Keplerin lait
Pro gradu -tutkielma Anssi Korhonen
Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto
3. helmikuuta 2022
Tiivistelmä
Tässä työssä keskeisimpänä asiana käsitellään saksalaisen tieteilijän, Johan- nes Keplerin, kolmea planeettojen kiertorataan liittyvää lakeja. Ennen kuin työssä mennään Keplerin lakeihin, käydään taustatiedot luvussa matemaatti- sia ja fysikaalisia merkintöjä, määritelmiä ja lauseita, joita tarvitaan lausei- den johtamiseen. Tärkeimpinä taustatietoina mainittakoon napa- ja pallo- koordinaatistot, ellipsin ominaisuudet ja osat sekä Newtonin lait, konserva- tiivinen vektorikenttä, kokonaisenergian säilymislaki ja Newtonin painovoi- malaki.
Tämän jälkeen työssä lähdetään liikkeelle kahden kappaleen ongelmasta, jos- ta saadun tuloksen, keskeisvoiman, pohjalta siirrytään liikkeeseen keskeisvoi- makentässä. Tästä saadun liikeyhtälön kautta mennään keskeisvoimakentän kokonaisenergian tutkimiseen ja lopulta päädytään muodostamaan liikera- dan dierentiaaliyhtälö, jonka kautta päästään itse aiheeseen, eli Keplerin lakeihin.
Keplerin ensimmäisen lain mukaan planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko. Tämä laki saadaan yhdistettyä kahden kappaleen ongelmaan siten, että kappaleina toimivat planeetta ja Aurinko.
Systeemin massakeskipisteenä on Aurinko, sen massan ollessa valtavasti suu- rempi kuin planeetan, jolloin Aurinko voidaan sijoittaa origoon kiinteäksi pisteeksi. Tällöin riittää tutkia pelkästään planeetan liikettä Auringon ym- päri.
Keplerin toinen laki, eli auringosta planeettaan piirretty paikkavektori piirtää yhtä pitkissä aikajaksoissa yhtä suuret pinta-alat, perustuu kahden kappaleen ongelmaan ja sitä myöten todettuun tietoon liikemäärämomentin vakioudes- ta. Käytännössä toinen laki kertoo sen, että planeetan ollessa lähempänä Aurinkoa, se liikkuu nopeammin.
Keplerin kolmas laki, eli planeettojen kiertoaikojen neliöt ovat verrannolli- set isoakselien puolikkaiden kuutioihin. Tämä laki saadaan johdettua ellip- sin ominaisuuksien kuin myös energiayhtälön avulla, jotka molemmat työssä esitetään.
Abstract
The central issue in this work is the three planetary orbital laws of the Ger- man scientist Johannes Kepler. Before going into Kepler's laws, the chapter of background information covers the mathematical and physical notations, denitions, and theorems needed to prove the laws. The most important background information are the polar and spherical coordinate systems, the properties and parts of the ellipse and Newton's laws, the conservative vector eld, the law of conservation of total energy and Newton's law of gravity.
After this, the work begins with the two-body problem, and based on the result obtained, the central force, we move into the motion in central force eld. Through the resulting equation of motion, we start to study the total energy of the central force eld, and nally we end up forming a dierential equation for the orbit, through which we get to the subject itself; Kepler's laws.
Kepler's rst law, the orbits of the planets are ellipses with the Sun at their second focal point. This law can be combined with the two-body problem, with the planet and the Sun acting as bodies. The barycenter of the system is the Sun, with its mass being vastly larger than the planet's mass, allowing the Sun to be placed at the origin as a xed point. In that case, it is enough to study the movement of the planet around the Sun alone.
Kepler's second law, that is, the position vector drawn from the Sun to the planet, sweeps out equal areas during equal periods of time, is based on the two-body problem and the constancy of angular momentum. Practically, the second law says that as the planet is closer to the Sun, it moves faster.
Kepler's third law, that is, the squares of the orbital period of the planets, are proportional to the cubes of the semi-major axis. This law can be proved using the properties of an ellipse as well as the energy equation, both of which are presented in the work.
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Taustatiedot 2
2.1 Matemaattisia merkintöjä, määritelmiä ja lauseita . . . 2
2.1.1 Napakoordinaatisto . . . 2
2.1.2 Pallokoordinaatisto . . . 3
2.1.3 Ellipsin ominaisuuksia . . . 4
2.1.4 Viivaintegraalit . . . 11
2.2 Fysikaalisia merkintöjä, määritelmiä ja lauseita . . . 11
2.2.1 Newtonin lait . . . 11
2.2.2 Muita hyödyllisiä fysiikan lakeja . . . 12
3 Kahden kappaleen ongelma 16 3.1 Liike keskeisvoimakentässä . . . 17
3.2 Energiayhtälö ja sen avulla liikeradan integrointi . . . 19
3.3 Liikeradan dierentiaaliyhtälö . . . 21
4 Keplerin ensimmäinen laki 24 4.1 Keplerin ensimmäisen lain johtaminen . . . 24
5 Keplerin toinen laki 31 5.1 Keplerin toisen lain johtaminen . . . 31
6 Keplerin kolmas laki 33 6.1 Keplerin kolmannen lain johtaminen . . . 33
Lähteet 36
1 Johdanto
Johannes Kepler (1571-1630) oli saksalainen tieteilijä, joka tunnetaan hänen mukaan nimetyistä kolmesta planeettojen kiertorataan liittyvistä laeistaan.
Kaksi ensimmäistä näistä laeista hän julkaisi vuonna 1609 kirjassaan Astro- nomia nova Tycho Brahen astronomisten havaintojen kautta. Ensimmäisen lain mukaan planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko ja toisen lain mukaan Auringosta planeettaan piirretty paikka- vektori piirtää yhtä pitkissä aikajaksoissa yhtä suuret pinta-alat. Kymme- nen vuotta myöhemmin hän julkaisi teoksen Harmonice Mundi, jossa esitteli kolmannen lakinsa, eli planeettojen kiertoaikojen neliöt ovat verrannolliset isoakselien puolikkaiden kuutioihin. [2].
Erityisesti kolmannesta laista inspiroituneena Isaac Newton, jonka lait ku- vaavat erityisesti liikettä, ymmärsi kuinka omenan putoaminen puusta ja kuun liike maan ympäri seuraa samoja periaatteita. Tällöin Newton oivalsi, kuinka planeettojen välinen vetovoima aiheuttaa planeetan ellipsin muotoi- sen radan ja osoitti teoriapohjalta vuonna 1687 kuinka Keplerin lait pätevät hänen liikelakien ja gravitaatiolain pohjalta. [12].
Keplerin lait -työ tarjoaa kattavan katsauksen kahden kappaleen ongelmaan, josta saatujen tulosten kautta esitellään Keplerin ensimmäinen, toinen ja kol- mas laki sekä johdetaan ne. Sitä ennen työssä käydään läpi tarvittava mate- matiikan ja fysiikan teoria, jotta tekstin seuraaminen olisi lukijalle vaivatonta ja mielekästä.
2 Taustatiedot
Tämä kappale sisältää tarvittavat taustatiedot, joita tarvitaan siirryttäessä esittämään kahden kappaleen ongelmaa sekä johtamaan sitä kautta Keplerin kolmea lakia. Kappaleessa käydään läpi oleellisia matemaattisia merkintöjä sekä lauseita ja esitellään tarvittavat fysiikan lait.
