Suhteellisten frekvenssijakaumien kuvaajat Frekvenssijakaumat Kertausosa 1. Kertausosa

f %

15 16 17

% 20

30

18 19 20 21 22 23 24 25 10

Kertausosa

1. Frekvenssijakaumat

% f f % sf sf %

15 3

% 11 , 27 11

3 ≈ 3 11,1 %

16 1

% 70 , 27 3

1 ≈ 3 +1 = 4 11,1% + 3,7% = 14,81%

18 1

% 70 , 27 3

1 ≈ 4 + 1 = 5 14,8% + 3,7% = 18,51%

19 7

% 93 , 27 25

7 ≈ 5 + 7 = 12 18,5 + 25,9 = 44,44%

20 7

% 93 , 27 25

7 ≈ 12 + 7 = 19 44,4 + 25,9 = 70,37%

21 2

% 41 , 27 7

2 ≈ 19 + 2 = 21 70,33 + 7,4 = 77,78%

22 3

% 11 , 27 11

3 ≈ 21 + 3 = 24 77,7 + 11,1 = 88,89%

25 3

% 11 , 27 11

3 ≈ 24 + 3 = 27 88,8 + 11,1 = 100 % yht. 27

Suhteellisten frekvenssijakaumien kuvaajat

sf %

% 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

2. Frekvenssijakaumat

x luokka – keskus

f f % sf sf %

60 – 64 62 3 3/24 = 12,5 % 3 12,5 % 65 – 69 67 3 3/24 = 12,5 % 3 + 3 = 6 25 % 70 – 74 72 9 9/24 = 37,5 % 6 + 9 = 15 62,5 % 75 – 79 77 9 9/24 = 37,5 % 15 + 9 = 24 100 %

yht. 24

3. Taulukoidaan summafrekvenssit

maalit f sf

12 1 1 9 1 2 8 2 4 7 2 6 6 10 16 5 15 31 4 25 56 yht. 56

a) Mo = 4 2 28

56 = ylittyy 5 maalin kohdalla, siis Md = 5

b) Mo = 3

5 , 2 66

77

56+ = ylittyy 3 maalin kohdalla, siis Md = 3

c) Mo = 2 2 160

187 77

56+ + = ylittyy 2 maalin kohdalla, siis Md = 2

4. Keskiarvo

( )

8 , 19

81 , 19

27 535 27

25 3 22 3 ...

18 1 16 1 15 3

≈

=

⋅ = +

⋅ + +

⋅ +

⋅ +

= ⋅ x

Keskihajonta

( ) ( ) ( )

( )

7 , 2

...

653 , 2

27

81 , 19 25 3 ...

81 , 19 16 1 81 , 19 15

3 ^{2 2 2}

≈

=

− +

+

−

⋅ +

= − s

5. Arvosanat suuruusjärjestyksessä a, b, c, d Mediaani Md = 6,5 eli 6,5

2 = +c b

Koska moodi = 7 arvosanoja 7 pitää olla vähintään 2.

Koska Md = 6,5 arvosanat c = 7 ja d = 7. Tällöin 6

5 , 2 6

7 = ⇔ =

+ b

b

Keskiarvo x=6

4 24 7

7 6

24 4 6

=

= + + +

= + + +

+ = + +

a a

d c b a

d c b a

Arvosanat ovat 4,6,7 ja 7.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

1 2 3 4

frekvenssi

1 3 4 6

6. x = {1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 6}

Keskiarvo

5 , 8 3 28 8

6 1 4 3 3 3 1

1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

= x

Hajonta

( ) ( ) ( ) ( )

2 7 14

1 8

5 , 3 6 1 5 , 3 4 3 5

, 3 3 3 5

, 3 1

1 ^{2 2 2 2}

1

=

=

−

−

⋅ +

− +

− +

−

= ⋅

−

sn

Varianssi 2 2²

2

1 = =

−

sn

Vaihteluväli R = 6 – 1 = 5

ja 0,28

5

1 = 2 ≈

−

R s_n

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

1 2 3 4

frekvenssi

2 3 4 5

y = {2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5}

Keskiarvo

5 , 8 3 28 8

5 3 4 1 3 1 2

3⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

= y

Hajonta

( ) ( ) ( ) ( )

7 2 14

1 8

5 , 3 5 3 5

, 3 4 1 5 , 3 3 1 5 , 3 2

3 ^{2 2 2 2}

1

=

=

−

−

⋅ +

−

⋅ +

−

⋅ +

−

= ⋅

−

sn

Varianssi 2 2²

2

1 = =

−

sn

Vaihteluväli 5 – 2 = 3 ja 0,47 3

1 = 2 ≈

−

R s_n

Luku R s_n−1

kuvaa hajontaa paremmin.

