Kertausosa 1. a) y=−x+1
b)
2 1 2 1
) 2 (:
1 2
0 1 2
+
=
−
−
=
−
= +
−
−
x y
x y x y
c)
4 2
) 2 (:
8 4 2
5 3 2 4
+
=
−
−
−
=
−
−
= +
−
x y
x y y x
2. a)
2 3 : 6 3 3
6 3 3 b)
+
−
= +
−
=
= +
x y
x y x x
ja
7 2 0 7 2
+
−
=
=
− +
x y x y
3. Merkitään
x = merirosvorahat (kg) hinta: 6 €/kg y = suklaatryffelit (kg) hinta: 7 €/kg a) 06x +7y=5,
b) y =200g=0,2kg
(kg) 6 , 0
6 : 6 , 3 6
0 , 5 4 , 1 6
0 , 5 2 , 0 7 6
=
=
= +
=
⋅ +
x x x x
Vastaus:
a) 06x +7y=5, (€) b) 600 g
4. a)
3 27 9
27 4
0 5
=
=
⎩⎨
⎧
= +
−
= + +
y y y x
y x
15 0 3 5
−
=
=
⋅ +
x x
b) ⎩⎨⎧
+
=
= +
−
1 1 2 x y
y x
Sijoitetaan 1y=x+ yhtälöön −x+2 y=1.
( )
1 1 2 2
1 1 2
−
=
= + +
−
= + +
−
x x x
x x
0 1 1+ =
− y = Vastaus:
a) x =−15, y=3 b) x =−1, y =0
5. a)
⎩⎨
⎧
−
= +
−
⋅
=
−
4 2 6
2 2 3
y x
y
x
tosi 0 0
4 2 6
4 2 6
=
⎩⎨
⎧
−
= +
−
=
−
+ x y
y x
Yhtälöparilla ääretön määrä ratkaisuja.
Kirjoitetaan yhtälöt ratkaistussa muodossa.
2 3
2 3 2 3
−
= +
−
=
−
=
− x y
x y y x
ja
2 3
2 : 4 6 2
4 2 6
−
=
−
=
−
= +
−
x y
x y y x
Leikkauspisteitä on siis ääretön määrä, mutta niiden on toteutettava suoran y =3x −2 yhtälö.
b) ⎩⎨⎧
= + +
+
−
=
0 5
4 x y
x y
Sijoitetaan 4y=−x+ yhtälöön 0
5= + +x
y .
0 9
0 5 4
=
= + + +
−x x
epätosi
Yhtälöparilla ei ole ratkaisua.
Vastaus:
a) Kaikki suoran y =3x −2 pisteet.
b) Ei ratkaisua
6. a)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⋅
= +
⋅
−
= +
) 3 ( 4 3 5
5 2 4 3
y x
y x
2 22 11
12 9
15
10 20
15
−
=
−
=
⎩⎨
⎧
−
=
−
−
−
= + +
y y y x
y x
2 3 : 6 3
2 8 3
2 ) 2 ( 4 3
=
=
−
=
−
−
=
−
⋅ +
x x x x
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅
= +
−
⋅
= +
5 3 5 4
) 4 ( 3 4 5
y x
y x
3 1 9 3 3 9
15 25 20
12 16
20
=
=
−
=
⎩⎨
⎧
= +
−
=
−
− +
y y y y x
y x
3 1
4 3 : 11 4
3 3 5 4
3 3 4 5
3 3 5 1 4
=
=
−
=
= +
=
⋅ +
x x x x x
c) ⎩⎨⎧
= +
−
⋅
= +
3 3 4
) 2 ( 3 4 2
y x
y x
5 3 3 5
3 3 4
6 8 4
=
−
=
−
⎩⎨
⎧
= +
−
=
−
− +
y y y x
y x
10 3
2 5 : 2 3
5 3 2 12
5 3 4 3 2
=
=
= +
=
⋅ +
x x x x
Vastaus:
a) x =2, y =−2
b) 3
= 1
= y x
c) 5
, 3 10
3 =
= y
x
7. a)
( )
( )
⎩⎨
⎧
+
= +
= +
−
x x
y x
2 4 2 2
36 2
3
⎩⎨⎧
+
= +
=
−
−
x x
y x
2 8 4
36 3 6
⎩⎨
⎧
⋅
= +
=
−
−
2 2 2 3
36 3 6
y x
y x
40 4 4 6
36 3 6
=
⎩⎨
⎧
= +
=
−
− +
y y x
y x
26 3 : 78 3
2 80 3
2 40 2 3
−
=
−
=
= +
=
⋅ +
x x x x
b)
( )
( )
⎩⎨
⎧
+
= +
+ +
= +
−
2 1
, 2 3
2 2 5 7 3 , 0
x y x
y x y x
⎩⎨⎧
+
= +
+ +
= +
−
2 3
3 , 6
10 10 5 7 3 , 0
x y x
y x y x
12 0
2 3 3 , 5
10 3 3 , 5
=
⎩⎨
⎧
= +
=
−
−
+ x y
y x
epätosi
ei ratkaisua
Vastaus:
a) x =−26, y=40 b) ei ratkaisua
8. Merkitään x = 2 kpl pakkausten lkm.
y = 6 kpl pakkausten lkm.
⎩⎨
⎧
= +
−
⋅
= +
260 6
2
) 2 ( 70 y x
y x
30 120 4
260 6
2
140 2
2
=
=
⎩⎨
⎧
= +
−
=
−
− +
y y y x
y x
40 70 30
=
= +
x x
Vastaus:
Kahden kappaleen pakkauksia 40 kpl Kuuden kappaleen pakkauksia 30 kpl 9. Merkitään
x = yhdessä taksissa matkustavien lkm.
y = yhdessä bussissa matkustavien lkm.
(keskimäärin)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅
= +
−
⋅
= +
68 4806
106 124
) 106 ( 3196 68
136
y x
y x
2 11968 5984
326808 7208
8432
338776 7208
14416
=
−
=
−
⎩⎨
⎧
= +
−
=
−
− +
x x
y x
y x
43
68 : 2924 68
3196 68
272
3196 68
2 136
=
=
= +
= +
⋅
y y y y
Vastaus: Bussissa saapui keskimäärin 43 matkustajaa. Taksissa saapui keskimäärin 2 matkustajaa.
