1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille:Lisätiedot Testit järjestysasteikollisille muuttujille Testit järjestysasteikollisille muuttujille:Mitä opimme? Testit järjestysasteikollisille muuttujille:Esitiedot Testit järjestysasteikollisille muuttujille

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti

Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti

Testit järjestysasteikollisille muuttujille:

Mitä opimme?

• Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia järjestysasteikollisten muuttujien testejä:

Merkkitestija

merkkitesti parivertailuille Wilcoxonin rankitestija

Wilcoxonin rankitesti parivertailuille Mannin ja Whitneyn testieli Wilcoxonin rankisummatesti

• Testit on tarkoitettu todennäköisyysjakauman sijaintiparametreille (mediaanille), mutta ne ovat luonteeltaan ei-parametrisiaeli jakaumista riippumattomiasiinä mielessä, että testien yleiset hypoteesit eivät tarkkaan määrittele perusjoukon jakaumaa.

Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavia lukuja:

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Otos ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Tilastolliset testit

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia

Lisätiedot

• Testejäsuhdeasteikollisille muuttujillekäsitellään luvussa Testit suhdeasteikollisille muuttujille

• Testejälaatueroasteikollisille muuttujillekäsitellään luvussa Testit laatueroasteikollisille muuttujille

• Jakaumaoletuksien testaamistakäsitellään luvussa

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

>> Järjestysasteikollisten muuttujien testit Merkkitesti

Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti

(2)

Avainsanat Ei-parametrinen testi Jakauman sijaintiparametri Jakaumista riippumaton testi Järjestysasteikko Kahden otoksen testit Mediaani Parametri Parivertailu Yhden otoksen testit

Järjestysasteikollisten muuttujien testit

Testit järjestysasteikollisille muuttujille 1/2

• Tarkastelemme seuraavia testejä (jatkuville) järjestys- asteikollisillemuuttujille:

– Merkkitesti – Wilcoxonin rankitesti – Mannin ja Whitneyn testieli

Wilcoxonin rankisummatesti

• Testejä saa käyttää myös välimatka- ja suhdeasteikollisille muuttujille.

• Mitta-asteikot: ks. lukua Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen.

Testit järjestysasteikollisille muuttujille 2/2

• Kaikki käsiteltävät testit ovat ei-parametrisiaeli jakaumista riippumattomia, millä tarkoitetaan sitä, että testien yleiset hypoteesit eivät tarkkaan määrittele perusjoukon jakaumaa.

• Merkkitestija Wilcoxonin rankitestiovat luonteeltaan yhden otoksen testejä, mutta niitä voidaan soveltaa myös parivertailuasetelmissa.

• Mannin ja Whitneyn testieli Wilcoxonin rankisummatesti on luonteeltaan kahden otoksen testi.

• Kaikissa käsiteltävissä testeissä testataan tarkemmin määrittelemättömän todennäköisyysjakauman sijainti- parametria(mediaania) koskevia hypoteeseja

>> Merkkitesti Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti

Avainsanat Asymptoottinen testi Binomijakauma Ei-parametrinen testi Jakaumista riippumaton testi Järjestysasteikko Mediaani Normaalijakauma Parametri Parivertailu Testisuure Testisuureen jakauma t-testi

Yhden otoksen testit

Merkkitesti

Testausasetelma

• Olkoon yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S, jonka jakauma on symmetrinen.

• Asetetaan jakauman mediaanille Me nollahypoteesi

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussanollahypoteesin H0

kanssa?

• Ongelman eräänä ratkaisuna on merkkitesti, joka vastaa yhden otoksen t-testiä.

0 0

H :Me Me=

1, 2, , n

X X … X′

(3)

Merkkitesti

Testisuureet

• Määritellään erotukset

Di= Xi–Me0, i= 1, 2, … , n´

ja olkoon n≤n´

niiden erotusten Dilukumäärä, jotka ovat ≠0.