7. Naiset x =81,1 vuotta ja sx =4,5 vuotta

Kilpikonna y =92 vuotta ja sy =9,5 vuotta y = 140 vuotta.

Normitetuista arvoista saadaan yhtälö

( )

...

83 , 103

45 , 986 5

, 9

216 45

, 770 5

, 9

48 5 , 4 1 , 81 5

, 9

5 , 9

92 140 5

, 4

1 , 81

=

=

=

−

⋅

=

−

= −

−

x x x

x x

Ihmisen tulisi olla 104 vuotta.

8. Taulukoidaan luokkakeskukset

inflaatioprosentti luokkakeskus f 2,0 – 3,9

95 , 2 2

9 , 3 0 ,

2 + = 14

4,0 – 5,9 4,95 9

6,0 – 7,9 6,95 3

8,0 – 9,9 8,95 0

10 – 11,9 10,95 2

12 – 13,9 12,95 2

14 – 15,9 14,95 1

a) 5,466... 5,47

31 45 , 169 31

95 , 14 1 ...

95 , 4 9 95 , 2

14⋅ + ⋅ + + ⋅ = = ≈

= x

b) Keskihajonta

( ) ( ) ( )

41 , 3

...

406 , 3

31

46 , 5 95 , 14 1 ...

46 , 5 95 , 4 9 46

, 5 95 , 2

14 ^{2 2 2}

≈

=

−

⋅ + +

−

⋅ +

−

= ⋅ sn

Vastaus: a) 5,47 % b) 3,41 %

9. Nappuloita yhteensä 2⋅8+2⋅2+2⋅2+2⋅2+2⋅2=32 kpl a) ^P

(

)

b) ^P

(

)

c) ^P

(

)

10. Oppilaita yhteensä 35 kpl.

a) ^P

(

)

b) ^P

(

)

c) ^P

(

)

1 1

2 2

4 4

3

3 5

5 6

6 noppa 1

noppa 2

7 7

8 8

11. Yhteensä joulumusiikkia ja muuta musiikkia on 38 + 22 = 60 min.

Petteri Punakuono kestää 3 min.

a) ^P

(

)

b) ^P

(

)

12. Merkitään opiskelijoiden lukumäärää a. Matematiikkaa opiskelee

⋅a 8 ,

0 ja pitkää matematiikkaa 0,4⋅0,8⋅a =0,32a a) ^P

(

)

b) ^P

(

)

13. a) Molemmilla nopilla saadaan sama silmäluku todennäköisyydellä

( )

8 1 64

8

sama molemmilla

=

= P

1 1

2 2

4 4

3

3 5

5 6

6 noppa 1

noppa 2

7 7

8 8

100a

54a - 41a

= 13a 41a 70a - 41a

= 29a

naisia käyttää

aurinkolaseja

b) Molemmilla ainakin 6

( )

64 9

6 ainakin molemmilla

= P

14. Asiakkaita 100a

Aurinkolaseja käyttäviä miehiä 29a

(

)

P

15. Työntekijöitä 100a

juo kahvia ei juo kahvia tupakoi 0,33⋅62a=20,46a 0,18⋅38a=6,84a ei tupakoi 62a −20,46a=41,54a 38a – 6,84a = 31,16a

62a 100a – 62a = 38a

(

)

P

16. 5 henkilöä: Nea, Leevi, A, B ja C. Luetellaan kaikki parit NL LA AB BC

NA LB AC NB LC

NC

a) ^P

(

)

b) ^P

(

)

1

2 2

3

3 3 3

4 4 4 4

4

4 4

4

5

5 5

5 5

5

5

5 5 5

5 5 5 5 5 5

oikein väärin

17. Piirretään puumalli

(kuviossa vasen haara = oikein, oikea haara = väärin)