2.1 Matemaattisia merkintöjä, määritelmiä ja lauseita
Vektorisuuretta merkitään lihavoiduilla kirjaimilla. Skalaarisuureita merki- tään ilman lihavointia. Mikäli kyseessä on suureen aikaderivaatta, merkitään sitä lisäämällä piste suureen tunnuksen päälle. Esimerkiksi nopeuden aika- derivaatta on v.˙
Työssä oletetaan dierentiaaliyhtälöihin liittyvät perustulokset sekä vekto- reihin liittyvät laskuoperaatiot tunnetuiksi.
2.1.1 Napakoordinaatisto
Napakoordinaatisto on koordinaattisysteemi kaksiulotteiselle avaruudelle ku- ten karteesinen koordinaatisto. Kuitenkin karteesisen koordinaatiston perus- tuessaxy-tasoon, napakoordinaatiston taso ilmaistaan etäisyydellä origosta, r, jax-akselin sekä etäisyyden r välisellä kulmalla ϕ, kuten kuva 1 osoittaa.
Koordinaattejar jaϕsanotaan napakoordinaateiksi. Karteesisen koordinaa- tiston ja napakoordinaatiston ero ilmenee siinä, kun karteesisessa koordinaa- tistossa vakiot x ja y ovat suoria ja kohtisuorassa toisiinsa nähden, niin na- pakoordinaatistossa vakio ϕ on suora, mutta vakio r on ympyrä. Kuitenkin vakio ϕja vakior leikkaavat kohtisuorassa toisiinsa nähden. [3, s. 533], [9, s.
27-28].
Lause 2.1. Napakoordinaatit (r, ϕ) saadaan ilmaistua karteesisina koordi- naatteina (x, y) kaavoilla
x=rcosϕ, y=rsinϕ.
[3, s. 535].
Todistus. Sivuutetaan. Katso [3, s. 535].
Kuva 1: Napakoordinaatiston ja karteesisen koordinaatiston yhteys.
Lause 2.2. Olkoon ρ : [α, β] → R+ jatkuva. Napakoordinaatistossa määri- tellyn käyrän r = ρ(ϕ) rajaaman alueen pinta-ala janojen ϕ = α ja ϕ = β välissä on
A= Z β
α
1
2[ρ(ϕ)]2dϕ.
Todistus. Sivuutetaan. Katso [3, s.548].
2.1.2 Pallokoordinaatisto
Pallokoordinaatisto on koordinaattisysteemi kolmiulotteiselle avaruudelle ja sen koordinaatit ovat r, ϕ ja θ. Näistä r kertoo etäisyyden origosta, ϕ ku- vaa x-akselin ja origosta haluttuun pisteeseen muodostaman suoran välistä kulmaa ja θ kuvaa z-akselin ja origosta haluttuun pisteeseen muodostaman suoran välistä kulmaa, kuten kuvassa 2 näkyy. Kun r on vakio, muodostuu koordinaatistoon pallo, kun ϕ on vakio, muodostuu koordinaatistoon puoli- taso ja kun θ on vakio, muodostuu koordinaatistoon kartio.
Lause 2.3. Pallokoordinaatit (r, ϕ, θ)saadaan ilmaistua karteesisina koordi- naatteina (x, y, z) kaavoilla
x=rsinθcosϕ, y=rsinθsinϕ, z =rcosθ, missä r≥0, 0≤ϕ≤2π ja 0≤θ ≤π.
Todistus. Sivuutetaan.
Tässä kappaleessa kerratut asiat löytyvät lähteestä [3, s.1004-1005].
Kuva 2: Pallokoordinaatiston ja karteesisen koordinaatiston yhteys.
2.1.3 Ellipsin ominaisuuksia
Määritelmä 2.4. Kartioleikkaus on yhteinen nimi käyrille, jotka saadaan leikkaamalla ympyräkartiota tasoilla, jotka ovat eri suuntaisia. Katso kuva 3.
[8, s.568].
Määritelmä 2.5. Ellipsi on yksi kartioleikkauksista. Se on niiden pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahteen annettuun polttopisteeseen on vakio. [3, s.523].
Määritelmä 2.6. Kartioleikkauksen eksentrisyys, e, määrää kyseisen leik- kauksen muodon. Ympyrälle e = 0, ellipsille 0< e <1, hyperbelillee >1 ja paraabelille e = 1.
Tässä työssä näistä kartioleikkauksista käsitellään ellipsiä. Kuvassa 4 on näh- tävissä ellipsi ja sen oleellisimmat osat.
Määritelmä 2.7. Ellipsin eksentrisyys lasketaan polttopisteen etäisyyden keskipisteestä c ja isoakselin puolikkaana suhteena, eli e= c
a.
Lause 2.8. Ellipsin pinta-ala lasketaan kertomalla π sekä pikkuakselin ja isoakselin puolikkaat keskenään, eli A=πab.
Todistus. Sivuutetaan. Katso [7, s.113-115].
Kuva 3: Kartioleikkaukset.
Kuva 4: Ellipsi, missä a on isoakselin puolikas, b on pikkuakselin puolikas, c on polttopisteen etäisyys keskipisteestä,ron etäisyys polttopisteestä kehälle, kulmaf isoakselin ja jananrvälinen kulma sekäpyksi ellipsin parametreista a(1−e2).
Määritelmä 2.9. Pisintä etäisyyttä polttopisteestä ellipsin kehälle kutsu- taan apoapsikseksi ja lyhintä etäisyyttä periapsikseksi.
Lause 2.10. Isoakselin puolikas a saadaan laskettua apoapsiksen, r1, ja pe- riapsiksen, r2, keskiarvona. Eli a= r1+r2
2 .
Todistus. Nyt pisin etäisyys polttopisteeestä kehälle on r1 = a+c ja lyhin etäisyys on r2 =a−c. Tällöin etäisyyksien keskiarvoksi saadaan
r1+r2
2 = (a+c) + (a−c)
2 =a.
Lause 2.11. Ellipsin pikkuakselin puolikas b saadaan laskettua isoakselin puolikkaan ja eksentrisyyden avulla kaavalla b =a√
1−e2.
Todistus. Todistus havainnollistetaan kuvassa 5. Olkoot F1 ja F2 ellipsin polttopisteet ja P piste ellipsin kaarella. Jos P sijaitsee pisteessä (x,0), niin janojen P F1 ja P F2 summan pituus on2a, sillä
P F1+P F2 = (a+c) + (a−c) = 2a.
Jos piste P sijaitsee pisteessä (0, y), niin y-akselin molemminpuolin syntyy kaksi yhdenmuotoista kolmiota. Katso kuva 5. Tällöin Määritelmän 2.5 mu- kaisesti janojen pituuksien summan suuruus säilyy ja saamme janojen P F1 ja P F2 pituudeksi P F1 =P F2 =a. [3, s.523-524].
Nyt Pythagoraan lauseen avulla saadaan yhtälö a2 =b2+c2, josta saadaan ratkaistua
b=√
a2−c2.
Sijoittamalla ellipsin eksentrisyyden matemaattinen määritelmä 2.7 c:n pai- kalle saadaan
b=p
a2−(ae)2
=√
a2−a2e2
=p
a2(1−e2)
=ap
(1−e2).
Kuva 5: Ellipsi, jonka polttopisteet ovat F1 ja F2 ja a on ellipsin sisään piirretyn kolmion hypotenuusa sekä b sekä ckolmion kateetit.