10. Merkitään x = Pekan tuntipalkka (€) y = Jarin tuntipalkka (€)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⋅
= +
⋅
= +
) 10 ( 121 17
9
9 110 14
10
y x
y x
5 220 44
1210 170
90
990 126
90
=
−
=
−
⎩⎨
⎧
−
=
−
−
= +
+
y y y x
y x
Kun 5y = , niin
4
9 : 36 9
121 85 9
121 5 17 9
=
=
= +
=
⋅ +
x x x x
Vastaus:
Pekan tuntipalkka 4 €, Jarin tuntipalkka 5 € 11. Merkitään lukuja kirjaimilla x ja y.
⎩⎨
⎧
−
=
−
= +
15 1
2
2 y
x y x
⎩⎨
⎧
−
=
− +
−
=
15 1
2
2 y
x x y
Sijoitetaan 1y=−x + yhtälöön .
2 15
2− y =−
x
( )
( )
7 2 : 14 2
15 1 2
15 1 2
15 1
2 2
2 2
2 2
−
=
−
=
−
=
− +
−
−
= +
−
−
−
= +
−
−
x x x x x
x x x
x x
Kun x =−7, niin y =−(−7)+1=8. Vastaus: Luvut ovat -7 ja 8.
12. Merkitään x = 1,5-prosenttinen liuos (l) y = 20,0-prosenttinen liuos (l)
1,5-pros. 20,0-pros. Koko liuos Liuoksen
määrä x y 1,5
Suolan
määrä 0,015x 0,20y 0,10⋅1,5 Saadaan yhtälöt:
⎩⎨
⎧
⋅
= +
= +
5 , 1 10 , 0 20 , 0 015 , 0
5 , 1
y x
y x
⎩⎨
⎧
= +
−
⋅
= +
15 , 0 20 , 0 015 , 0
) 20 , 0 ( 5
, 1
y x
y x
81 , 0
...
8108 , 0
185 , 0
15 , 0
15 , 0 185 , 0
15 , 0 20 , 0 015 , 0
3 , 0 20 , 0 20 , 0
≈
=
=
−
=
−
⎩⎨
⎧
= +
−
=
−
− +
x x x x y x
y x
Kun 81x =0, , niin 69 , 0
5 , 1 81
, 0
=
= +
y y
Vastaus:
1,5-prosenttista liuosta 0,81 l 20-prosenttista liuosta 0,69 l
13. a)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
−
= + +
−
= +
−
4 10
5 5
2
5 5
3
z y x
z y x
z y x
Muodostetaan kaksi yhtälöparia ja eliminoidaan niistä sama tuntematon y.
(1)
10 2
5 5
2
5 5
3
= +
⎩⎨
⎧
= + +
−
= +
− +
z x
z y x
z y x
(2)
⎩⎨
⎧
−
= +
−
⋅
= + +
−
4 10
2 5 5
2
z y x
z y x
6 3 3
4 10
10 2 10 4
= +
−
⎩⎨
⎧
−
= +
−
= + +
− +
z x
z y x
z y x
Saadaan uusi yhtälöpari:
⎩⎨
⎧
= +
−
⋅
= +
6 3 3
3 10 2
z x
z x
4 36 9
6 3 3
30 6 3
=
=
⎩⎨
⎧
= +
−
= + +
z z z x
z x
Kun 4z = , niin
2 10 8
10 4 2
=
= +
=
⋅ +
x x x
Kun 4z = ja x =2, niin
1
) 10 (:
10 10
4 4 10 2
=
−
−
=
−
−
= +
−
y y y
b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
−
−
= +
−
= +
−
III 2 4 10
II 5 4 2
I 3 3 3
y x
z y
z x
Ratkaistaan yhtälöstä I tuntematon x ja sijoitetaan se muihin yhtälöihin.
1
) 3 (:
3 3 3
3 3 3
−
=
− +
−
=
−
= +
−
z x
z x z x
Saadaan yhtälöpari:
( )
⎩⎨
⎧
−
= +
−
−
−
= +
−
2 4 1 10
5 4 2
y z
z y
⎩⎨
⎧
−
= + +
−
−
= +
−
2 4 10 10
5 4 2
y z
z y
⎩⎨
⎧
−
=
−
⋅
−
= +
−
12 10
4
2 5 4 2
z y
z y
11 22 2
12 10
4
10 8
4
=
−
=
−
⎩⎨
⎧
−
=
−
−
= +
− +
z z z y
z y
Kun 11z = , niin
2 241
) 2 (:
49 2
5 11 4 2
=
−
−
=
−
−
=
⋅ +
−
y y y
Kun 11z = ja
2 241
=
y , niin
10 1 11 1= − =
−
=z
x .
Vastaus:
a) x =2, y =1,z =4
b) , 11
2 241 ,
10 = =
= y z
x
14. a)
( ) (
( ) (
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
−
−
−
+ +
= + +
−
= +
r t
s s
t s t
s
s r t
2 3 2 4
6
5 , 2 5 , 1 2 4 3
3 2 4 3
) )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= + +
−
−
+ +
= + +
−
= +
r t
s s
t s t
s
s r t
3 6 8 4 4 6
5 3 2 4 3 3
3 2 4 3
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
= +
−
=
−
= +
−
2 4 10 3
1
3 3 2 4
t s r s
t s r
Sijoitetaan s =1 kahteen muuhun yhtälöön.
