2/15 1 3 3 P(Max P(Max = 5

(1)

5.4.2019 klo 10:58/RL

[MTTTP1] TILASTOTIETEEN JOHDANTOKURSSI, Kevät 2019 https://coursepages.uta.fi/mtttp1/kevat-2019/

HARJOITUS 4 viikko 14 Ratkaisuja

1. Otokset Max

1 2 2 P(Max = 2) =1/15, P(Max = 3) = 2/15

1 3 3 P(Max = 4) =3/15, P(Max = 5) = 4/15

1 4 4 P(Max = 6) =5/15

1 5 5

1 6 6

2 3 3

2 4 4

2 5 5

2 6 6

3 4 4

3 5 5

3 6 6

4 5 5

4 6 6

5 6 6

Tässä siis tarkasteltiin satunnaismuuttujaa otosmaksimi (Max) ja määritettiin sen todennäköisyysjakauma ja laskettiin otosmaksimin pistetodennäköisyydet siis tiheysfunktion arvot.

P(Max 4) = P(Max = 2 tai Max = 3 tai Max = 4) = (1+2+3)/15, P(Max 5) =(1+2+3+4)/15, nämä ovat otosmaksimin kertymäfunktion F arvoja, siis F(4) ja F(5).

2. Tiheysfunktion kuvaaja on x-akselin suuntainen suora y = 1/a (välillä 0 x a).

Suoran ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala on 1. F(x) = P(X x) on suorakulmion pinta-alana

= x/a. Tässä siis tarkasteltiin X:n kertymäfunktiota F(x).

3. a) P(Z 1,6449) = 0,95, P(Z -1,6449) = 0,05, P(Z 3,0902) = 0,001, z₀_,₀₅ = 1,6449, koska P(Z>1,6449) = 0,05, z0,01= 2,3264, koska P(Z>2,3264) = 0,01.

b) P(t30 2,75) = 0,005, P(t60 -2,00) = 0,025, t0,01;40 = 2,423, t0,05;65 1,671, t0,005;98

2,617.

4. Prosenttiosuuden luottamusväli p ± z _/2

n p) p(100

. Muodostetaan 95 %:n

luottamusväli ( = 0,05, /2 = 0,05/2 = 0,025, z0,025= 1,96), saadaan 11,75 ±

1,96 400

11.75) 11.75(100

= 11,75 ± 3,16 eli (8,59, 14,91). Koska 10 % kuuluu tälle välille, voit uskoa ystäväsi väitteen.

(2)

5.4.2019 klo 10:58/RL

5. 100(1- ) %:n luottamusväli odotusarvolle, kun jakauman varianssi on tuntematon, on X ± t /2;n-1s/ n. Tässä t /2;25-1= t ;24= 2,064, x = 335 ja s = 10, joten 95 %:n luottamusväli 335 ± 2,064 · / 25 eli 335 ± 4,128, joka ei sisällä valmistajan väitettä 340.

Ei uskota valmistajan väitettä.

6. Kuten tehtävä 5. Tässä t /2;5-1= t ;4 = 2,776, x = 8 ja s = 1,58, joten 95 %:n luottamusväli 8 ± 2,776 · / 5 eli 8 ± 2, joka sisältää valmistajan väitteen 9,5. On siis perusteltua uskoa valmistajan väite.

7. 100(1- ) %:n luottamusväli odotusarvolle (naisten lepopulssin keskiarvolle populaatiossa), kun jakauman varianssi on tuntematon, on X ± t /2;n-1s/ n. Tässä x = 77,5556 ja luottamusvälin yläraja 80,8741. Yläraja - x = 80,8741- 77,5556 = 3,3185. Alaraja on siten 77,5556 - 3,3185 = 74,2371 (luku kohtaan a). Voi laskea luottamusvälin kaavankin avulla. Tällöin on aluksi laskettava s. Nyt t /2;36-1 2,021 ja t /2;n-1s/ n = 2,021 · s/ 36 = 3,3185, josta s = 9,852 (luku kohtaa b). 95 %:n luottamusvälin alaraja 77,5556 – 2,021 · 9,852/ 36 = 74,2371. Naisten lepopulssin keskiarvon (populaatiossa) arvellaan olevan välillä 74,3 – 80,9.

8. Tuloksista löytyy 95 %:n luottamusväli odotusarvojen erotukselle (kun

populaatioiden varianssit oletetaan yhtä suuriksi, mutta tuntemattomiksi). Kohdasta 95 % Confidence Interval of the Difference saadaan luottamusväli

(0,73023, 7,26977). Koska nolla ei kuulu luottamusvälille, voidaan sanoa, että

poissaolopäivien lukumäärät eivät ole keskimäärin samoja vaan yötyöläiset ovat poissa keskimäärin 0,7 – 7,3 päivää enemmän. Vrt. luentomoniste esim. 7.6.10 ja 7.6.11.