Lause 2.12. Ellipsin parametri p (kts. Kuva 4) saadaan laskettua kaavalla p=a(1−e2).
Todistus. Todistuksessa käytetään Kuvia 4 ja 5 sekä edellisen todistuksen tietoa
P F1+P F2 = (a+c) + (a−c) = 2a.
Olkoon piste P kohdassa, jossa parametri p leikkaa ellipsin kehän. Tällöin saadaan suorakulmainen kolmio, jonka yksi kateeteista on p. Nyt Pythago- raan lauseella saadaan
(2a−p)2 = (2c)2+p2. Muistetaan, että c=ae, jolloin
p2 = (2a−p)2−(2ae)2
= 4a2−4pa+p2−4a2e2, mistä saadaan
pa=a2 −a2e2,
jolloin
p=a(1−e2).
Määritelmä 2.13. Kun ellipsin ympärille piirretään apuympyrä, jonka hal- kaisija on sama kuin ellipsin isoakseli, niin tällöin kuvassa 6 muodostettua kulmaa Ψ kutsutaan eksentriseksi anomaliaksi. [15, s.150].
Lause 2.14. Eksentrisen anomalian avulla r, eli etäisyys ellipsin polttopis- teestä kehälle, saadaan kaavalla r=a(1−ecos Ψ).
Todistus. Sivuutetaan. Katso [8, s.190-191].
Kuva 6: Pisteen P eksentrinen anomalia on kulma Ψ. Eksentrinen anoma- lia on kuvan mukainen kulma kolmiosta, jonka hypotenuusa a on sama kuin ellipsin isoakselin puolikas, korkeus kulkee pisteenP kautta apuympyrän pis- teelle P0 ja kanta sijaitsee ellipsin isoakselilla.
Määritelmä 2.15. Ellipsin, jonka keskipiste on pisteessä (h, k), karteesisen koordinaatiston yhtälö on
(x−h)2
a2 +(y−k)2
b2 = 1. (2.1)
[3, s.23].
Lause 2.16. Origokeskisen ellipsin yhtälö napakoordinaateissa on
r= b
p1−e2cos2ϕ.
Todistus. Sijoitetaan ellipsin karteesisen koordinaatiston yhtälöön napakoor- dinaatit x=rcosϕja y =rsinϕ, jolloin saadaan
(rcosϕ)2
a2 + (rsinϕ)2
b2 = 1. (2.2)
Hyödyntämällä Lausetta 2.11 yhtälön (2.2) vasen puoli voidaan kirjoittaa muodossa
(rcosϕ)2
a2 + (rsinϕ)2 (a√
1−e2)2
=(a√
1−e2)2(rcosϕ)2+a2(rsinϕ)2 a2(a√
1−e2)2)
=(1−e2)(rcosϕ)2+ (rsinϕ)2 a2(1−e2)
=r2cos2ϕ−e2r2cos2ϕ+r2sin2ϕ a2(1−e2)
=r2(cos2ϕ+ sin2ϕ)−e2r2cos2ϕ a2(1−e2)
=r2(1−e2cos2ϕ) a2(1−e2) ,
jolloin yhtälö (2.2) saadaan muotoon
r2(1−e2cos2ϕ)
a2(1−e2) = 1. (2.3)
Ratkaisemalla r yhtälöstä (2.3), saadaan r2 = a2(1−e2)
(1−e2cos2ϕ),
eli
r= a√ 1−e2 p1−e2cos2ϕ. Tällöin Lauseen 2.11 perusteella
r= b
p1−e2cos2ϕ. (2.4)
Lause 2.17. Kun r mitataan polttopisteestä, niin ellipsin yhtälö napakoor- dinaateissa on r = p
1 +ecosϕ.
Todistus. Yhtälössä (2.4) r on siis mitattu ellipsin keskipisteestä. Nyt r mitataan polttopisteestä, jonka etäisyys ellipsin keskipisteestä on c. Tällöin koordinaateiksi saadaan x = c+rcosϕ ja y = rsinϕ, jolloin napakoordi- naatteina
(c+rcosϕ)2
a2 +(rsinϕ)2 b2 = 1.
Kun käytetään Lausetta 2.11 ja Määritelmää 2.7, saadaan (ae+rcosϕ)2
a2 + (rsinϕ)2 (a√
1−e2)2 = 1.
Ja, kun yhtälöstä ratkaistaan r, päästään haluttuun lopputulokseen r= a(1−e2)
1 +ecosϕ. (2.5)
Ja Lauseen 2.12 mukaan
r= p
1 +ecosϕ. (2.6)
[8, s. 568].
Yhtälö 2.6 pätee yleisesti myös muille kartioleikkauksille eri eksentrisyyden e ja kartioleikkauksen parametrin parvoilla.
2.1.4 Viivaintegraalit
Määritelmä 2.18. Olkoon h :A⊂R3 →R3 vektorikenttä, joka on jatkuva käyrällä C ⊂ A, ja olkoon r : [a, b] → C käyrän C parametrisointi. Tällöin h:n viivaintegraali käyrää C pitkin on
Z
C
h(r)·dr = Z b
a
[h(r(u))·r˙(u)]du.
[3, s.1021].
2.2 Fysikaalisia merkintöjä, määritelmiä ja lauseita
Tämä työ käsittelee fysiikan osalta klassista mekaniikkaa, joka kuvaa atomia suurempien fyysisten objektien liikettä, ja jonka peruskäsitteitä ovat muun muassa massa, kiihtyvyys ja voima. Klassista mekaaniikkaa on esimerkiksi työssä käsiteltävä planeettaliike, jossa esiintyvät voimat ovat konservatiivi- sia. Konservatiivinen voima määritellään kappaleessa 2.2.2. [1, s.1,5].
Tässä työssä käytetään seuraavia merkintöjä fysikaalisille suureille: m on massa ja r(t)on paikkavektori ajan funktiona. Paikkavektorin derivaatta ajan suhteen on nopeus v(t), eli v(t) = ˙r(t) ja nopeusvektorin derivaatta ajan suhteen on kiihtyvyys a(t), eli a(t) = ˙v(t) = ¨r(t). Paikan ja ajan funktio F(r, t) on voima. [10, s. 2].
Määritelmä 2.19. Liikemäärä p määritellään nopeuden ja massan tulona.
Eli p=mv. [10, s. 2].
Määritelmä 2.20. Liikemäärämomentti L määritellään massapisteen paik- kavektorin annetun origon suhteen r ja liikemäärän p ristitulona. Eli L = r×p. [10, s. 7].
2.2.1 Newtonin lait
Newtonin kolme peruslakia ovat klassisen mekaniikan perusta.
Lause 2.21. (Newtonin ensimmäinen laki) Kappale liikkuu tasaisella suora- viivaisella liikkeellä, ellei siihen vaikuta mitään voimia. Eli, jos F = 0 niin v=vakio. [10, s. 2].
Lause 2.22. (Newtonin toinen laki) Mikäli kappaleeseen vaikuttaa voimia, niin liikemäärän muutos aikayksikköä kohden on yhtä suuri kuin siihen vai- kuttava kokonaisvoima. Tällöin dp
dt =F. [10, s. 2].
Koska p =mv, a=dv/dt ja massa oletetaan vakioksi, niin Newtonin toinen laki saadaan tutumpaan muotoon F=ma.