1 3 4
3 3 1 2 4
−
= +
−
= +
⋅
−
t r
t r
8 4 3
2 4 1 10 3
= +
−
= +
⋅
−
t r
t r
Saadaan yhtälöpari:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
⋅
= +
⋅
−
= +
) 4 ( 8
4 3
3 1 3 4
t r
t r
5 35 7
32 16
12
3 9 12
=
−
=
−
⎩⎨
⎧
−
=
−
−
−
= + +
t t t r
t r
Kun t =5, niin
4 3 : 12 3
8 20 3
8 5 4 3
−
=
−
=
= +
=
⋅ +
r r r r
b)
( )
( )
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
= +
−
−
= +
+
=
−
1 2 5 2 3
6 9
4 7
a c b
b c a
b a
c
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
= +
−
−
= +
+
=
−
5 10 2 3
6 9 9
4 7 7
a c b
b c a
b a
c
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= +
−
−
= + +
= +
−
−
5 2 3 10
0 9 6 9
4 7 7
c b a
c b a
c b a
Muodostetaan kaksi yhtälöparia ja eliminoidaan niistä sama tuntematon b.
(1)
⎩⎨
⎧
= + +
⋅
= +
−
−
0 9 6 9
6 4 7 7
c b a
c b a
24 51 33
0 9 6 9
24 42 6 42
= +
−
⎩⎨
⎧
= + +
= +
−
− +
c a
c b a
c b a
(2)
⎩⎨
⎧
= +
−
−
−
⋅
= +
−
−
5 2 3 10
) 3 ( 4 7 7
c b a
c b a
7 19 11
5 2 3 10
12 21 3 21
−
=
−
⎩⎨
⎧
= +
−
−
−
=
− + +
c a
c b a
c b a
Saadaan uusi yhtälöpari:
⎩⎨
⎧
⋅
−
=
−
= +
−
3 7 19 11
24 51 33
c a
c a
5 , 0 3 6
21 57
33
24 51 33
−
=
=
−
⎩⎨
⎧
−
=
−
= +
− +
c c c a
c a
Kun 5c =−0, , niin
5 , 1
11 : 5 , 16 11
7 5 , 9 11
7 ) 5 , 0 ( 19 11
−
=
−
=
−
= +
−
=
−
⋅
−
a a a a
Kun 5c =−0, ja a =−1,5, niin
3
) 1 (:
3 4 5 , 3 5 , 10
4 ) 5 , 0 ( 7 ) 5 , 1 ( 7
=
−
−
=
−
=
−
−
=
−
⋅ +
−
−
⋅
−
b b b b
Vastaus:
a) r =−4,s =1,t =5 b) a =−1,5;b=3,c=−0,5
15. Paraabeli y=ax2+bx +c
(−4, −64) −64=a⋅(−4)2+b⋅(−4)+c (−1, −4) −4 =a⋅(−1)2 +b⋅(−1)+c (2, 2) 2=a⋅22+b⋅2+c
Saadaan yhtälöryhmä:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
= + +
−
= +
−
−
= +
−
2 2
4
4 64 4
16
c b a
c b a
c b a
Muodostetaan kaksi yhtälöparia ja eliminoidaan niistä sama tuntematon c.
(1)
⎩⎨
⎧
−
= +
−
−
⋅
−
= +
−
4
) 1 ( 64 4
16
c b a
c b a
60 3 15
4 64 4
16
= +
−
⎩⎨
⎧
−
= +
−
=
− +
− +
b a
c b a
c b a
(2)
⎩⎨
⎧
= + +
−
⋅
−
= +
−
2 2
4
) 1 ( 4 c b a
c b a
6 3 3
2 2
4
4
= +
⎩⎨
⎧
= + +
=
− +
− +
b a
c b a
c b a
Saadaan yhtälöpari:
⎩⎨
⎧
= +
−
⋅
= +
−
6 3 3
) 1 ( 60 3 15
b a
b a
3 54 18
6 3 3
60 3
15
−
=
−
=
⎩⎨
⎧
= +
−
=
− +
a a b a
b a
Kun a =−3, niin
5 3 : 15 3
6 3 9
6 3 ) 3 ( 3
=
=
= +
−
= +
−
⋅
b b b b
Kun a =−3 ja b =5, niin
4 4 8
4 5
3
=
−
= +
−
−
= +
−
−
c c c
Vastaus: y=−3x2 +5x+4 16. Merkitään x = Sallan patukat (kpl)
y = Annen patukat (kpl) z = Sirkan patukat (kpl) Saadaan yhtälöt:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
=
=
= + +
1 5 , 1
15 y
x z x
z y x
Sijoitetaan 1x = y+ kahteen muuhun yhtälöön.
⎩⎨
⎧
= +
= + + +
z y
z y y
5 , 1 1
15 1
⎩⎨
⎧
−
⋅
−
=
−
= +
) 2 ( 1 5 , 1
14 2
z y
z y
4 16 4
2 3 2
14 2
=
=
⎩⎨
⎧
= +
−
= + +
z z z y
z y
Kun 4z = , niin 6 4 5 , 1 ⋅ =
= x
Kun x =6, niin 5
1 6
= +
= y
y
Vastaus:
Salla 6 kpl, Anne 5 kpl ja Sirkka 4 kpl.
17. a) 3y≥
b) 3y <
c) 2y≥x+
18. a)
2 1 1
2 : 2 2
2 2
+
<
+
<
−
>
x y
x y
y x
b)
2
) 3 (:
6 3 3
6 2
4
−
≥
− +
−
≤
−
+ +
≤
− x y
x y
x y y x
19. Suorat:
3 , 0
1 +
−
=
=
−
= x y y x
ja
3 2
2 : 6 4 2
6 4 2
+
−
= +
−
=
= +
x y
x y x y
20. a)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
≥
≤
≥ 1 3 0 x y y x
b)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−
≥ +
−
≤ 0
1 3 2
2 2 4
x x y
y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
−
≥ +
−
≤ 0
2 : 1 3 2
2 : 2 4 2
x x y
x y
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥
−
≥ +
−
≤
0 2 1 2 3
1 2
x x y
x y
c)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
− +
<
+
−
+
−
<
0 3 3
6 2
9 5 x y
y x
x y
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+
−
>
+
<
+
−
<
3 : 3 3
2 : 6 2
9 5 x y
x y
x y
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
>
+
<
+
−
<
3 1 1 2 3 1
9 5
x y
x y
x y
21. Merkitään x = ruisvoileipien lkm.
y = vehnävoileipien lkm.