• Jos nollahypoteesiH0pätee, positiivisten ja negatiivisten erotusten on jakauduttava suunnilleen tasan.

• Määritellään testisuureetS^–ja S⁺:

S^–= negatiivisten erotusten Di= Xi–Me0lukumäärä S⁺= positiivisten erotusten D_i= X_i–Me₀lukumäärä

Merkkitesti

Testisuureiden S^–ja S⁺ominaisuudet

(i) S^–+ S⁺= n

(ii) Jos nollahypoteesiH0pätee, testisuureet S^–ja S⁺ noudattavat binomijakaumaaBin(n, q) parametrein n ja q= 1/2:

S^–~ Bin(n, 1/2) S⁺~ Bin(n, 1/2)

(iii) Jos nollahypoteesiH0pätee, (iv) Jos nollahypoteesiH0pätee,

1

E( ) E( )S⁻ = S⁺ =nq=2n

2 2 1

D ( ) D ( )S⁻ = S⁺ =nq(1−q)=4n

Merkkitesti

Eksakti testi

• Testisuureiden S^–ja S⁺jakaumat on taulukoitu ja monet tietokoneohjelmat laskevat testin p-arvoja.

• Merkkitestin p-arvotmäärätään seuraavilla kaavoilla, joissa s^–(s⁺) on testisuureen S^–(S⁺) havaittu arvo:

(i) Vaihtoehtoinen hypoteesiH1: Me> Me0

Testin p-arvo: p= Pr(S⁺> s⁺) (ii) Vaihtoehtoinen hypoteesiH1: Me< Me0

Testin p-arvo: p= Pr(S^–< s^–)

(iii)Vaihtoehtoinen hypoteesi: H1: Me≠Me0

Testin p-arvo: p= 2×min{Pr(S⁺> s⁺) , Pr(S^–< s^–)}

Merkkitesti

Standardoitu S-testisuure ja sen jakauma 1/2

• Jos nollahypoteesiH₀pätee,

• Määritellään testisuure

jossa S^*= S^–tai S⁺.

1 2

2 2 1

4

E( ) E( ) D ( ) D ( )

S S n

− +

= =

* *

*

E( ) D( )

S S

z S

= −

Merkkitesti

Standardoitu S-testisuure ja sen jakauma 2/2

• Jos nollahypoteesiH0pätee, niin testisuure

noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaaN(0, 1):

z~aN(0,1)

• Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n> 20.

• Pienissä otoksissanojataan testisuureen S^*tarkkaan jakaumaan.

* *

*

E( ) D( )

S S

z S

= −

Merkkitesti

Asymptoottinen testi

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koskanollahypoteesinH₀pätiessä E(z) = 0

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen zarvot viittaavat siihen, ettänollahypoteesiH0ei päde.

• NollahypoteesiH0hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni.

• Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua

Testit suhdeasteikollisille muuttujille.

* *

*

E( ) D( )

S S

z S

= −

(4)

Merkkitesti

Kommentteja

• Merkkitesti voidaan tulkita yhden otoksen t-testin ei- parametriseksi vastineeksi.

• Merkkitestissä ei tehdä

– toisin kuin yhden otoksen t-testissä – mitään oletuksia perusjoukon jakauman tyypistä.

• Merkkitestin testisuureen arvo ei riipu havaintoarvoista, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä.

Merkkitesti

Merkkitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 1/2

• Merkkitestiä voidaan soveltaa parivertailuasetelmiin, joissa havainnot muodostuvat toisistaan riippumattomista mittauspareista

(Xi, Yi) , i= 1, 2, … , n´

• Oletetaan, että X- ja Y-mittausten jakaumat ovat muuten samat, mutta niiden mediaaneilla(sijaintiparametreilla) saattaa olla eri arvot.

• Määritellään havaintojen Xija Yierotukset Di= Xi–Yi, i= 1, 2, … , n´

ja olkoon nniiden erotusten D_ilukumäärä, jotka ovat ≠0.