Lause 2.23. (Newtonin kolmas laki) Kahden kappaleen vaikuttaessa toisiin- sa, on niiden voimat toisiinsa nähden yhtä suuret, mutta vastakkaiset. Täl- löin F12=−F21. [10, s. 2].
2.2.2 Muita hyödyllisiä fysiikan lakeja
Tässä kappaleessa esitellään työn kannalta hyödyllisiä fysiikan määritelmiä ja lakeja.
Määritelmä 2.24. SuurettaK = 12mv2kutsutaan massapisteen liike-energiaksi, eli kineettiseksi energiaksi. [10, s. 5].
Määritelmä 2.25. Voimakentän F tekemä työW, kun kappale liikkuu mat- kan, jonka käyrä C kuvaa, on W =R
CF(r)·dr. [3, s.1025].
Lause 2.26. Kun voimakenttä F kiihdyttää käyrääCpitkin kappaletta, jonka massa on m, muuttuu kappaleen kineettinen energia. Tällöin voiman tekemä työ on
W = 1
2m(v(t1)2−v(t0)2)≡K −K0. (2.7) Todistus. Olkoon r = r(t), t ∈ [t0, t1] käyrän C parametrisaatio. Massa- pisteen liikkuessa voimakentässä F pisteestä r(t0) pisteeseen r(t1), voiman tekemä työ saadaan Määritelmän 2.25 kautta viivaintegraalina
W = Z r(t1)
r(t0)
F·dr, joka saadaan Määritelmän 2.18 avulla muotoon
W = Z t1
t0
[F(r(t))·r˙(t)]dt. (2.8) Nyt Lauseen 2.22 kautta tiedämme, että ajassa t
F(r(t)) =ma(t) =m¨r(t), josta seuraa
F(r(t))·r˙(t) = m¨r(t)·r˙(t)
= d dt
1
2m( ˙r(t)·r˙(t))
= d dt
1
2m(v(t))2
,
ja näin ollen yhtälö 2.8 saadaan muotoon W =
Z t1
t0
d dt
1
2m(v(t))2
dt
= 1
2m v(t1)2−v(t0)2 .
[10, s. 5], [3, s. 1032-1033].
Määritelmä 2.27. Vektorikenttä on konservatiivinen, jos sen tekemä työ W =Rr
r0F·dr on integroimisreitistä riippumaton.
Konservatiivinen voimakenttä F(r) voidaan siis ilmaista ajasta riippumatto- man skalaarikentän, potentiaalifunktion U(r) gradienttina F = −∇U. Täl- löin
d
dt (U(r(t)) =∇U(r(t))·r˙(t) =−F(r(t))·r˙(t). (2.9) [10, s. 6].
Lause 2.28. Konservatiiviselle voimalle pätee
W =−U(r(t1)) +U(r(t0)). (2.10) Todistus. Hyödyntämällä Määritelmää 2.18 ja yhtälöä (2.9)
W = Z r(t1)
r(t0)
F·dr
= Z t1
t0
[F(r(t))·r˙(t)]dt
= Z t1
t0
−d
dt (U(r(t)))dt
=−U(r(t1)) +U(r(t0)).
Tällöin, kun yhdistämme saadut yhtälöt (2.7) ja (2.10), saamme mekaanisen kokonaisenergian
E =K+U.
[10, s. 6], [3, s. 1033].
Lause 2.29. (Kokonaisenergian säilymislaki). Kokonaisenergian E =K+U määrä on vakio.
Otetaan tarkasteluun yksiulotteinen tapaus, jossa massapisteenmkokonaise- nergia on E ja se liikkuu potentiaalissa U(x). Kokonaisenergian säilymislain mukaan kappaleella on liikettä, kun U(x) ≤ E, katso kuva 7. Nyt saadaan muodostettua dierentiaaliyhtälö
E = 1 2m
dx dt
2
+U(x) =vakio, joka voidaan kirjoittaa muodossa
dt= dx
r2
m E−U(x) .
Valitsemalla alkuehto x0 =x(t0) saadaan
t−t0 = Z x
x0
2
m E−U(x) −1
2dx. (2.11)
Kuva 7: Massapisteen liike tapahtuu alueella U(x)≤E.
Tällöin, kun tunnetaan kokonaisenergiaE, potentiaalienergiaU sekä alkuar- vo x0, niin saadaan ratkaistua massapisteen rata yhdellä integroinnilla. [10, s. 6-7].
Määritelmä 2.30. Kappaleeseen kohdistuva keskeisvoima on voima, joka on joko suoraan kohti tai pois kiinteästä pisteestä, jota kutsutaan voimakes- kukseksi.
Matemaattisesti keskeisvoimaa merkitään F=f(r)er, missä er on r:n suun- tainen yksikkövektori ja f(r)etäisyyden r skalaarifunktio. Huomioitavaa on se, että mikäli f(r) on positiivinen, niin tällöin F on poistyöntävä voima ja mikäli f(r) on negatiivinen, on F vetävä voima. [1, s.8].
Keplerin lait saadaan johdettua ainoastaan tietyn painovoimalain kautta.
Tämän painovoimalain löysi Isaac Newton ja sitä kutsutaankin Newtonin painovoimalaiksi, joka on yksi tunnetuimmista keskeisvoimista.
Lause 2.31. (Newtonin painovoimalaki). Kahden kappaleen vetovoima on verrannollinen niiden massojen tuloon ja kääntäen verrannollinen niiden vä- lisen etäisyyden neliöön.
Tällöin Newtonin painovoimalain mukaan voima pallosymmetristen massojen M ja m välillä on muotoa
F(r) = −GM m
r2 er. (2.12)
Lausekkeessa verranollisuuskerroinGon gravitaatiovakio6,6726·10−11Nm2kg−2 ja er on r:n suuntainen yksikkövektori. Koska massat ovat aina positiivisia suureita, on painovoima vetävä voima.
Koska aiemmin todettiin, että konservatiivisessa voimakentässä F = −∇U, niin tällöin potentiaali, joka antaa Keplerin lait, on muotoa
U =−k
r, (2.13)
missä k =GM m. [1, s.8], [10, s.24].
3 Kahden kappaleen ongelma
Tässä kappaleessa lähdetään liikkelle kahden kappaleen ongelmasta, josta saadun tuloksen pohjalta edetään liikkeeseen keskeisvoimakentässä. Tästä edetään keskeisvoimakentän kokonaisenergian tutkimiseen ja lopuksi saatu- jen tulosten pohjalta muodostetaan liikeradan dierentiaaliyhtälö. Kappa- leen asiat liittyvät vahvasti Keplerin lakien johtamiseen.
Kahden kappaleen ongelmana voidaan pitää esimerkiksi planeetan rataa Au- ringon ympäri, jossa massat ovat vakioita ja paikkavektorit ajan funktioita.
Tällöin kaksi kappaletta, joiden massat ovatm1 jam2, ja joiden paikkavekto- rit ovat r1(t)ja r2(t)vaikuttavat toisiinsa vastakkaisilla voimilla Newtonin 3.
lain mukaan. Tällöin, kun m2 vaikuttaa kappaleeseen m1 voimalla F12 niin m1 vaikuttaa kappaleeseen m2 vastakkaisella voimalla F21, jolloin
F21=−F12.
Nyt kahden kappaleen muodostaman systeemin massakeskipiste on R= m1r1+m2r2
m1+m2 . (3.1)
Kuva 8: Kahden kappaleen ongelma.
