Mat-1.3621 Tilastollinen paattely

Mat-1.3621 Tilastollinen paattely

Tentti 15.12.2012 I Mellin

Kirjoita selvasti jokaiseen koepaperiin alia mainitussa jarjestyksessa:

Mat-1.3621 TiiPaat/ Tentti 15.12.2012 opiskelijanumero + kirjain

TEKSTATEN sukunimi, kaikki etunimet koulutusohjelma, vuosikurssi

mahdolliset entiset nimet ja koulutusohjelmat nimikirjoitus

Tentissa saa kayttaa ylioppilaskirjoituksissa hyvaksyttya laskinta ja Mellinin kaava- ja taulukkokokoelmia.

(Oikoon X_1, X2, ••• , Xn satunnaisotos jakaumasta, jolle E(X) = f.1

*

•

Tarkastellaan parametria 1/ f.1

Olkoon

11

x

jossa

on parametrin 1/ f.1 pistoke-estimaattori. Mika on estimaattorin 1/

X

Ohje: Estimaattorin 1/

X

2.

.WJ

(b) Olkoon X_1, X2 , .•• , Xn satunnaisotos eksponentt(jakaumasta Exp(A-). Todista, etta tunnusluku

17

T(X)=LX;

i=l

on minimaalisesti tyhjentava parametrille A.

Eksponenttijakauman tiheysfunktio:

j(x;A-)=A-e-?.x ,A->O,x~O

1/2

3.

Olkoon X1, X2, ... , Xn satunnaisotos Poisson-jakaumasta Poisson(A). Tunnusluvut

ja

s ~ = -

-:t

^X/

n-I i=l

ovat molemmat harhattomia parametrille A (miksi?). Todista, etta

X

estimaattoreista parempi.

Poisson-jakauman pistetodennakoisyysfunktio:

f(x;A) =Axe-A , A> 0, x

=

x!

't.__

(b) Olkoon X 1, X2, ... , Xn satunnaisotos normaalijakaumasta parametrein 11 ja a~, jossa varianssi a~ on tunnettu. Konstruoi osamaaratesti nollahypoteesille

Ho : 11 =flo

kun vaihtoehtoisena hypoteesina on HI =11*-llo

Normaalijakauman tiheysfunktio:

f(x;)J,u')

~ (21rr"' u - • exp[ -H ^{x~J-1 J ' l-oo <}

^<too

"> 0

- oo ^<

^< + oo

5. ~ Selita ensin lyhyesti kasitteet luottamusvali, luottamustaso, luottamuskerroin.

Olkoon X 1, X2, ... , Xn otos normaalijakaumasta N(fl, a^{2) •} Konstruoi varianssi- parametrille a² luottamusvali luottamustasolla 1 - a.

Normaalijakauman tiheysfunktio:

f(x;J-I,u')

~ (21rr"' u - • exp[ -~( x~J-1 J ^{l-oo <}

^{< +oo ," > 0}

^{- oo <}

^<too

\

2/2