(

)

P

18. Merkitään x = nopan silmäluku ja p = todennäköisyys silmäluvuille 2 – 5.

13 2 5 , 6

1 1 5

, 6

1 2

4 5 , 0

=

=

=

= +

+

p p p p p

xi p_i 100

13 3

– 300

13 4 400

13 1 – 400

13 1 0

13 4

13 5 1

,

0 p = ja

14 2p = 4

Satunnaismuuttujan jakauma

xi p_i 1

13 1 2

13 1 3

13 1 4

13 1 5

13 1 6

13 4

19. Merkitään x = voittosumma yhdellä kierroksella Todennäköisyydet

( )

( )

( )

(

)

13 1 52 2 4

13 4 52 10 16

tai 9 8, , 7

13 3 52 kuva 12

=

=

=

=

=

=

=

=

P P P P

20. Odotusarvo

( )

( ) ( )

€ 7 , 7 13

100

13 0 400 4

13 400 1 13 100 1

13 100 4 13

3

−

=

= −

⋅ +

− +

⋅ +

− +

⋅

= Σ

= p_ix_i x

E

Ei ole reilu peli.

21. Merkitään x = voittosumma. Todennäköisyydet

( )

( )

( )

(

)

200 1 000 20 voitto 100

€ 100

2000 1 000

20 voitto 10

€ 2000

000 20 000€ 3

10 päävoitto

− =

−

= −

=

=

=

=

=

P P P P

Ostetaan 1 arpa (5 €)

Satunnaismuuttujan jakauma

xi p_i – 5€

000 20

19887 100€

200 1 2000€

2000 1 10 000€

000 20

3

Odotusarvo voittosummalle

( )

( )

€ 97 , 1

97175 ,

1

000 000 10

20 3

2000 2000 100 1

200 5 1

000 20

19887

−

=

−

=

⋅ +

⋅ +

⋅ +

−

⋅

= Σ

= pixi

x E

22. a) Takki (3 kpl), housut (6 kpl), paita (10 kpl) ja kengät (4kpl) muodostavat erilaisia kokonaisuuksia

720 4

10 6

3⋅ ⋅ ⋅ =

b) Sinisiä vaatteita: takki (1 kpl), housut (3 kpl), paita (2 kpl) ja kengät (1 kpl) muodostavat erilaisia kokonaisuuksia

6 1 2 3

1⋅ ⋅ ⋅ =

23. A, B, C, D, E, F, G eli 7 ryhmää Erilaisia järjestyksiä 7! = 5040

( )

00020 ,

0

000198 ,

0 5040 estyksessä 1

aakkosjärj ryhmät

≈

=

= P

24. Erilaisia järjestyksiä on 5! = 120

(

)

P

25. Ada (48p), Bertta (46p) ja Caijus (41p). Lahjakortit 200€, 150€ ja 100€. Kymmenen parasta voidaan laittaa

10! = 3 628 800 järjestykseen Suotuisissa järjestyksissä oltava

• Ada ensimmäisenä

• Bertta toisena

• Caijus kolmantena

• loput miss järjestyksessä tahansa

( )

0014 , 720 0

1

! 7 8 9 10

! 7

! 10

! 7 1 1 essä 1

järjestyks oikeassa

parasta kolme

≈

=

⋅

⋅

= ⋅

⋅

⋅

= ⋅ P

26. Poikia (2kpl) ja tyttöjä (3 kpl) yhteensä 5 kpl.

a) Erilaisia jonoja 5! = 120 kpl

b) Pojat ensin – jonoja 2!⋅ 3!=12kpl

c) Järjestetään lapset jonoon ja kaksi ensimmäistä pääsee kielikurssille

N! N3! 12 2

vanhinta muut kaksi

=

⋅

erilaista jonoa, joissa ensimmäisenä kaksi vanhinta

(

)

P

27. 10 jäsenestä 3 on naisia ja 7 miehiä. Muodostetaan 4 henkilön ryhmiä

a) Erilaisia ryhmiä 210 kpl 4

10⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

b) Kaikki naiset mukana. Mies voidaan valita 7 tavalla, naiset yhdellä

kpl 1 7

7 3

3 ⎟⎟⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

28. 22 tomaatin joukossa on 17 tuoretta ja 15 pilaantunutta. Nostetaan 5 tomaattia.

