1 Testit suhdeasteikollisille muuttujille:Lisätiedot Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit suhdeasteikollisille muuttujille:Mitä opimme? Testit suhdeasteikollisille muuttujille:Esitiedot Testit suhdeasteikollisille muuttujille Testit suhdeasteiko

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen

Testit suhdeasteikollisille muuttujille

Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi

Kahden otoksen t-testi A Kahden otoksen t-testi B t-testi parivertailuille Testi varianssille Varianssien vertailutesti

Testit suhdeasteikollisille muuttujille:

Mitä opimme?

• Tarkastelemme tässä luvussa normaalijakauman parametreja koskevia tilastollisia testejä.

• Yhden otoksen testit:

t-testi normaalijakauman odotusarvolle χ²-testi normaalijakauman varianssille

• Kahden otoksen testit:

t-testi A normaalijakaumien odotusarvojen vertailuun erisuurten varianssien tapauksessa

t-testi B normaalijakaumien odotusarvojen vertailuun yhtä suurten varianssien tapauksessa

t-testi normaalijakaumien odotusarvojen vertailuun parivertailutilanteessa

F-testi normaalijakauman varianssien vertailuun

Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavia lukuja:

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Otos ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Tilastolliset testit

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

Jatkuvia jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

Lisätiedot

• Testejäjärjestysasteikollisille muuttujillekäsitellään luvussa Testit järjestysasteikollisille muuttujille

• Testejälaatueroasteikollisille muuttujillekäsitellään luvussa Testit laatueroasteikollisille muuttujille

• Jakaumaoletuksien testaamistakäsitellään luvussa

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

>> Testit normaalijakauman parametreille Yhden otoksen t-testi

Kahden otoksen t-testi A Kahden otoksen t-testi B t-testi parivertailuille Testi varianssille Varianssien vertailutesti

(2)

Avainsanat

Kahden otoksen testit Normaalijakauma Odotusarvo Otos Parametri

Riippumattomat otokset Varianssi

Vertailutesti Yhden otoksen testit

Testit normaalijakauman parametreille

Normaalijakauman parametrien tilastolliset testit 1/2

• Normaalijakaumaon tilastotieteen tärkein jakauma.

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa normaalijakaumaa parametreinµja σ²:

• Tällöin E(X) = µ

on normaalijakauman odotusarvoja Var(X) = σ²

on normaalijakauman varianssi.

• Parametrit µja σ²määräävät täysin normaalijakauman.

N( , 2) X∼ µ σ

Normaalijakauman parametrien tilastolliset testit 2/2

• Normaalijakauman parametreja koskevat testitvoidaan jakaa kahteen ryhmään:

– Yhden otoksen testit

– Kahden otoksen testiteli vertailutestit

• Yhden otoksen testeissätestataan yksinkertaisia nollahypoteeseja, jotka koskevat normaalijakauman odotusarvo- tai varianssiparametria.

• Kahden otoksen testitovat vertailutestejä, joilla verrataan kahden normaalijakauman odotusarvo- tai varianssi- parametreja toisiinsa.

Normaalijakauman parametreille tarkoitettujen testien yleinen soveltuvuus 1/2

• Testejä normaalijakauman odotusarvolle sovelletaan usein myös sellaisissa tilanteissa, joissa havainnot eivät noudata normaalijakaumaa.

• Tämä perustuu seuraaviin seikkoihin:

(i) Esitettävät testit odotusarvolle perustuvat havaintojen aritmeettisiin keskiarvoihin.

(ii) Keskeisen raja-arvolauseenmukaan myös ei- normaalisten havaintojen aritmeettiset keskiarvot ovat – tietyin ehdoin –suurissa otoksissa approksimatiivisesti normaalijakautuneita.

Normaalijakauman parametreille tarkoitettujen testien yleinen soveltuvuus 2/2

• Sen sijaantestit normaalijakauman varianssille eivät yleensä ole käyttökelpoisia ei-normaalisille havainnoilleja tilanne ei välttämättä parane suurillakaan havaintojen lukumäärillä.

