1 Testit laatueroasteikollisille muuttujille:Lisätiedot Testit laatueroasteikollisille muuttujille Testit laatueroasteikollisille muuttujille:Mitä opimme? Testit laatueroasteikollisille muuttujille:Esitiedot Testit laatueroasteikollisille muuttujille Test

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen

Testit laatueroasteikollisille muuttujille

Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti

Testit laatueroasteikollisille muuttujille:

Mitä opimme?

• Tarkastelemme tässä luvussa seuraavia laatueroasteikollisten muuttujien testejä:

Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti

• Testauksen kohteena testeissä on Bernoulli-jakauman odotusarvo- parametri.

Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavia lukuja:

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Otos ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät Väliestimointi Tilastolliset testit

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia

Lisätiedot

• Testejäsuhdeasteikollisille muuttujillekäsitellään luvussa Testit suhdeasteikollisille muuttujille

• Testejäjärjestysasteikollisille muuttujillekäsitellään luvussa Testit järjestysasteikollisille muuttujille

• Jakaumaoletuksien testaamistakäsitellään luvussa

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

>> Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti

(2)

Avainsanat Bernoullijakauma Kahden otoksen testit Laatueroasteikko Odotusarvo Parametri Suhteellinen osuus Yhden otoksen testit

Laatueroasteikollisten muuttujien testit

Testit laatueroasteikollisille muuttujille 1/2

• Tarkastelemme seuraavia testejä laatueroasteikollisille muuttujille:

– Testi suhteelliselle osuudelle – Suhteellisten osuuksien vertailutesti

• Testejä saa käyttää myös järjestys-, välimatka- ja suhdeasteikollisille muuttujille.

• Mitta-asteikot: ks. lukua Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen.

Testit laatueroasteikollisille muuttujille 2/2

• Testit ovat parametrisia testejä, joissa testauksen kohteena on Bernoulli-jakauman odotusarvoparametri.

• Testi suhteelliselle osuudelleon yhden otoksen testi.

• Suhteellisten osuuksien vertailutestion kahden otoksen testi.

>> Testi suhteelliselle osuudelle Suhteellisten osuuksien vertailutesti

Avainsanat Asymptoottinen testi Bernoulli-jakauma Binomijakauma Laatueroasteikko Normaalijakauma Odotusarvo Parametri Suhteellinen osuus Testisuure Testisuureen jakauma Yhden otoksen testit

Testi suhteelliselle osuudelle

Testausasetelma 1/3

• Olkoon Aperusjoukon S tapahtumaja olkoot Pr(A) = p

Pr(A^c) = 1 −p= q

• Määritellään satunnaismuuttuja X:

• Tällöin X~ Bernoulli(p) ja 1, jos sattuu 0, jos ei satu X A

A

= 

 Pr( 1)

Pr( 0) 1

X p

X p q

= =

= = − =

(3)

• Oletetaan, että tapahtuma Aon muotoa A= ”Perusjoukon alkiolla on ominaisuus P”

• Tällöin p= Pr(A)

on todennäköisyys poimia perusjoukosta Ssatunnaisesti alkio, jolla on ominaisuus P.

• Jos perusjoukko Son äärellinen, niin todennäköisyys p kuvaa niiden perusjoukon Salkioiden suhteellista osuutta, joilla on ominaisuus P.

• Olkoon X1, X2, … , Xnyksinkertainen satunnaisotos perusjoukosta S, joka noudattaa Bernoulli-jakaumaa

Bernoulli(p)

• Asetetaan Bernoulli-jakaumanparametrille p nollahypoteesi

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussanollahypoteesin H0

kanssa?

• Ongelman ratkaisuna on testi suhteelliselle osuudelle.

0 0

H :p=p

Hypoteesit

• Yleinen hypoteesiH :

(1) Havainnot , jossa p= Pr(A), A⊂S

(2) Havainnot X1, X2, … , Xnovat riippumattomia

• NollahypoteesiH0:

• Vaihtoehtoinen hypoteesi H1:

~ Bernoulli( ) , 1, 2, ,

Xi p i= …n

0 0

H :p=p

1 0

H : 1-suuntaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H :

H : 2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

p p

> 

< 

≠

Parametrien estimointi

• Olkoon f tapahtuman A frekvenssisiinän-kertaisessa toistokokeessa, jota riippumattomien havaintojen poimiminen Bernoulli-jakaumasta merkitsee.

