . . 24

4 Äärellisten ryhmien luokitteluja isomorfisuuden suhteen 27 Lähteet 37 5 Liitteet 38 5.1 Liite 1 . . . 38

5.2 Liite 2 . . . 39

(5)

1 Johdanto

Luvussa 2 luodaan pohja työn peruskäsitteen, ryhmien, käsittelemiseksi. Ala- luvussa 2.1 esitetään lukuteorian perustuloksia ja alaluvussa 2.2 kokonaislukujen kongruenssin perusteet. Alaluku 2.3 on omistettu primitiivijuurelle ja sitä koskeville tuloksille, joiden avulla Eulerin Lause (Lause 2.28) voidaan todistaa ryhmäteorian kautta.

Luku 3 käsittelee ryhmiä ja niiden ominaisuuksia. Alaluvussa 3.1 esitel- lään esimerkinomaisesti kolme ryhmätyyppiä: permutaatio-, jäännösluokka- ja tuloryhmät. Alaluku 3.2 sisältää perustiedot ryhmien rakenteesta ja niihin liittyvistä käsitteistä sekä tarpeellisia ryhmiä koskevia aputuloksia. Alaluku 3.3 käsittelee aliryhmiä; ne ovat ryhmiä, jotka sisältyvät kokonaisuudessaan johonkin toiseen ryhmään. Siinä esitellään keskeinen aliryhmätyyppi, syklinen aliryhmä. Lause 3.27 antaa yleisen esimerkin syklisten aliryhmien muo- dosta. Alaluku 3.4 käsittelee tämän työn kannalta keskeistä ilmiötä, ryhmien isomorfisuutta, mikä tarkoittaa informaalisti sitä, että ryhmien rakenteet ovat samat. Ryhmät (G,∗) ja (H,⋄) ovat isomorfiset, jos ne voidaan kuvata toi- silleen bijektiolla f, ja f(a∗b) = f(a)⋄f(b) kaikilla ryhmän G alkioilla a ja b. Tällaista bijektiota kutsutaan isomorfismiksi. Luku sisältää työn ensim- mäisen äärellisiä ryhmiä koskevan isomorfiatuloksen. Alaluku 3.5 käsittelee kongruenssia moduloK, missäK on aliryhmä eikä luku. Sen tulokset pohjus- tavat luvun 4 alun tuloksia. Suuri osa lukujen 2 ja 3 aputoloksista esitetään ilman todistusta; ne pidetään tunnettuina algebran kurssilta.

Luvussa 4 jatketaan alaluvun 3.5 pohjalta esittämällä kaksi lausetta, joiden myötä voidaan esittää ja perustella Seuraus 4.3, joka on keskeinen tulos luokiteltaessa ryhmät, joiden kertaluku on alkuluku, 4 tai 6. Lopussa esite- tään äärellisten ryhmien peruslause ja luokitellaan sen avulla esimerkkinä 36 alkion ryhmät ryhmien suoran summan kautta. Lisäksi esitetään ja todistetaan kaksi tulosta koskien jäännösluokkaryhmien isomorfisuutta jäännös- luokkaryhmistä muodostettujen suorien summien kanssa.

2 Lukuteoriaa

2.1 Lukuteorian perusteita

Seuraavassa esitetään tunnettuina pidettäviä lukuteorian tuloksia, jotka luo- vat perustan ryhmiä käsitteleville tuloksille.

Määritelmä 2.1. Olkoot a ja b kokonaislukuja niin, että b ̸= 0. Tällöin sanotaan, että luku b jakaa luvun a, jos a = bc jollakin kokonaisluvulla c.

Tällöin kirjoitetaan b |a. Jos b ei jaa lukuaa, kirjoitetaan b∤a. [2, s. 6]

(6)

Määritelmän 2.1 mukaisessa tapauksessa voidaan sanoa myös, että luku b on luvun a tekijä. Voidaan sanoa myös, että luku a on jaollinen luvulla b.

Määritelmä 2.2. Olkootajabkokonaislukuja, joista ainakin toinen on muu kuin nolla. Lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on suurin kokonaisluku d, joka on sekä luvun a että luvun b tekijä. [2, s. 6]

Lukujen a ja b suurimmalle yhteiselle tekijälle käytetään merkintää syt(a, b).

Määritelmä 2.3. Kokonaislukujen a ja b lineaarikombinaatio on summa, joka on muotoa am+bn, missä m ja n ovat kokonaislukuja [4, s. 94].

Lause 2.4. Olkoot a ja b kokonaislukuja niin, että molemmat eivät ole nol- lia. Tällöin lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on niiden pienin arvoltaan positiivinen lineaarikombinaatio.

Todistus. [4, s. 95]. □

Lemma 2.5. Olkoon a|c ja b |c sekä syt(a, b) = d. Tällöin ab|cd.

Todistus. [2, s. 12] Lauseen 2.4 nojalla on olemassa lineaarikombinaatio au+bv =d,

missäujav ovat kokonaislukuja. Koskaa|cjab |c, niinc=sa =tbjoillakin kokonaisluvuilla s ja t. Nyt voidaan kirjoittaa

auc+bvc=cd⇔autb+bvsa=cd⇔(ut+vs)ab=cd,

missä (ut+vs)∈Z. Näin ollen ab|cd. □

Lemma 2.6. Olkoon syt(a, n) = 1 ja syt(b, n) = 1. Tällöin syt(ab, n) = 1.

Todistus. [1, s. 25] Koska syt(a, n) = 1 ja syt(b, n) = 1, niin Lauseen 2.4 nojalla 1 = ax+ny = bu+nv, missä x, y, u, v ovat kokonaislukuja. Tällöin voidaan kirjoittaa

1 = (ax+ny)(bu+nv) =ab(xu) +n(axv+byu+nyv).

Nyt xu ja axv+byu+nyv ovat kokonaislukuja, joten Lauseen 2.4 nojalla

syt(ab, n) = 1. □

(7)

Määritelmä 2.7. Kokonaislukua p >1 kutsutaanalkuluvuksi, jos sen jaka- vat ainoastaan luku 1 ja p itse. [1, s. 39]

Lause 2.8. Olkoon p kokonaisluku niin, että p ̸= 0,±1. Luku p on tällöin alkuluku jos ja vain jos kaikilla b, c∈Z on voimassa p|b tai p|c aina, kun p|bc.

Todistus. [2, s. 14]. □

Lause 2.9. Jokainen kokonaisluku n > 1 on joko alkuluku tai alkulukujen tulo, joka on tekijöidensä järjestystä vaille yksikäsitteinen.

Todistus. [1, s. 41]. □

2.2 Kongruenssin perusteet

Tarkastellaan kokonaislukujen jaollisuutta keskenään:

Lause 2.10. (Kokonaislukujen jakoyhtälö) Olkootajab kokonaislukuja, joista b > 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset kokonaisluvut q ja r niin, että a =bq+r, missä 0≤r < b.

Todistus. [2, ss. 2-4]. □

Jakoyhtälön mukaista lukua r kutsutaan jakojäännökseksi [2, s. 2].

Kun kokonaislukujena ja b erotus on positiivisen kokonaisluvunn moni- kerta, sanotaan, että a ja b ovat kongruentit modulo n:

Määritelmä 2.11. Olkoota,b jan kokonaislukuja niin, ettän > 0. Tällöin luku a on kongruentti luvunb kanssa modulo n, mikäli n on erotuksena−b tekijä. Tällöin kirjoitetaan a≡b (mod n). [2, s. 23]

Kongruenssi on ekvivalenssirelaatio [4, s. 147], eli sillä on seuraavan lemman mukaiset ominaisuudet.

Lemma 2.12. Olkoonnpositiivinen kokonaisluku. Tällöin kaikillaa, b, c∈Z ovat voimassa

(1) a≡a (mod n),

(2) jos a≡b (mod n), niin b≡a (mod n),

(3) jos a≡b (mod n) ja b ≡c (mod n), niin a≡c (mod n).

(8)

Todistus. [2, s. 24].

□

Lemma 2.13. Jos a ≡b (mod n) ja c≡d (mod n), niin (1) a+c≡b+d (mod n);

(2) ac≡bd (mod n).

Todistus. [2, s. 25]. □

Lemma 2.14. Olkoot a, b, c ja n kokonaislukuja niin, että n >1, syt(c, n) = 1 ja ac≡bc (mod n). Tällöin a≡b (mod n).

Todistus. [4, s. 149]. □

Kongruenssirelaatio liittää tarkasteltavaan lukuun muitakin lukuja kuin luvun itsensä [2, s. 25]:

Määritelmä 2.15. Olkoota,b jan kokonaislukuja niin, ettän > 0. Tällöin [a], luvun a kongruenssiluokka modulo n, on joukko, joka koostuu kaikista luvun a kanssa kongruenteista kokonaisluvuista modulo n, eli

[a] ={b|b ∈Z ja b≡a (mod n)}.

Kongruenssiyhtälöstäb≡a(mod n)saadaanb−a=kn, missäk on jokin kokonaisluku. Tästä saadaan edelleenb=a+kn. Näin ollen määritelmän 2.15 esitys kongruenssiluokalle voidaan kirjoittaa toiseen muotoon seuraavasti:

[a] ={b|b≡a (mod n)}={b|b =a+kn, k ∈Z}

={a+kn|k ∈Z}.[2, s.25].

Kongruenssiluokat ovat kongruenssirelaation ekvivalenssiluokkia [4, s. 147].

Niitä kutsutaan myös jäännösluokiksi.

Ekvivalenssirelaation ominaisuuksien nojalla on voimassa seuraava tulos:

Lemma 2.16. a≡ b (mod n) jos ja vain jos [a] = [b].

Todistus. [2, s. 26]. □

Seuraus 2.17. Kaksi kongruenssiluokkaa modulo n ovat joko erilliset tai identtiset.