Merkkitesti

Merkkitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 2/2

• Tehdään oletus, että erotusten Di= Xi–Yi, i= 1, 2, … , n jakauma on symmetrinen.

• Määritellään testisuureetS^–ja S⁺erotuksille Dikuten edellä.

• Olkoon Me_D

erotusten Di= Xi–Yi, i= 1, 2, … , n mediaani.

• Tällöin nollahypoteesin

testaamiseen voidaan soveltaa merkkitestiä.

H :0 MeD=0

>> Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti

Avainsanat Asymptoottinen testi Ei-parametrinen testi Jakaumista riippumaton testi Järjestysasteikko Mediaani Normaalijakauma Parametri Parivertailu Testisuure Testisuureen jakauma t-testi

Yhden otoksen testit

Wilcoxonin rankitesti

Testausasetelma

• Olkoon yksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S, jonka jakauma on symmetrinen.

• Asetetaan jakauman mediaanille Me nollahypoteesi

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussanollahypoteesin H0

kanssa?

• Ongelman eräänä ratkaisuna on Wilcoxonin rankitesti, joka vastaa yhden otoksen t-testiä.

0 0

H :Me Me=

1, 2, , n

X X … X′

(5)

Testisuure 1/2

• Olkoon

D_i= X_i–Me₀, i= 1, 2, … , n´

ja olkoon n≤n´

niiden erotusten Dilukumäärä, jotka ovat ≠0.

• Olkoot

itseisarvot D_ijärjestettyinäsuuruusjärjestykseen pienimmästä suurimpaan ja olkoon

R(Z_i) = itseisarvon Z_ijärjestysnumero eli ranki, i= 1, 2, … , n

1, 2, , _n Z Z …Z

Testisuure 2/2

• on niiden rankien summa, joita vastaavat erotukset Di= Xi–Me0< 0

• on niiden rankien summa, joita vastaavat erotukset Di= Xi–Me0> 0

0

( )

i i D

W⁻ R Z

<

=

∑

0

( )

i i D

W⁺ R Z

>

=

∑

W⁻

W⁺

Testisuureiden W^–ja W⁺ominaisuudet

(i)

(ii) Jos nollahypoteesiH0pätee, (iii) Jos nollahypoteesiH0pätee,

1

E(W⁻) E(= W⁺)=4n n( +1)

2 2 1

D (W⁻) D (= W⁺)=24n n( +1)(2n+1)

1

2 ( 1)

W⁻+W⁺= n n+

Eksakti testi

• Testisuureiden W^–ja W⁺jakaumat on taulukoitu ja monet tietokoneohjelmat laskevat testin p-arvoja.

• Wilcoxonin rankitestin p-arvotmäärätään seuraavilla kaavoilla, joissa w^–ja w⁺ovat testisuureiden W^–ja W⁺ havaitut arvot:

(i) Vaihtoehtoinen hypoteesiH₁: Me> Me₀ Testin p-arvo: p= Pr(W⁺> w⁺) (ii) Vaihtoehtoinen hypoteesi H₁: Me< Me₀

Testin p-arvo: p= Pr(W^–< w^–) (iii)Vaihtoehtoinen hypoteesiH1: Me≠Me0

Testin p-arvo: p= 2×min{Pr(W⁺> w⁺) , Pr(W^–< w^–)}

Standardoitu W-testisuure ja sen jakauma 1/2

• Jos nollahypoteesiH0pätee,

jossa W^*= W^–tai W⁺.

1 4

2 2 1

24

E( ) E( ) ( 1)

D ( ) D ( ) ( 1)(2 1)

W W n n

W W n n n

− +

= = +

= = + +

* *

*

E( ) D( )

W W

z W

= −

Standardoitu W-testisuure ja sen jakauma 2/2

• Jos nollahypoteesiH0pätee, niin testisuure

noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaaN(0, 1):

z~aN(0,1)

• Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n> 20.

• Pienissä otoksissanojataan testisuureen W^*tarkkaan jakaumaan.

