β j täydellinenehdollinenjakaumakäytettäessäprobit-linkkiä.Tut- kijakaumantiheysfunktionlog-konkaavisuuttagraasestikiinnittämälläy j , m j , µjaσ 2.

(1)

MTT/Tilastotiede

Tilastollinenpäättely 2 14.11.2014

1. Estimoi sydänleikkausaineiston hierarkinen malli käyttäen JAGS:ia ja vertaa tuloksia

R:llä saatuihin.

2. Käytimme sydänleikkausaineiston analysoinnissa logit-linkkiä

β j = log(θ j /(1 − θ j ))

^.

Toinen yleisesti käytetty vaihtoehto olisi käyttää probit-linkkiä

β j = Φ ⁻ ¹ (θ j )

^, ^missä

Φ ⁻ ¹ (.)

^tarkoittaastandardoidunnormaalijakaumankertymäfunktionkäänteisfunktiota.

a)Johdaparametrin

β j

täydellinenehdollinenjakaumakäytettäessäprobit-linkkiä.Tut- kijakaumantiheysfunktionlog-konkaavisuuttagraasestikiinnittämällä

y j , m j , µ

^ja

σ ²

^.

b)ToistaanalyysiR:lläkäyttäenprobit-linkkiä,jatarkistaettäsuppeneminentapahtuu.

3. Olkoon

Y ¹ , Y ² , . . . , Y n

satunnaisotos jakaumasta

N (µ, τ ⁻ ¹ )

^. ^Olkoot ^parametrit ^riippu-

mattomiaja niiden priorijakaumat

µ ∼ N (µ ⁰ , τ 0 ⁻ ¹ )

^ja

τ ∼

^Gamma

(α, β)

^.

a) Osoita,että parametrienehdollisetjakaumatovat

{µ|τ, y} ∼ N

τ ^P Y i + τ ⁰ µ ⁰ τ n + τ ⁰ , 1

τ n + τ ⁰

{τ|µ, y} ∼

^Gamma

(α + n/2, β + ^X (Y i − µ) ² /2).

b) Valitse haluamasi arvot

µ

^ja

τ

^ja ^generoi ⁵⁰ ^havainnon satunnaisotos. Tämän jäl- keenyritäestimoidaparametritkäyttämälläGibbsinpoimintaa(valitsesopivastipriori-

jakauman parametrit.) Määritä simuloinninperusteella parametreille Bayes-estimaatit

neliöllisellätappiofunktiollaja 95% posteriorivälit.

4. Oletetaan, että meillä on riippumattomiahavaintoja

Y i

^vaihtelev^an ^pituisilta ^ajanjak-

soilta

t i

^ja ^että

Y i

^on ^havainto ^Poissonin prosessista, jonka intensiteetti on

θ i

^. ^Tällöin

Y i |θ i ∼

^Poisson

(θ i t i )

^, ^missä

t i

^:t ^ovattunnettuja. Oletetaan, että

θ i

^:t ^ovatriippumatto- mia ja noudattavat gammajakaumaa, jonka tiheysfunktio on

θ ^α− _i ¹ e ^−βθ ⁱ β ^α /Γ(α)

^, ^missä

α

^on^tunnettu ^ja

β

^:lla^on ^priorijak^auma

p(β) = β ^γ− ¹ e ^−δβ δ ^γ /Γ(γ).

a)JohdatarvittavatehdollisetjakaumatjaselitäkuinkaGibbsinpoimintaakäyttämällä

voidaan estimoida parametrien

θ i

^ja

β

reunajakaumat, kun aineisto

y = (y ¹ , y ² , ..., y k )

on annettu.

b) Olkoot

α = 10

^,

γ = 1

^,

δ = 1

^ja havaintoaineistoseuraavanlainen:

t i

² ³ ⁵ ¹ ⁷

y i

² ⁶ ¹⁴ ¹ ¹⁶

Koodaa GibbsinpoimijaR:lläjamääritä95%posteriorivälittuntemattomilleparamet-

β j täydellinenehdollinenjakaumakäytettäessäprobit-linkkiä.Tut- kijakaumantiheysfunktionlog-konkaavisuuttagraasestikiinnittämälläy j , m j , µjaσ 2.

β j = log(θ j /(1 − θ j ))

β j = Φ − 1 (θ j )

Φ − 1 (.)

β j

y j , m j , µ

σ 2

Y 1 , Y 2 , . . . , Y n

N (µ, τ − 1 )

µ ∼ N (µ 0 , τ 0 − 1 )

τ ∼

(α, β)

{µ|τ, y} ∼ N

τ P Y i + τ 0 µ 0 τ n + τ 0 , 1

τ n + τ 0

{τ|µ, y} ∼

(α + n/2, β + X (Y i − µ) 2 /2).

µ

τ

Y i

t i

Y i

θ i

Y i |θ i ∼

(θ i t i )

t i

θ i

θ α− i 1 e −βθ i β α /Γ(α)

α

β

p(β) = β γ− 1 e −δβ δ γ /Γ(γ).

θ i

β

y = (y 1 , y 2 , ..., y k )

α = 10

γ = 1

δ = 1

t i

y i

β j = Φ ⁻ ¹ (θ j )

Φ ⁻ ¹ (.)

σ ²

Y ¹ , Y ² , . . . , Y n

N (µ, τ ⁻ ¹ )

µ ∼ N (µ ⁰ , τ 0 ⁻ ¹ )

τ ^P Y i + τ ⁰ µ ⁰ τ n + τ ⁰ , 1

τ n + τ ⁰

(α + n/2, β + ^X (Y i − µ) ² /2).

θ ^α− _i ¹ e ^−βθ ⁱ β ^α /Γ(α)

p(β) = β ^γ− ¹ e ^−δβ δ ^γ /Γ(γ).

y = (y ¹ , y ² , ..., y k )