Kappaleiden liikeyhtälöt Newtonin toisen lain mukaan ovat
m1¨r1 =F12, (3.2)
m2¨r2 =F21. (3.3)
Yhdistämällä liikeyhtälöt (3.2) ja (3.3), systeemin massakeskipisteen yhtälö (3.1) sekä hyödyntämällä Newtonin kolmatta lakia (Lause 2.23) saamme
m1¨r1+m2¨r2 = (m1+m2) ¨R=F12+F21 = 0, jolloin huomaamme, että
R˙ =vakio, (3.4)
eli systeemi liikkuu tasaisesti.
Merkitään massojen välistä etäisyyttä r=r2−r1, jolloin
¨r = ¨r2 −¨r1 = F21
m2
− F12
m1
= F21
m2
+F21
m1
= 1
m2
+ 1 m1
F21=
m1+m2 m1m2
F21, ja tästä ratkaisemalla F21 saadaan
F21= m1m2
m1+m2¨r. (3.5)
Yleisesti termi m1m2
m1+m2 on nimetty redusoiduksi massaksi ja sitä merkitään jatkossa kirjaimellaµ. Tuloksesta huomataan, että kahden kappaleen liikeyh- tälö pystytään kirjoittamaan yhden kappaleen liikeyhtälönä
F21=µ¨r. (3.6)
Kyseinen voima on keskeisvoima, joka on muotoa
F21=f(r)er, (3.7)
missä eron yksikkövektori, jonka suunta on r. Jatkossa voidaan siis tarkastel- laµ-massaisen kappaleen liikettä koordinaatistossa, jossa origo on kiinnitetty massakeskipisteeseen. [10, s. 15-16], [11, s. 107-108].
3.1 Liike keskeisvoimakentässä
Tässä luvussa käytetään kahden kappaleen ongelmasta saatua tulosta, kes- keisvoimaa, ja tutkitaan sen liikettä. Tavoitteena on muodostaa liikeyhtälö, jota hyödynnetään tulevissa luvuissa.
Johdetaan nk. pintalause keskeisvoimakentälle F, joka on yhtälön (3.7) mu- kainen.
Lause 3.1. Kahden kappaleen ongelman tilanteessa liike pysyy tasossa.
Todistus. Määritelmän 2.20 mukainen liikemäärämomentin kaava saadaan Määritelmän 2.19 avulla muotoon
L =r×p =r×µr˙, (3.8)
jolloin
d
dtL=r×µ¨r=r×F, (3.9)
ja hyödyntämällä yhtälöä (3.7) saadaan
r×F21=r×f(r)er= 0. (3.10) Huomataan siis, että liikemäärämomentti on vakio, joka tarkoittaa sitä, et- tä liike tapahtuu tasossa, joka on kohtisuorassa liikemäärämomenttivektoria
vastaan.
Kuva 9: Liike keskeisvoimakentässä.
Tutkitaan nyt konservatiivista keskeisvoimaa pallokoordinaatistossa(r, ϕ, θ).
Lauseessa 3.1 liike todettiin tasoliikkeeksi, jolloin on järkevää valita koordi- naatisto niin, että r=rer onxy-tasossa ja kohtisuorassa liikemäärämoment- tia L vastaan. Jotta r on xy-tasossa, valitaan θ = π
2, jolloin Lauseen 2.3 mukaan z = 0 ja x sekäy ovat kuin napakoordinaatistossa.
Napakoordinaatiston yksikkövektorit karteesisten yksikkövektorien avulla ovat er = cos(ϕ)ex+ sin(ϕ)ey,
eϕ =−sin(ϕ)ex+ cos(ϕ)ey.
Näiden aikaderivaatat saadaan seuraavalla tapaa d
dter = ˙ϕ(cos(ϕ)ey −sin(ϕ)ex) = ˙ϕ d
dϕer = ˙ϕeϕ, d
dteϕ =−ϕ(cos(ϕ)˙ ex+ sin(ϕ)ey) = −ϕ˙er.
Derivoimalla paikkavektoria kaksi kertaa saamme kappaleen nopeus- ja kiih- tyvyysvektorit
r˙ = ˙rer+rϕ˙eϕ, (3.11)
¨r= (¨r−rϕ˙2)er+ (2 ˙rϕ˙ +rϕ)¨ eϕ. (3.12) Liittämällä yhtälö (3.12) kaavoihin (3.6) ja (3.7) saamme
µ¨r=µ(¨r−rϕ˙2)er+µ(2 ˙rϕ˙ +rϕ)¨ eϕ =f(r)er. (3.13) Erottamalla komponentit saamme kahden dierentiaaliyhtälön systeemin
( µ(¨r−rϕ˙2) = f(r) µ(2 ˙rϕ˙ +rϕ) = 0.¨
(3.14) (3.15) Nyt yhtälöiden (3.11) ja (3.8) avulla saadaan
L=r×µ˙r=rer×µ( ˙rer+rϕ˙eϕ) = µr2ϕ˙eθ. (3.16) Lauseessa 3.1 todettiin liikemäärämomentin olevan vakio, mistä seuraa, että termi µr2ϕ˙ on vakio. Merkitään tätä vakiota kirjaimella l, ja näin saadaan liikemäärämomentin itseisarvo
l=µr2ϕ.˙ (3.17)
Sijoittamalla l =µr2ϕ˙ yhtälöön (3.14) saadaan µ(¨r−rϕ˙2) =µ¨r−µrϕ˙2 =µ¨r− µ2r4ϕ˙2
µr3 =µ¨r− l2
µr3 =f(r). (3.18) Saatua liikeyhtälöä (3.18) tullaan hyödyntämään seuraavissa kappaleessa.
[10, s. 17-18], [6, s.103-104].
3.2 Energiayhtälö ja sen avulla liikeradan integrointi
Tämän kappaleen tarkoitus on tutkia planeetan kokonaisenergiaa ja muodos- taa siitä energiayhtälö hyödyntämällä Luvussa 2.2 esiteltyjä fysiikan lakeja.
Saadun energiayhtälön kautta päästään ratkaisemaan kappaleen liikerataa ja
siten Keplerin ensimmäistä lakia.
Kokonaisenergia säilyy konservatiivisessa keskeisvoimakentässä ja on tällöin E =K+U = 1
2µr˙2+U(r).
Hyödyntämällä lausekkeita (3.11) ja (3.17) saamme kokonaisenergiaksi E =K+U = 1
2µ˙r2+U(r)
= 1
2µ( ˙r2+r2ϕ˙2) +U(r)
= 1
2µr˙2+ l2
2µr2 +U(r), joka on siis vakio.
Määritelmä 3.2. Termiä l2
2µr2 kutsutaan keskipakopotentiaaliksi.
Määritelmä 3.3. Keskipakopotentiaalin ja potentiaalienergian summaa U0 kutsutaan efektiiviseksi potentiaaliksi. Katso kuva 10.
Kuva 10: Efektiivinen potentiaaliU0ja sen komponentit; keskipakopotentiaali
l2
2µr2 sekä potentiaali−kr.