Ruis x Vehnä y Yhteensä max
Kinkkuviipaleet 3 2 62
Juustoviipaleet 1 2 50
Saadaan epäyhtälöt:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
≥
≤ +
≤ +
0 0
2 : 50 2
2 : 62 2 3
y x
y x
y x
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥
≥
+
−
≤
+
−
≤
0 0
25 5 , 0
31 5 , 1
y x
x y
x y
22. a) Suurin tai pienin arvo löytyy tarkasteltavan monikulmion kärkipisteissä.
1. kärkipiste (0, 0)
2. kärkipiste suoran y=−x+4
y-akselin leikkaiskohta, (0,4 ) 3. kärkipiste suoran y=−x+4 ja
6 5 +
−
= x
y leikkauspiste:
5 , 2 0 1
4 : 2
4
6 5 4
=
=
= +
−
= +
−
x x
x x
5 , 3 4 5 ,
0 + =
− y =
Saadaan piste (0,5; 3,5).
4. kärkipiste suoran y=−5x+6 nollakohta
2 , 5 1 6
) 5 (:
6 5
0 6 5
=
=
−
−
=
−
= +
−
x x x
Saadaan piste (1,2; 0).
Kärkipiste Lausekkeen 2x+ y arvo (0, 0) 2⋅0+0=0 pienin
(0, 4) 2⋅0+4=4
(0,5; 3,5) 2⋅0,5+3,5=4,5 suurin
(1,2; 0) 2⋅1,2+0=2,4 b) Suurin ja pienin arvo etsitään tutkimalla suorien 2x + y=c joukkoa. Kaikki tällaiset suorat ovat yhdensuuntaisia origon kautta kulkevan suoran 2x+ y=0 kanssa
) 2 ( y=− x .
Pienin vakiotermin c arvo näyttäisi olevan suoralla, joka sivuaa tasoaluetta pisteessä A.
Suurin 2y =x + ja y=6x−5 leikkauspiste:
4 , 5 1 7
) 5 (:
7 5
5 6 2
=
=
−
−
=
−
−
= +
x x
x x
Kun 4x =1, , niin y=1,4+2=3,4. Siis A=
(
1,4;3,4)
Lauseke 2x + y saa tällöin arvon . Kaikki tämän suoran yläpuolella olevat kulkevat tasoalueen poikki.
Vakiotermi voi siis suurentua rajatta eli suurinta arvoa ei ole.
2 , 6 4 , 3 4 , 1
2⋅ + =
Vastaus:
a) Suurin arvo 4,5 , pienin arvo 0 b) Suurinta arvoa ei ole, pienin arvo 6,2 23.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥ +
≤
−
≥ +
− 1
3 2
3 5
x x y
y x
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥ +
≤
−
≥ 1
3 2
3 5 x
x y
x y
Lasketaan muodostuneen monikulmion kärkipisteet.
A:
⎩⎨
⎧
=
−
= 1
3 5 x
x y
Sijoitetaan x =1 yhtälöön y =5x −3. 2
3 1 5⋅ − = y =
Siis A = (1, 2).
B:
⎩⎨
⎧
= +
= 1
3 2 x
x y
Sijoitetaan x =1 yhtälöön y =2x+3. 5
3 1 2⋅ + =
= y
Siis B = (1, 5).
C:
⎩⎨
⎧
−
= +
= 3 5
3 2
x y
x y
2
) 3 (:
6 3
3 5 3 2
=
−
−
=
−
−
= +
x x
x x
7 3 2 2⋅ + = y =
Siis C = (2, 7).
Kärkipiste Lausekkeen −3x−2,3y arvo (1, 2) −3⋅1−2,3⋅2=−7,6 suurin
(1, 3) −3⋅1−2,3⋅3=−9,9
(2, 7) −3⋅2−2,3⋅7=−22,1 pienin
24.
Iso kori
x Pieni kori
y Yhteensä max
Kuulat 40 20 10⋅100
Pullot 3 1 70 Voitto 3,10 1,50
Optimoitava lauseke:
(€) 50 , 1 10 , 3
Voitto = x+ y
Rajoittavat ehdot (taulukosta):
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤ +
≤ +
≥
≥
70 3
1000 20
40 0 0
y x
y x y x
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
≤ +
−
≤
≥
≥
70 3
50 2 0 0
x y
x y y x
Ratkaistaan epäyhtälöryhmä. Piirretään suorat koordinaatistoon.
Nollakohdat:
25 2 : 50 2
0 50 2
=
−
=
−
= +
−
x x x
3 231
) 3 (:
70 3
0 70 3
=
−
−
=
−
= +
−
x x x
Lasketaan suotuisan tasoalueen kärkipisteet, sillä optimiarvo saadaan jossakin
kärkipisteessä.
A = (0, 0) B = (0, 50)
Suoran 50y=−2x+ y-akselin leikkauskohta.
C:
Suorien 50y =−2x+ ja y=−3x+70 leikkauspiste.
20 70 3 50 2
= +
−
= +
−
x x x
Kun x =20, niin y=−2⋅20+50=10 Siis C = (20, 10).
D = ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ,0 3 231
Suoran 70y=−3x+ nollakohta.
Lasketaan optimoitavan lausekkeen arvo kärkipisteissä.
Kärkipiste 3,10x+1,50y (0, 0) 3,10⋅0+1,50⋅0=0 (0, 50) 3,10⋅0+1,50⋅50=75 (20, 10) 773,10⋅20+1,50⋅10= suurin
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ,0 3 231
3 721 0 50 , 3 1 231 10 ,
3 ⋅ + ⋅ =
Suurin voitto, kun x =20 ja y=10. Vastaus:
Isoja koreja 20 kpl ja pieniä koreja 10 kpl.
25. Huom! Kirjan 1. painoksessa on virhe tehtävänannossa. Yksikköhintojen tulisi olla: Rehu A 0,10 € ja Rehu B 0,40 €.
Merkitään x = rehu A y = rehu B
Taulukosta saadaan optimoitava lauseke ja rajoitusehdot.