(9)

Todistus. [2, s. 26]. □ Lemmasta 2.16 ja Lauseesta 2.10 voidaan johtaa seuraava tulos, jonka todistus antaa esimerkin kokonaislukujen jakoyhtälön merkityksestä.

Seuraus 2.18. On olemassa täsmälleen n erillistä kongruenssiluokkaa modulo n, nimittäin [0], [1], [2], . . . , [n−1].

Todistus. [2, ss. 26-27] Osoitetaan, että mitkään luvuista 0, 1, 2, . . . , n−1 eivät ole pareittain kongruentteja modulo n: Tarkastellaan kokonaislukuja s ja t, joille pätee 0 ≤ s < t < n. Näiden erotus t−s on lukua n pienempi kokonaisluku, joten n ei ole sen tekijä, ja tällöin s ja t eivät ole kongruentteja modulo n. Näin ollen mitkään luvuista 0, 1, 2, . . . , n−1 eivät ole pareittain kongruentteja, joten niiden määräämät kongruenssiluokat ovat ovat erilliset Lemman 2.16 nojalla. Osoitetaan lopuksi, että [0],[1],[2], . . . ,[n−1]

ovat kaikki kongruenssiluokat modulo n: Valitaan alkio a ∈Z. Luvulle a on Lauseen 2.10 nojalla voimassa a = nq +r, missä 0 ≤ r < n. Edelleen voidaan kirjoittaa a −r = nq, jolloin Lemman 2.16 nojalla [a] = [r]. Koska 0 ≤ r < n, on alkion a määräämä kongruenssiluokka jokin luokista [0], [1],

[2], . . ., [n−1]. □

Määritelmä 2.19. Kaikkien kongruenssiluokkien modulo n joukolle käyte- tään merkintää Zn [2, s. 27].

Esimerkki 2.20. a) Joukon Z5 viisi alkiota ovat [0], [1],[2], [3]ja [4].

b) Jokaisella joukon Zn alkioista on äärettömän monta esitystapaa [2, s. 27]. Joukossa Z⁵ pätee Lemman 2.16 nojalla [1] = [6] = [−4] = [16], koska 1≡6 (mod 5), 1≡ −4 (mod 5)ja 1≡16 (mod 5).

Määritelmä 2.21. Yhteenlasku ja kertolasku määritellään joukossaZn yh- tälöillä [a]⊕[b] = [a+b]ja [a]⊙[b] = [ab] [2, s. 31].

Huomautus 2.22. Laskutoimitus ei riipu ekvivalenssiluokan edustajan valin- nasta: Jos [a] = [b] ja [c] = [d], niin Lauseen 2.16 nojalla a ≡ b (mod n) ja c≡d (mod n). Lauseen 2.13 nojalla voidaan kirjoittaa

a+c≡b+d (mod n) ja ac≡bd(mod n).

Soveltamalla jälleen lausetta 2.16 saadaan

[a+c] = [b+d] ja [ac] = [bd]. [2, ss. 30-31]

Kun jäännösluokkajoukossa tehdään laskutoimituksia ja saadaan tulokseksi modulolukua suuremman alkion kongruenssiluokka, kirjoitetaan tulokseksi tämän luvun jakojäännöksen kongruenssiluokka [2, s. 30].

(10)

Esimerkki 2.23. Joukossa Z5 pätee[3]⊕[1] = [3 + 1] = [4], [3]⊕[3] = [3 + 3] = [6] = [1] ja [3]⊕[4] = [3 + 4] = [7] = [2].

Määritelmä 2.24. (Lineaarinen kongruenssi) Muotoa ax ≡ b olevasta kongruenssiyhtälöstä käytetään nimitystä lineaarinen kongruenssi. [1, s. 76]

Keskenään kongruenttien lineaarisen kongruenssin ratkaisujen kongruenssiluokat ovat samat Lemman 2.16 nojalla. Saman tuloksen perusteella tie- detään, että jos jokin luku on lineaarisen kongruenssin ratkaisu, niin myös kaikki sen kanssa samaan kongruenssiluokkaan kuuluvat luvut ovat kyseisen yhtälön ratkaisuja.

Lause 2.25. Lineaarisella kongruenssilla ax≡b (mod n) on ratkaisu jos ja vain jos d | b, missä d = syt(a, n). Jos d| b, niin kongruenssiyhtälöllä on d pareittain ei-kongruenttia ratkaisua modulo n.

Todistus. [1, ss. 76-77]. □

Seuraus 2.26. Jos syt(a, n) = 1, niin lineaarisella kongruenssilla ax ≡b (mod n) on yksikäsitteinen ratkaisu modulo n .

Todistus. [1, s. 77]. □

Kun syt(a, n) = 1, niin kongruenssin ax ≡ 1 (mod n) yksikäsitteistä ratkaisua voidaan kutsua luvun a käänteisluvuksi modulo n [1, s. 77].

Määritelmä 2.27. Olkoon n ≥ 1. Merkintä Φ(n) tarkoittaa niiden kokonaislukujen a lukumäärää, joille 1≤a≤n ja syt(a, n) = 1. [1, ss. 131, 22]

Lause 2.28. (Eulerin lause) Jos n ≥1 ja syt(a, n) = 1, niin a^Φ(n) ≡1 (mod n).

Todistus. [1, s. 137]. Luvussa 4 on esitettynä vaihtoehtoinen todistus ryh-

mäteorian kautta. □

Seuraus 2.29. (Fermat’n lause) Olkoon p alkuluku ja oletetaan, että p ∤ a.

Tällöin a^p−1 ≡1 (mod p) .

Todistus. [1, s. 88]. Tulos seuraa Eulerin lauseesta, kun luvuksi n valitaan

vain alkulukuja. □

Lause 2.30. (Gaussin lause) Olkoot n, d≥1kokonaislukuja, ja olkoond|n.

Tällöin luku n on on kaikkien positiivisten tekijöidensä Eulerin funktioiden arvojen summa, eli

n=∑︂

d|n

Φ(d).

(11)

Todistus. [1, ss. 141-142] Jaetaan luvut 1, . . . , n luokkiin: Olkoon d luvun n positiivinen tekijä. Valitaan lukujen 1 ja n väliltä kokonaisluvut m, joille syt(m, n) =d. Näin muodostuvat joukot

S_d={m|syt(m, n) =d ; 1≤m≤n},

jotka muodostavat lukujoukon {1, . . . , n} osituksen. Luvuille n ja m pätee syt(m, n) =d jos ja vain jossyt(^m_d,ⁿ_d) = 1. Tästä saadaan se tieto, että joukossa S_d on yhtä monta lukua kuin lukuja a,1≤a≤n, joille syt(a,ⁿ_d) = 1.

Tämä lukumäärä on Φ(ⁿ_d). Jokainen luvuista 1, . . . , n kuuluu täsmälleen yhteen luokista Sd, joten voidaan muodostaa kaava

n=∑︂

d|n

Φ(︂n d

)︂

.

Kaikki luvun n positiiviset tekijät tulevat käydyiksi läpi sekä luvulla d että luvulla ⁿ_d. Näin ollen voidaan kirjoittaa

∑︂

d|n

Φ (︂n

d )︂

=∑︂

d|n

Φ(d).

□

2.3 Primitiivijuuri

Määritelmä 2.31. Olkoonn > 1jasyt(a, n) = 1. Luvunakertaluku modulo non pienin positiivinen kokonaislukuk, jolla päteea^k ≡1 (mod n). [1, s. 147]

Lemma 2.32. Olkoon a kokonaisluku, jonka kertaluku modulo n on k. Täl- löin a^h ≡1 (mod n) jos ja vain jos k |h.

Todistus. [1, s. 148]. □

Lemma 2.33. Jos kokonaisluvun a kertaluku modulo n on k, niin aⁱ ≡a^j (mod n) jos ja vain jos i≡j (mod k).

Todistus. [1, ss. 148-149]. □

Seuraus 2.34. Jos luvun a kertaluku modulo n on k, niin kokonaisluvut a, a², . . . , a^k eivät ole kongruentteja modulo n.

Todistus. [1, s. 149] Oletetaan, että aⁱ ≡ a^j (mod n), missä 1 ≤ i ≤ j ≤ k.

Tällöin Lemman 2.33 nojalla i ≡ j (mod k), mikä on mahdollista vain jos

i=j, sillä |i−j|< k. □

(12)

Määritelmä 2.35. Jossyt(a, n) = 1, ja jos luvuna kertaluku modulo n on Φ(n), niin luku a on luvunn primitiivijuuri [1, s. 150].

Lause 2.36. Olkoon p alkuluku, ja olkoon

f(x) =a_nxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+. . .+a₁x+a₀

kokonaislukukertoiminen astetta n > 1 oleva polynomi, jonka johtotermin kerroin a_n ei ole jaollinen luvulla p. Tällöin polynomilla f(x) on enintään n ei-kongruenttia juurta modulo p.

Todistus.[4, ss. 355-356, 158] Käytetään induktioperiaatetta. Osoitetaan, et- tä väite pätee arvollan = 1: Polynomif(x)on tällöin muotoaa₁x+a₀, missä p ∤ a, ja sen juuri toteuttaa lineaarisen kongruenssin a₁x ≡ −a₀ (mod p).

Tällä on Lauseen 2.25 nojalla täsmälleen yksi ratkaisu modulo p, koska syt(a₁, p) = 1. Tämä ratkaisu on polynomin f(x) ainoa juuri modulo p, ja näin ollen väite pätee arvolla n = 1.

Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan väite pätee astetta

n−1oleville polynomeille. Olkoon f(x) astettan oleva polynomi, jossa a_n̸≡0 (mod p). Oletetaan nyt, että kongruenssillaf(x)≡0 (mod p)onn+1 ei-kongruenttia ratkaisua; olkoot nämäc0, c1, . . . , cn, joillef(ck)≡0 (mod p), missä k = 0,1, . . . , n. Tällöin

f(x)−f(c) =an(xⁿ−cⁿ) +an−1(xⁿ⁻¹−cⁿ⁻¹₀ ) +. . .+a1(x−c0)

=a_n(x−c₀)(xⁿ⁻¹+xⁿ⁻²c₀+. . .+xcⁿ⁻²₀ +xcⁿ⁻¹₀ ) +an−1(x−c₀)(xⁿ⁻²+xⁿ⁻³c₀+. . .+xcⁿ⁻³+cⁿ⁻²₀ +. . .+a₁(x−c₀)

= (x−c₀)g(x),

missä g(x)on astettan−1oleva polynomi, jonka johtotermin kerroin onan. Osoitetaan, että jokainen luvuista c₁, c₂, . . . , c_n on kongruenssin

g(x)≡0 (mod p) ratkaisu. Valitaan lukut∈ {1,2, . . . , n}. Nyt

f(c_t)−f(c₀) = (c_t−c₀)g(c_t)≡0 (mod p), (2.1) sillä kaikilla ct pätee f(ct) ≡ f(c0) ≡ 0 (mod p). Erotus ct − c0 ei ole kongruentti nollan kanssa modulop, koska oletuksen nojallac_t̸≡c₀ (mod p).

Näin ollen yhtälöstä (2.1) saadaan Lemman 2.14 nojalla g(c_t)≡0 (mod p), jolloin kaikki luvutctovat kongruenssing(x)≡0 (mod p)ratkaisuja. Nyt siis astettan−1olevalla polynomillag(x), jossaa_n ̸≡0 (mod p), onnjuurta, ja niistä mitkään eivät ole pareittain kongruentteja modulo p. Tällöin päädy- tään ristiriitaan induktio-oletuksen kanssa, joten induktioperiaatteen nojalla kongruenssilla f(x)≡0 (mod p)on enintään n ratkaisua modulop. □

(13)

Seuraus 2.37. Jos pon alkuluku ja d on luonnollinen luku, jolle d|(p−1), niin kongruenssilla

x^d−1≡0 (mod p) on täsmälleen d ratkaisua.

Todistus. [1, s. 153] Lukudon erotuksen p−1tekijä, joten on olemassa luku k, jolla päteep−1 =dk. Tällöin polynomix^p−1−1voidaan esittää muodossa (x^d−1)f(x), missä

f(x) =x^d(k−1)+x^d(k−2)+. . .+x^d+ 1.

Polynominf kertoimet ovat kokonaislukuja ja sen aste ond(k−1) = p−1−d.

Kongruenssille f(x) ≡ 0 (mod p) on olemassa enintään p−1−d ratkaisua Lauseen 2.36 nojalla. Kongruenssin x^p−1 −1 ≡ 0 (mod p) ei-kongruenttien ratkaisujen lukumäärän tiedetään Fermat’n lauseen (Seuraus 2.29) perusteella olevan täsmälleen p−1. Nämä ratkaisut ovat [1],[2], . . . ,[p−1].

Sijoitetaan kongruenssiinx^p−1−1≡0 (mod p)sen ratkaisux≡a(mod p), jolloin saadaan

0≡a^p−1−1 = (a^d−1)f(a) (mod p).

Mikäli p ∤ f(a), niin välttämättä p | a^d− 1 Eukleideen lemman [1, s. 24]

nojalla. Tästä nähdään, että kongruenssin x^p−1 ≡1 (mod p) ratkaisut, jotka eivät toteuta kongruenssia f(x) ≡ 0 (mod p), ovat välttämättä polynomin x^d−1juuria modulop. Niiden lukumäärä on vähintäänp−1−(p−1−d) =d ja edelleen Lauseen 2.36 nojalla enintäänd. Näin ollen ratkaisujen lukumäärä

on täsmälleen d. □

Lause 2.38. Jos p on alkuluku ja d | (p−1), niin on olemassa täsmälleen Φ(d)ei-kongruenttia kokonaislukua, joiden kertaluku modulo p on d.

Todistus.[1, s. 154-155] Olkoond|p−1. Käytetään lukujenk,1≤k ≤p−1, joiden kertaluku modulo p on d, lukumäärälle merkintää Ψ(d). Fermat’n lauseen (Seuraus 2.29) ja Lemman 2.32 nojalla jokaisen luvuista 1, 2, . . . , p−1 kertaluku on jokin luvun p−1 tekijä d. Tällöin voidaan kirjoittaa

p−1 = ∑︂

d|p−1

Ψ(d).

Toisaalta Lauseen 2.30 nojalla

p−1 = ∑︂

d|p−1

Φ(d),

(14)

joten voidaan kirjoittaa

∑︂

d|p−1

Ψ(d) = ∑︂

d|p−1

Φ(d) (2.2)

Osoitetaan seuraavaksi, että jokaisella d, joka on luvun p−1 tekijä, pätee Ψ(d)≤Φ(d), josta yhtälön (2.2) kanssa saadaanΨ(d) = Φ(d)̸= 0. Jokaisella luvulla don voimassa jokoΨ(d) = 0tai Ψ(d)>0. TapauksessaΨ(d) = 0 pä- tee varmastiΨ(d)≤Φ(d). Käsitellään tapaus Ψ(d)>0: Tällöin on olemassa lukua, jonka kertaluku on d, jolloin mitkään luvuistaa, a², . . . , a^d eivät ole keskenään kongruentteja modulo p Seurauksen 2.34 nojalla. Jokainen näistä d luvusta on kongruenssin

x^d−1≡0 (mod p)

ratkaisu, sillä kaikilla a^k pätee (a^k)^d ≡ (a^d)^k ≡ 1 (mod p). Seurauksen 2.37 nojalla muita ratkaisuja ei ole; jokainen luku, jonka kertaluku ondon välttä- mättä kongruentti yhden luvuista a, a², . . . , a^d kanssa. Näistä potensseista a^kovatΦ(d)sellaisia, joiden kertaluku ond. Tällöinsyt(k, d) = 1. Näin ollen lukuja, joiden kertaluku modulo p on d, on luvun Φ(d) verran, ja väite on

todistettu. □

Seuraus 2.39. Jos p on alkuluku, niin sillä on täsmälleen Φ(p − 1) ei- kongruenttia primitiivijuurta.

Todistus. [1, s. 155] Väite seuraa Lauseesta 2.38, kun valitaan d=p−1. □

3 Ryhmä

Määritellään aluksi ryhmän käsite [2, s. 153]:

Määritelmä 3.1. Ryhmä on epätyhjä joukko G, joka on varustettu laskutoimituksella ∗, siten, että seuraavat aksioomat toteutuvat:

1. Joukko G on suljettu operaation ∗ suhteen: jos a ∈ G ja b ∈ G, niin a∗b ∈G.

2. Liitännäisyys pätee, eli a∗(b∗c) = (a∗b)∗ckaikilla a, b, c∈G.

3. Joukko G sisältää alkion e (neutraalialkion) , jolle a∗e = a = e∗a jokaisella a ∈G.

(15)

4. Jokaistaa∈G kohti on olemassa alkio b∈G (käänteisalkio) niin, että a∗b =e ja b∗a=e.

Ryhmää kutsutaan Abelin ryhmäksi, jos se toteuttaa myös seuraavan aksiooman:

5. Vaihdannaisuus pätee, elia∗b =b∗a kaikillaa, b∈G.

Jos ryhmäGsisältää äärellisen määrän alkioita, sanotaan, että G on ää- rellinen ryhmä, tai että sen kertaluku on äärellinen. Tällöin alkioiden luku- määrän sanotaan olevan ryhmän Gkertaluku; tälle käytetään merkintää |G|.

Jos ryhmä sisältää äärettömän määrän alkioita, sanotaan, että ryhmän kertaluku on ääretön.[2, s. 153]. Kun joukko Gon ryhmä jonkin laskutoimituksen

∗ suhteen, voidaan tätä ryhmää merkitä parina (G,∗).

3.1 Esimerkkejä ryhmistä

3.1.1 Permutaatioryhmät

Ryhmäteorian juuret ovat permutaatioissa. Permutaatio tarkoittaa informaalisti joukon alkioiden asettamista uuteen järjestykseen. Tarkastellaan esi- merkkinä joukkoa T = {1,2,3}. Sen alkiot voidaan asettaa kuuteen jär- jestykseen, jotka ovat

123 132 213 231 312 321.

Nämä määrittelevät kuusi bijektiivistä funktiota joukolta T itselleen. Joukon T permutaatio määritellään näin ollen bijektiiviseksi funktioksi joukolta T itselleen. [2, ss. 150-151]

Esimerkki 3.2. Perustuu teoksen [2] esimerkkiin sivuilla 151-153. Tarkas- tellaan joukkoa T = {1,2,3} sekä permutaatiota f, joka noudattaa sääntöä f(1) = 2, f(2) = 3 ja f(3) = 1. Permutaation f esittämiseen voidaan käyt- tää matriisia

(︃1 2 3 2 3 1

)︃

, jonka toinen rivi esittää alkioiden uuden järjestyksen.

Tällä merkintätävalla esitettynä joukon T permutaatiot ovat (︃1 2 3

1 2 3

)︃ (︃

1 2 3 1 3 2

)︃ (︃

1 2 3 2 1 3

)︃

(︃1 2 3 2 3 1

)︃ (︃

1 2 3 3 1 2

)︃ (︃

1 2 3 3 2 1

)︃

.