a)

( )

5 22

5 17 tuoreita

kaikki = ≈

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= P

b)

( )

5 22

4 15 1 17 tuore

1 = ⋅ ≈

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= P

29. Erilaiset kädet kpl 13

52⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

Kaikki samaa maata olevat kädet 4 kpl

( )

13 52 maata 4

samaa

kaikki = ⋅ ⁻

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

P

30. 48 numeron joukosta arvotaan 6 oikeaa numeroa ja kaksi lisänumeroa.

a)

( )

6 48

2 42 4 6 oikein

4 = ⋅ ≈

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= P

2€

kolikoiden

määrä 0 1 2 3 4 5

tapahtuma A A

b)

( )

6 48

1 2 4 6 lisä

1

5 = ⋅ = ⋅ ⁻

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

= +

P

31. 20 kolikon joukossa on 8 kpl 1€ ja 12 kpl 2€ kolikoita.

a) A = ainakin yksi 2€ kolikko

kolikoita ovat1€

kaikki kolikkoa

2€

yhtään

ei =

= A

( )

...

003611 ,

0

480 860 1

6720 16

4 17

5 18

6 19

7 20

8

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

= A P

( ) ( )

996 , 0

...

99638 ,

0

...

003611 ,

0 1 1

≈

=

−

=

−

= P A A

P

2€

kolikoiden

määrä 0 1 2 3 4 5

tapahtuma A

A

b) A = korkeintaan 4 2€ kolikkoa

kolikkoja 2€

ovat 5

kaikki

= A

( )

...

05108 ,

0

480 860 1

95040

16 8 17

9 18 10 19 11 20 12

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

= A P

( ) ( )

949 , 0

...

94891 ,

0

...

05108 ,

0 1 1

≈

=

−

=

−

= P A A

P

miehien

määrä 0 1 2 3

tapahtuma A A

oikeiden numeroiden

määrä 0 1 2 3 4 5

tapahtuma A A

32. 11 henkilöstä 6 on naisia ja 5 miehiä. Merkitään A = ainakin yksi on mies.

naisia ovat

kaikki miestä

yhtään

ei =

= A

( )

33 4 990 120

9 4 10

5 11

6

=

=

⋅

⋅

= A P

( )

( )

P

33. Merkitään A = ainakin yksi oikein.

väärin kaikki

oikein yhtään

ei =

= A

( )

...

5766 , 0

46 41 47 42 48 43 49 44 50 45

=

⋅

⋅

⋅

⋅

= A P

( ) ( )

42 , 0

...

4233 , 0

...

5766 , 0 1 1

≈

=

−

=

−

= P A A

P

34. Suoritetaan 5 nostoa. Todennäköisyys

( )

( )

( )

013 , 0

...

9973 , 0 1

49 10 50 11 51 12 52 1 13 1

herttoja ei

4 kaikki 1

herttoja ei

kaikki kerralla

5.

ja herttoja ei

kaikki kerralla

2.

ja herttoja ei

kaikki kerralla

. 1 1

herttaa 4

kertaakaan ei

1

herttaa 4

kerran ainakin

5

5 5

≈

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − ⋅ ⋅ ⋅

−

=

−

=

⎟⎟

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

P P P P

#

35. Ryhmässä 15 tyttöä ja x poikaa. Valitaan 2 henkilöä.

(

)

P

( )( )

( )( )

( )

21 2

71 29

1 2

1050 1

4 29 29

0 1050 29

1260 14

15 210

1260 14

15

6 1 14

15

210

6 1 14

14 15

15

2 2

2

=

±

= −

⋅

−

⋅

⋅

−

±

= −

=

− +

= + +

+

= + +

+ = +

+ = + ⋅

x x x x

x

x x x

x x

x x

x x

Ryhmässä on 21 poikaa.