Sijoittamalla kaavaan (2.11) kokonaispotentiaalin tilalle efektiivinen poten- tiaali, saadaan
t−t0 = Z r
r0
dr s
2 µ
E−U(r)− l2 2µr2
. (3.19)
Nyt radan muodon löytämiseksi selvitetään koordinaattien r ja ϕ välinen riippuvuus. Hyödyntämällä derivoinnin ketjusääntöä ja kaavaa (3.17) saam- me
dr dt = dr
dϕ dϕ
dt = dr dϕ
l µr2, kun tämä sijoitetaan energiayhtälöön (3.19), saadaan
ϕ−ϕ0 = Z r
r0
ldr µr2
s 2 µ
E−U(r)− l2 2µr2
= Z r
r0
ldr µr2
s2l2 2µ2
2µE
l2 − 2µU l2 − 1
r2
= Z r
r0
ldr µr2· l
µ s
2µ l2
E−U
− 1 r2 ,
josta lopulliseksi muodoksi saadaan ϕ−ϕ0 =
Z r r0
dr r2
s 2µ
l2
E−U
− 1 r2
. (3.20)
3.3 Liikeradan dierentiaaliyhtälö
Tässä kappaleessa muodostetaan liikeradan dierentiaaliyhtälö, jonka avulla päästään yhdellä tapaa johtamaan Keplerin ensimmäinen laki. Tavoitteena on kirjoittaa liikeyhtälö sellaisessa muodossa, jossa r on kulman ϕ funktio, eikä ajan t funktio.
Luvussa 3.1 saatiin liikemäärämomentiksi l =µr2ϕ˙. Tästä saadaan innite- simaalisten muutosten dt ja dϕvälille yhteys
dt= µr2 l dϕ.
Toisin sanoen t:n ja ϕ:n derivaattojen suhteen on yhteys d
dt = l µr2
d
dϕ. (3.21)
Tätä hyödyntämällä on tarkoitus esittää liikeyhtälö (3.18) sellaisessa muo- dossa, jossa esiintyy r(ϕ) eikär(t).
Koska
˙ r= dr
dt = dr dϕ
dϕ dt = l
µr2 dr dϕ, niin tällöin saadaan
µ¨r=µ d
dtr˙
=µ l
µr2 d dϕ
˙ r
=µ l
µr2 d dϕ
l µr2
dr dϕ
= l r2
d dϕ
l µr2
dr dϕ
. Sijoittamalla laskettu µ¨r liikeyhtälöön (3.18) saadaan toisen kertaluvun dif- ferentiaaliyhtälö
µ¨r− l2 µr3 = l
r2 d dϕ
l µr2
dr dϕ
− l2
µr3 =f(r). (3.22) Yhtälöä saadaan yksinkertaistettua tekemällä sijoitus u = 1
r. Ennen muut- tamista on huomioitava että
d(1/r)
dϕ = d(1/r) dr
dr
dϕ =−1 r2
dr dϕ, jolloin muuttujalla u ilmaistuna saadaan
1 r2
dr
dϕ =−du dϕ. Tällöin yhtälö (3.22) saadaan muotoon
lu2 d dϕ
− l µ
du dϕ
− l2
µu3 =f 1
u
,
eli l2u2 µ
d2u dϕ2 +u
=−f1 u
. (3.23)
Muistetaan, että voiman ja potentiaalin välillä on yhteys F=−∇U,
mikä yksiulotteisessa tapauksessa on yhtä kuin f =−dU
dr,
joka saadaan derivoinnin ketjusäännön avulla esitettyä muodossa f
1 u
=− d duU
1 u
du
dr =u2 d duU
1 u
. Tällöin yhtälö (3.23) saadaan muotoon
d2u
dϕ2 +u=−µ l2
d duU
1 u
, (3.24)
josta lähdetään johtamaan Keplerin ensimmäistä lakia. [4, s.86], [10, s.22].
4 Keplerin ensimmäinen laki
Lause 4.1. Planeettojen radat ovat ellipsejä, joiden toisessa polttopisteessä on Aurinko.
Kuva 11: Keplerin ensimmäinen laki.
Keplerin ensimmäinen laki voidaan yhdistää kahden kappaleen ongelmaan siten, että nyt kappaleina toimivat planeetta ja Aurinko. Koska tunnetus- ti Auringon massa on valtavan paljon suurempi kuin yhdenkään planeetan, sijoittuu systeemin massakeskipiste käytännössä Aurinkoon, jolloin Aurinko voidaan sijoittaa origoon kiinteäksi pisteeksi. Huomioitavaa on myös se, että redusoitu massa µ≈ planeetan massa.
4.1 Keplerin ensimmäisen lain johtaminen
Kun lähdemme johtamaan Keplerin ensimmäistä lakia, otetaan huomioon Lause 2.31 ja sen matemaattinen muoto F = −k
r2er eli f(r) = −k r2 sekä sitä vastaava potentiaali U = −k
r. Työssä käydään kaksi tapaa läpi, kuinka planeetan rata saadaan ratkaistua.
Ensimmäisenä ja helpoimpana tapana rata saadaan ratkaistua liikeradan dif- ferentiaaliyhtälön avulla, eli sijoittamalla yllä oleva potentiaali U =−k
r yh-
tälöön (3.24). Koska r= 1
u niin tällöin −k
r =−kuja näin ollen d2u
dϕ2 +u=−µ l2
d
du(−ku) = µk l2 .
Dierentiaaliyhtälö saadaan ratkaistua tekemällä muuttujanvaihto y=u− µk
l2 , jolloin saadaan
d2y
dϕ2 +y= 0.
Tähän toisen asteen lineaariseen dierentiaaliyhtälöön saadaan ratkaisuksi y=c2sin(ϕ) +c1cos(ϕ), c1, c2 ∈R,
joka saadaan muokattua muotoon y=
q
c22+c21·
c2
pc22+c21 sin(ϕ) + c1
pc22+c21 cos(ϕ)
. Olkoon nyt
B = q
c22+c21 ja olkoon ϕ0 sellainen kulma, jolle pätee
cos(ϕ0) = c1
pc22+c21 ja sin(ϕ0) = c2
pc22+c21, jolloin trigonometristen funktioiden ominaisuuksien kautta saadaan
y=B · cos(ϕ0)·cos(ϕ) + sin(ϕ0)·sin(ϕ)
=B ·cos(ϕ−ϕ0).
Ilmaisemalla saatu tulos r:n avulla, saadaan 1
r − µk
l2 =B ·cos(ϕ−ϕ0),
josta saadaan
1 r = µk
l2 +B·cos(ϕ−ϕ0)
= µk
l2 · 1 +B· l2
µk ·cos(ϕ−ϕ0) . Merkitsemällä e=B · l2
µk saadaan 1
r = µk
l2 · 1 +e·cos(ϕ−ϕ0)
, (4.1)
eli
r =
l2 µk
1 +e·cos(ϕ−ϕ0). (4.2) Vertaamalla saatua tulosta ellipsin yhtälöön napakoordinaatistossa, Lause 2.17, huomataan, että sopivilla vakioiden valinnoilla planeettojen radat ovat muodoltaan ellipsejä.
Tässä ratkaisussa ongelmana on se, että vakio e ei ota huomioon systeemin energiaa E eikä liikemäärämomenttial. Tätä varten tarkempi radan ratkaisu saadaan ratkaisemalla r yhtälöstä (3.20). [4, s.94-95].
Lähdetään liikkeelle siitä, että tehdään jo tuttu muuttujanvaihto u = 1 r, jolloin
du
dr =−1 r2 ja näin ollen
dr=−r2du=− 1 u2du.