Tavanomaiset testit normaalijakauman parametreille

• Tarkastelemme seuraavia testejä normaalijakauman parametreille:

– Yhden otoksen t-testi odotusarvolle

– Kahden riippumattoman otoksen t-testi A odotus- arvoille erisuurten varianssien tapauksessa – Kahden riippumattoman otoksen t-testi B odotus-

arvoille yhtä suurten varianssien tapauksessa – t-testi parivertailuille

– Yhden otoksen χ²-testi varianssille – Kahden riippumattoman otoksen F-testi

variansseille

(3)

>> Yhden otoksen t-testi Kahden otoksen t-testi A Kahden otoksen t-testi B t-testi parivertailuille Testi varianssille Varianssien vertailutesti

Avainsanat

Aritmeettinen keskiarvo Nollahypoteesi Normaalijakauma Odotusarvo Otos Otosvarianssi Parametri Testisuure Testisuureen jakauma Testisuureen normaaliarvo t-jakauma

Varianssi Voimakkuus Yhden otoksen testit Yleinen hypoteesi

Yhden otoksen t-testi

Testausasetelma 1/2

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S, joka noudattaa normaalijakaumaa

• Jakauma riippuu seuraavista parametreista:

µ = jakauman odotusarvo σ²= jakauman varianssi N( ,µ σ2)

• Asetetaan normaalijakauman odotusarvo-eli paikkaparametrilleµnollahypoteesi

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussanollahypoteesin H₀ kanssa?

• Ongelman ratkaisuna on yhden otoksen t-testi.

0 0

H :µ µ=

N( ,µ σ2)

Hypoteesit

• Yleinen hypoteesiH : (i) Havainnot

(ii) Havainnot X1, X2, … , Xnovat riippumattomia

• NollahypoteesiH₀:

• Vaihtoehtoinen hypoteesiH₁:

N( , 2) , 1,2, , Xi∼ µ σ i= …n

0 0

H :µ µ=

1 0

H : 1-suuntaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H :

H : 2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi µ µ

µ µ µ µ

> 

< 

≠

Parametrien estimointi

• Olkoot

ja

tavanomaiset harhattomat estimaattoritparametreille E(X_i) = µ, i= 1, 2, … , n

ja

Var(X_i) = σ², i= 1, 2, … , n

1

1 ⁿ

i i

X X

n =

=

∑

2 2

1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

(4)

Testisuure ja sen jakauma

• Määritellään t-testisuure

• Jos nollahypoteesi

pätee, niin testisuure tnoudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein (n−1):

0

/ t X

s n

µ

= −

( 1) t t n∼ −

0 0

H :µ µ=

Testisuureen jakauma nollahypoteesin H₀pätiessä:

Perustelu 1/2

• Oletetaan, että testin yleinen hypoteesi H ja nollahypoteesi H0pätevät:

X1, X2, … , Xn⊥

• Koska tällöin (ks. lukua Otos ja otosjakaumat)

niin

• Koska standardipoikkeama σon tuntematon, satunnaismuuttujan z lauseke on epäoperationaalinen.

0 N(0,1) / z X

n µ σ

= − ∼

2

N( ,0 ) , 1,2, , Xi∼ µ σ i= …n

2 0 1

1ⁿ i N ,

i

X X

n n

µ σ

=

 

=  

 

∑

^∼

Perustelu 2/2

• Jos satunnaismuuttujan zlausekkeessa standardipoikkeama σ korvataan vastaavalla otossuureella

saadaan t-testisuure

joka nollahypoteesinH₀pätiessä noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein (n−1):

t∼t(n−1)

• Todistus sivuutetaan; ks. kuitenkin lukua Väliestimointi.

0

/ t X

s n

−µ

=

2 1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

t-testisuure mittaa tilastollista etäisyyttä

• Testisuure

mittaa havaintoarvojen aritmeettisen keskiarvon ja nollahypoteesin kiinnittämän odotusarvoparametrin µarvon µ₀tilastollista etäisyyttä.

• Mittayksikkönäon erotuksen standardipoikkeaman

estimaattori, jota määrättäessä on oletettu, että nollahypoteesi H₀pätee.

0 0

H :µ µ=

0

/ t X

s n

µ

= −

X−µ0

/ n σ

Testi

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koska nollahypoteesin pätiessä

E(t) = 0

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen tarvot viittaavat siihen, ettänollahypoteesiH0ei päde.

• NollahypoteesiH0hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni.

