Jensenin epäyhtälö ja aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Matematiikan olympiavalmennus: valmennustehtävät, huhtikuu 2020 Helpommatkin tehtävät ovat vaikeampia kuin

koulutehtävät, eikä ole oletettavaa että niitä pys- tyisi ratkomaan ilman vaivannäköä.Sinnikäs yrit- täminen kannattaa. Vaikka tehtävää ei saisi val- miiksi asti tehtyä, sitä pitkään miettinyt oppii malliratkaisuista enemmän. Helpommissakin teh- tävissä olennaista on kirjoittaa perustelut eikä vain laskea lopputulosta esim. laskimella.

Olemme hyvin tietoisia siitä, että netissä on mo- nenlaisia lähteitä, joista ratkaisuja voi löytää –

https://aops.com ja https://math.stackexchange.com

lienevät tunnetuimpia. Näiden käyttäminen ei ole haitaksi ja niistä voi oppia paljonkin, mutta suo- sittelemme yrittämään ensin itse. Myös tehtä- vien pohtiminen muiden valmennettavien kanssa, jos siihen tarjoutuu tilaisuus, lienee opettavaista.

Kuuleman mukaan ainakin Maunulassa on järjes- tetty ryhmäratkomistilaisuuksia.

Kirjeen liitteenä on itseopiskelumateriaalina Anne-Maria Ernvall-Hytösen esitelmäkalvot, jois- ta voi olla apua tehtävissä 14 ja 15.

Ratkaisuja toivotaan 10.5.2020 mennessä henkilö- kohtaisesti ojennettuna tai sähköpostitse. Hel- pommat tehtävät: n.palojarvi@gmail.com, vaati- vammat:olli.jarviniemi@gmail.com.

Joukkuevalinnat perustuvat kokonaisharkintaan, jossa otetaan huomioon palautetut tehtävät ja menestyminen kilpailuissa ja valintakokeissa.

Tehtäviin pujahtaa joskus virheitä. Havaituista virheistä kerrotaan valmennuksen sivulla

https://matematiikkakilpailut.fi/valmennus/. Huomioi tietosuojalauseke:

https://matematiikkakilpailut.fi/tietosuoja/

Tekeillä on taas haastavia viikottaisia harjoi- tuskokeita, joihin voi ilmoittautua ja joista saa lisätietoa sähköpostitse Olli Järviniemeltä (säh- köpostiosoite yllä).

Helpompia tehtäviä

1. Pyöreän pöydän ympärillä on n tuolia. Monellako tavalla n ihmistä voi istua pöydän ympärille?

Moniko näistä tavoista on aidosti erilainen (kaksi istumajärjestystä ovat erilaiset, jos löytyy henkilöt A ja B jotka istuvat vierekkäin toisessa, mutta eivät toisessa istumajärjestyksessä)?

2. Huvipuiston laitteessa onl lasten istumapaikkaa jaaaikuisten istumapaikkaa,l≤a. Kaikki istuma- paikat ovat peräkkäin ja muodostavat jonon.

Lapset alkavat riehua, jos he ovat jonossa peräkkäin. Monellako tavalla istumapaikkojen järjestys voidaan valita niin, että lapset eivät ole missään kohtaa peräkkäin?

3. Todista väite n s

=n s

n−1 s−1

• ”laskemalla” eli nojautuen terminn k

matemaattiseen kaavaann!/((n−k)!k!)

• nojautuen termin n k

kombinatoriseen määritelmään eli ”montakok:n alkion osajoukkoa on n:n alkion joukolla”. Vihje: voit ajatellan:ää henkilöä, joista pitää valitas:n henkilön hallitus, jossa yksi hallituksen jäsenistä on puheenjohtaja.

4. Todista väite n r

r k

= n

k

n−k r−k

kunn≥r≥k

• ”laskemalla” eli nojautuen terminn k

matemaattiseen kaavaann!/((n−k)!k!)

• nojautuen termin n k

kombinatoriseen määritelmään eli ”montakok:n alkion osajoukkoa on n:n alkion joukolla”. Vihje: Valitaan hallitus ja hallituksen sisältä johtoryhmä.

5. Kokonaisluvuillaa, b >1 päteeq ap

a√

a=b. Etsi pienin mahdollinen luvuna+barvo.