Optimoitava lauseke:
(€) 40 , 0 10 , 0 et
kustannuks = x+ y Rajoittavat ehdot:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥ +
≥ +
≥
≥
150 10
2
2200 100
160 0 0
y x
y x
y x
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
≥
+
−
≥
≥
≥
15 2 , 0
2 , 2 6 , 1 0 0
x y
x y
y x
Ratkaistaan epäyhtälöryhmä. Piirretään suorat koordinaatistoon.
Nollakohdat:
75 , 13
) 6 , 1 (:
22 6
, 1
0 22 6 , 1
=
−
−
=
−
= +
−
x x x
75
) 2 , 0 (:
15 2
, 0
0 15 2 , 0
=
−
−
=
−
= +
−
x x x
Koska suotuisa alue ei ole rajoitettu, optimiarvo etsitään tutkimalla suorien
c y x+0,50 = 10
,
0 joukkoa. Kaikki tällaiset suorat ovat yhdensuuntaisia origon kautta kulkevan suoran 0,10x+0,40y=0 kanssa.
Piirretään siis suora y=−0,25x. Lasketaan suorien y =−0,2x+15 ja
22 6 ,
1 +
−
= x
y leikkauspiste A:
5
4 , 1 : 7
4 , 1
22 6 , 1 15 2 , 0
=
=
+
−
= +
−
x x
x x
Kun x =5, niin y=−0,2⋅5+15=14. Siis A = (5, 14).
Vastaus:
5 yksikköä rehua A 14 yksikköä rehua B
26. Merkitään x = salkku (lkm.) y = iltalaukku (lkm.)
Raaka-aine
(kg) Työaika
(h) Hinta (€)
Salkku x 4,0 3 160
Laukku y 0,5 1 50
Yhteensä
max 200 250
Taulukosta saadaan:
Optimoitava lauseke y x 50 160 myyntitulo= + Rajoitusehdot:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤ +
≤ +
≥
≥
250 3
200 5
, 0 0 , 4
0 0
y x
y x
y x
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
+
−
≤
≥
≥
400 8
0 0
x y y x
Ratkaistaan epäyhtälöryhmä. Piirretään suorat.
Nollakohdat:
50
) 8 (:
400 8
0 400 8
=
−
−
=
−
= +
−
x x x
3 831
) 3 (:
250 3
0 250 3
=
−
−
=
−
= +
−
x x x
Lasketaan suotuisan alueen kärkipisteet, sillä optimiarvo saadaan jossakin kärkipisteessä.
A = (0, 0) B = (0, 250)
Suoran 250y=−3x+ y-akselin leikkauskohta.
C:
Suorien 250y=−3x+ ja y=−8x+400 leikkauspiste.
30
5 : 150
5
400 8
250 3
=
= +
−
= +
−
x x
x x
Kun x =30, niin y=−3⋅30+250=160. Siis C = (30, 160).
D = (50, 0)
Suoran 400y=−8x+ nollakohta.
Lasketaan optimoitavan lausekkeen arvo kärkipisteissä.
Kärkipiste 160x+50y (0, 0) 160⋅0+50⋅0=0 (0, 250) 160⋅0+50⋅250=12500 (30, 160) 160⋅30+50⋅160=12800suurin
(50, 0) 160⋅50+50⋅0=8000 Suurin myyntitulo, kun x =30 ja y=160. Vastaus:
Salkkuja 30 kpl ja iltalaukkuja 160 kpl.
27. a) an =n2−15n
54 18 15 182
18 = − ⋅ =
a
b) 3 15
2
= − an n
39 2 15 18 3
2
18 =
−
= ⋅ a
28. a) an =n2+2n−7
0 15 2
8 7 2
2 2
=
− +
=
− +
n n
n n
2 5 8 tai 2
2 3 8 2
2 8 2 2
64 2
1 2
) 15 ( 1 4 2
2 2
−
− =
= − + =
= −
±
= −
±
=−
⋅
−
⋅
⋅
−
±
=−
n n
n n
joista n=−5 ei käy, koska n>0. Siis a3 =8 eli 3. jäsen on 8.
b) an =3n2+4n+2
0 6 4 3
8 2 4 3
2 2
=
− +
= + +
n n
n n
...
230 , 2 tai
...
896 , 0
6 88 4
3 2
) 6 ( 3 4 4
4 2
−
=
=
±
=−
⋅
−
⋅
⋅
−
±
=−
n n
n n
Koska n ei ole positiivinen kokonaisluku, niin luku 8 ei kuulu jonoon.
Vastaus:
a) on b) ei ole 29. a) 4, 8, 12, 16
Seuraava jäsen saadaan lisäämällä edelliseen luku 4.
n a a a a a
n 4
16 4 4 4 4 4 4
12 4 3 4 4 4
8 4 2 4 4 4
4 3 2 1
=
=
⋅
= + + +
=
=
⋅
= + +
=
=
⋅
= +
=
=
M
b) 3, 5, 3, 5
Seuraava jäsen saadaan esimerkiksi lisäämällä tai vähentämällä luvusta 4 luku 1.
n
an
a a a
) 1 ( 4
3 ) 1 ( 4
5 ) 1 ( 4
3 ) 1 ( 4
3 3
2 2
1 1
− +
=
=
− +
=
=
− +
=
=
− +
=
M
c) 9
, 1 3 , 1 1 , 3
Seuraava jäsen saadaan jakamalla edellinen luvulla 3 eli kertomalla luvulla
3 1.
