sen jälkeen, kun

(1)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 1 Mat-2.091 Sovellettu todennäköisyyslasku

3. harjoitukset/Ratkaisut

Aiheet: Verkot todennäköisyyslaskennassa

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

Avainsanat:

Kertymäfunktio, Momentit, Odotusarvo, Painopiste, Pistetodennäköisyysfunktio,

Puutodennäköisyys, Puuverkko, Rinnan kytkentä, Sarjaan kytkentä, Standardipoikkeama, Tiheysfunktio, Todennäköisyysjakauma, Toimintatodennäköisyys, Toimintaverkko, Tulosääntö, Tunnusluku, Varianssi, Yhteenlaskusääntö

3.1. Uurnassa A on 4 valkoista ja 6 mustaa kuulaa ja uurnassa B on 6 valkoista ja 4 mustaa kuulaa.

Nostetaan kummastakin uurnasta satunnaisesti yksi kuula sekä asetetaan uurnasta A poimittu kuula uurnaan B ja uurnasta B poimittu kuula uurnaan A. Nostetaan tämän jälkeen uurnasta B satunnaisesti kuula. Mikä on todennäköisyys, että nostettu kuula on valkoinen?

Ohje: Käytä ratkaisussa puuverkkoa.

Ratkaisu:

Tulosvaihtoehdoista voidaan rakentaa seuraava puuverkko:

2/5 3/5 Vaihe 1

3/5 2/5 3/5 2/5 Vaihe 2

3/5 2/5 7/10 3/10 1/2 1/2 3/5 2/5 Vaihe 3

Puun konstruktio perustuu siihen, että nostot voidaan tehdä kolmessa vaiheessa:

Vaihe 1: Nostetaan kuula uurnasta 1.

Vaihe 2: Nostetaan kuula uurnasta 2.

Vaihe 3: Nostetaan kuula uurnasta 2 sen jälkeen, kun vaiheessa 1 nostettu kuula on pantu uurnaan 2 ja vaiheessa 2 nostettu kuula on pantu uurnaan 1.

(2)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 2 Todennäköisyys nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla:

(i) Puutodennäköisyyksien tulosäännön mukaan reitin todennäköisyys on reitin särmien todennäköisyyksien tulo.

(ii) Puutodennäköisyyksien yhteenlaskusäännön mukaan useammasta reitistä

koostuvan tapahtuman todennäköisyys on ko. reittien todennäköisyyksien summa.

Valkoiseen kuulaan vaiheessa 3 johtavat toisensa poissulkevat reitit ovat VVV, VMV, MVV, MMV

jossa

V = valkoinen

M = musta

Siten todennäköisyydeksi nostaa valkoinen kuula vaiheessa 3 saadaan 2 3 3 2 2 7 3 3 1 3 2 3 58

5 5 5 5 5 10 5 5 2 5 5 5 100⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

3.2. Tiedonsiirtojärjestelmä siirtää binäärilukuja 0 ja 1, mutta järjestelmässä on vika, joka aiheuttaa sen, että luku 1 vastaanotetaan virheellisesti lukuna 0 todennäköisyydellä 1/10.

Luotettavuuden parantamiseksi luku 1 koodataan lähetettäessä jonoksi 111 ja luku 0 jonoksi 000. Vastaanotettaessa tehdään koodinpurku, jossa jonot 111, 110, 101 tai 011 tulkitaan luvuksi 1. Mikä on todennäköisyys, että lähetetty luku 1 vastaanotetaan lukuna 1?

Ohje: Käytä ratkaisussa puuverkkoa.

Ratkaisu:

0.9 0.1

0.9 0.1 0.9 0.1

0.9 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9 0.1

Puun konstruktio perustuu siihen, että luvun 1 koodissa 111 jokainen 1 menee oikeassa muodossa tiedonsiirtojärjestelmän läpi todennäköisyydellä 0.9.

1 0

1

1 1 1 1

0 0

1

(3)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 3 Todennäköisyys vastaanottaa lähetetty luku 1 lukuna 1 voidaan laskea

puutodennäköisyyksien

tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla:

Lähetetty jono 111 tulkitaan oikein luvuksi 1, jos vastaanotettaessa saadaan joku jonoista 111, 110, 101, 011

Siten todennäköisyys, että lähetetty luku 1 vastaanotetaan lukuna 1 on

3 2

0.9 +0.9 ×0.1 0.9 0.1 0.9 0.1 0.9 0.9 0.972+ × × + × × =

3.3. Seuraava kuva esittää sähköistä verkkoa, jossa on 5 komponenttia, joista jokaisen toiminta- todennäköisyys on p. Lisäksi oletetaan, että komponenttien vikaantumiset ovat tapahtumina

toisistaan riippumattomia. Mikä on todennäköisyys, että verkko toimii, ts. virta kulkee verkon läpi?