Tällöin yhtälö (3.20) saadaan muotoon
ϕ−ϕ0 = Z u
u0
− 1 u2du 1
u2
r2µE
l2 − 2µU l2 −u2
=− Z u
u0
du r2µE
l2 −2µU l2 −u2
.
Nyt sijoittamalla yhtälöön Newtonin painovoimalain vastaava potentiaali U =−k
r =−ku, saadaan ϕ=ϕ0−
Z du r2µE
l2 +2µku l2 −u2
, (4.3)
missä integraali käsitellään määräämättömänä. Huomioitavaa on myös se, et- tä ϕ0 on alkuehdoista määräytyvä integroimisvakio, eikä näin ollen ole vält- tämättä sama kuin lähtökulma ϕ0 ajanhetkellä t = 0.
Integraalitaulukon avulla [14, s.23] saadaan integraalille tulos Z dx
pα+βx+γx2 =− 1
√−γ arcsin
β+ 2γx
√q
, (4.4)
missä
q =β2−4αγ.
Hyödyntämällä arkusfunktioiden ominaisuuksia integraali (4.4) saadaan muo- toon
− 1
√−γ arccos
− β+ 2γx
√q
+ π
2√
−γ. (4.5)
Valitsemalla
α= 2µE
l2 ; β = 2µk
l2 ; γ =−1, jolloin
q = 2µk
l2 2
−4· 2µE
l2 ·(−1) = 2µk
l2 2
·
1 + 2El2 µk2
ja näin saamme laskettua integraalin (4.3) kaavan (4.5) avulla:
ϕ=ϕ0+ arccos
−
2µk l2 −2u s
2µk l2
2
·
1 + 2El2 µk2
=ϕ0+ arccos
− 2µk
l2
1−l2u µk
2µk l2
s
1 + 2El2 µk2
.
Saadussa yhtälössä integroimisvakiot on sisällytetty vakioon ϕ0. Näin ollen lopullinen muoto on
ϕ=ϕ0+ arccos
l2u µk −1 s
1 + 2El2 µk2
. (4.6)
Tekemällä muuttujanvaihdon u= 1
r takaisin ja ratkaisemalla yhtälö sen mu- kaan, saadaan
1 r = µk
l2
1 + s
1 + 2El2
µk2 ·cos(ϕ−ϕ0)
. (4.7)
Tuloksesta huomataan, että se on muodoltaan vastaava kuin (4.1). Merkittä- vimpänä erona on se, että nyt vakioesaadaan arvioitua termienEjalkautta.
Huomataan, että saatu tulos on muodoltaan yleinen kartioleikkauksen yhtälö, kts. (2.6). Nyt radan eksentrisyys on
e= s
1 + 2El2
µk2 . (4.8)
Muistetaan Määritelmästä 2.6, että eksentrisyyden arvo määrää radan muo- don. Tällöin saadun radan (4.7) muoto riippuu kokonaisenergiasta seuraa- vasti:
e >1, E >0, Hyperbeli
e= 1, E = 0, Parabeli
e <1, −µk2
2l2 < E <0, Ellipsi e= 0, E =−µk2
2l2 , Ympyrä
Huomataan siis, että rata on suljettu, jos ja vain jos kokonaisenergia on ne- gatiivinen. Tilannetta havainnollistaa kuva 12.
Kuva 12: Kokonaisenergia E eri ratojen määrittelemillä arvoilla sekä efektii- vinen potentiaali U0 ja sen komponentit −kr ja 2µrl22. Ellipsin tilanteessa ko- konaisenergian ja efektiivisen potentiaalin leikkauspisteet ovat radan kään- nepisteet periapsis ja apoapsis.
Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa planeetan rata on ellipsi. Tällöin voidaan osoittaa, että isoakseli riippuu täysin kokonaisenergiasta. Isoakselin puolikas voidaan määritellä periapsiksen, rp, ja apoapsiksen, ra, keskiarvona, kuten Lauseessa 2.10 on todistettu. Lisäksi periapsis ja apoapsis ovat käännepistei- tä, jolloin näissä pisteissä kokonaisenergiaan vaikuttaa ainoastaan efektiivi- nen potentiaalienergia. Tällöin rp ja ra ovat yhtälön
E−U0 =E− l2 2µr2 +k
r = 0
juuria. Yhtälöä saadaan alla olevaan muotoon kertomalla termillä r2
E puolit- tain
r2 + k
Er− l2
2µE = 0.
Ratkaisemalla toisen asteen yhtälö r:n suhteen, saadaan, ra=− k
2E
1 + s
1 + 2El2 µk2
,
rp =− k 2E
1− s
1 + 2El2 µk2
ja Lauseen 2.10 avulla muodostuu isoakselin puolikkaalle arvo a= rp+ra
2 =− k
2E. (4.9)
Nyt sijoittamalla (4.9) kaavaan (4.8) saadaan eksentrisyydeksi e=
s
1− l2
µka, (4.10)
jota saadaan muokattua muotoon, l2
µk =a(1−e2). (4.11)
Lopulta sijoittamalla (4.11) kaavaan (4.7), saadaan ellipsiradan kaava muo- toon
r= a(1−e2)
1 +ecos(ϕ−ϕ0), (4.12) joka on vastaava kuin Lauseen 2.5 muoto ellipsin kartioleikkaukselle, missä r on mitattu polttopisteestä.
Kuten huomataan, niin kulmanϕ−ϕ0ollessa0saadaan hyödyntämällä Mää- ritelmää 2.7 etäisyydeksi
r =a(1−e) = a−c,
joka on lyhin etäisyys polttopisteestä kehälle, eli periapsis. Tai vastaavasti, kun kulma on π niin
r=a(1 +e) = a+c,
joka on pisin etäisyys polttopisteestä kehälle, eli apoapsis. [4, s.94-98].
5 Keplerin toinen laki
Lause 5.1. Auringosta planeettaan piirretty paikkavektori piirtää yhtä pit- kissä aikajaksoissa yhtä suuret pinta-alat.
Kuva 13: Keplerin toinen laki. Ellipsin sektorien pinta-alat ovat yhtä suuret, jolloin planeetalla kuluu sama aika välien AB, CD ja EF kulkemiseen.
Käytännössä Keplerin toinen laki siis kertoo sen, että planeetan ollessa lä- hempänä Aurinkoa, se liikkuu nopeammin, eli kulkee pidemmän matkan sa- massa ajassa kuin sen ollessa kauempana Aurinkoa. Keplerin toisen lain joh- taminen pohjautuu siis kahden kappaleen ongelman liikkeen tutkimiseen, eli Kappaleeseen 3.1.
5.1 Keplerin toisen lain johtaminen
Palataan nyt lukuun 3.1, jossa todettiin liikemäärämomentin olevan vakio, jolle pätee
l=µr2ϕ.˙
Tarkastellaan ajanjaksoa [t0, t1]. Lauseen 2.2 mukaan radan r(ϕ) ja janojen ϕ=ϕ(t0) ja ϕ=ϕ(t1)väliin jäävän alueen pinta-ala on
A= 1 2
Z ϕ(t1) ϕ(t0)
r2(ϕ)dϕ
= 1 2
Z t1
t0
r2(ϕ(t))dϕ dtdt
= 1 2
Z t1
t0
r2(ϕ(t)) ˙ϕdt
= 1 2
Z t1
t0
l µdt
= l
2µ(t1−t0).