36. a) ^P

(

) (

)

b) ^P

(

) (

)

36 25 6 5 ²

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

osuu ohi

0,25 0,75

osuu ohi

osuu ohi

0,15 0,15

0,85 0,85 1. nuoli

2. nuoli

3. nuoli

37. Todennäköisyydet

( )

( )

15 , 0

10 seuraava ja

ohi edellinen

25 , 0 kymppi

=

= P

P

Ammutaan 3 nuolta

( )

54 , 0

85 , 0 85 , 0 75 , 0

10 yhtään ei

≈

⋅

⋅

= P

38. Todennäköisyys

(

)

P

osallistujia kierros pelipareja pareja joissa ei ole 2 parasta 32 1 31 (paras ja 31

vaihtoehtoja)

30 16 2 15 (paras ja 15

vaihtoehtoja)

14

8 3 7 6 4 4 3 2 2 loppuottelu

( )

52 , 31 0 16

3 2 7 6 15 14 31 30

la kierroksel 4.

eikä 3.

eikä 2.

eikä 1.

kohtaa eivät

≈

=

⋅

⋅

⋅

= P

1000

kesä

150 talvi

39. Venn-diagrammi

A = lomailee kesällä B = lomailee talvella

a) ^P

(

)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

10 1

20 17 1000

300 1000

650

B A tai B

ja A

B ja A B

A tai

=

− +

=

− +

=

− +

=

P B P A P P

P B P A P P

b) ^P

(

)

( ) ( )

4 3

10 1 20 17

B ja A B

A tai

=

−

=

−

= P P

40. 12 korvakorun joukossa on 4 kultaista, 5 hopeista ja 3 pronssista korvakorua. Nostetaan umpimähkään kaksi.

a) ^P

(

) (

) (

)

33

5 11

4 12

5

=

⋅

=

b) ^P

(

)

( ) ( ) ( )

29 , 0

66 19

11 2 12

3 11

4 12

5 11

3 12

4

pronssia 2.

ja 1.

hopeaa 2.

ja 1.

kultaa 2.

ja 1.

≈

=

⋅ +

⋅ +

⋅

=

+ +

= P P P

41. a) ^P

(

)

( ) ( ) ( )

( )

308 , 0

...

30807 ,

0

47 43 48 44 49 45 50 4 5

47 5 48 43 49 44 50 45

47 43 48

5 49 44 50 45 47 43 48 44 49

5 50 45 47 43 48 44 49 45 50

5

luvattomia .

4

luvattomia 3.

luvattomia 2.

luvattomia 1.

≈

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

⋅

= +

+ +

= P

P P

P

C C C

C

C

C

C C

C A

A

A

b) Kaksi matkustajaa 4:stä voidaan valita 6 2 4⎟⎟⎠ =

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ eri tavalla

0430 , 0

...

04298 ,

0

47 44 48 45 49

4 50 6 5

≈

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

42. Todennäköisyydet

( )

( )

(

)

P

voittoa .

3 2 voittaa 1 B

P

voitto .

3 1 A voittaa 1

=

=

= P

( )

074 , 0

07407 ,

0

3 3 1 3

1

pelin koko

voittaa C

4 3

≈

=

⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ P

43. Numerot 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9. Viisi nostoa

( )

( )

4 , 10 0 7 4

=

=

= P P

( )

35 , 0

3456 , 0

6 , 0 4 , 2 0 seiskaa 5

2

täsmälleen ^{2 3}

≈

=

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛ P

44. Valitaan umpimähkään 8 henkilön ryhmä.

( )

(

)

08 , 0 okea punavihers

=

= P

P

a)

(

)

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ P

b) ^P

(

)

( )

87 , 0

92 , 08 , 1 0 92 8

, 0

sokeaa -

pv 1 tai 0

7 8

≈

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

=

= P

c) ^P

(

) (

)

7

8 7

10 6 , 1

08 , 0 92 , 0 08 , 7 0 8

⋅ −

≈

+

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

45. 10 hevosesta 3 on valkoisia, 2 mustia ja 5 ruskeita.

a) ^P

(

)

( )

311 , 45 0 14 90 28

9 4 10

5 9 1 10

2 9 2 10

3

ruskeita mol.

tai mustia mol.

tai alk.

molemmat v

≈

=

=

⋅ +

⋅ +

⋅

=

= P

b) Viisi päivää

( )

316 , 0

45 1 14 45

14 2 5

et samanväris päivänä

kahtena

3 2

≈

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ₋

⋅

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟⎟⎛

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛ P

46. Satunnaismuuttuja ^{X ~ Bin}

(

)

a)

(

)

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

= X P

b) ^P

(

) (

)

( ) ( ) ( )

26 , 0

65 , 0 35 , 0 65 , 9 0 35 10

, 0 65 , 8 0 10

10 9

8

10 9

2 8

≈

+

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

= +

= +

=

= P X P X P X

c) ^E

( )

1/2

1 2 3

1/2 4

x₀

47. Funktion ^f

( )

1. Funktio ^f

( )

2. Tarkastellaan pinta – alaa

2 1 2 2 1 2 1

1 ⋅ =

+

⋅

( )

f on edellisten perusteella tiheysfunktio.