6. Osoita, että kaikki jonon10001,100010001,1000100010001, . . .jäsenet ovat yhdistettyjä lukuja.

7. Tutkitaan tasossaxy-koordinaatistossa niiden pisteiden(x, y)muodostamaa aluetta, joille

8. Kuinka monella eri tavalla 2×n-ruudukko voidaan peittää1×2-dominolaatoilla?

9. Olkoot a1 = a2 = a3 = 1 ja an+1 = 1 +ana_n−1

a_n−2 , kun n ≥ 3. Osoita, että kaikki luvut an ovat kokonaislukuja.

10. Mikä on seuraavien 4040luvun mediaani?

1,2,3, ...,2020,1²,2²,3², ...,2020²

11. Kokonaisluvullenpätee(n+ 1)! + (n+ 2)! =n!·440. Mikä on luvunnnumeroiden summa?

12. Valitaan joukosta{1,2,3, . . . ,10}kuusi eri lukua. Kuinka todennäköisesti valituista luvuista toiseksi pienin on luku 3?

13. Tasakylkisessä kolmiossa AM C on AM = AC. Mediaanit M V ja CU ovat kohtisuorassa toisiaan vasten ja M V =CU= 12. Mikä on kolmionAM C pinta-ala?

14. Todista, että x+1

x ≥2, kunx >0. 15. Todista, että

a+b 2

a+c 2

b+c 2 ≥abc, kuna, b, c >0.

Vaativampia tehtäviä

16. Positiiviset kokonaisluvutx1, x2, . . . , x7toteuttavat ehdotx6= 144jaxn+3=xn+2(xn+1+xn), kun n= 1,2,3,4. Etsi luvunx7kolme viimeistä numeroa.

17. Määritellään lukujono(an)^∞_n=0 asettamallaan+1= 2ⁿ−3an. Osoita, että päteea0< a1< a2, . . .jos ja vain josa₀= ¹₅.

18. Olkoon(an)rajoitettu lukujono, jolle pätee an< 1

2n+ 2007 +

2n+2006

X

k=n

ak

k+ 1, n= 1,2,3, . . . . Osoita, että a_n< 1

n kaikilla n= 1,2,3, . . ..

19. Määritä kaikki välin 0≤x≤2πluvut x, jotka toteuttavat epäyhtälöt 2cosx≤

√1 +sin2x−√

1−sin2x ≤√

2.

20. Olkoot 0≤x₁, x₂, . . . , x₅≤1. Todista epäyhtälö

6

X

i=1

x³_i

x⁵₁+x⁵₂+x⁵₃+x⁵₄+x⁵₅+x⁵₆−x⁵_i + 5 ≤3 5.

21. Olkoot a1, a2, . . . , an reaalilukuja ja olkoonn >3. Oletetaan, että pätee a1+a2+· · ·+an≥n ja a²₁+a²₂+· · ·+a²_n ≥n².

Osoita, että max(a1, a2, . . . , an)≥2.

22. OIlkoonABCteräväkulmainen kolmio ja olkootM,N jaPkolmion keskipisteestä (eli painopisteestä eli mediaanien leikkauspisteestä) sivuille piirrettyjen kohtisuorien kantapisteet. Osoita, että

4

27 <|M N P|

|ABC| ≤1 4

23. Olkoot x, yjaz epänegatiivisia reaalilukuja ja oletetaan, ettäx+y+z= 1. Osoita, että x²y+y²z+z²x≤ 4

27

ja määritä milloin epäyhtälössä vallitsee yhtäsuuruus.

Jensenin epäyhtälö ja aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

3. huhtikuuta 2020

Konveksi funktio

Funktiota kutsutaan konveksiksi, mikäli millä tahansa kahdella funktion pisteellä pätee, että niiden väliin piirretty jana on funktion yläpuolella tällä välillä. Täsmällisesti konveksisuus tarkoittaa sitä, että jos

0 ≤ α ≤ 1‚ niin αf (x) + (1 − α)f (y) ≥ f (αx + (1 − α)y).

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 2 / 17

Konveksit funktiot ja derivaatta

Mikäli funktio f (x) on kahdesti derivoituva, voi konveksisuusehdon

kirjoittaa muodossa f ⁰⁰ (x) ≥ 0. Esimerkiksi siis f (x) = x ² on konveksi, sillä f ⁰⁰ (x) = 2 > 0. Konveksisuuden näkee tässä tapauksessa nopeasti kuvaajastakin. Toisaalta funktio g (x) = x ³ − 5x ² ei ole kaikkialla

konveksi, sillä g ⁰⁰ (x) = 6x − 10, joka ei ole aina vähintään nolla.