0 0

H :µ µ=

0

/ t X

s n

µ

= −

Testin hylkäysalueen valinta 1/4

• Valitaan testin merkitsevyystasoksiα.

• Jos vaihtoehtoinen hypoteesion muotoa H1: µ> µ0

niin kriittinen raja+t_αsaadaan ehdosta Pr(t≥+t_α) = α

jossa t∼t(n−1)

• Testin hylkäysalueon tällöin muotoa (+t_α, +∞)

(5)

• Jos vaihtoehtoinen hypoteesion muotoa H1: µ< µ0

niin kriittinen raja−t_αsaadaan ehdosta Pr(t≤ −t_α) = α

jossa t∼t(n−1)

• Testin hylkäysalueon tällöin muotoa (−∞, −t_α)

• Jos vaihtoehtoinen hypoteesion muotoa H1: µ≠µ0

niin kriittiset rajat−t_α/2ja +t_α/2saadaan ehdoista Pr(t≤ −t_α_/2) = α/2

Pr(t≥+t_α/2) = α/2 jossa

t∼t(n−1)

• Testin hylkäysalueon tällöin muotoa (−∞, −t_α)∪(+t_α, +∞)

• Oletetaan, että testin merkitsevyystasoksion valittu α.

• Testin hylkäysalueenmääräämistä voidaan havainnollistaa alla olevilla kuvioilla.

1 0

H :µ µ> H :₁ µ µ< ₀ H :₁ µ µ≠ ₀ ( 1)

t n− t n( −1) t n( −1)

1−α 1−α 1−α

α α ¹₂α ¹₂α

Hylkäys- alue

Hylkäys- alue tα

+ −tα −tα_{/ 2} +tα_{/ 2}

Testin p-arvo

• Olkoon t-testisuureenhavaittu arvo t0.

• Testin p-arvonmääräämistä voidaan havainnollistaa alla olevilla kuvioilla.

1 0

H :µ µ> H :₁ µ µ< ₀ H :₁ µ µ≠ ₀ ( 1)

t n− t n( −1) t n( −1)

1−p 1−p 1 2− p

p p p p

t0 t₀ −| |t₀ +| |t₀

Normaalisuusoletuksen merkitys 1/2

• Yhden otoksen t-testin yleisessä hypoteesissa oletetaan, että havainnot ovat normaalijakautuneita.

• t-testi eikuitenkaan ole herkkä poikkeamille normaalisuudesta, jos havaintojen lukumääränon

”kyllin suuri”.

• Testiä on melko turvallista käyttää, kun havaintojen lukumäärä

n> 15

elleihavaintojen jakauma ole kovin vinoja havaintojen joukossa ole poikkeavia havaintoja.

• Jos havaintojen lukumäärä n> 40

testiä voidaan melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vinoille havaintojen jakaumille.

(6)

Testin hyväksymisvirheen todennäköisyys ja voimakkuus 1/6

• Tarkastellaan t-testin hyväksymisvirheen todennäköisyyttä ja voimakkuuttatilanteessa, jossa normaalijakauman

varianssi σ²oletetaan tunnetuksi.

• Olkoon nollahypoteesimuotoa

ja vaihtoehtoinen hypoteesimuotoa N( ,µ σ2)

0 0

H :µ µ=

1 0

H :µ µ<

• t-testisuure

noudattaa nollahypoteesin

pätiessä standardoitua normaalijakaumaa (ks. lukua Otos ja otosjakaumat):

t∼N(0, 1)

0

/ t X

n µ σ

= −

0 0

H :µ µ=

• Vaihtoehtoisen hypoteesin

tapauksessa t-testin päätössääntöon muotoa:

Hylkäänollahypoteesi

jos

• Kriittinen raja−z_αsaadaan ehdosta Pr(z≤ −z_α) = α

jossa z∼N(0, 1).

0

/

t X z

n ^α

µ σ

= − < −

0 0

H :µ µ=

1 0

H :µ µ<

tapauksessa t-testin päätössääntövoidaan kirjoittaa myös seuraavaan muotoon:

Hylkäänollahypoteesi

jos

• Kriittinen raja−z_αsaadaan ehdosta Pr(z≤ −z_α) = α

jossa z∼N(0, 1).