48. a)

( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧_{− + ≤ ≤}

=

muualla ,

0

2 0 1

kun , 4

8x x

x f

Funktion ^f

( )

Kun 0x< , on ^F

( )

Kun

2 0≤ x≤ 1, on

( ) ( )

( )

x x

x x x x

x x x f

F

4 4

4 4

2 4 8 4

2 4

2 +

−

=

−

=

+ ⋅

= − + ⋅

=

Kun 2

> 1

x , on ^F

( )

Edellisten kohtien perusteella kertymäfunktio

( )

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

>

≤

≤ +

−

<

=

2 kun 1 , 1

2 0 1

kun , 4 4

0 kun , 0

2

x

x x

x x x

F

b) ^P⎜_⎝^{⎛0≤ X ≤ 1}₅^⎟_⎠^{⎞= F⎜}_⎝^⎛₅^1⎟_⎠^⎞−F

( )

64 , 0

25 16

5 0 4 1 5

4 1

2

=

=

−

⋅ +

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

−

=

49. Satunnaismuuttuja ^{X ~ N}

( )

a) ^P

(

)

( )

b) ^P

(

)

(

)

c) ^P

(

)

( ) (

)

( ) ( ( ) )

( )

5197 , 0

6554 , 0 1 8643 , 0

6554 , 0 1 8643 , 0

4 , 0 1

1 , 1

=

+

−

=

−

−

=

Φ

−

− Φ

=

-a a

0,95

0,95

50. Merkitään X = lampun kestoikä. ^{X ~ N}

(

)

180

−1100

= a z

( )

( )

(h) 804

...

918 , 803

082 , 296 1100

6449 , 180 1

1100

95 , 0 6449 , 1

95 , 180 0

1100

95 , 180 0

1100

95 , 180 0

1100

95 , 0

≈

=

−

=

−

− =

−

= Φ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛− − Φ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ < − −

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ > −

=

>

a a a

a a z a

P z a P

a X P

51. Merkitään X = junamatkan kesto. ^{X ~ N}

(

)

3h 15min = 3,25 h

σ σ

25 , 1 25 , 3 5 ,

4 − =

= z

( )

98 , 25 0

, 1

98 , 0 5 , 4

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ≤

=

≤

z σ P

X P

z_x 0

0,11 1 - 0,11 = 0,89

( )

min 37

min 36,585...

h 0,6097...

(h) ...

6097 , 0

25 , 1 05

, 2

05 , 25 2 , 1

9798 , 0 05 , 2

98 , 25 0

, 1

≈

=

=

=

=

= Φ

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝ Φ⎛

σ σσ σ

52. Merkitään X = tulitikkujen määrä. ^{X ~ N}

( )

( )

( )

ua tulitikk 42

08 , 42

92 , 4 47

23 , 4 1

47

89 , 0 23 , 1

89 , 4 0

47

11 , 4 0

47

100 47 11

≈

=

=

−

− =

≈ Φ

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

Φ

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ≥ −

=

≥

x x x x x z x

P

X P

53. Keskiarvot x^A = x^B = 72 ja hajonnat σA =9,2 ^ja σB =^6,8. 80

82 =

= _B

A x

x

A B B A

z z z z

>

− ≈

=

− ≈

=

18 , 8 1

, 6

72 80

09 , 2 1

, 9

72 82

Bertta menestyi paremmin.

( )

Φ keskiarvoa paremmin, mutta Berttaa

huonommin 88,1% – 50% = 38,1 %.