Kannattaa huomata, että jos funktio f (x) on kahdesti derivoituva ja

f ⁰⁰ (x) ≤ 0, niin funktio −f (x) on konveksi.

Jensenin epäyhtälö

Jensenin epäyhtälön mukaan konveksille funktiolle f (x) pätee

α ₁ f (x ₁ ) + α ₂ f (x ₂ ) + · · · + α _n f (x _n ) ≥ f (α ₁ x ₁ + α ₂ x ₂ + · · · + α _n x _n ) , kun 0 < α ₁ + α ₂ + · · · + α _n ≤ 1 ja α ₁ + α ₂ + · · · + α _n = 1.

Todistetaan tämä induktiolla.

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 4 / 17

Induktiotodistuksen alku

Induktiotodistuksen alkuaskel on tosi, sillä 0 ≤ α ≤ 1‚ niin

αf (x) + (1 − α)f (y) ≥ f (αx + (1 − α)y) kuten jo aiemmin todettiin.

Tämä vastaa tapausta n = 2.

Tehdään induktio-oletus: Väite pätee jollain arvolla k.

Induktioväite on, että todistettava väite pätee arvolla k + 1.

Induktio-oletus

Induktio-oletus siis sanoo, että

α ₁ f (x ₁ ) + α ₂ f (x ₂ ) + · · · + α _k f (x _k ) ≥ f (α ₁ x ₁ + α ₂ x ₂ + · · · + α _k x _k ) , kun 0 < α ₁ + α ₂ + · · · + α _k ≤ 1 ja α ₁ + α ₂ + · · · + α _k = 1.

Siirrytään nyt induktioväitteen todistukseen.

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 6 / 17

Induktioväitteen todistus

Haluamme siis todistaa väitteen

β ₁ f (x ₁ )+β ₂ f (x ₂ )+· · ·+β _{k +1} f (x _{k +1} ) ≥ f (β ₁ x ₁ + β ₂ x ₂ + · · · + β _k+1 x _k+1 ) , kun 0 < β ₁ + β ₂ + · · · + β _{k +1} ≤ 1 ja β ₁ + β ₂ + · · · + β _k+1 = 1.

Otetaan ensimmäiset k termiä. Induktio-oletuksen nojalla pätee:

β ₁

1 − β _k+1 f (x ₁ ) + β ₂

1 − β _k+1 f (x ₂ ) + · · · + β _k

1 − β _k+1 f (x _k ) on vähintään yhtä suuri kuin

f

β ₁

1 − β _k+1 x ₁ + β ₂

1 − β _k+1 x ₂ + · · · + β _k

1 − β _k+1 x _k+1

.

Huomaa, että _1−β ^{β 1} + _1−β ^{β 2} + · · · + _1−β ^{β k} = 1.

Induktioväitteen todistus jatkuu

Nyt voidaan kirjoittaa

β ₁ f (x ₁ ) + β ₂ f (x ₂ ) + · · · + β _k+1 f (x _k+1 )

= (1 − β _k+1 )

β ₁

1 − β _{k +1} f (x ₁ ) + · · · + β _k

1 − β _k+1 f (x _k )

+ β _k+1 f (x _{k +1} ) ja tämän voidaan arvioida olevan vähintään

(1 − β _k+1 )f

β ₁

1 − β _k+1 x ₁ + · · · + β _k

1 − β _k+1 x _k+1

+ β _k+1 f (x _k+1 ), mutta tämähän onkin Jensenin epäyhtälön vasen puoli, kun n = 2,

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 8 / 17

Induktioväitteen todistuksen loppu

joten tämän voidaan arvioida olevan vähintään f

(1 − β _{k +1} )f

β ₁

1 − β _k+1 x ₁ + · · · + β _k

1 − β _k+1 x _{k +1}

+ β _k+1 f (x _k+1

= f (β ₁ x ₁ + β ₂ x ₂ + · · · + β _k+1 x _k+1 )

Miten tätä käytetään?

Funktio f (x) paikalle voi siis laittaa minkä tahansa konveksin funktion.

Esimerkiksi f (x) = x ² on tällainen. Kertoimiksi a _i voi asettaa

esimerkiksi luvun _n ¹ , eli a _i = _n ¹ kaikilla i = 1, 2, . . . , n. Tällöin sijoitus Jensenin epäyhtälöön antaa

1

n x ² ₁ + 1

n x ² ₂ + · · · + 1

n x ² _n ≥

x ₁ + x ₂ + · · · + x _n n

2

,

eli

x ² ₁ + x ² ₂ + · · · + x ² _n ≥ (x ₁ + x ₂ + · · · + x _n ) ²

n .