0 / c

X<µ −z_ασ n=X

0 0

H :µ µ=

1 0

H :µ µ<

tapauksessa t-testinhyväksymisvirheen todennäköisyys βon ehdollinen todennäköisyys

jossa µ^∗≠µ0

0 0

Pr(H jätetään voimaan | H ei ole tosi)

Pr( | )

Pr /

c

X X

z X n β

µ µ µ σ

∗

=

= ≥ =

 − 

=  ≥ 

1 0

H :µ µ<

tapauksessa t-testinvoimakkuus1 −βon ehdollinen todennäköisyys

jossa µ^∗≠µ0

0 0

1 Pr(H hylätään | H ei ole tosi)

Pr( | )

Pr /

c

X X

z X n β

µ µ µ σ

∗

− =

= < =

 − 

=  < 

1 0

H :µ µ<

(7)

Testin hyväksymisvirheen todennäköisyys ja voimakkuus: Havainnollistus 1/3

• Kuvio oikealla havainnollistaa t- testin hyväksymisvirheen toden- näköisyyttäβja voimakkuutta 1 −β.

• Yleinen hypoteesiH : X1, X2, … , Xn⊥ X_i~ N(µ, σ²) , i= 1, 2, … , n

• NollahypoteesiH0:

• Vaihtoehtoinen hypoteesiH₁:

µ^∗ µ₀ N(µ₀,σ²/n) N(µ^∗,σ²/n)

α β

µ µ= 0

µ µ< 0

Xc

• Valitaanmerkitsevyystasoksiα.

• Kriittinen raja zα: Pr(z≤ −z_α) = α z∼N(0, 1)

• Kriittinen raja :

• Päätössääntö:

Hylkää nollahypoteesi H0, jos

µ^∗ µ₀

α β

Xc

0 /

Xc=µ−zασ n

N(µ^∗,σ²/n) N(µ₀,σ²/n)

• Hyväksymisvirheen todennäköisyys β:

• Voimakkuus1 −β:

µ^∗ µ₀

α β

Xc

Pr(X Xc| ) β= ≥ µ µ= ^∗ 1− =β Pr(X<Xc|µ µ= ^∗)

N(µ^∗,σ²/n N(µ₀,σ²/n)

>> Kahden otoksen t-testi A Kahden otoksen t-testi B t-testi parivertailuille Testi varianssille Varianssien vertailutesti

Avainsanat

Aritmeettinen keskiarvo Kahden otoksen testit Nollahypoteesi Normaalijakauma Odotusarvo Otosvarianssi Parametri

Riippumattomat otokset Testisuure Testisuureen jakauma Testisuureen normaaliarvo t-jakauma

Varianssi Vertailutesti Yleinen hypoteesi

Kahden otoksen t-testi A

• Olkoon

yksinkertainen satunnaisotosperusjoukosta S1, joka noudattaa normaalijakaumaa

µ₁ = jakauman odotusarvo σ12= jakauman varianssi

2

1 1

N( ,µ σ )

11, 21, , _n11

X X … X

(8)

• Olkoon

µ2 = jakauman odotusarvo σ22= jakauman varianssi

2

2 2

N( ,µ σ )

12, 22, , n22

X X … X

• Oletetaan lisäksi, että perusjoukosta S1poimittu otos

ja perusjoukosta S2poimittu otos

ovat toisistaan riippumattomia.

• Otosten riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaan perusjoukosta S1ei vaikutasiihen mikä alkioista poimitaan perusjoukosta S2ja kääntäen.

12, 22, , n22

X X … X

11, 21, , n11

X X … X

• Asetetaan normaalijakaumien ja odotusarvo- eli paikkaparametreilleµ₁ja µ₂ nollahypoteesi

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussanollahypoteesin H0

kanssa?

• Ongelman ratkaisuna on kahden riippumattoman otoksen t-testierisuurten varianssien tapauksessa.

• Huomautus:

Jos voidaan olettaa, että , testauksessa kannattaa käyttää kahden riippumattoman otoksen t-testiä B.

2

1 1

N( ,µ σ ) N( ,µ σ₂ ₂²)

0 1 2

H :µ=µ =µ

2 2

1 2

σ =σ

Yleinen hypoteesi

• Yleinen hypoteesiH : (1) Havainnot (2) Havainnot

(3) Havainnot Xi1ja Xj2ovat riippumattomiakaikille ija j.

