7. Määritä sellaisen ympyräsektorin keskuskulma, jonka pinta-ala on 1 ja piiri mahdollisimman lyhyt. Anna tulos 0,1 asteen tarkkuudella.
Keskuskulma = x, säde = r, kaari = b A = ½rb = 1
b 2 r
Piiri: p(r) = 2r + b
2 , 0
2
r
r r
2
2 2 ) (
' r r
p 2 0
2 : 0 ) (
'
2
r r p
1 1
2 2
2 2
2 2 2
r r
r r
josta r = 1 kuuluu määrittelyalueelle
p ’ p
1
+ -
0
max min
r = ½ :
p’ = 2 – 8 = - 6 < 0 r = 2:
p’ = 2 - ½ = 1½ > 0
Kulkukaavion mukaan, kun r = 1, niin piiri lyhin Keskuskulma:
6 , 360 114
1 2
2
r
x b
tai
360 1
2
r x
6 , 360 114
1 360 1
x
x
Anne: Usein kun
soveltavassa tehtävässä kysytään suurinta /
pienintä arvoa, niin tehtävä liittyy derivointiin
9. Olkoon
r ( x ) x
3x 7
Ratkaise r(x) = r(15)13 2
15 7
15 15
) 15
(
3
r
Huom. 1 piste jo tästä!!!!13
3
7
x x
| ( )3
3
7
13
x
x
7 )
13
( x
3 x
7 )
13 )(
13
( x x
2 x
7 )
169 26
)(
13
( x x
2 x x
7 2197
338 13
169
26
2 23
x x x x x
x
7 2197
507 39
23
x x x
x
0 2190 506
39
23
x x
x
3 pistettä tähän mennessäKoska x = 15, niin (x – 5) on tekijä
Jaa jakokulmassa 3. asteen termi x – 5:llä saat toisen tekijän (x2 – 24x + 146)
(x – 15) (x2 – 24x + 146) = 0
x – 15 = 0 tai x2 – 24x + 146 = 0
Jälkimmäisellä tekijällä ei ole reaalijuurta (laske vaikka ihan 2. asteen rtk-kaavalla) Ainoa juuri on x = 15
10. Osoita, että funktio toteuttaa yhtälön xy’ + 1 = ey
y x
1 ln 1
) 1
ln(
) 1
ln(
1 1 ln
ln 1 x x
y x
y x
1 ' 1
Sijoitus, vasen puoli:
x x
x x
x x x
1
1 1
1 1 1
1 ) ( 1
Sijoitus, oikea puoli:
x x e
e
e
y x x
1 ) 1
1
(
1) 1 ln(
) 1
ln( 1
= vasen puoli
Anne: Derivointi voidaan tehdä myös ilman, että alussa käytetään logaritmin kaavoja