1
3 4
2 3
2 1
3 3 1
3 3 1 3 1 3 1 3 3 1
3 3 1 3 1 3 3 1
3 3 1 3
−
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=
⋅
⋅
⋅
=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=
⋅
⋅
=
⋅
=
=
n
an
a a a a
M
Vastaus:
a) an =4n b) an =4+(−1)n c)
1
3 3 1
−
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
= n
an
30. a) a1=20
24 4
2 =20+ =
a
28 4 2
3 =20+ ⋅ =
a M
32 4 3
4 =20+ ⋅ =
a
( )
16 4
4 4 20
1 20
+
=
− +
=
⋅
− +
= n
n d n an
b) Yleinen jäsen edellisen kohdan mukaan on 16
4 +
= n an
c) 2 viikkoa = 14 päivää (sivua) 72
16 14
14 =4⋅ + =
a Vastaus:
a) 20, 24, 28, 32, … b) an =4n+16 c) 72 sivua
31. 1, -3, -7, -11, … a) Aritmeettinen jono
1=1 a
4 ) 3 ( 7 1
3− =− − − =−
−
= d
Yleinen jäsen
( )
( )
5 4
4 4 1
) 4 ( 1 1
1 1
+
−
=
+
−
=
−
⋅
− +
=
⋅
− +
=
n n n
d n a an
b) a21=−4⋅21+5=−79 32. 67, 62, 57, 52, ...
Aritmeettinen jono
1=67 a
5 62 57 67
62− = − =−
d =
a) Tutkitaan, milloin an =−467.
( )
( )
8 , 107
) 5 (:
539 5
467 5
5 67
467 )
5 ( 1 67
467 1
467
1
=
−
−
=
−
−
= +
−
−
=
−
⋅
− +
−
=
⋅
− +
−
=
n n n n
d n a
an
Koska n ei ole positiivinen kokonaisluku, niin
−467 ei ole jonossa.
b) Tutkitaan, milloin an =−673.
( )
149
) 5 (:
745 5
673 5
5 67
673 )
5 ( 1 67
673
=
−
−
=
−
−
= +
−
−
=
−
⋅
− +
−
=
n n n n
an
Koska n on positiivinen kokonaisluku, niin
−673 on jonossa.
Vastaus:
a) ei ole b) on
33. Aritmeettinen lukujono
=7 d
43 =−43 a
Yleinen jäsen
(
n)
d aan = 1+ −1 ⋅ a)
( )
337 43 294
43 7 42
43 7 1 43
43
1 1 1 1
43
−
=
−
= +
−
=
⋅ +
−
=
⋅
− +
−
=
a a a a
a
b) Yleinen jäsen, kun
1=−337
a ja d =7:
( )
344 7
7 7 337
7 1 337
−
=
− +
−
=
⋅
− +
−
= n
n n an
34. a) Aritmeettinen jono
( )
metriä rantaan
etäisyys (m)
4 , 0 90 , 2
m 10 , 4 4 , 0 3 90 , 2
m 70 , 3 4 , 0 2 90 , 2
m 3,30 m 4 , 0 90 , 2
m) 0 rantaan (etäisyys
m 90 , 2
3 2 1 0
n n
a a a a a
n = + ⋅
=
⋅ +
=
=
⋅ +
=
= +
=
=
M
b) 120 m päässä rannasta eli etsitään 120.
jäsentä jonossa.
(m) 9 , 50 4 , 0 120 90 ,
120 =2 + ⋅ =
a
Vastaus:
a) an =2,90+0,4n b) 50,9 m
35. a) Kerrokset muodostavat aritmeettisen jonon:
( )
(m) 5 , 27 5 , 4
5 , 4 5 , 4 32
5 , 4 1 32
(m) 5 , 4 3 32
(m) 5 , 4 2 32
(m) 5 , 36 5 , 4 32
(m) 32
4 3 2 1
+
=
− +
=
⋅
− +
=
⋅ +
=
⋅ +
=
= +
=
=
n n n a
a a a a
n
M
b) Lasketaan, milloin an =90,5(m).
14
5 , 4 : 63 5 , 4
5 , 90 5 , 27 5 , 4
=
=
= +
n n n
Vastaus:
a) an =4,5n+27,5(m) b) 14. kerros
36. a) 92+124+156+..+572 Aritmeettinen summa
1=92 a
32 124 156 92
124− = − =
d =
Lasketaan, montako lukua summassa on.
( )
( )
16
32 : 512 32
572 32 32 92
572 32 1 92
572 1
572
1
=
=
=
− +
=
⋅
− +
=
⋅
− +
=
n n n n
d n a
an
2 5312 16 664 2
572 16 92
16 = ⋅ + = ⋅ =
S
b) )101+95+89+...+(−61)+(−67 Aritmeettinen summa
1=101 a
6 95 89 101
95− = − =−
= d
Lasketaan, montako lukua summassa on.
( )
( )
29
) 6 (:
174 6
67 6 6 101
67 ) 6 ( 1 101
67 1
67
1
=
−
−
=
−
−
= +
−
−
=
−
⋅
− +
−
=
⋅
− +
−
=
n n n n
d n a
an
2 493 67 29 101
29= ⋅ − =
S
37. 3, 5, 7, 9, … Aritmeettinen jono
1=3 a
2 5 7 3
5− = − =
= d
>2000 Sn
Lasketaan ensin, milloin Sn =2000. Yleinen jäsen
( )
( )
1 2
2 2 3
2 1 3
1 1
1
+
=
− +
=
⋅
− +
=
⋅
− +
=
=
n n n
d n a a an
( )
0 2000 2
2 : 0 4000 4
2
4000 4
2
2 2 2000
1 2 3
2000
2 2
=
− +
=
− +
= +
⋅ + =
⋅ +
=
n n
n n
n n n n
Sn
...
732 , 45 tai
...
732 , 43
2 8004 2
1 2
) 2000 ( 1 4 2
2 2
−
=
=
±
= −
⋅
−
⋅
⋅
−
±
= −
n n
n n
joista ...n=−45,732 ei käy, koska n>0.