(16)

Yhdistämällä mitkä tahansa kaksi näistä funktioista saadaan tulokseksi jokin edellä esitetyistä kuudesta permutaatiosta, sillä yhdistämällä kaksi bijektii- vistä funktiota saadaan bijektiivinen funktio. Tarkastellaan nyt funktioita f =

(︃1 2 3 3 2 1

)︃

ja g =

(︃1 2 3 2 1 3

)︃

. Näiden yhdisteelle f ◦g pätee (f◦g)(1) =f(g(1)) =f(2) = 2;

(f◦g)(2) =f(g(2)) =f(1) = 3;

(f◦g)(3) =f(g(3)) =f(3) = 1, jolloin f◦g =

(︃1 2 3 2 3 1

)︃

. Käytetään joukon T permutaaioiden joukolle mer- kintää S₃. Funktioiden yhdistäminen ◦ toimii laskutoimituksena tässä joukossa. Tällöin, josf jag ovat joukon S₃ alkioita, myös niiden yhdiste kuuluu joukkoonS₃. Funktioiden yhdistämisen liitännäisyydestä seuraa, että kaikilla joukon S₃ alkioilla f,g, ja h pätee

(f ◦g)◦h=f ◦(g◦h).

Permutaatio I =

(︃1 2 3 1 2 3

)︃

on identtinen kuvaus ja se toteuttaa yhtälöt I◦f =f ja f ◦I =f kaikilla joukon S₃ funktioilla. Koska jokaiselle bijek- tiolle on olemassa käänteisfunktio, niin jokaisella f ∈S₃ on olemassa funktio g =f⁻¹ ∈S₃, jolle

f ◦g =I ja g◦f =I.

Esimerkiksi funktiot f =

(︃1 2 3 3 1 2

)︃

ja g =

(︃1 2 3 2 3 1

)︃

ovat toistensa käänteis- funktioita, koska

(f ◦g)(1) = (g◦f)(1) = 1, (f ◦g)(2) = (g◦f)(2) = 2, (f ◦g)(3) = (g◦f)(3) = 3.

Huomautettakoon lopuksi, että yhdistetyt funktiot f ◦ g ja g ◦f eivät välttämättä ole samat, kuten yhtälöistä

(︃1 2 3 3 2 1

)︃

◦

(︃1 2 3 2 1 3

)︃

=

(︃1 2 3 2 3 1

)︃

ja

(︃1 2 3 2 1 3

)︃

◦

(︃1 2 3 3 2 1

)︃

=

(︃1 2 3 3 1 2

)︃

voidaan nähdä.

(17)

Edellisen esimerkin nojalla joukko S₃ on suljettu funktioiden yhdistämi- sen suhteen. Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen. JoukossaS₃ on neutraalialkio ja jokaisella alkiolla käänteisalkio. Näin ollenS₃ on ryhmä funktioiden yhdistämisen suhteen. Esimerkin perusteella funktioiden yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio joukossa S₃, joten se ei ole Abelin ryhmä.

Huomautus 3.3. Jokaisessa joukossa T = {1,2, . . . , n} voidaan muodostaa ryhmä (S_n,◦) Esimerkin 3.2 tapaan [3, s. 37].

3.1.2 Jäännösluokkaryhmät

Lause 3.4. Kaikille jäännösluokille [a], [b], [c] joukossa Zn on voimassa 1. Summa [a]⊕[b]∈Zn on yksikäsitteinen;

2. [a]⊕([b]⊕[c]) = ([a]⊕[b])⊕[c];

3. [a]⊕[b] = [b]⊕[a];

4. [a]⊕[0] = [a] = [0]⊕[a];

5. Yhtälöllä [a]⊕x= [0] on ratkaisu [−a] joukossa Zn kaikilla [a]∈Zn; 6. Jos [a]∈Zn ja [b]∈Zn, niin [a]⊙[b]∈Zn on yksikäsitteinen;

7. [a]⊙([b]⊙[c]) = ([a]⊙[b])⊙[c];

8. [a]⊙[b] = [b]⊙[a];

9. [a]⊙[1] = [a] = [1]⊙[a].

Todistus. [2, ss. 31 ja 33]. □

Huomautus 3.5. Lauseesta 3.4 nähdään, että kaikki joukot Zn ovat ryhmiä yhteenlaskun suhteen: Kohdan (1) nojalla Zn on suljettu yhteenlaskun suhteen. Kohdan (2) nojalla yhteenlasku on liitännäinen joukossa Zn. Kohdan (4) nojalla joukko Zn sisältää Määritelmän 3.1 mukaisen laskutoimituksen neutraalialkion. Kohdan (5) yhtälö [a]⊕x= [0] voidaan kirjoittaa muotoon [a]⊕x= [0] = x⊕[a]kohdan (3) mukaisen vaihdannaisuuden nojalla. Näin kaikki joukot Zn ovat itse asiassa Abelin ryhmiä, koska laskutoimitus on vaihdannainen.

Joukot Zn eivät ole ryhmiä kertolasku suhteen jo pelkästään siksi, että alkiolla [0] ei ole käänteisalkiota kertolaskun suhteen missään joukossa Zⁿ.

(18)

Huomautus 3.6. Olkoon n ∈ N ja oletetaan, että a ≡ b (mod n). Tällöin Lauseesta 2.4 seuraa, että syt(a, n) = 1 jos ja vain jos syt(b, n) = 1. Esi- merkiksi, jos syt(a, n) = 1, niin joillekin s, t ∈ Z pätee as+nt = 1. Koska a−b =kn jollekink ∈Z, saadaan

(b+kn)s+nt= 1⇔bs+n(ks+t) = 1.

Siten Lauseen 2.4 nojalla syt(b, n) = 1.

Huomautuksen 3.6 nojalla alla oleva joukkoU_n on hyvin määritelty.

Lause 3.7. Olkoon n ∈N, ja merkitään

U_n ={[k]∈Zn|syt(k, n) = 1}.

Tällöin jäännösluokkien kertolasku muodostaa Abelin ryhmän joukossa U_n. Todistus. Olkoon [a],[b] ∈ U_n jolloin syt(a, n) = 1 = syt(b, n). Lemman 2.6 nojalla syt(ab, n) = 1, joten [a]⊙ [b] ∈ U_n, ja joukko U_n on suljettu laskutoimituksen⊙suhteen. Laskutoimitus⊙on liitännäinen ja vaihdannainen Lauseen 3.4 nojalla. Seurauksen 2.26 nojalla on olemassa x ∈ Z, jolle ax ≡ 1 (mod n). Lemman 2.16 nojalla [ax] = [1], eli [a]⊙[x] = [1], jolloin [x] = [a]⁻¹. Lisäksi ax−1 = kn jollekin k ∈ Z, joten ax−kn = 1. Siten Lauseen 2.4 nojalla syt(x, n) = 1, eli [x]∈U_n. □ Esimerkki 3.8. a) Lauseen 3.7 nojalla joukko U_n = Z5 \[0] on ryhmä kertolaskun suhteen. Sen taulukko on seuraava:

⊙ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

Taulukko 1: Joukon Z5\[0]laskutoimitustaulukko

(19)

Huomaa, että taulukoissa hakasulut voidaan jättää pois, sillä on selvää, että kyseessä on modulaarinen laskutoimitus [2, s. 34].

b) Joukko Z⁴\[0] ei ole ryhmä kertolaskun suhteen, koska alkiolla[2]ei ole käänteisalkiota, eikä Z4\[0]ole suljettu tulon suhteen, koska tulo2⊙2 tuottaa alkion [0], joka ei kuulu joukkoon Z4\[0].

⊙ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 0 2

3 3 2 1

Taulukko 2: Joukon Z⁴\[0]laskutoimitustaulukko

c) Seuraavassa on esitettynä joukon U₈ ={1,3,5,7} laskutoimitustaulukko:

⊙ 1 3 5 7

1 1 3 5 7

3 3 1 7 5

5 5 7 1 3

7 7 5 3 1

Taulukko 3: Joukon U₈ laskutoimitustaulukko [2, s. 154]

3.1.3 Tuloryhmät

Määritelmä 3.9. JoukkojenAjaBkarteesinen tulo on joukko, jonka alkioita ovat kaikki järjestetyt parit (x, y), missäx∈A ja y∈B. Olkoona, c∈A ja b, d∈ B. Tällöin lukuparit (a, b) ja (c, d) ovat samat jos ja vain jos a =c ja b =d. [2, s. 484]

Tunnetuista ryhmistä voidaan muodostaa uusia ryhmiä karteesisen tulon avulla [2, ss. 159-160]:

Lause 3.10. Olkoot G ja H ryhmiä. Joukossa G× H voidaan määritellä laskutoimitus ⋄ asettamalla

(g, h)⋄(g^′, h^′) = (g∗g^′, h∗h^′).

Tällöin G×H on ryhmä. Jos G ja H ovat Abelin ryhmiä, myös G×H on Abelin ryhmä. Jos sekä Gettä H ovat äärelliset, myös G×H on äärellinen, ja |G×H|=|G||H|.

(20)

Lauseen 3.10 ryhmää (G×H,⋄) kutsutaan tuloryhmäksi.

Esimerkki 3.11. JoukkoZ2×Z2on ryhmä yhteenlaskun suhteen. Oheisesta laskutoimitustaulukosta nähdään, että jokaisen laskutoimituksen tulos kuuluu joukkoon Z2×Z2. Yhteenlasku on liitännäinen. Alkio(0,0)on ryhmän (Z2 ×Z2,⊕) neutraalialkio. Jokaisella ryhmän (Z2 ×Z2) alkiolla on kään- teisalkio: tässä tapauksessa jokainen alkio on itsensä käänteisalkio. Taulukon symmetrisyydestä nähdään myös, että laskutoimitus on vaihdannainen, joten Z2×Z2 on vieläpä Abelin ryhmä.

⊕ (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) (0,0) (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) (1,0) (1,0) (0,0) (1,1) (0,1) (0,1) (0,1) (1,1) (0,0) (1,0) (1,1) (1,1) (0,1) (1,0) (0,0)

Taulukko 4: Joukon Z2 ×Z2 laskutoimitustaulukko

Tuloryhmiä voidaan muodostaa myös useammasta kuin kahdesta ryhmäs- tä: Olkoot G₁, G₂, . . ., G_n ryhmiä ja a_i, b_i ∈ G_i. Tällöin karteesisen tulon G₁ ×G₂ ×. . .× G_n alkioiden välillä voidaan määritellä koordinaateittain suoritettava laskutoimitus

(a₁, a₂, . . . , a_n)(b₁, b₂, . . . , b_n) = (a₁b₁, a₂b₂, . . . , a_nb_n).