• Huomautuksia:

– Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta:

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 sisällä.

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 välillä.

– Jakaumien variansseja ja ei ole oletettu yhtä suuriksi;

vrt. kahden otoksen t-testi B.

2

1 N( ,1 1) , 1,2, , 1

Xi ∼ µ σ i= …n

2

2 N( ,2 2) , 1,2, , 2

Xj ∼ µ σ j= …n

Nollahypoteesi ja vaihtoehtoiset hypoteesit

• NollahypoteesiH0:

• Vaihtoehtoinen hypoteesi H1:

0 1 2

H :µ=µ =µ

1 1 2

µ µ µ µ

> 

< 

≠

• Olkoot

ja

tavanomaiset harhattomat estimaattoritparametreille E(X_ik) = µk, i= 1, 2, … , n_k, k= 1, 2

ja

Var(X_ik) = σ_k², i= 1, 2, … , n_k, k= 1, 2

1

1 ^k , 1,2

n

k ik

ki

X X k

n =

=

∑

=

2 2

1

1 ( ) , 1, 2

1

nk

k ik k

k i

s X X k

n =

= − =

−

∑

(9)

Testisuure ja sen asymptoottinen jakauma

pätee, niin testisuure t noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa N(0,1):

1 2

2 2

1 2

X X

t s s

n n

= − +

N(0,1) t∼a

0 1 2

H :µ=µ =µ

Perustelu 1/3

• Tällöin (ks. lukua Otos ja otosjakaumat)

• Koska , niin

2 2

1 2

N 0,

X X

n n

σ σ

 

−  + 

 

∼

1 2

11 21 1 12 22 2

2

1 1 1

2

2 2 2

, , , , , , ,

N( , ) , 1,2, , N( , ) , 1,2, ,

n n

i

j

X X X X X X

X i n

X j n

µ σ µ σ

⊥

=

… …

∼ …

1

2

2 1

1 1

1

1 1

2 2

1

2 2

1 N ,

n i i

n j j

X X

n n

X X

n n

µσ

=

 

=  

 

 

=  

 

∑

∼

1 2

X⊥X

Perustelu 2/3

• Edellä esitetystä seuraa, että

• Koska varianssit ovat tuntemattomia, satunnaismuuttujan z lauseke on epäoperationaalinen.

1 2

2 2

1 2

N(0,1)

X X

z

n n

σ σ

= − +

∼

2 2

1 ja 2

σ σ

Perustelu 3/3

• Jos satunnaismuuttujan zlausekkeessa varianssit korvataan vastaavilla otossuureilla

joka nollahypoteesinH0pätiessä noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaaN(0, 1):

t∼_aN(0, 1)

• Todistus sivuutetaan.

2 2

1

1 ( ) , 1,2

1

nk

k ik k

i k

s X X k

n =

= − =

−

∑

2 2

1 ja 2

σ σ

1 2

2 2

1 2

X X

t s s

n n

= − +

Testisuureen jakauman approksimointi

• Pienissä otoksissasaadaan testisuureen tjakaumalle parempi approksimaatiokäyttämällä approksimaationa Studentin t-jakaumaavapausastein (ns. Satterthwaiten approksimaatio)

2 2 2

1 2

2 2

1 2

1 1 2 2

1 1

s s

n n

s s

n n n n

ν

 + 

 

 

=    

  +  

−   −  

• Testisuure

mittaa otoksien 1 ja 2 aritmeettisten keskiarvojen tilastollista etäisyyttä.

estimaattori, jota määrättäessä on oletettu, että nollahypoteesi H0pätee.

1 2

X −X

2 2

1 2

n n

σ ₊σ

1 2

2 2

1 2

X X

t s s

n n

= − +

(10)

Testi

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koskanollahypoteesin pätiessä

E(t) = 0

• NollahypoteesiH₀hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni.