Jos n=43, niin
2000 2 1935
43 90 2
1 43 2 43 3
43 = ⋅ + ⋅ + = ⋅ = <
S
Jos n=44, niin
2000 2 2024
44 92 2
1 44 2 44 3
44 = ⋅ + ⋅ + = ⋅ = >
S
Vastaus: vähintään 44 jäsentä 38. a1=35 , d =4
(
1)
4 (yleinenjäsen) 354 2 35
4 35
3 2
⋅
− +
=
⋅ +
= +
=
n a
a a
n
M
Santeri lukee 15. päivänä:
(sivua) 91
4 14
15 =35+ ⋅ =
a
2 945 91 15 35
15 1 2 15
15 = ⋅a +a = ⋅ + =
S
Vastaus: 945 sivua 39. a) a1=2(m)
(
1)
4 2 4 4 4 2 (m)2
(m) 6 4
2 2
−
=
− +
=
⋅
− +
=
= +
=
n n
n a
a
n
M
15. sekunnin aikana kulkema matka:
(m) 58 2 15
15 =4⋅ − =
a
Kokonaismatka:
(m) 2 450
58 15 2
15 + =
⋅
= S
b) Viimeisen sekunnin aikana vk1:
kmh h 209
8km , h 208 60km , 3 s 58
1 m 58
1 = = ⋅ = ≈
vk
Tutkittavan 15 sekunnin aikana :
k2
v kmh h 108
60km , 3 s 30
15 m 450
2 = = ⋅ =
vk
Vastaus:
a) 450 m b) vk1 =209kmh c) vk2 =108kmh
40. a1=5550, d =−450 aritmeettinen jono a) Yleinen jäsen
( )
( )
6000 450
450 450
5550
) 450 ( 1 5550
1 1
+
−
=
+
−
=
−
⋅
− +
=
⋅
− +
=
n n n
d n a an
b) a12 =−450⋅12+6000=600 36900 2
600 12 5550
12 = ⋅ + =
S Vastaus:
a) an =−450n+6000 b) 36900 katsojaa
41. 3, −15, 75, −375, …
Geometrinen jono 15 5 75 3
, 15
1 3 =−
= −
=−
= q
a
a) Yleinen jäsen an =a1⋅qn−1=3⋅(−5)n−1 b) a8 =3⋅(−5)8−1 =3⋅(−5)7 =−234375 Vastaus:
a) an =3⋅(−5)n−1 b) −234375
42. Geometrinen jono 2000, 600, 180, … 10
3 600 180 2000 , 600
1=2000 q= = =
a
Yleinen jäsen
1 1
1 10
2000 3
−
− ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
=
⋅
= n n
n a q
a
a) Tutkitaan, onko an =1,458.
( ) ( )
( )
7 1 6
10 lg 3
10 29 , 7 1 lg
10 29 , 7 10 lg lg 3 1
2000 458 , 1 10
3
2000 : 458 , 10 1
2000 3
4 4 1
1
= +
=
= ⋅
−
⋅
=
−
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
−
−
−
−
n n n
n n
458 ,
7 =1 a
b) Tutkitaan, onko an=0,00035.
( ) ( )
( )
...
9226 , 13
...
9226 , 12 1
10 lg 3
10 75 , 1 1 lg
10 lg 3 : 10 75 , 1 10 lg lg 3 1
10 75 , 10 1
3
2000 : 00035 , 10 0
2000 3
7 7 7 1
1
=
=
−
= ⋅
−
⋅
=
−
⋅
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
−
−
−
−
−
n n n n
n n
Koska n ei ole positiivinen kokonaisluku, niin luku 0,0035 ei ole jonossa.
Vastaus:
a) on, 7. jäsen b) ei ole
43. Geometrinen jono 6 ,
5 ,
0 7 =−
= a
q
Yleinen jäsen an =a1⋅qn−1
384 5 , 0
6 5 , 0 : 6 5 , 0
6 5
, 0
6
1 1 6
6 6
1 1 7 1
7
−
=
= −
−
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
a a a a
a
44. a1=6 2
2 =6⋅
a 20minkuluttua
2 3=6⋅2
a 2⋅20minkuluttua
3 4 =6⋅2
a 3⋅20minkuluttua M
2 1
6⋅ −
= n
an
(
n−1)
⋅20minkuluttuaLasketaan, milloin an =6291456 (bakteeria)
( )
21 20 1
2 lg 1048576 1 lg
2 lg : 1048576 lg
2 lg 1
1048576 2
6 : 6291456 2
6
1 1
=
=
−
=
−
=
−
=
=
⋅
−
−
n n n n
n n
Tällöin aikaa on kulunut
(
n−1)
⋅20min=20⋅20min=400min (6h40min) Vastaus: 400 min kuluttua (6 h 40 min)45. a0 =10900
Geometrinen jono, koska vähenemistä 3,4 %.
Matkustajia on siis aina jäljellä 96,6 % edellisvuodelta.
1 v. kuluttua: a1=10900⋅0,966 2 v. kuluttua: a2 =10900⋅0,9662
M
n. vuoden kuluttua an =10900⋅0,966n a) 10 vuoden kuluttua
7700 ...
545 , 7712 966
, 0
10900 10
10 = ⋅ = ≈
a
b) an <6500
Lasketaan ensin, milloin an =6500.
...
944 , 14
966 , 0 lg
109 lg 65
966 , 0 lg 109 : lg 65 966 , 0 lg
109 966 65
, 0
10900 : 6500 966
, 0 10900
=
=
=
=
=
⋅
n n n
n n
Jos n=14, niin
6500 ...
9 , 6715 966
, 0
10900 14
14 = ⋅ = >
a
Jos n=15, niin
6500 ...
58 , 6487 966
, 0 10900 15
15= ⋅ = <
a
Vastaus: a) 7700 matkustajaa b) 15 vuoden kuluttua
46. a) 5+25+125+...+9765625 Geometrinen summa:
5 5 125 5 , 25
1=5 q= = =
a
Lasketaan ensin, montako lukua summassa on. Yleinen jäsen: an =a1⋅qn−1=5⋅5n−1
( )
10 9
5 lg 1953125 1 lg
5 lg : 1953125 lg
5 lg 1
1953125 5
5 : 9765625 5
5
9765625
1 1
=
=
=
−
=
−
=
=
⋅
=
−
−
n n n n
a
n n n
12210000 12207030
5 1
5 5 1 10
10 = ≈
−
⋅ −
= S
b) 3+3⋅0,6+3⋅0,62+...+3⋅0,610
Geometrinen summa: n=11,q=0,6,a1=3 473
, 7 ...