Kunkin ryhmän G_i neutraalialkiot e_i muodostavat tämän laskutoimituksen neutraalialkion(e₁, e₂, . . . , e_n), samoin alkioidena_i ∈G_i käänteisalkiot muodostavat alkion(a1, a2, . . . , an)käänteisalkion(a⁻¹₁ , a⁻¹₂ , . . . , a⁻¹_n ). Näin ollen joukko G₁×G₂×. . .×G_n varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä.

Siitä käytetään nimitystä ryhmien G₁, G₂, . . .,G_n suora tulo. Tarkasteltaes- sa yksinomaan äärellisiä Abelin ryhmiä Gi, joiden laskutoimitus on yhteenlasku, voidaan termin suora tulo asemesta käyttää termiä suora summa ja merkitä sitä G₁⊕G₂⊕. . .⊕G_n. [2, ss. 308-309]

3.2 Ryhmien perusominaisuuksia

Yleisessä tapauksessa ryhmän laskutoimitukselle voidaan käyttää tavanomais- ta tulon merkintää, jolloina∗b korvataan merkinnälläab. Joissain tapauksis- sa laskutomituksille on käytettävä eri merkintöjä sekaannusten välttämiseksi.

Esimerkiksi kun laskutoimitus on yhteenlasku, käytetään sille merkintää +.

[2, ss. 163-165]

(21)

Määritelmä 3.1 ei ota kantaa ryhmän käänteis- tai neutraalialkion yksi- käsitteisyyteen. Voidaan kysyä, onko neutraalialkioita useampia, ja voiko alkiolla olla enemmän kuin yksi käänteisalkio. [2, s. 164]. Seuraavasta lauseesta käy ilmi, ettei kumpikaan näistä ole mahdollista.

Lause 3.12. Olkoon G ryhmä, ja olkoon a, b, c∈G.

(1) Ryhmä G sisältää yksikäsitteisen neutraalialkion.

(2) Supistussääntö on voimassa ryhmässä G: Jos ab=ac, niin b=c. Jos ba=ca, niin b=c.

(3) Jokaisella ryhmän G alkiolla on yksikäsitteinen käänteisalkio.

Todistus. [2, s. 164]. □

Jatkossa alkion a yksikäsitteiselle käänteisalkiolle käytetään merkintää a⁻¹ [2, s. 164]

Seuraus 3.13. Jos G on ryhmä, ja a, b∈G, niin (1) (ab)⁻¹ =b⁻¹a⁻¹,

(2) (a⁻¹)⁻¹ =a.

Todistus. [2, ss. 164-165]. □

Seuraavat potenssisäännöt pidetään tunnettuina:

Lause 3.14. Olkoon G ryhmä, ja olkoon a ∈ G. Tällöin kaikilla alkioilla m, n joukossa Z pätee

a^maⁿ =a^m+n ja (a^m)ⁿ =a^mn.

Todistus. [2, s. 165]. □

Kun ryhmän laskutoimitus on yhteenlasku, neutraalialkiolle käytetään merkintää 0 ja alkion a käänteisalkiolle merkintää −a. Lauseessa 3.14 laskutoimitukselle on käytetty tulon merkintää, mutta se on voimassa myös yhteenlaskulle. Tulon aaa . . . a, jossa on n tekijää, analoginen vastine on yh- teenlaskussa summaa+a+a . . .+a, jossa onnsummattavaa. Tällöin yhteenlaskun tapauksessa kirjoitetaan na=a+a+. . .+a, kun tulon tapauksessa kirjoitettaisiin aⁿ = aa . . . a. Vastaavasti merkinnän a⁻ⁿ vastine yhteenlas- kussa on (−n)a. Näin Lauseen 3.14 potenssisäännöt saavat muodon

ma+na= (m+n)a ja n(ma) = (mn)a. [2, ss. 164-165].

(22)

Esimerkki 3.15. Olkoon a, b ∈ G ja ab = ba. Jos ab = e, niin aⁿbⁿ = e, ja tällöin alkiot aⁿ ja bⁿ ovat toistensa käänteisalkiot kaikilla n ∈ N. Perus- tellaan ensimmäinen väite induktioperiaatteella. Väite pätee arvolla n = 2, sillä

a²b² =aabb=aeb=ab=e.

Oletetaan, että väite pätee arvolla r ∈ N. Tällöin Lauseen 3.14 ja induktio- oletuksen nojalla pätee

a^r+1b^r+1 =a^rabb^r =a^reb^r =a^rb^r =e,

joten väite on tosi induktioperiaatteen nojalla. Koska operaatio on vaihdannainen, pätee aⁿbⁿ = e = bⁿaⁿ. Näin ollen alkiot aⁿ ja bⁿ ovat toistensa käänteisalkiot Määritelmän 3.1 ja Lauseen 3.12 nojalla.

Seuraava määritelmä esittelee ryhmäteorian kannalta keskeisen käsitteen.

Määritelmä 3.16. Olkoon G ryhmä ja a ∈ G. Pienintä luvuista n ∈ Z+, joka toteuttaa yhtälön aⁿ = e, kutsutaan alkion a kertaluvuksi, ja sille käytetään merkintää |a| [2, s. 166].

Jos on olemassa Määritelmän 3.16 mukainen luku n, niin sanotaan, että alkion a kertaluku on äärellinen. Jos a^k ̸=e kaikilla positiivisilla

kokonaisluvuilla k, sanotaan alkion a kertaluvun olevan ääretön. [2, s. 166]

Lause 3.17. Olkoon G ryhmä, ja olkoon alkion a∈G kertaluku n. Tällöin (1) jos alkion a kertaluku on ääretön, niin aⁱ ̸=a^j kaikilla i, j ∈Z, i̸=j, (2) a^k =e jos ja vain jos n|k,

(3) aⁱ =a^j jos ja vain jos i≡j (mod n),

(4) jos n=td, missä d >0, niin alkion a^t kertaluku on d.

Todistus. [2, ss. 166-167] (1) Käytetään epäsuoraa todistusta: Oletetaan, että alkiolle a pätee aⁱ =a^j, missä i > j. Kerrotaan tämä yhtälö puolittain alkiollaa^−j, jolloin saadaana^i−j =a^j−j =a⁰ =e. Oletuksen nojallai−j >0, joten alkion a kertaluku on äärellinen.

(2) Jos n on luvunk tekijä, voidaan kirjoittaa k =nt ja saadaan

a^k=a^nt = (aⁿ)^t=e^t=e. Käytetään käänteisen väittämän osoittamiseksi ole- tustaa^k =e. Luvullekvoidaan muodostaa jakoyhtälök =nq+r,0≤r < n, jolloin Lauseen 3.14 potenssisääntöjen nojalla

e =a^k =a^nq+r=a^nqa^r = (aⁿ)^qa^r =e^qa^r=a^r.

(23)

Luku n on kertaluvun määritelmän mukaan pienin luvuista s ∈ Z+, joille pätee a^s = e. Ehdosta r < n seuraa, että yhtälö a^r = e on tosi ainoastaan tapauksessa r = 0, jolloin luvun k jakoyhtälö on muotoa k = nq + 0, mikä tarkoittaa, että n jakaa luvun k. Näin on todistettu kohta (2).

Oletetaan väitteen (3) todistamiseksi, että aⁱ = a^j, missä i > j. Kerto- malla tämä yhtälö puolittain alkiolla a^−j saadaan a^i−j = a^j−j = a⁰ = e.

Yhtälö aⁱ = a^j on täten voimassa jos ja vain jos a^i−j = a⁰ =e. Kohdan (2) nojalla yhtälö a^i−j = e on voimassa jos ja vain jos n on luvun i−j tekijä.

Näin ollen aⁱ =a^j jos ja vain jos i≡j (mod n).

(4) Koska alkionakertaluku onn, voidaan kirjoittaa(a^t)^d=a^td =aⁿ=e.

Osoitetaan luvun d olevan pienin luvuista s ∈ Z+, joille yhtälö a^ts = e on voimassa: Jos on olemassa luku k ∈ Z+, jolle on voimassa (a^t)^k = e, niin myös yhtälö a^tk = e on voimassa. Näin kohdan (2) perusteella n on luvun tk tekijä ja voidaan kirjoittaa tk = nr = tdr. Näin saadaan k = dr, toisin ilmaistuna d|k. Tästä ja lukujen k ja d positiivisuudesta seuraad≤k. □ Seuraus 3.18. Olkoon G ryhmä, ja olkoon a∈G. Jos aⁱ =a^j, missä i̸=j, niin alkion a kertaluku on äärellinen.

Todistus. [2, s. 167] Väite seuraa välittömästi Lauseen 3.17 kohdasta (1).□ Lemma 3.19. Jos jokaisen ryhmän G neutraalialkiosta eroavan alkion kertaluku on 2, niin ryhmä G on Abelin ryhmä.

Todistus. [2, s. 169]. Ryhmän määritelmän mukaan alkio d ∈ G on alkion a ∈G käänteisalkio, jos näillä on voimassa

ad =e=da.

Kun kaikilla a∈G on voimassa|a|= 2, voidaan kirjoittaa aa=e ⇐⇒ aaa⁻¹ =ea⁻¹ ⇐⇒ a=a⁻¹.

Olkoon nyt a, b∈G siten, että a ̸=b. Koska joukko G on ryhmä, myös tulo ab on joukon G alkio. Edellä on osoitettu, että jokainen ryhmän G alkio on itsensä käänteisalkio. Näiden perusteella voidaan kirjoittaa ekvivalenssiketju

(ab)(ab) =e⇔abab(ba) =e(ba)⇔aba(bb)a=ba

⇔abaea=ba⇔ab(aa) =ba⇔ab=ba.