* *

*

E( ) D( )

W W

z W

= −

(6)

Asymptoottinen testi

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koska nollahypoteesinH0pätiessä E(z) = 0

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen zarvot viittaavat siihen, että nollahypoteesiH0ei päde.

• NollahypoteesiH₀hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni.

* *

*

E( ) D( )

W W

z W

= −

Kommentteja

• Wilcoxonin rankitesti voidaan tulkita yhden otoksen t- testin ei-parametriseksi vastineeksi.

• Wilcoxonin rankitestissä ei tehdä – toisin kuin yhden otoksen t-testissä – mitään oletuksia perusjoukon jakauman tyypistä.

• Wilcoxonin rankitestin testisuureen arvo ei riipu havaintoarvoista, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä.

• Wilcoxonin rankitesti käyttää merkkitestiä enemmän informaatiota havaintojen järjestyksestä.

• Wilcoxonin rankitesti on voimakkaampikuin merkkitesti.

Wilcoxonin rankitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 1/2

• Wilcoxonin rankitestiä voidaan soveltaa parivertailu- asetelmiin, joissa havainnot muodostuvat toisistaan riippumattomista mittauspareista

(Xi, Yi) , i= 1, 2, … , n´

• Oletetaan, että X- ja Y-mittausten jakaumat ovat muuten samat, mutta niiden mediaaneilla(sijaintiparametreilla) saattaa olla eri arvot.

• Määritellään havaintojen Xija Yierotukset Di= Xi–Yi, i= 1, 2, … , n´

ja olkoon nniiden erotusten Dilukumäärä, jotka ovat ≠0.

Wilcoxonin rankitestin soveltaminen parivertailuasetelmiin 2/2

• Oletetaan, että erotusten Di= Xi–Yi, i= 1, 2, … , n jakauma on symmetrinen.

• Määritellään testisuureetW^–ja W⁺erotuksille Dikuten edellä.

• Olkoon Me_D

erotusten Di= Xi–Yi, i= 1, 2, … , n mediaani.

• Tällöin nollahypoteesin

testaamiseen voidaan soveltaa Wilcoxonin rankitestiä.

H :0 MeD=0

>> Mannin ja Whitneyn testi Wilcoxonin rankisummatesti

Avainsanat Asymptoottinen testi Ei-parametrinen testi Jakaumista riippumaton testi Järjestysasteikko Kahden otoksen testit Mediaani Normaalijakauma Parametri Testisuure Testisuureen jakauma t-testi

Mannin ja Whitneyn testi

(7)

Testausasetelma 1/2

• Oletetaan, että

ovat riippumattomia havaintojasatunnaismuuttujan X jakaumasta perusjoukossa S₁(otos 1).

• Oletetaan, että

ovat riippumattomia havaintojasatunnaismuuttujan Y jakaumasta perusjoukossa S2(otos 2).

• Olkoot otokset lisäksi toisistaan riippumattomia.

1, 2, , n

X X … X

1, , ,2 m

Y Y …Y

Testausasetelma 2/2

• Oletetaan, että satunnaismuuttujat Xja Y

noudattavat muuten samaa jakaumaa, mutta niiden mediaanit(sijaintiparametrit) saattavat erota toisistaan.

• Asetetaan nollahypoteesi, että satunnaismuuttujilla Xja Y on sama mediaani(sijaintiparametri).

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussanollahypoteesin H₀ kanssa?

• Ongelman eräänä ratkaisuna on Mannin ja Whitneyn testi, joka vastaa kahden riippumattoman otoksen t-testiä.

Yleinen hypoteesi

• Yleinen hypoteesiH :

(1) Havainnot (2) Havainnot

(3) Jakaumat FXja FXovat muuten samat, mutta niiden mediaanit(sijaintiparametrit) saattavat erota toisistaan.

(4) Havainnot Xija Yjovat riippumattomiakaikille ija j

• Huomautus:

Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta:

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 sisällä.

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 välillä.