1 2

2 2

1 2

X X

t s s

n n

= − +

0 1 2

H :µ=µ =µ

• Jos vaihtoehtoinen hypoteesion muotoa H1: µ> µ0

niin kriittinen raja+t_αsaadaan ehdosta Pr(t≥+tα) = α

jossa t∼_aN(0, 1)

• Testin hylkäysalueon tällöin muotoa (+t_α, +∞)

• Jos vaihtoehtoinen hypoteesion muotoa H1: µ< µ0

niin kriittinen raja−t_αsaadaan ehdosta Pr(t≤ −t_α) = α

jossa

t∼aN(0, 1)

• Testin hylkäysalueon tällöin muotoa (−∞, −t_α)

• Jos vaihtoehtoinen hypoteesion muotoa H1: µ≠µ0

niin kriittiset rajat−t_α_/2ja +t_α/2saadaan ehdoista Pr(t≤ −t_α/2) = α/2

Pr(t≥+t_α/2) = α/2 jossa

t∼_aN(0,1)

• Testin hylkäysalueon tällöin muotoa (−∞, −t_α)∪(+t_α, +∞)

• Oletetaan, että testin merkitsevyystasoksion valittu α.

• Testin hylkäysalueenmääräämistä voidaan havainnollistaa alla olevilla kuvioilla.

1 0

H :µ µ> H :₁ µ µ< ₀ H :₁ µ µ≠ ₀

N(0,1) N(0,1) N(0,1)

1−α 1−α 1−α

α α ¹₂α ¹₂α

Hylkäys- alue

Hylkäys- alue t_α

+ −tα −tα_{/ 2} +tα_{/ 2}

Testin p-arvo

• Olkoon t-testisuureenhavaittu arvo t0.

• Testin p-arvonmääräämistä voidaan havainnollistaa alla olevilla kuvioilla.

1 0

H :µ µ> H :₁ µ µ< ₀ H :₁ µ µ≠ ₀

N(0,1) N(0,1) N(0,1)

1−p 1−p 1 2p−

p p p p

t0 t₀ −| |t₀ +| |t₀

(11)

• Kahden otoksen t-testin A yleisen hypoteesin mukaan havainnot ovat molemmissa otoksissa normaali- jakautuneita.

• Testi eikuitenkaan ole herkkä poikkeamille

normaalisuudesta, jos molempien otosten otoskoot ovat

”kyllin suuria”.

• Testiä on melko turvallista käyttää, kun n1> 15 ja n2> 15

ja n1ja n2eivät eroa toisistaan kovin paljon, elleivät havaintojen jakaumat ole kovin vinojaja elleihavaintojen joukossa ole poikkeavia havaintoja.

• Jos

n1> 40 ja n2> 40

testiä voidaan melko turvallisesti käyttää jopa selvästi vinoille havaintojen jakaumille.

>> Kahden otoksen t-testi B t-testi parivertailuille Testi varianssille Varianssien vertailutesti

Avainsanat

Aritmeettinen keskiarvo Kahden otoksen testit Nollahypoteesi Normaalijakauma Odotusarvo Otosvarianssi Parametri

Riippumattomat otokset Testisuure Testisuureen jakauma Testisuureen normaaliarvo t-jakauma

Varianssi Vertailutesti Yleinen hypoteesi

Kahden otoksen t-testi B

• Olkoon

µ₁ = jakauman odotusarvo σ²= jakauman varianssi

2

N( ,µ σ1 )

11, 21, , _n11

X X … X

• Olkoon

µ₂ = jakauman odotusarvo σ²= jakauman varianssi

2

N( ,µ σ2 )

12, 22, , _n22

X X … X

(12)

• Oletetaan lisäksi, että perusjoukosta S1poimittu otos

ja perusjoukosta S2poimittu otos

ovat toisistaan riippumattomia.

• Otosten riippumattomuus merkitsee sitä, että se mikä alkio poimitaan perusjoukosta S1ei vaikutasiihen mikä alkioista poimitaan perusjoukosta S2ja kääntäen.

12, 22, , n22

X X … X

11, 21, , n11

X X … X

• Asetetaan normaalijakaumien ja odotusarvo- eli paikkaparametreilleµ1ja µ2

nollahypoteesi

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussanollahypoteesin H0

kanssa?

• Ongelman ratkaisuna on kahden riippumattoman otoksen t-testiyhtä suurten varianssien tapauksessa.

• Huomautus:

Jos jakaumien varianssit eivät ole yhtä suuret, testauksessa on käytettäväkahden riippumattoman otoksen t-testiä A.