Koska ab=ba kaikilla ryhmän G alkioilla, on ryhmä G Abelin ryhmä mää-

ritelmän 3.1 nojalla. □

(24)

Lemma 3.20. Jos a, b∈G ja ab=ba, ovat seuraavat yhtälöt voimassa:

(1) (ab)ⁿ=aⁿbⁿ kaikillan ∈N.

(2) Jos |a|<∞ ja |b|<∞, niin (ab)^|a||b|=e .

Todistus. (1) Todistetaan ensin induktiolla, että abⁿ = bⁿa kaikilla n ∈ N. Kun n = 1, kertolaskun vaihdannaisuuden nojalla pätee ab=ba. Oletetaan seuraavaksi, että väite pätee luvulla m ∈ N. Tällöin oletuksen ja Lauseen 3.14 nojalla pätee

ab^m+1 =ab^mb=bb^ma=b^m+1a.

Todistetaan nyt induktiolla varsinainen väite. Väite on tosi arvollan = 2, koska (ab)² = abab, ja edelleen vaihdannaisuuden ja Lauseen 3.14 nojalla abab = aabb = a²b². Oletetaan, että väite pätee luvulla t ∈ N. Tällöin Lauseen 3.14, induktio-oletuksen ja todistuksen alkuosan nojalla

(ab)^t+1= (ab)^t(ab)¹ =a^tb^tab=a^tab^tb =a^t+1b^t+1.

Näin ollen väite on tosi induktioperiaatteen nojalla.

(2)[2, s. 169] Oletetaan, että|a|,|b|<∞. Kohdan (1) nojalla voidaan kirjoittaa

(ab)^|a||b| =a^|a||b|b^|a||b|=a^|a||b|b^|b||a|. Lauseen 3.14 nojalla

a^|a||b|b^|b||a|=(︁

a^|a|)︁^|b|(︁

b^|b|)︁^|a|

=e^|b|e^|a|=e.

Näin ollen (ab)^|a||b|=e. □

3.3 Aliryhmät

Määritelmä 3.21. Joukon G osajoukko H on ryhmän G aliryhmä, jos H on itsessään ryhmä ryhmän G laskutoimituksen suhteen [2, s. 170].

Jokainen ryhmä on itsensä aliryhmä, ja kaikilla ryhmillä on aliryhmänä neutraalialkion e muodostama ryhmä {e}. Nämä ovat jokaisen ryhmän tri- viaalit aliryhmät. Muusta aliryhmästä käytetään nimitystä aito aliryhmä [2, s. 170].

Esimerkki 3.22. Kehitetty teoksen [2] sivun 211 pohjalta. Permutaatio- ryhmän S₃ alkiot

(︃1 2 3 1 2 3

)︃

,

(︃1 2 3 2 3 1

)︃

ja

(︃1 2 3 3 2 1

)︃

muodostavat ryhmän S₃ aliryhmän, mikä nähdään oheisesta taulukosta:

(25)

◦

(︃1 2 3 1 2 3

)︃ (︃

1 2 3 2 3 1

)︃ (︃

1 2 3 3 2 1

)︃

(︃1 2 3 1 2 3

)︃ (︃

1 2 3 1 2 3

)︃ (︃

1 2 3 2 3 1

)︃ (︃

1 2 3 3 2 1

)︃

(︃1 2 3 2 3 1

)︃ (︃

1 2 3 2 3 1

)︃ (︃

1 2 3 3 2 1

)︃ (︃

1 2 3 1 2 3

)︃

(︃1 2 3 3 2 1

)︃ (︃

1 2 3 3 2 1

)︃ (︃

1 2 3 1 2 3

)︃ (︃

1 2 3 2 3 1

)︃

Taulukko 5: RyhmänS₃ aliryhmä.

Osoitettaessa osajoukkoa aliryhmäksi ei ole tarpeen tarkastella liitännäi- syyttä, koska liitännäisyys periytyy ryhmästä osajoukkoon. Osajoukko on aliryhmä, jos seuraavat kaksi aksioomaa toteutuvat:

Lemma 3.23. Ryhmän G epätyhjä osajoukko H on sen aliryhmä, mikäli 1. ab∈H kaikilla a, b∈H;

2. a⁻¹ ∈H kaikilla a∈H.

Todistus. [2, ss. 170-171]. □

Äärellisen ryhmän tapauksessa riittää varmistaa vain yhden aksiooman toteutuminen [2, s. 171]:

Lause 3.24. Olkoon H ryhmän G epätyhjä äärellinen osajoukko. Jos H on suljettu ryhmän G laskutoimituksen suhteen, niin H on ryhmänG aliryhmä.

Todistus. Lauseen 3.23 nojalla riittää todentaa, että ryhmä Hsisältää jokaisen alkionsa käänteisalkion. Joukko H on suljettu laskutoimituksen suhteen, joten se sisältää jokaisen alkiona∈H kaikki potenssita^k, missäkon positiivinen kokonaisluku. Joukon H äärellisyyden vuoksi osa näistä potensseista on välttämättä samoja, joten Seurauksen 3.18 nojalla alkion a kertaluku on äärellinen. Olkoon tämä kertalukun, jolloinaⁿ =e. Lukun−1on kongruentti luvun −1 kanssa modulo n, joten Lauseen 3.17 nojalla aⁿ⁻¹ =a⁻¹. Luku n−1 on positiivinen kun n > 1; tällöin alkio a⁻¹ = aⁿ⁻¹ sisältyy joukkoon H. Jos n= 1, on kyseessä neutraalialkio e, joka on itsensä käänteisalkio. □

(26)

Seuraavan konstruktion tuloksena saadaan keskeinen aliryhmätyyppi. Tar- kastellaan ryhmää Gja sen alkiota asekä joukkoa ⟨a⟩, joka koostuu kaikista alkion a potenssesta, eli

⟨a⟩={. . . , a⁻³, a⁻², a⁻¹, a⁰, a¹, a², . . .}={aⁿ|n∈Z}.

Joukko ⟨a⟩ sisältää kaikki alkioittensa pareittaiset tulot yhtälön aⁱa^j =a^i+j perusteella. Koska (a^k)⁻¹ = a^−k, sisältää joukko ⟨a⟩ kaikkien alkioidensa käänteisalkiot. Lauseen 3.23 nojalla voidaan todeta joukon⟨a⟩olevan ryhmän G aliryhmä. Näin on todistettu seuraava lause. [2, ss. 171-172]:

Lause 3.25. Jos G on ryhmä ja a∈G, niin ⟨a⟩={aⁿ|n ∈Z} on ryhmän G aliryhmä.

Ryhmästä ⟨a⟩ käytetään nimitystä alkion a virittämä syklinen aliryhmä.

Mikäli ryhmät⟨a⟩jaGovat samat, kutsutaan ryhmääGsykliseksi ryhmäksi.

Kaikki sykliset ryhmät ovat Abelin ryhmiä yhtälön aⁱa^j =a^i+j =a^j+i =a^jaⁱ

nojalla. Ryhmän ⟨a⟩ kertaluku on sama kuin alkiona kertaluku, kuten seuraavasta lauseesta käy ilmi. [2, s. 172]

Lause 3.26. Olkoon G ryhmä, ja olkoon a∈G. Jos a:n kertaluku on äärel- linen, niin ⟨a⟩ on aliryhmä, jonka kertaluku on n, ja

⟨a⟩={e=a⁰, a¹, a², a³, . . . , aⁿ⁻¹}.

Todistus. [2, ss. 172-173] Olkoon aⁱ mielivaltaisesti valittu ryhmän ⟨a⟩ alkio. Tällöin luvulle i pätee i ≡ t (mod n) yhdellä t ∈ {0,1,2,3, . . . , n−1}.

Näin ollen alkioaⁱ on välttämättä sama kuin yksi alkioistaa⁰, a¹, a², . . . , aⁿ⁻¹ Lauseen 3.17 kohdan (3) nojalla. Lisäksi mitkään ryhmän ⟨a⟩ alkioista eivät ole pareittain samoja, koska mitkään luvuista 0,1,2, . . . , n−1 eivät ole pareittain kongruentteja modulo n. Joukko ⟨a⟩={a⁰, a¹, a², a³, . . . , aⁿ⁻¹} on

siis ryhmä, jonka kertaluku on n. □

Lause 3.27. Olkoon p alkuluku. Tällöin ryhmä (Z^p\ {0},⊙) on syklinen.

Todistus. Kunpon alkuluku, joukkoZp sisältääΦ(p) = p−1alkiota. Jokai- sella alkuluvulla pon Seurauksen 2.39 nojalla primitiivijuuri, eli on olemassa luku a, jonka kertaluku modulo p on p−1. Tällöin a^p−1 ≡1 (mod p), ja a^k̸≡1 (mod p)kaikilla1,2, . . . , p−2. Edelleen Määritelmän 2.21 ja Lemman 2.16 nojalla[a]^p−1 = [a^p−1] = [1]ja[a]^k = [a^k]̸= [1]kaikillak = 1,2, . . . , p−2.

Tällöin jäännösluokan[a]kertaluku onp−1, ja näin ollen[a]virittää ryhmän

(Zp\ {0},⊙). □

(27)

Esimerkki 3.28. Olkoon G äärellinen ryhmä ja a, b∈Gsiten, että ab=e.

Perustellaan, miksi |a|=|b|: Ehdosta ab=eseuraa b=a⁻¹. Tällöin alkiota ja b virittävät saman syklisen aliryhmän, sillä

⟨a⟩={aⁿ|n∈Z}= {︂(︁

a⁻¹)︁−n⃓

⃓ n∈Z }︂

=⟨︁

a⁻¹⟩︁

.

Lauseen 3.25 nojalla |a|ja⃓

⃓a⁻¹⃓

⃓ovat samat, koska ne yhtyvät aliryhmien⟨a⟩

ja ⟨a⁻¹⟩ kertalukuun.