Ratkaisu:

Kaavion toimintaverkko koostuu seuraavista sarjaan kytketyistä osista:

Komponenttien 1 ja 2 muodostama rinnan kytkentä

Komponentti 3

Komponenttien 4 ja 5 muodostama rinnan kytkentä

Oletamme, että toimintaverkossa yhdenkään komponentin toiminta tai toimimattomuus ei riipu muiden komponenttien toiminnasta. Tällöin toimintaverkon toimintatodennäköisyys saadaan soveltamalla seuraavia sääntöjä:

(i) Jos komponentit A ja B on kytketty rinnan, kytkennän toimintatodennäköisyys on yleisen yhteenlaskusäännön ja riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan:

Pr(A toimii tai B toimii)

= Pr(A toimii) + Pr(B toimii) – Pr(A toimii ja B toimii)

= Pr(A toimii) + Pr(B toimii) – Pr(A toimii)Pr(B toimii) 1

2

3

4

5

(4)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 4 (ii) Jos komponentit A ja B on kytketty sarjaan, kytkennän toimintatodennäköisyys on

riippumattomien tapahtumien tulosäännön mukaan:

Pr(A toimii ja B toimii)

= Pr(A toimii)Pr(B toimii)

Kumpikin tehtävän kaavion rinnan kytkennöistä toimii todennäköisyydellä 2 2

p+ − × =p p p p p−

Koska tehtävän kaavion kuvaama toimintaverkko koostuu kahden rinnan kytkennän ja komponentin 3 muodostamasta sarjaan kytkennästä, verkon toimintatodennäköisyydeksi saadaan:

2 2 3 4 5

(2p p− )× ×p (2p p− ) 4= p −4p + p

3.4. Heitetään virheetöntä rahaa 3 kertaa, jossa siis Pr(Kruuna) = Pr(Klaava) = 1/2.

Olkoon satunnaismuuttuja X = Kruunien lukumäärä 3:ssa heitossa.

(a) Määrää todennäköisyydet tapahtumille X = 0, 1, 2, 3 puuverkkoa käyttäen ja määrittele niiden avulla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille.

(b) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio. Hahmottele funktion kuvaaja myös paperille.

(c) Mikä on tapahtuman X = 1.5 todennäköisyys?

(d) Määrää tapahtuman X > 1 todennäköisyys sekä satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys-

että kertymäfunktion avulla.

Ratkaisu:

(a) Merkitään

H = Kruuna (engl. head) T = Klaava (engl. tail).

1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

H T

H

H H H H

T T

T T T T

H

(5)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 5 Todennäköisyydet erilaisille kruunien ja klaavojen kombinaatioille voidaan laskea puutodennäköisyyksien tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla:

Jokaisen alkupisteestä mihin tahansa loppupisteeseen johtavan reitin todennäköisyys on 1 3 1

2 8

  =

  

Reittejä, joissa on 0 H on 1 kpl. Siten 1 Pr(TTT)

=8.

Reittejä, joissa on 1 H on 3 kpl. Siten 3 Pr(HTT tai THT tai TTH)

=8. Reittejä, joissa on 2 H on 3 kpl. Siten 3

Pr(HHT tai HTH tai THH)

=8. Reittejä, joissa on 3 H on 1 kpl. Siten 1

Pr(HHH)

=8. Siten satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio

f(x) = Pr(X = x)

voidaan esittää seuraavana taulukkona:

x f(x) = Pr(X = x) 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8

(6)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 6 Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja:

(b) Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio F(x) = Pr(X ≤ x)

voidaan esittää seuraavana taulukkona:

x F(x) x < 0 0 0 ≤ x < 1 1/8 1 ≤ x < 2 4/8 2 ≤ x < 3 7/8 3 ≤ x 1

Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja:

1/8 2/8 3/8

0 1 2 3 f(x)

x

F(x)

1/8 4/8 7/8

0 1 2 3 x 1

(7)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 7 (c) Koska X = 1.5 on tapahtumana mahdoton,

Pr(X = 1.5) = 0

(d) Pistetodennäköisyysfunktiosta:

Pr(X > 1) = Pr(X = 2) + Pr(X = 3)

= 3/8 + 1/8

= 4/8

= ½ Kertymäfunktiosta:

Pr(X > 1) = 1 – Pr(X ≤ 1)

= 1 – F(1)

= 1 – 4/8

= 4/8

= ½

3.5. Satunnaismuuttujan X tiheysfunktio on muotoa , kun 0 1

( ) 0 , muulloin

x b x

f x  + ≤ ≤

= 

(a) Määrää vakion b arvo.

(b) Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys.

(c) Määrää tapahtuman 0 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyys.

(d) Määrää satunnaismuuttujan X kertymäfunktio.