2

N( ,µ σ1 ) N( ,µ σ2 ²)

0 1 2

H :µ =µ =µ

Yleinen hypoteesi

• Yleinen hypoteesiH : (1)

(2)

(3) Havainnot Xi1ja Xj2ovat riippumattomiakaikille ija j

• Huomautuksia:

– Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta:

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 sisällä.

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 välillä.

– Jakaumien varianssit ontässä oletettu yhtä suuriksi;

vrt. kahden otoksen t-testi A.

2

1 N( ,1 ) , 1,2, , 1

Xi ∼ µ σ i= …n

2

2 N( ,2 ) , 1, 2, , 2

Xj ∼ µ σ j= …n

Nollahypoteesi ja vaihtoehtoiset hypoteesit

• NollahypoteesiH₀:

• Vaihtoehtoinen hypoteesi H1:

1 1 2

µ µ µ µ

> 

< 

≠

0 1 2

H :µ =µ =µ

• Olkoot

ja

tavanomaiset harhattomat estimaattoritparametreille E(X_ik) = µk, i= 1, 2, … , n_k, k= 1, 2

ja

Var(X_ik) = σ², i= 1, 2, … , n_k, k= 1, 2

1

1 ^k , 1,2

n

k ik

k i

X X k

n =

=

∑

=

2 2

1

1 ( ) , 1, 2

1

nk

k ik k

k i

s X X k

n =

= − =

−

∑

Yhdistetty varianssiestimaattori

• Määritellään ns. yhdistetty varianssiestimaattori

• Yhdistetty varianssiestimaattori on harhaton estimaattorivarianssiparametrille σ², jos nollahypoteesi

pätee.

• Huomautus:

Yhdistetty varianssiestimaattori ei ole sama kuin yhdistetyn otoksen varianssi, koska otoskeskiarvot ja eivät (yleensä) ole yhtä suuria.

2 2

2 1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

P 2

n s n s

s n n

− + −

= + −

2

sP

2

sP

X1 X2

0 1 2

H :µ=µ =µ

(13)

Testisuure ja sen jakauma

pätee, niin testisuure tnoudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein (n1+ n2−2):

1 2

1 1

P

X X

t

s n n

= − +

1 2

( 2)

t t n∼ +n −

0 1 2

H :µ =µ =µ

Perustelu 1/3

• Tällöin (ks. lukua Otos ja otosjakaumat)

• Koska , niin

2

1 2

1 1

N 0,

X X

n n

 σ  

−   + 

 

∼

1 2

11 21 1 12 22 2

2

1 1

2

2 2

, , , , , , ,

N( , ) , 1,2, , N( , ) , 1,2, ,

n n

i

j

X X X X X X

X i n

X j n

µ σ µ σ

⊥

=

… …

∼ …

1

2

1 1

1

1 1

2

2 2

1

2 2

1 N ,

n i i

n j j

X X

n n

X X

n n

µσ

=

 

=  

 

 

=  

 

∑

∼

1 2

X⊥X

Perustelu 2/3

• Edellä esitetystä seuraa, että

• Koska standardipoikkeama σon tuntematon, satunnaismuuttujan z lauseke on epäoperationaalinen.

• Määritellään otosvarianssit

1 2

N(0,1)

1 1

X X

z

n n

σ

= − +

∼

2 2

1

1 ( ) , 1,2

1

nk

k ik k

k i

s X X k

n =

= − =

−

∑

Perustelu 3/3

• Jos satunnaismuuttujan zlausekkeessa standardipoikkeama σ korvataan otossuureella

joka nollahypoteesinH0pätiessä noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein (n1+ n2−2):

t∼t(n₁+ n₂−2)

• Todistus sivuutetaan.

1 2

1 1

P

X X

t

s n n

= − +

2 2

1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

P 2

n s n s

s n n

− + −

= + −

• Testisuure

mittaa otoksien 1 ja 2 aritmeettisten keskiarvojen tilastollista etäisyyttä.

estimaattori, jota määrättäessä on oletettu, että nollahypoteesi H0pätee.

1 2

1 1

n n

σ +

1 2

1 1

P

X X

t

s n n

= − +

1 2

X −X

Testi

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koskanollahypoteesin pätiessä

E(t) = 0

• NollahypoteesiH0hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni.

1 2

1 1

P

X X

t

s n n

= − +

0 1 2

H :µ =µ =µ