Lemma 3.29. Olkoon a, b ∈ G ja ab = ba. Oletetaan edelleen, että |a| =p ja |b| = q, missä p ja q ovat erilliset alkuluvut. Tällöin alkion ab kertaluku on |a||b|.

Todistus. [2, s. 169]. Lemman 3.20 mukaan (ab)^|a||b| = e, joten Lauseen 3.17 kohdan (2) nojalla alkionabkertaluku on tulon |a||b|tekijä. Koska|ab|jakaa tulonpq, on luvuksi|ab|neljä vaihtoehtoa, jotka ovat 1,p,q taipq. Suljetaan kolme ensimmäistä vaihtoehtoa pois: Jos |ab|=p, saadaan

e= (ab)^p =a^pb^p =eb^p =b^p,

koska p̸=q. □

3.4 Isomorfismi

Kahden ryhmän isomorfisuus tarkoittaa informaalisti sitä, että niiden rakenteet ovat samat; ryhmien alkioille on vain käytetty eri merkintätapoja. Ää- rellisten isomorfisten ryhmien operaatiotaulukot voidaan näin muuntaa toi- sikseen muuttamalla alkioiden merkintätapaa sopivasti. Tällainen muunnos toimii vastaavalla tavalla kuin bijektiivinen funktio. [2, s. 178]

Määritelmä 3.30. Olkoot (G,∗) ja (H,⋄) ryhmiä. Ryhmät G ja H ovat isomorfiset, jos on olemassa funktio f :G→H niin että

(i) f on injektiivinen, (ii) f on surjektiivinen,

(iii) f(a∗b) = f(a)⋄f(b) kaikillaa, b∈G.

(28)

Tämän määritelmän toteuttavasta bijektiosta f :G→H käytetään

nimitystä isomorfismi. Ryhmien G ja H isomorfisuutta merkitään G∼=H.

[2, ss. 178-179]

Lause 3.31. Jokainen äärellinen syklinen ryhmä G, jonka kertaluku on n, on isomorfinen ryhmän Zn kanssa.

Todistus.[2, ss. 180-181] OlkoonG=⟨a⟩, ja olkoon|a|=n. Tällöin ryhmäG on Lauseen 3.26 nojalla joukko {a⁰, a¹, a², . . . , aⁿ⁻¹}. Määritellään kuvaus f ryhmältä Zn ryhmälle G asettamalla f([i]) = aⁱ. Kuvaus f on selvästi surjektio. Osoitetaan, että f on injektio: Tapaus n = 1 on triviaali. Olkoon nyt n >1, ja valitaan jäännösluokat [s],[t]∈ {[0],[1],[2], . . . ,[n−1]} niin, että [s] = [t]. Oletetaan, että f([s]) ̸= f([t]). Nyt f([s]) = a^s, ja koska s ≡ t (mod n), Lauseen 3.17 nojalla f([s]) =a^s =a^t =f([t]), ja päädytään ristiriitaan oletuksen kanssa. Funktio f on siis injektio. RyhmässäZn pätee i+j ≡ k (mod n), missä 0 ≤ k ≤ n −1, minkä vuoksi ryhmässä G pätee a^i+j =a^k Lauseen 3.17 nojalla. Nyt voidaan kirjoittaa

f([i] + [j]) = f[([k]) =a^k =a^i+j =aⁱa^j =f([i])f([j]).

Näin ollen f toteuttaa isomorfismin määritelmän ja Zⁿ ∼=G. □

3.5 Kongruenssirelaatio ryhmissä

Määritelmä 3.32. Olkoon K ryhmän Galiryhmä, ja olkoon a, b∈G. Täl- löin alkio a on kongruentti alkion b kanssa modulo K, mikäli ab⁻¹ ∈ K.

Tällöin kirjoitetaan a ≡b (mod K). [2, s. 188]

Lemma 3.33. Olkoon K ryhmän G aliryhmä ja olkoon a, b ∈ G. Tällöin kongruenssirelaatio modulo K on

(1) refleksiivinen: a≡a (mod K) kaikilla a∈G,

(2) symmetrinen: jos a ≡b (mod K), niin b≡a (mod K),

(3) transitiivinen: josa≡b(mod K), jab≡c(mod K), niina≡c (mod K).

Todistus. [2, ss. 188 ja 130] (1) Koskaaa⁻¹ =e, jae∈K, niina≡a(mod K).

(2) Jos a ≡ b (mod K), niin Määritelmän 3.32 nojalla on olemassa k ∈ K niin, että ab⁻¹ =k. Tällöin voidaan kirjoittaa

ba⁻¹ = (b⁻¹a)⁻¹ = (ab⁻¹)⁻¹ =k⁻¹.

(29)

Koska joukko K on itsessään ryhmä, sisältää se myös alkionsa k käänteisal- kion k⁻¹. Näin ollen b≡a (mod K).

(3) Oletetaan, että a ≡ b (mod K) ja b ≡ c (mod K). Tällöin joukko K sisältää alkion i, jolle ab⁻¹ =i, sekä alkionj, jolle bc⁻¹ =j. Näiden yhtälöi- den perusteella on voimassa ac⁻¹ = (ab⁻¹)(bc⁻¹) = ij. KoskaK on itsessään ryhmä, sisältää se myös tulon ij. Näin ollen a≡c (mod K). □ Tarkastellaan ryhmääG sekä sen aliryhmää K. Kaikki ryhmänG alkiot, jotka ovat kongruentteja alkion a ∈ G kanssa modulo K, muodostavat joukon, jota kutsutaan alkion a kongruenssiluokaksi modulo K. Kun laskutoimitus suoritetaan oikealta, alkion akongruenssiluokka moduloK on muotoa {b ∈G|b ≡a(mod K)}={b ∈G|ba⁻¹ ∈K}={b ∈G|ba⁻¹ =k, k∈K}.

Kertomalla yhtälö ba⁻¹ =k oikealta alkiollaa saadaan yhtälö b =ka, joten alkion a kongruenssiluokka moduloK voidaan esittää joukkona

{b∈G | b=ka, k∈K}={ka | k∈K}.

Tästä syystä alkion a kongruenssiluokalle modulo K käytetään merkintää Ka. [2, s. 188]

Määritelmä 3.34. Olkoon G ryhmä ja K sen aliryhmä. Tällöin joukko Ka = {ka | k ∈ K} = {b ∈ G | b ≡ a (mod K)} on alkion a määräämä aliryhmän K oikeanpuoleinen sivuluokka ryhmässä G. [2, s. 188], [3, s. 59]

Kaikkien ryhmänGaliryhmänKoikeanpuoleisten sivuluokkien eli kongruenssiluokkien modulo K joukolle käytetään merkintää G/K. Jos ryhmässä G operoidaan yhteenlaskulla, oikeanpuoleisten sivuluokkien notaatiot ovat muotoa K+a. Aliryhmän K alkiot voidaan kertoa myös vasemmalta ryhmänG alkiolla a, jolloin saadaan joukko

{ak | k ∈K},

josta käytetään nimitystä aliryhmänKvasemmanpuoleinen sivuluokka. Abe- lin ryhmässä operaatio on vaihdannainen, jolloin oikeanpuoleiset ja vasem- manpuoleiset sivuluokat ovat samat. [2, ss. 188-189]

Huomautus 3.35. Kongruenssi modulo n, missä n ∈ N, on erikoistapaus kongruenssista modulo K, missä K on aliryhmä, sillä a ≡ b (mod n) on sama asia kuin a ≡ b (mod nZ), missä nZ = {nz | z ∈ Z}. Perustelu:

Joukko Z on ryhmä yhteenlaskun suhteen, ja nZ on sen aliryhmä. Tällöin alkion a ∈ Z määräämä aliryhmän nZ vasemmanpuoleinen sivuluokka on a+nZ = {a+nz| z ∈ Z}, joka on sama kuin alkion a kongruenssiluokka modulon. Tämä pätee myös oikeanpuoleisille sivuluokille, koska yhteenlasku on vaihdannainen.

(30)

Lemma 3.36. Olkoon G ryhmä ja K sen aliryhmä. Tällöin (1) Jos a, b∈G, niin a≡b (mod K) jos ja vain jos Ka=Kb.

(2) Kaksi aliryhmän K oikeanpuoleista sivuluokkaa ovat joko erilliset tai joukkoina samat.

Todistus. [2, ss. 189 ja 26] (1) Oletetaan, että a ≡ b (mod K). Osoite- taan, että oletuksesta seuraa Ka ⊆ Kb: Valitaan alkio x ∈ Ka, jolloin Määritelmän 3.34 nojalla voidaan kirjoittaa x ≡ a (mod K). Oletuksen a ≡ b (mod K) ja kongruenssirelaation transitiivisuuden nojalla voidaan kirjoittaa x≡ b (mod K), jolloin x ∈Kb ja siten Ka ⊆ Kb. Oletetaan seuraavaksi, että b ≡a (mod K). Osoitetaan, että oletuksesta seuraaKb⊆Ka:

Valitaan alkio y ∈ Kb, jolloin määritelmän 3.34 nojalla voidaan kirjoittaa y ≡a (mod K). Oletuksen ja b ≡a (mod K)ja kongruenssirelaation transitiivisuuden nojalla voidaan kirjoittaa y≡a (mod k), jolloin y∈Ka ja siten Kb⊆Ka. Näin ollen Ka =Kb.

Todistetaan käänteinen väite: Oletetaan, että Ka =Kb. Kongruenssire- laation revleksiivisyyden nojalla a ≡ a mod K), joten a ∈Ka, ja oletuksen nojalla a ∈Kb. Tällöin a ≡b (mod K)Määritelmän 3.34 nojalla.