Ratkaisu:

(a) Koska kaikille tiheysfunktioille f(x) pätee

f x dx( ) 1

+∞

−∞

∫

=

saadaan yhtälöstä

1 1

2 0 0

1 1

1 ( ) ( )

2 2

f x dx x b dx x bx b

+∞

−∞

 

=

∫

=

∫

+ = +  = + ratkaisuksi

b = 1/2

(8)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 8 Tiheysfunktion kuvaaja:

(b) Koska jatkuvilla jakaumilla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, Pr(X = 0.5) = 0

(c) Välin [0, 0.5] todennäköisyydeksi saadaan:

0.5 0.5

2

0 0

1 1 1 3

Pr(0 0.5) ( )

2 2 2 8

X x dx  x x

≤ ≤ =

∫

+ = +  =

(d) Satunnaismuuttujan X kertymäfunktioksi saadaan välillä [0, 1]:

2

0 0

1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( 1)

2 2 2 2

x x x

F x f t dt t dt t t x x

−∞

 

=

∫

=

∫

+ = +  = + Tämän välin ulkopuolella:

F(x) = 0, kun x ≤ 0 F(x) = 1, kun x ≥ 1 0.5

1.0 1.5

0.5 1.0 0

0 f(x)

x

(9)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 9 3.6. Satunnaismuuttujan X kertymäfunktio on muotoa

2

0, 0

( ) , 0 1

1, 1

x

F x x bx x

x

 ≤

= − + ≤ ≤

 ≥



(a) Määrää vakion b arvo.

(b) Määrää tapahtuman X = 0.5 todennäköisyys.

(c) Määrää tapahtuman 0.25 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyys.

(d) Määrää satunnaismuuttujan X tiheysfunktio.

Ratkaisu:

(a) Koska tehtävän kertymäfunktiolle F(x) pätee F(1) = 1, saadaan yhtälöstä

–1 + b = 1

ratkaisuksi b = 2.

(b) Koska jatkuvalla jakaumalla jokaisen yksittäisen pisteen todennäköisyys on nolla, Pr(X = 0.5) = 0

(c) Tapahtuman 0.25 ≤ X ≤ 0.5 todennäköisyydeksi saadaan Pr(0.25 ≤ X ≤ 0.5) = F(0.5) – F(0.25) = 5/16

(d) Satunnaismuuttujan X tiheysfunktioksi saadaan välillä [0, 1]:

(

²

)

( ) d ( ) d 2 2 2

f x F x x x x

dx dx

= = − + = − +

Tämän välin ulkopuolella:

f(x) = 0

3.7. Osallistut rahapeliin, jossa heitetään kolmea harhatonta rahaa (ks. tehtävä 3.4.). Peliin osallistumisesta pitää maksaa panos ja pelaaja saa voittona kruunien lukumäärän euroja.

(a) Mikä on korkein panos mikä sinun kannattaa maksaa osallistumisesta peliin?

Ohje: Määrää ko. satunnaismuuttujan odotusarvo.

(b) Mikä on voittosumman standardipoikkeama?

(10)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 10 Ratkaisu:

(a) Määrätään satunnaismuuttujan X odotusarvo:

3

0

E( ) Pr( )

1 3 3 1

0 1 2 3

8 8 8 8

12 8 3 2

x

X x X x

=

= =

= × + × + × + ×

=

∑

Siten sinun kannattaa maksaa peliin osallistumisesta korkeintaan 1.5 €.

Huomaa, että Pr(X = 1.5) = 0.

(b) Määrätään ensin satunnaismuuttujan X 2. momentti:

2 3 2

0

2 2 2 2

E( ) Pr( )

1 3 3 1

0 1 2 3

8 8 8 8

24 8 3

x

X x X x

=

= =

= × + × + × + ×

=

∑

Satunnaismuuttujan X varianssi saadaan seuraavalla laskutoimituksella:

[ ]

²

2 2

2

D ( ) E( ) E( ) 3 3

2 3 4

X = X − X

= −    

=

Standardipoikkeamaksi saadaan:

D( ) 3 X = 2

(11)

TKK/SAL @ Ilkka Mellin (2004) 11 3.8. Määrää tehtävän 3.6. todennäköisyysjakauman odotusarvo ja standardipoikkeama.

Ratkaisu:

Odotusarvo:

1 1

3 2

0 0

2 1

E( ) ( ) ( 2 2)

3 3

X xf x dx x x dx x x

+∞

−∞

 

=

∫

=

∫

− + = − +  =

2. momentti:

1 1

2 2 2 4 3

0 0

2 2 1

E( ) ( ) ( 2 2)

4 3 6

X x f x dx x x dx x x

+∞

−∞

 

=

∫

=

∫

− + = − +  =

Varianssi:

[ ]

²

2 2

2

D ( ) E( ) E( )

1 1

6 3

1 18

X = X − X

= −    

= Standardipoikkeama:

D( ) 1 X = 3 2