Jos A ⊂ Rn on rajoitettu ja sisältää äärettömän monta alkiota, on olemassa ainakin yksi joukon A kasaantumispiste x∈Rn

3. Avaruuden Rⁿ kompaktit osajoukot Luennolla on todistettu mm.

Lause 3.1 (Bolzano-Weierstrassin lause). Kompaktin avaruuden jokaisella ääret- tömällä osajoukolla on ainakin yksi kasaantumispiste.

Tämän lisäksi luennolla on todistamatta käytetty hyväksi seuraavaa tulosta:

Lause 3.2 (B-W eräs muoto). Jos A ⊂ Rⁿ on rajoitettu ja sisältää äärettömän monta alkiota, on olemassa ainakin yksi joukon A kasaantumispiste x∈Rⁿ.

Ensiksi tulisi mieleen osoittaa, että rajoitettu ja suljettu joukko B ⊂Rⁿ on kom- pakti. Tätä tulosta kutsutaan nimellä Heine-Borelin lause. Tästä seuraa, että ra- joitettu joukko A ⊂Rⁿ on relatiivikompakti, ts. sen sulkeuma on kompakti. Käyt- tämällä tämän jälkeen lausetta 3.1 tulisi lause 3.2 osoitettua.

Tässä menettelyssä on kuitenkin sellainen pulma, että lausetta 3.2 tarvitaan Heine-Borelin lauseen todistamiseksi. Kehäpäätelmää vältettäessä joudutaan siis todistamaan lause 3.2 ilman vippaskonsteja. Otetaan kuitenkin ensin valaiseva esi- merkki siitä, miksi kompaktin joukon tulee olla rajoitettu.

Esimerkki 3.3. PallotB_d(0, r) muodostavat metriikalla (euklidinen etäisyys) d, d(x, y) =

à _n X

k=1

|xk−yk|²

!_1/2

=||x−y||

varustetussa avaruudessaRⁿ avoimen peitteen mille tahansa joukolle K ⊂ Rⁿ. Jos K ⊂Rⁿ on rajoitettu, ts. on olemassa sellainen M >0, että ||x|| < M kaikilla x∈ K, niin peitteestä {B(0, r) | r > 0} voidaan valita äärellinen osapeite. Itse asiassa pallo B(0, M) yksin riittää peittämään joukon K. Tästä ei pidä vetää sitä johtopäätöstä, että rajoitettu joukko olisi kompakti; Kompaktisuuteen vaaditaan, että jokainen peite sisältää äärellisen osapeitteen.

Tässä on vasta huomattu, että yksi peite sisältää äärellisen osapeitteen. Jos taas K ei ole rajoitettu, mikään peitteen{B(0, r)|r >0}äärellinen osa ei peitä joukkoaK. Tästä nähdään, että ei-rajoitettu joukko avaruudessaRⁿ ei ole kompakti.

Nyt hommiin, ja todistamaan lausetta 3.2. Todistus kannattaa miettiä kerran kunnolla läpi ja sitten vain uskoa se. Ja jos nyt ihan totta puhutaan, niin todistus on kopsattu vanhan analyysi 4:n luennoista.

Todistus. Olkoon A ⊂ Rⁿ äärettömän monta alkiota sisältävä ja rajoitettu, ts.

A⊂B(0, r)jollekin r >0. Määritellään n-ulotteinen suljettu väli J¹ ={x= (x1, . . . , xn)∈Rⁿ ¯

¯ −r≤xk≤r, k = 1, . . . , n}

TällöinA⊂B(0, r)⊂ J¹. Kirjoitetaan vielä

J¹ =I₁¹×I₂¹×. . .×I_n¹,

missä jokainen I_k¹ tarkoittaa suljettua väliä [−r, r]. Puolitetaan jokainen väli I_k¹: I_k,1¹ = [−r,0] I_k,2¹ = [0, r]

Tarkastellaan kaikkia karteesisia tuloja

I_1,l¹ ₁ ×I_2,l¹ ₂ ×. . .×I_n,l¹ _n

8

missä li ∈ {1,2}. Näitä n-ulotteisia suljettuja välejä on 2ⁿ kpl. Näiden 2ⁿ välien yhdiste on alkuperäinen väliJ¹, joten jokin niistä sisältää äärettömän monta joukon A pistettä. Olkoon

J² =I₁²×I₂²×. . .×I_n²

sellainen väli. Silloin I_k² on toinen välin I_k¹ puolikkaista, joten sen pituus on r. Menetellään karteesisen tulonJ²kanssa kuten edellä välinJ¹kanssa, jolloin päädytään väliin

J³ =I₁³×I₂³×. . .×I_n³,

joka sisältää äärettömän monta joukonA pistettä. Jokaisen välinI_k³ ⊂I_k² pituus on r/2. Näin saadaan numeroituva kokoelma n-ulotteisia välejä

J¹ ⊂ J² ⊂ J³ ⊂. . .

joista jokainen sisältää äärettömän monta joukon A pistettä. Merkitään J^m =I₁^m×I₂^m×. . .×I_n^m

muistaen

I_k^m ⊂I_k^m−1 ja edelleen merkitään

I_k^m = [a^m_k, b^m_k]

kun I_k¹ = [−r, r].

Näillä merkinnöillä

b^m_k −a^m_k = 2r

2^m−1 (3.1)

Lisäksi on luonnollista, että jonoa¹_k, a²_k, . . .on kasvava, sekä jonob¹_k, b²_k, . . .on vähenevä (ei aidosti!) jokaisella arvolla k = 1, . . . , n. Yhtälön (3.1) mukaan täytyy jokaisella arvollak päteä myös

sup

m≥1

a^m_k = inf

m≥1b^m_k. Olkoon

y_k = sup

m≥1

a^m_k = inf

m≥1b^m_k

ja y= (y₁, . . . , y_n)

Nyt väitämme, että y on joukon A kasaantumispiste. Olkoon B(y, ε) jokin pisteen y ympäristö (pallo). Koskay∈ J^m , kun m= 1,2, . . . (kuuluu jokaiseen..) on

J^m ⊂B(y, ε)

kun m on riittävän suuri. Esim. voidaan valita m sen verran suureksi, että joukon J^m halkaisija on vu

utXⁿ

k=1

(b^m_k −a^m_k)² = s

n µ 2r

2^m−1

¶

< ε

Tällöin palloympäristö B(y, ε) sisältää äärettömän monta joukon A pistettä (yk- sikin6=y olisi riittänyt, vai olisiko?) eli y on joukon A kasaantumispiste. ¤

Tehtävä. Käy läpi äskeinen todistus tapauksessa n = 2 ja piirtele kuvia.

9