(2) Tapaus Ka ∩ Kb = ∅ on triviaali. Oletetaan sivuluokkien Ka ja Kb leikkaus epätyhjäksi joukoksi, jolloin sekä Ka että Kb sisältävät jonkin kokonaisluvunx. Tällöinx≡a(mod K)jax≡b(mod K)Määritelmän 3.34 nojalla. Näin ollen voidaan symmetrisyyden nojalla kirjoittaaa ≡x(mod K) ja edelleen transitiivisuuden nojalla a ≡ b (mod K), jolloin Lemman 2.16 nojalla Ka =Kb.

□ Määritelmä 3.37. Ryhmän G aliryhmän N sanotaan olevan normaali, jos N a=aN jokaisella a∈G [2, s. 190].

Lause 3.38. Olkoon N ryhmän G normaali aliryhmä. Jos a ≡ b (mod N) ja c≡d (mod N), niin ac≡bd (mod N).

Todistus. [2, s. 191] Määritelmän 3.32 nojalla voidaan kirjoittaaab⁻¹ =m ja cd⁻¹ =n, missä m, n∈N. Nyt voidaan kirjoittaa

(ac)(bd)⁻¹ =acd⁻¹b⁻¹ =anb⁻¹

Seurauksen 3.13 nojalla. Alkio an kuuluu sivuluokkaan aN. Aliryhmä N on normaali, joten aN = N a. Tällöin jollakin aliryhmän N alkiolla n₁ pätee an=n₁a, ja voidaan kirjoittaa

(ac)(bd)⁻¹ =anb⁻¹ =n₁ab⁻¹ =n₁m.

(31)

Luku n₁m on aliryhmänN alkio, joten ac≡bd(mod n). □ RyhmänGnormaalin aliryhmän N sivuluokkien välillä voidaan suorittaa laskutoimitus (N a)(N b) = N ab. Seuraava lause varmistaa tämän määritel- män riippumattomuuden alkion esitysmuodosta. [2, s. 195]:

Lause 3.39. Olkoon N ryhmän G normaali aliryhmä. Jos N a = N c ja N b =N d joukossa G/N, niin N ab=N cd.

Todistus. KoskaN a =N c ja N b=N d, ovat Lemman 3.36 nojalla voimassa kongruenssiyhtälöt a ≡ c (mod N) ja b ≡ d (mod N), joista Lauseen 3.38 nojalla saadaan kongruenssiyhtälö ab ≡ cd (mod N), joka taas on Lemman 3.36 nojalla ekvivalentti yhtälön N ab=N cdkanssa. □ Lause 3.40. Jos N on ryhmän G normaali aliryhmä, niin joukko G/N on ryhmä laskutoimituksen (N a)(N b) = N ab suhteen. Jos G on Abelin ryhmä, myös G/N on Abelin ryhmä.

Todistus. [2, s. 196]. □

4 Äärellisten ryhmien luokitteluja isomorfisuu- den suhteen

Lause 4.1. Olkoon H ryhmän G aliryhmä.

(1) Tällöin G on aliryhmän H oikeanpuoleisten sivuluokkien yhdiste, eli G= ⋃︂

a∈G

Ha.

(2) Mitkä tahansa kaksi aliryhmänH oikeanpuoleista sivuluokkaa ovat joko yhtenevät tai erilliset: Ha=Hb tai Ha∩Hb=∅.

(3) Jokaistaa ∈Gkohti on olemassa bijektio f :H →Ha. Näin ollen, jos H on äärellinen, millä tahansa kahdella aliryhmänH oikeanpuoleisella sivuluokalla on sama alkioiden lukumäärä.

Todistus. [2, s. 208] (1) Jokaisen sivuluokan alkiot ovat ryhmän G alkioita, joten voidaan kirjoittaa

⋃︂

a∈G

Ha⊆G.

(32)

Joukon G alkiob on sama kuin alkioeb sivuluokassa Hb, joka sisältyy joukkoon ⋃︁

a∈GHa, joten kaikki joukon G alkiot sisältyvät joukkoon ⋃︁

a∈GHa, eli

G⊆Ha.

Näin saadaan G=⋃︁

a∈GHa.

(2) Väite pätee Lemman 3.36 kohdan (2) nojalla.

(3) Olkoon funktio f joukolta H joukolle Ha määritelty asettamalla

f(x) =xa. Tällöin sivuluokanHamääritelmä varmistaa, ettäf on surjektio.

Tapauksessa f(x) = f(y) on voimassa yhtälö xa = ya, josta Lauseen 3.12 nojalla saadaan x=y, joten f on injektio ja edellä esitetyn nojalla bijektio.

Näin ollen äärellisessä joukossa H ja sen jokaisessa sivuluokassaHaon sama määrä alkioita.

□ Tarkastellaan ryhmää G ja sen aliryhmääH. Aliryhmän H erillisten oikeanpuoleisten sivuluokkien lukumäärästä käytetään nimitystä

aliryhmän H indeksi ryhmässä G, ja sille käytetään merkintää [G:H].

[2, s. 208]

Lause 4.2. (Lagrangen lause) Jos H on äärellisen ryhmänG aliryhmä, niin

|G|=|H|[G:H].

Todistus. [2, ss. 208-209] Tarkastellaan aluksi joukkoja A ja B: Joukkoon A sisältyvien alkioiden lukumäärälle käytetään merkintää |A|. Mikäli joukoilla A ja B ei ole yhteisiä alkioita, on niiden yhdisteen alkioiden lukumäärälle voimassa yhtälö|A∪B|=|A|+|B|. Oletetaan seuraavaksi, että aliryhmällä H onn erillistä sivuluokkaa ryhmässäG, ja käytetään niille merkintöjäHc₁, Hc2,. . .,Hcn. RyhmäGon näiden sivuluokkien yhdiste Lauseen 4.1 nojalla.

Näiden kaikkien sivuluokkien erillisyydestä johtuen millään kahdella näistä sivuluokista ei ole yhteisiä alkioita Lauseen 4.1 nojalla. Näillä perusteilla ryhmänGalkioiden lukumäärä on sivuluokkienHc1,Hc2,. . .,Hcnalkioiden lukumäärien summa. Lauseen 4.1 nojalla kaikissa näistä sivuluokissa on sama määrä alkioita kuin aliryhmässä H, joten ryhmänG alkoiden lukumäärä on n kertaa aliryhmän H alkioiden lukumäärä, ja voidaan kirjoittaa

|G|=|H|n=|H|[G:H].

□ Seuraus 4.3. Olkoon G äärellinen ryhmä.

(1) Jos a∈G, niin a:n kertaluku jakaa G:n kertaluvun.

(33)

(2) Jos |G|=k, niin a^k=e jokaisella a ∈G.

(3) Jos N on ryhmän G normaali aliryhmä, niin |G/N|=|G|/|N|.

Todistus. [2, s. 209] (1) Jos ryhmän G alkion a kertaluku on n, niin ryhmän G syklisen aliryhmän ⟨a⟩ kertaluku on n Lauseen 3.26 nojalla. Näin ollen n on ryhmän Gkertaluvun tekijä Lauseen 4.2 nojalla.

(2) Jos ryhmänGalkionakertaluku onn, niinnon luvunktekijä kohdan (1) perusteella, eli voidaan kirjoittaa k=nt. Näin saadaan

a^k=a^nt = (aⁿ)^t=e^t=e.

(3) Joukon G/N alkioiden lukumäärä on Lemman 3.36 nojalla myös ali- ryhmän N erillisten oikeanpuoleisten sivuluokkien lukumäärä. Näin ollen

|G/N|on ryhmänG/N indeksi. Lagrangen lauseen nojalla voidaan kirjoittaa

|G|=|N|[G:N] =|N||G/N|, josta saadaan |G/N|=|G|/|N|. □

Esimerkki 4.4. Todistetaan Eulerin lause ryhmäteorian keinoin:

Josn ≥1ja syt(a, n) = 1, niin a^Φ(n)≡1 (mod n).

Todistus: Lauseen 3.7 mukaisen ryhmän U_n kertaluku on Φ(n). Seurauksen 4.3 kohdan (2) nojalla kaikilla [k]∈U_n pätee [k]^Φ(n)= [k^Φ(n)] = [1]. Näin ollen k^Φ(n)≡1 (mod n) Lemman 2.16 nojalla.

Lause 4.5. Olkoonppositiivinen alkuluku. Jokainen ryhmä, jonka kertaluku on p, on syklinen ja isomorfinen ryhmän Zp kanssa.

Todistus. [2, ss. 209-210] OlkoonG ryhmä, jonka kertaluku onp, ja olkoon a mielivaltainen joukon G neutraalialkiosta eroava alkio. Tällöin syklisen ali- ryhmän ⟨a⟩kertaluku on lukua 1suurempi, ja sen on (Seurauksen 4.3 nojalla) oltava luvun ptekijä. Koska pon alkuluku, on aliryhmän ⟨a⟩ kertaluvun välttämättä oltava p. Tällöin aliryhmä ⟨a⟩ kattaa koko ryhmän G, joten G on syklinen ryhmä, jonka kertaluku on p. Näin ollen Ryhmät G ja Zp ovat

isomorfiset Lauseen 3.31 nojalla. □

Lause 4.6. Jokainen ryhmä, jonka kertaluku on 4, on isomorfinen ryhmän Z4 tai Z2 ×Z2 kanssa.

Todistus. [2, ss. 210-211] Tarkastellaan ryhmää G, jonka kertaluku on 4.

Jos G sisältää alkion, jonka kertaluku on 4, niin tämän alkion virittämän syklisen aliryhmän kertaluku on 4 Lauseen 3.26 nojalla, joten tämä aliryh- mä yhtyy välttämättä ryhmään G. Edellä esitetyn perusteella ryhmä G on kertalukua 4oleva syklinen ryhmä ja isomorfinen ryhmänZ4 kanssa Lauseen 3.31 nojalla. Jos G ei sisällä alkiota, jonka kertaluku on 4, niin G koostuu