Matematiikan johdantokurssi 10/2004
1. Olkoon A =]0,∞[ . Tutki funktion f : A → B, f(x) = 2
x injektiivisyytt¨a ja surjektiivisuutta.
2. Tutki funktion f :R2 → R2, f(x, y) = (x+y, x2+ 2xy+y2) injektiivisyytt¨a ja surjektiivisuutta.
3. Muodosta (esim. nuolikaavion avulla) kaikki joukon A = {a, b, c} bijektiot it- selleen. Muodosta my¨os jokaisen k¨a¨anteiskuvaus.
4. a) N¨ayt¨a esimerkill¨a, ett¨a kuvaus g◦f voi olla bijektio, vaikka kumpikaan funk- tioista f ja g ei ole bijektio.
b) Josg◦f on bijektio, niin mit¨a voidaan sanoa funktioidenf jag injektiivisyy- dest¨a ja surjektiivisuudesta?
5. Olkoot f ja g funktioita R → R, f(x) = 2x+ 5 ja g(x) = 3x2 −4. M¨a¨arit¨a funktiot g◦f ja f◦f ◦g.
6. Muodosta funktion f : R → R, f(x) = −2x+ 4 k¨a¨anteisfunktio. Piirr¨a funk- tioidenf ja f−1 kuvaajat.
7. Muodosta sellainen joukon A = {a, b, c, d} bijektion f itselleen, jolle f =f−1 ja f(x)6=x kaikillax∈A.
8. Olkoon A=R\ {0,1}. Tarkastellaan funktioita f :A →A ja g :A →A,
f(x) = 1
1−x , g(x) = x−1 x . a) M¨a¨arit¨a funktiotf ◦f,g◦g, g◦f ja f ◦g.
b) M¨a¨arit¨a k¨a¨anteisfunktiot f−1 ja g−1.
