Kirjevalmennus, huhti- ja toukokuu 2017
Ratkaisuja toivotaan toukokuun loppuun mennessä (tai 8.5 mennessä, jos halu- aa, että ratkaisut vaikuttavat positiivisesti IMO-joukkuetta valittaessa) postitse osoitteeseen
Anne-Maria Ernvall-Hytönen Matematik och statistik Åbo Akademi
Domkyrkotorget 1 20500 Åbo
tai sähköpostitse osoitteeseen aernvall@abo.fi.
Helpompia tehtäviä
1.
OlkoonD kolmionABC sivunBC keskipiste. Todista, että AD < AB+AC2 .
2.
Millä kokonaisluvun narvoilla Diofantoksen yhtälöllä x+y+z=nxyzon positiivisia kokonaislukuratkaisuja?
3.
Etsi Diofantoksen yhtälönx2+y2+z2+w2= 3(x+y+z+w).
sellaiset positiiviset kokonaislukuratkaisut, joillax, y, zjawovat erisuuria.
4.
Osoita, että kokonaislukukertoimisille polynomeille pätee (x−1)2| nxn+1−(n+ 1)xn+ 1.
5.
Etsi sellaiset kokonaisluvuta,b jac, että x+ 5(x−1)(x−2)(x−3) = a
x−1 + b
x−2 + c x−3
kaikilla x∈R\ {1,2,3}.
6.
Olkoonf(x)polynomi, jonka korkeimman asteen kerroin on1 ja jonka ker- toimet ovat kokonaislukuja. Osoita, että jos on olemassa neljä eri kokonaislukua a,b,cja d, joillaf(a) =f(b) =f(c) =f(d) = 5, niin ei ole olemassa kokonais- lukuak, jollaf(k) = 8.7.
Polynomin ax4+bx3+cx2+dx+ekertoimet ovat kokonaislukuja, ja po- lynomin arvo on jaollinen luvulla 7 kaikilla muuttujan xkokonaislukuarvoilla.Osoita, että7|a,7|b,7|c,7|dja7|e.
8.
Etsi kaikki reaalilukukertoimiset polynomitf(x), joille x f(x−1) = (x+ 1)f(x).1
Vaativampia tehtäviä
9.
Olkoonpalkuluku jaqjanpositiivisia kokonaislukuja. Osoita, että Diofan- toksen yhtälöllä2p+ 3p=qn ei ole ratkaisuja, kunn >1jaq >1.
10.
OlkoonABCDjännenelikulmio. Osoita, että kolmioidenABC,BCD,CDA ja DAB sisäänpiirrettyjen ympyröiden keskipisteet K, L, M, N ovat suorakul- mion kärjet.11.
Olkoot A, B, C ja D neljä avaruuden pistettä, jotka eivät ole samassa tasossa. Osoita, ettäAC·BD < AB·CD+AD·BC.
12.
Etsi kaikki nollasta poikkeavat reaaliluvutxjay, jotka ratkaisevat yhtälö- parin
1 x+1
y = 9, 1
√3
x+ 1
√3
y 1 + 1
√3
x 1 + 1
√3
y
= 18.
13.
Osoita, että jos a, b, c, d∈[0, π], ja(2 cosa+ 6 cosb+ 7 cosc+ 9 cosd= 0, 2 sina−6 sinb+ 7 sinc−9 sind= 0,
niin3 cos (a+d) = 7 cos (b+c).
14.
Olkoot a,b jac sellaisia reaalilukuja, ettei niistä minkään kahden summa ole nolla. Osoita, ettäa5+b5+c5−(a+b+c)5 a3+b3+c3−(a+b+c)3 > 10
9 (a+b+c)2.
15.
Olkoot ajab erisuuria positiivisia reaalilukuja. Etsi kaikki positiiviset re- aalilukuratkaisut yhtälöparille(x4−y4=ax−by, x2−y2=√3
a2−b2.
16.
Kutsumme kahta neliön muotoisen4×4-ruudukon1×1-ruutujen värjäystä ekvivalenteiksi, jos toisen värityksen voi muuttaa toiseksi kierroilla ja peilauk- silla. Jos käytössä on kolme väriä, niin kuinka monella epäekvivalentilla tavalla ruudukon16ruutua voi värjätä?17.
Kutsumme kahta kuution särmien värjäystäekvivalenteiksi, jos toisen voi muuttaa toiseksi kuutiota kiertämällä. Kuinka monella epäekvivalentilla tavalla kuution särmät voi värjätä, kun halutaan, että kuution12särmästä6värjätään valkeiksi ja6 mustiksi?2