4727 , 6 7 , 0 1
6 , 0 3 1
11
11 = ≈
−
⋅ −
= S
47. 2+4+8+...+x ≤999
Geometrisen summan yleinen jäsen
1 1
1
1=2,q=2, an =a ⋅qn− =2⋅2n− a
Lasketaan ensin, milloin Sn =999.
...
967 , 8
2 lg
5 , 500 lg
2 lg : 5 , 500 lg 2 lg
5 , 500 2
5 , 499 2
1
5 , 1 499 2 1
2 : 2 999
1 2 2 1
=
=
=
=
= +
−
− =
−
− =
⋅ −
n n n
n n n n
Jos n=8, niin
999 2 510
1 2 2 1
8
8 = <
−
⋅ − S =
Jos n=9, niin
999 2 1022
1 2 2 1 9
9 = >
−
⋅ −
= S
Jotta , niin summassa pitää olla 8 lukua (
≤999 Sn
=8
n ). Tällöin
256. 2
2 2
2 8 1 7
8 =x = ⋅ − = ⋅ =
a
Vastaus: x =256
48. Geometrinen jono:
3 3
1= =
= −
x x x
q x
Määritetään ensin luku x.
( )
3 2 : 3 2
3 3
1 3
1 3
=
=
=
−
=
−
− =
x x
x x
x x
x x
8 3
2 1 1 2 1 3
1
=
=
=
−
=
−
=
n q
x a
2 1640 6560 2
1 3 1
3 1 2
1 8
8 =
−
⋅−
− =
⋅ − S =
Vastaus:
2
= 3
x , S8 =1640
49. 2; 2,6; 3,38; 4,394; … Geometrinen jono:
1=2 a
3 , 6 1 , 2
38 , 3 2
6 ,
2 = =
q=
>1000 Sn
Lasketaan ensin, milloin Sn =1000.
...
1233 , 19
3 , 1 lg
151 lg
151 lg 3 , 1 lg
151 3 , 1
) 1 ( 151 3
, 1
150 3
, 1 1
) 3 , 0 ( 3 2000
, 0
3 , 1 1
2 : 3 1000
, 1 1
3 , 1 2 1
=
=
=
=
−
⋅
−
=
−
−
=
−
−
⋅
− =
−
− =
⋅ −
n n n
n n n n n
Jos n=19, niin
1000 ...
946 , 3 967 , 1 1
3 , 1 2 1
19
19 = <
−
⋅ −
= S
Jos n=20, niin
1000 ...
330 , 3 1260 , 1 1
3 , 1 2 1
20
20 = >
−
⋅ −
= S
Vastaus: vähintään 20 jäsentä
50. a1=25l l 25 95 ,
2 =0 ⋅
a
l 25 95 , 0 2
3= ⋅
a M
l 25 95 , 0 1⋅
= n− an
Geometrinen jono:
l
1=25 a
95 ,
=0 q
(päivää)
=14 n
Kahden viikon aikana Sanni poimi yhteensä l 256 l 256,162...
95 l , 0 1
95 , 0 25 1
14
14 = ≈
−
⋅ − S =
51. 1 v. 120,00(€)
2 v. 1,021⋅120,00+120,00(€)
3 v. 1,0212⋅120,00+1,021⋅120,00+120,00 M
18 v. 1,02117⋅120,00+...+1,021⋅120,00 Rahaa on tilillä (ilman viimeistä talletusta):
021 , 1 , 00 , 120 ,
18 1= =
= a q
n
(€) ...
352 , 2472
021 , 1 1
021 , 1 00 1 , 120 021 ,
1 17
18
=
−
⋅ −
⋅
= S
Vastaus: 2472,35 €
52. Merkitään talletettavaa summaa kirjaimella m.
Alussa (€)m 1 v. 1,018m+m
2 v. 1,0182m+1,018m+m M
10 v. 1,01810m+...+1,018m (viimeisen koron lisäyksen jälkeen)
10 , 018 , 1 , 018 ,
1 =1 m q= n=
a
( )
( )
(€) 00 , 250
...
00013 , 250
018 , 1 1 018 , 1
70448 , 49 70448 , 49 018
, 1 1 018 , 1
) 018 , 0 ( 36 , 018 2761
, 0
018 , 1 018 1 , 1
36 , 018 2761
, 1 1
018 , 1 018 1
, 1
36 , 2761
10 10
10 10
10
≈
=
−
= −
−
=
−
⋅
−
⋅
− =
⋅ −
− =
⋅ −
=
m m m m m m
S
Vastaus: 250,00 € 53. Alussa taimia 600
1 viikon kuluttua 0,80⋅600+80
2 viikon kuluttua 0,802⋅600+0,80⋅80+80 M
20 viikon kuluttua
4 4 4 3 4
4 4 2 1
80 , 0 , 80
) ( kpl 20
80 ...
80 80 , 0 600 80 , 0
1 19 20
=
=
= + +
⋅ +
⋅
q a
n
400 ...
305 , 402
80 , 0 1
80 , 0 80 1 600 80 , 0
20 20
≈
=
−
⋅ − +
⋅ S =
Vastaus: 400 tainta
54. a) an =7an−1−5,a1 =2,n=2,3,...
2802 5
401 7 5 7
401 5 58 7 5 7
58 5 9 7 5 7
9 5 2 7 5 7
4 5
3 4
2 3
1 2
=
−
⋅
=
−
=
=
−
⋅
=
−
=
=
−
⋅
=
−
=
=
−
⋅
=
−
=
a a
a a
a a
a a
b)
...
, 4 , 3 2 , 0 , 8
6 1+ 2 1 = 2 = =
−
= a − a − a a n
an n n
624 )
12 ( 8 88 6 8
6
88 2 8 ) 12 ( 6 8
6
12 0 8 2 6 8
6
3 4 5
2 3 4
1 2 3
−
=
−
⋅ +
⋅
−
= +
−
=
=
⋅ +
−
⋅
−
= +
−
=
−
=
⋅ +
⋅
−
= +
−
=
a a a
a a a
a a a