Alina: ^Φ

( )

( ) ( )

( )

( )

% 8 , 13

1379 , 0

8621 , 0 1

09 , 1 1

09 , 1 1

09 , 1 82

pistemäärä

≈

≈

−

≈

Φ

−

=

≤

−

=

>

=

>

z P z P P

0 20 40 60 80 100 120

0 200 400 600 800 1000 1200

Paino (g)

sf%

≈375 Md

1. Taulukoidaan luokkakeskukset, summafrekvenssit sekä suhteelliset summafrekvenssit

Kalan paino (g) f luokkakeskus sf sf % 0 – 249 24

75 , 2 124

5 , 249

0+ = 24

% 30 3 , 80 0

24 = = 250 – 499 44

5 , 2 375

499

250+ = 24 + 44 = 68

% 85 85 , 80 0

68= = 500 – 749 8

5 , 2 624

749

500+ = 68 + 8 = 76

% 95 95 , 80 0

76 = = 750 – 999 4

5 , 2 874

999

750+ = 76 + 4 = 80 100 % yht. 80

a) Keskiarvo

(g) 350

125 , 80 350

5 , 874 4 5 , 624 8 5 , 375 44 75 , 124 24

≈

⋅ = +

⋅ +

⋅ +

= ⋅ x

b) Kertymäkuvaaja

1 1

2 2

4 4

3

3 5

5 6

6

noppa 1

noppa 2

1 1

2 2

4 4

3

3 5

5 6

6

noppa 1

noppa 2

(

)

P

2. a) Noppien pistelukujen summa on 5

(

)

P

b) Pisteluvut eroavat toisistaan korkeintaan kahdella

( )

3 2 36 24

kahdella kork.

eroavat

=

= P

1 1

2 2

4 4

3

3 5

5 6

6

noppa 1

noppa 2

8 min 8 min

20 s 20 s

0 9 3

0 9 3 1

0 9

=

− +

=

−

⋅ +

⋅

=

− +

b a

b a

by ax

Lasketun lausekkeen arvo parametrien a ja b arvoilla

( )

18 1 36

2

kautta (1,3)

kulkee

=

= P

3. a) Geometrinen todennäköisyys

(

)

P

A₁

R

r

x y

3 P

α β

(4,-2)

5

cm 2 25

cm 50

=

=

= r R

( )

25 24

25 1 1 5

1 1 25

1 5 1

a keskustast päässä

cm 5 yli on tikka

2 2

2 2

2 2

1

=

−

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

= −

=

R r R

r R

A A P

ympyrä

π π π

c) Suotuisa kulma α =90°+β

°

=

=

...

565 , 26

4 tan 2

β β

( )

32 , 0

360

...

565 , 26 AB 90

janaan osuu

≈ °

° +

= ° P

( )

(

)

95 , 0 kaato

=

= P

P

a) ^P

(

)

b) ^P

(

)

(

)

99999969 ,

0

05 , 0

1 ⁵

≈

−

=

c) ^P

(

)

( ) ( ) ( )

988 , 0

95 , 0 05 , 0 95 , 9 0 05 10

, 0 95 , 8 0 10

kaatoa 10

kaatoa 9

kaatoa 8

10 9

2 8

≈

+

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

+ +

= P P P

Merkitään x = uroskalojen lukumäärä.

xi p_i

0

3 1 120

4 3

10 3 4

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

1

10 3 120

36 3

10 1 6 2 4

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

2

2 1 120

60 3

10 2 6 1 4

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3

6 1 120

20 3

10 3 6

=

=

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

Odotusarvo

( )

E

Keskihajonta

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

75 , 0 56 , 0

8 , 1 6 3

8 1 , 1 2 2

8 1 , 1 10 1 8 3

, 1 30 0

1 2 2 2 2

≈

=

− +

− +

− +

−

= x D

95 , 0 05

, 0

993 , 0 007

, 0

99 , 0 01

, 0

=

=

=

=

=

=

C C B B A A

P P

P P

P P

( ) ( )

( )

066 , 0

95 , 0 993 , 0 99 , 0 1

hajoa ei

yksikään 1

hajoaa i

komponentt 1

ainakin toimi

ei laite

≈

⋅

⋅

−

=

−

=

=

P P P

2 rinnakkaista komponenttia C

( )

( )

( )

( )

( )