, 1,2, ,

i X

X ∼F i= …n , 1,2, ,

j Y

Y ∼F j= …m

Nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi

• NollahypoteesiH₀: H0: FX= FY

• Vaihtoehtoinen hypoteesi H1: H1: FX≠FY

Testin idea

• Yhdistetään X- ja Y-havainnot yhdeksi otokseksija järjestetäänyhdistetyn otoksen havainnot suuruus- järjestykseenpienimmästä suurimpaan.

• Tarkastellaan miten X- ja Y-havainnot seuraavat yhdistetyssä otoksessa toisiaan.

• Jos kaikki X-havainnot (Y-havainnot) edeltävätkaikkia Y-havaintoja (X-havaintoja), ei ole uskottavaa, että nolla- hypoteesiH0pätee.

• Jos satunnaismuuttujat Xja Ynoudattavat samaa jakaumaa, on ilmeistä, että X- ja Y-havaintojen on sekoituttavasopivasti toisiinsa.

• Mannin ja Whitneyn testisuure mittaatätä sekoittumista.

Testisuure U₁– muoto 1

• Määritellään satunnaismuuttujat

i= 1, 2, … , n, j= 1, 2, … , m ja testisuure

(1) 1 , jos 0 , jos

i j

ij

i j

X Y

D X Y

 <

=  >

(1) 1

1 1

n m

ij

i j

U D

= =

=

∑∑

(8)

Testisuure U₁– muoto 2

R(Xi) = havainnon Xijärjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa

i= 1, 2, … , n ja testisuure

• Testisuureen U1muodot 1 ja 2 ovat ekvivalentteja.

1

1 2

1

( 1) ⁿ ( )_i

i

U nm n n R X

=

= + + −

∑

Testisuureen U₁ominaisuudet

• Testisuureen U1arvo ei riipu X- ja Y-havaintoarvojen suuruudesta, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä.

• Aina pätee 0 ≤U₁≤nm ja erityisesti

U1= 0 , jos Xi> Yjkaikille ija j U1= nm, jos Xi< Yjkaikille ija j

Testisuure U₂– muoto 1

j= 1, 2, … , m, i= 1, 2, … , n ja testisuure

(2) 1 , jos 0 , jos

j i

ji

j i

Y X

D Y X

<

=  >

(2) 2

1 1

m n

ji

j i

U D

= =

=

∑∑

Testisuure U₂– muoto 2

R(Yj) = havainnon Yjjärjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa

j= 1, 2, … , m ja testisuure

• Testisuureen U2muodot 1 ja 2 ovat ekvivalentteja.

2 12

1

( 1) ^m ( )j j

U nm m m R Y

=

= + + −

∑

Testisuureen U₂ominaisuudet

• Testisuureen U2arvo ei riipu X- ja Y-havaintoarvojen suuruudesta, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä.

• Aina pätee 0 ≤U2≤nm ja erityisesti

U₂= 0 , jos Y_j> X_ikaikille ija j U2= nm, jos Yj< Xikaikille ija j

Testisuureiden U₁ja U₂ominaisuudet

(i) U1+ U2= nm

(ii) Jos nollahypoteesiH₀pätee, (iii) Jos nollahypoteesiH₀pätee,

1 2 12

E( ) E(U = U )= nm

2 2 1

1 2 12

D ( ) D (U = U )= nm n m( + +1)

(9)

Standardoitu U₁-testisuure ja sen jakauma

• Jos nollahypoteesiH0pätee, niin standardoitu satunnais- muuttuja

noudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa:

z1~aN(0,1)

• Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos n> 10 ja m> 10.

• Pienissä otoksissanojataan testisuureen U1tarkkaan jakaumaan.

1 1

E( ) D( )

U U

z U

= −

Asymptoottinen testi – muoto 1

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koska nollahypoteesinH0pätiessä E(z1) = 0

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen z1arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesiH0ei päde.