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 10 / 17

Harjoitustehtäviä

Ennen kuin jatketaan teorian kanssa, harjoitellaan vähän:

1 Osoita, että g (x) = x ³ on konveksi, kun x ≥ 0 ja kirjoita Jensenin epäyhtälö kertoimilla a _i = _n ¹ tälle funktiolle.

2 Osoita, että h(x) = _x ¹ on konveksi, kun x > 0 ja kirjoita Jensenin epäyhtälö kertoimilla a _i = _n ¹ tälle funktiolle. Saatko jonkin

epäyhtälön, jonka tunnistat?

Ratkaisu ensimmäiseen harjoitustehtävään

Funktio g(x) on konveksi, kun x ≥ 0‚ sillä g ⁰⁰ (x) = 6x. Vastaavasti kuin aiemmin sijoitus Jensenin epäyhtälöön antaa

1

n x ³ ₁ + 1

n x ³ ₂ + · · · + 1

n x ³ _n ≥

x ₁ + x ₂ + · · · + x _n n

3

,

eli

x ³ ₁ + x ³ ₂ + · · · + x ³ _n ≥ (x ₁ + x ₂ + · · · + x _n ) ³

n ² .

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 12 / 17

Ratkaisu toiseen harjoitustehtävään

Funktio h(x) on konveksi, kun x ≥ 0‚ sillä h ⁰⁰ (x) = _x ² ₃ . Vastaavasti kuin aiemmin sijoitus Jensenin epäyhtälöön antaa

1

nx ₁ + 1

nx ₂ + · · · + 1

nx _n ≥

x ₁ + x ₂ + · · · + x _n n

−1

= n

x ₁ + x ₂ + · · · + x _n , Tämä epäyhtälö tunnetaan myös aritmeettis-harmoonisena

epäyhtälönä. Tämä epäyhtälö on sama kuin minkä mukaan kuluu pidemmän aikaa, 120km matkustamiseen, jos ensin ajaa 60km

nopeudella 30km/h ja sitten loput nopeudella 90km/h kuin jos ajaisi koko ajan tasaisella nopeudella 60km/h.

Nyt onkin aika jatkaa teoriaa ja siirtyä aritmeettis-geometriseen

epäyhtälöön.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö

Olkoot luvut x ₁ , x ₂ , . . . , x _n > 0. Nyt

√ n

x ₁ x ₂ · · · x _n ≤ x ₁ + x ₂ + · · · + x _n

n .

Tätä tulosta kutsutaan aritmeettis-geometriseksi epäyhtälöksi. Ennen kuin todistetaan tämä käyttäen Jensenin epäyhtälöä, tehdään huomio, että toisella puolella on summa, toisella tulo, tarvitaan siis Jenseniin epäyhtälöön funktio, joka sujuvasti muuttaa tuloja summiksi. Tällainen on logaritmi. (Tämä yleisfilosofisena ohjeena: summan ja tulon välin

kulkemiseen epäyhtälöissä on jokin logaritmin johdannainen hyvä idea.)

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 14 / 17

Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön todistus

Olkoon f (x) = − ln x. Nyt f ⁰⁰ (x) = − _x ¹ ₂ . Käytetään kertoimia a _i = _n ¹ . Tällöin

− 1

n ln x ₁ − 1

n ln x ₂ − · · · − 1

n ln x _n ≥ − ln

x ₁ + x ₂ + · · · + x _n n

, joka on yhtäpitävä epäyhtälön

ln(x ₁ x ₂ · · · x _n ) ^1/n ≥ ln

x ₁ + x ₂ + · · · + x _n n

kanssa. Tästä väite seuraakin logaritmin kasvavuuden nojalla.

Aritmeettis-geometrinen epäyhtälö muutamalla muuttujalla

Kaksi hyödyllistä erikoistapausta:

a + b

2 ≥ √ ab

ja

a + b + c

3 ≥ √ ³

abc, kun a, b, c > 0.

Jensen ja a-g 3. huhtikuuta 2020 16 / 17

Muutama harjoitustehtävä

1 Todista, että

x + 1

x ≥ 2, kun x > 0.

2 Todista, että

a + b 2

a + c 2

b + c

2 ≥ abc,

kun a, b, c > 0.