019 , 0

05 , 0 1 993 , 0 99 , 0 1

hajoaa t

: C molemmat 1

993 , 0 99 , 0 1

ehjänä pysyy

C inen ainakin to ja

ehjiä B

ja A 1

hajoaa 1

ainakin

2

≈

−

⋅

⋅

−

=

−

⋅

⋅

−

=

−

=

P P

P

0 20 40 60 80 100 120 140

50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

Paino (kg)

frekvenssi

1. a) Frekvenssijakauman kuvaaja

b) Moodiluokka 60 – 69 (kg) (kg) 5 , 2 64

69 60+ =

= Mo

Opiskelijoita yhteensä 321 kpl

sf % 50 – 59

% 5 , 321 10

35 ≈ 60 – 69

% 5 , 321 49

124 35+ ≈ 70 – 79

% 0 , 321 76

85 124

35+ + ≈ 80 – 89

% 3 , 321 95

62 85 124

35+ + + ≈ 90 – 99 100 %

(kg) 5 , 2 74

79 70+ =

= Md

c) ^P

(

)

2. a) Erilaisia 10 opiskelijan jonoja 10! = 3 628 800

d 42

h 1008

min 480 60 s 800 628 3

=

=

=

b) 15⋅14⋅13=2730 c) 3003

10 15⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

3. a) Mustia ässiä 2 kpl

Punaisia kolmosia 2 kpl Ruutujätkiä 1 kpl

Ennen uuden kortin saantia pakassa on kortteja 52 – 4 = 48 kpl

• pakassa ässiä 2 kpl

• pakassa jätkiä 4 kpl

(

)

P

b) Poutapäiviä 92 % = 0,92

ei poutapäiviä (= sataa) 1 – 0,92 = 0,08

( )

( )

986 , 0

...

9859 , 0

92 , 0 08 , 2 0 92 7

, 0 08 , 0 7 92 , 0

2 tai 1 tai 0 sadepäiviä

päivänä kahtena

n korkeintaa sataa

5 2

6 7

≈

=

⎟⎟ ⋅

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝ +⎛

⋅

⋅ +

=

= P P

4. Satunnaismuuttujalle ^{X ~ Bin}

(

)

27 , 0 73 , 0 1

73 , 0 15

=

−

=

=

=

q p n

a) ^P

(

) (

)

7 7

14 15

10 23 , 1

10 ...

2276 , 1

27 , 0 73 , 0 15 27

, 0

−

−

⋅

≈

⋅

=

⋅

⋅ +

=

99999988 ,

0

...

999999877 ,

0

10 ...

2276 , 1

1 ⁷

≈

=

⋅

−

= ⁻

c) ^E

( )

d) ^D

( )

5. Merkitään X = laitteen kestoikä, ^{X ~ N}

(

)

a) ^P

(

)

(

)

( )

( )

19 , 0

1867 , 0

8133 , 0 1

89 , 0 1

89 , 0 1

8 , 2

5 , 5 1 8

≈

=

−

=

Φ

−

=

≤

−

≈

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ≤ −

−

=

z P

z P

z_a

0,05

- z_a

0,95 0,05

0 0

( )

1 f

2

x y

x 8

, 2

( )

( )

( )

( )

kk 10,73136 vuotta

89428 ,

0

60572 ,

4 5

, 5

6449 , 8 1

, 2

5 , 5

6449 , 1 6449 , 1

95 , 0

95 , 0

05 , 0

05 , 0

=

=

−

=

−

−

− =

−

=

=

−

=

− Φ

=

−

<

=

<

=

<

a a a

z z z z z P

z z P

a X P

a a a a a

Vastaus: Korkeintaan 10 kk

6. a) Tiheysfunktion kuvaaja

• Kun x< 0 niin ^F

( )

• Kun 20≤ x≤ :

Puolisuunnukkaan ala

( )

4 1 2

2 1 1 1 2

1 x x x

x x x

f ⋅ = −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

= + ⋅

1 2 1

( )

F

Kertymäfunktio

( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤

≤

−

<

=

2 kun , 1

2 0

kun 4 ,

1

0 kun , 0

2

x

x x

x

x x

F

Kertymäfunktion kuvaaja

b) _⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ ≤ ≤

2 1 4

3 4

3 2

1 x F F

P

17 , 0

64 11

2 1 4 1 2 1 4

3 4 1 4

3 ^{2 2}

≈

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=