1 1

E( ) D( )

U U

z U

= −

Standardoitu U₂-testisuure ja sen jakauma

• Jos nollahypoteesiH₀pätee, niin standardoitu satunnais- muuttuja

z2~aN(0,1)

• Pienissä otoksissanojataan testisuureen U₂tarkkaan jakaumaan.

2 2

E( ) D( )

U U

z U

= −

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen z2arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesiH₀ei päde.

2 2

E( ) D( )

U U

z U

= −

Kommentteja 1/2

• Mannin ja Whitneyn testi voidaan tulkita kahden riippumattoman otoksen t-testin ei-parametriseksi vastineeksi.

• Mannin ja Whitneyn testissä ei tehdä

– toisin kuin kahden riippumattoman otoksen t-testissä – mitään oletuksia perusjoukkojen jakaumasta.

• Mannin ja Whitneyn testisuureiden arvo ei riipu muuttujien Xja Y arvoista, vaan ainoastaan niiden keskinäisestä järjestyksestä.

Kommentteja 2/2

• Jos havainnot ovat normaalijakautuneita, Mannin ja Whitneyn testi ei ole yhtä voimakaskuin kahden riippumattoman otoksen t-testi.

• Jos havainnot eivät ole normaalijakautuneita, Mannin ja Whitneyn testi saattaa olla paljon voimakkaampikuin kahden riippumattoman otoksen t-testi.

• Mannin ja Whitneyn testi on varteenotettava vaihtoehto kahden riippumattoman otoksen t-testille, jos otoskoot eivät ole kovin isojaja perusjoukot eivät ole normaalijakautuneita.

(10)

Wilcoxonin rankitesti Mannin ja Whitneyn testi

>> Wilcoxonin rankisummatesti

Avainsanat Asymptoottinen testi Ei-parametrinen testi Jakaumista riippumaton testi Järjestysasteikko Kahden otoksen testit Mediaani Normaalijakauma Parametri Testisuure Testisuureen jakauma t-testi

Wilcoxonin rankisummatesti ja Mannin ja Whitneyn testi

• Wilcoxonin rankisummatestiperustuu Mannin ja Whitneyn testisuureiden muodoissa 2 esiintyviin havaintojen rankisummiineli järjestyslukujen summiin.

• Wilcoxonin rankisummatesti on ekvivalenttiMannin ja Whitneyn testin kanssa.

Testisuure T₁

R(Xi) = havainnon Xijärjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa

i= 1, 2, … , n ja testisuure

1 1

( )

n i i

T R X

=

∑

Testisuure T₂

R(Y_j) = havainnon Y_jjärjestysnumero eli ranki yhdistetyssä otoksessa

j= 1, 2, … , m ja testisuure

2 1

( )

m j j

T R Y

=

∑

Testisuureiden T₁ja T₂ominaisuudet

(i)

(ii) Jos nollahypoteesiH₀pätee,

(iii) Jos nollahypoteesiH0pätee,

2 2 1

1 2 12

D ( ) D ( )T = T = nm n m( + +1)

1

1 2

2 12

E( ) ( 1)

T n n m

T m n m

= + +

1 2 12( )( 1)

T T+ = n m n m+ + +

(11)

Standardoitu T₁-testisuure ja sen jakauma

• Jos nollahypoteesiH0pätee, niin standardoitu satunnais- muuttuja

z1~aN(0,1)

• Pienissä otoksissanojataan testisuureen T1tarkkaan jakaumaan.

1 1

E( ) D( )

T T

z T

= −

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen z1arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesiH0ei päde.

1 1

E( ) D( )

T T

z T

= −

Standardoitu T₂-testisuure ja sen jakauma

• Jos nollahypoteesiH₀pätee, niin standardoitu satunnais- muuttuja

z2~aN(0,1)

• Pienissä otoksissanojataan testisuureen T₂tarkkaan jakaumaan.

2 2

E( ) D( )

T T

z T

= −

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen z2arvot viittaavat siihen, että nollahypoteesiH₀ei päde.

2 2

E( ) D( )

T T

z T

= −