Eli, mikäli muutos ∆t :=t1 −t0 pysyy vakiona, niin tällöin pinta-ala A py- syy vakiona. Toisin sanoen, jos ajanjaksoa dt vastaavaa pinta-alan muutosta merkitään dA:lla, saadaan
dA dt = l
2µ =vakio. (5.1)
[4, s.72-73].
Kuva 14: Paikkavektorin piirtämä pinta-ala ajassadt.
6 Keplerin kolmas laki
Lause 6.1. Planeettojen kiertoaikojen neliöt ovat verrannolliset isoakselien puolikkaiden kuutioihin.
Eli mikäli kiertoaikaa merkitään muuttujalla τ, niin tällöin Keplerin kolmas laki voidaan muotoilla τ2 ∝a3.
6.1 Keplerin kolmannen lain johtaminen
Keplerin kolmas laki pystytään johtamaan niin ellipsin ominaisuuksien kuin myös Kappaleen 3.2 kaavan (3.19) kautta. Johdetaan kolmas laki ensin ky- seisen kaavan kautta, jossa kappaleen etäisyyden r ja ajan suhde on otettu huomioon. Nyt jo tutusti potentiaalienergia U on−k
r. Tällöin saadaan t =
rµ 2
Z r r0
dr s
k r − l2
2µr2 +E
. (6.1)
Kun tutkitaan ellipsin muotoista rataa, niin paras tapa tähän on käyttää apu- na muuttujaaΨ, eli eksentristä anomaliaa, ja integroida sen avulla. Eksentri- nen anomalia on määritelty Kappaleessa 2.1 Määritelmässä 2.13 ja Lauseessa 2.14.
Nyt, kun huomioidaan aiemmat tulokset, eli l2
µk =a(1−e2) ja
a=− k 2E, jolloin
− 1 2a = E
k, sekä muokataan kaavaa (6.1) muotoon
t= rµ
2 Z r
r0
dr s
k r2
r− l2
2µk + Er2 k
,
saadaan
t= rµ
2k Z r
r0
rdr s
r− r2
2a − a(1−e2) 2
= rµ
2k Z r
r0
rdr r 1
2a(2ar−r2−a2(1−e2)) ja lopulta
t = rµa
k Z r
r0
√ rdr
2ar−r2−a2+a2e2. (6.2) Jotta päästään käyttämään muuttujaa Ψ, suoritetaan muuttujanvaihto. Nyt
dr
dΨ =aesin Ψ ja a−r =aecos Ψ.
Koska tunnetusti cos2Ψ + sin2Ψ = 1, niin tällöin
a2e2 =a2e2(cos2Ψ + sin2Ψ) = a2e2cos2Ψ +a2e2sin2Ψ = (a−r)2+ dr
dΨ 2
ja tästä saadaan dr =p
a2e2−(a−r)2dΨ =√
a2e2−a2+ 2ar−r2dΨ. (6.3) Nyt suorittamalla muuttujanvaihto Lauseen 2.14 ja kaavojen (6.2) ja (6.3) avulla, päästään muotoon
t = rµa
k Z α
0
r√
a2e2−a2+ 2ar−r2dΨ
√2ar−r2−a2+a2e2
= rµa
k Z α
0
a(1−ecos Ψ)dΨ ja tällöin
t= rµa3
k Z α
0
(1−ecos Ψ)dΨ. (6.4)
Kun suoritetaan integrointi siten, että käydään yksi kokonainen kierros, eli alkupisteestä 0 loppupisteeseen 2π, saadaan haluttu tulos:
τ = 2πa3/2 rµ
k. (6.5)
[4, 98-100], [5, 99-100].
Kuten kappaleen alussa todettiin, Keplerin kolmas laki saadaan johdettua myös ellipsin ominaisuuksien pohjalta. Kun liikemäärämomentti on vakio, eli
l=µr2ϕ,˙
päästään Keplerin toisen lain johtamisesta saatuun tulokseen (5.1):
dA dt = l
2µ.
Nyt integroimalla koko kiertoajan, τ, yli saadaan radan pinta-alaA A=
Z τ 0
dA dt dt=
Z τ 0
l
2µdt = lτ 2µ. Tällöin kiertoajaksi saadaan
τ = 2µA
l . (6.6)
Sijoittamalla eksentrisyyden yhtälö (4.10) Lauseen 2.11 antamaan pikku- akselin puolikkaan arvoon saadaan
b=a√
1−e2 =a s
1−
1− l2 µka
=a1/2 s
l2 µk,
ja yhdistämällä saatu tulos Lauseen 2.8 mukaiseen ellipsin pinta-alan kaa- vaan, muodostuu yhtälö
A =πab=πa
a1/2 s
l2 µk
=πa3/2 s
l2
µk. (6.7)
Lopuksi yhdistetään saatu pinta-alan yhtälö (6.7) kaavaan (6.6) τ = 2µA
l = 2µ l πa3/2
s l2
µk = 2πa3/2 rµ
k,
joka on täsmälleen sama tulos, mikä saatiin johdettua yhtälöstä 6.1. [4, s.100].
Lähteet
[1] Berkshire, F.H. & Kibble, T.W.B Classical Mechanics, 5th ed.. Imperial College Press, London, 2004.
[2] Di Liscia, D.A. Johannes Kepler. The Stanford Encyclopedia of Phi- losophy (Fall 2021 edition), Edward N. Zalta (ed.), The Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2021.
[3] Etgen, G.J., Hille, E. ja Salas, S.L. Calculus, One and Several Variables, 9th ed.. John Wiley &Sons, Inc., New york, 2003.
[4] Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed.. Addison-Wesley Publishing Company, Inc, 1980.
[5] Goldstein, H., Poole, C. ja Safko, J. Classical Mechanics, 3rd ed..
Addison-Wesley Publishing Company, Inc, 2002.
[6] Iro, H. A Modern Approach to Classical Mechanics 2nd ed.. World Scien- tic Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore, 2016.
[7] Heath, T.L. The Works of Archimedes. Cambridge University Press Wa- rehouse, London, 1897.
[8] Karttunen, H., Donner, K.J., Kröger, P., Oja, H., Poutanen, M. Tähti- tieteen perusteet, neljäs laitos. Tähtitieteellinen yhdistys Ursa ry, Gum- merus kirjapaino Oy, Jyväskylä, 2001.
[9] Kleppner, D. ja Kolenkow, R. An Introduction to Mechanics 2nd ed..
Cambridge University Press, Cambridge, 2014.
[10] Koskinen, H. ja Vainio, R. Klassinen mekaniikka. Helsingin yliopisto, fysiikan laitos, Helsinki, 2010.
[11] Manseld, M. ja O'Sullivan, C. Understanding Physics, 2nd ed.. Physics Department, University College Cork, A John Wiley and Sons, Ltd.
Publications, Irlanti, 2011.
[12] Earth Observatory, NASA. The Science: Orbi-
tal Mechanics. From Earth Observatory, Nasa.
https://earthobservatory.nasa.gov/features/OrbitsHistory/page2.php.
Luettu 18.12.2021.
[13] Nykamp D.Q., Spherical coordinates. From Math Insight.
http://mathinsight.org/spherical_coordinates. Luettu 13.9.2021.
[14] Peirce, B.O. A Short Table of Integrals. Ginn and Company, Boston, New York, etc, 1910.
[15] Wentworth, G.A. Elements of Analytic Geometry. Ginn and Company, Boston, 1886.