• Tällöin tapahtuman A suhteellinen frekvenssieli osuus on harhaton estimaattoriBernoulli-jakauman parametrille

E(Xi) = p, i= 1, 2, … , n

• Huomaa, että frekvenssi fnoudattaa binomijakaumaapara- metreinnjap:

ˆ /

p=f n

1

~ Bin( , )

n i i

f X n p

=

∑

Testisuure ja sen jakauma

• Määritellään testisuure

• Jos nollahypoteesi

pätee, niin testisuure znoudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa:

• Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos

0

0 0

ˆ (1 ) / z p p

p p n

= −

−

N(0,1) z∼a

0 0

H :p=p

ˆ 10 ja (1 ˆ) 10 np≥ n −p ≥

Testisuureen jakauma nollahypoteesin H₀pätiessä:

Perustelu

• Oletetaan, että testin yleinen hypoteesi H ja nollahypoteesi H0pätevät:

X1, X2, … , Xn⊥

• Tällöin (ks. lukuja Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet, Otos ja otosjakaumatja Väliestimointi):

jolloin

Bernoulli( ) ,0 1,2, ,

Xi∼ p i= …n

0 0

0 1

(1 )

ˆ 1ⁿ i aN ,

i

p p

p X f p

n= n n

−

 

=

∑

= ^∼  

0

0 0

ˆ N(0,1)

(1 ) / ^a

z p p

p p n

= −

− ∼

(4)

Testi suhteelliselle osuudelle:

Testisuure zmittaa tilastollista etäisyyttä

• Testisuure

mittaa parametrin pestimaatin ja nollahypoteesin kiinnittämän parametrin parvon p0tilastollista etäisyyttä.

• Mittayksikkönäon erotuksen standardipoikkeaman

estimaattori, joka on määrätty olettaen, että nollahypoteesi H₀pätee.

0

0 0

ˆ (1 ) / z p p

p p n

= −

−

ˆ 0

p p− (1 )

p p

n

−

0 0

H :p=p pˆ

Testi

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koska nollahypoteesinH0pätiessä E(z) = 0

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen zarvot viittaavat siihen, ettänollahypoteesiH0ei päde.

• NollahypoteesiH₀hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni.

• Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua

Testit suhdeasteikollisille muuttujille.

0

0 0

ˆ (1 ) / z p p

p p n

= −

−

Laatueroasteikollisten muuttujien testit Testi suhteelliselle osuudelle

>> Suhteellisten osuuksien vertailutesti

Avainsanat Asymptoottinen testi Bernoulli-jakauma Binomijakauma Kahden otoksen testit Laatueroasteikko Normaalijakauma Odotusarvo Parametri Suhteellinen osuus Testisuure Testisuureen jakauma Vertailutesti

Suhteellisten osuuksien vertailutesti

• Olkoon

yksinkertainen satunnaisotosperusjoukosta S1, joka noudattaa Bernoulli-jakaumaa

Bernoulli(p1)

• Olkoon

yksinkertainen satunnaisotosperusjoukosta S2, joka noudattaa Bernoulli-jakaumaa

Bernoulli(p2)

• Olkoot otokset lisäksi toisistaan riippumattomia.

11, 21, , _n11

X X … X

12, 22, , n22

X X … X

• Olkoon Aperusjoukon Sk, k= 1, 2 tapahtumaja olkoot Pr(A) = p_k

Pr(A^c) = 1 −pk= qk

• Määritellään satunnaismuuttujat X_k, k= 1, 2 :

• Tällöin Xk~ Bernoulli(pk) , k= 1, 2 ja 1, jos tapahtuu perusjoukossa 0, jos ei tapahdu perusjoukossa

k k

k

A S

X A S

= 



Pr( 1)

Pr( 0) 1

k k

k k k

X p

X p q

= =

= = − =

(5)

• Oletetaan, että tapahtuma Aon muotoa A= ”Perusjoukon alkiolla on ominaisuus P”

• Tällöin pk= Pr(A)

on todennäköisyys poimia perusjoukosta Sk, k= 1, 2 satunnaisesti alkio, jolla on ominaisuus P.

• Jos perusjoukko Sk, k= 1, 2 on äärellinen, niin todennäköisyys pkkuvaa niiden perusjoukon Skalkioiden suhteellista osuutta, joilla on ominaisuus P.

• Asetetaan Bernoulli-jakaumienparametreille p1ja p2

nollahypoteesi

• Testausongelma:

Ovatko havainnot sopusoinnussahypoteesin H0kanssa?

• Ongelman ratkaisuna on suhteellisten osuuksien vertailutesti.

0 1 2

H :p =p =p

Yleinen hypoteesi

• Yleinen hypoteesiH :

(1) Havainnot , jossa p1= Pr(A), A⊂S1

(2) Havainnot , jossa p₂= Pr(A), A⊂S₂

(3) Havainnot Xi1ja Xj2ovat riippumattomiakaikille ija j

• Huomautus:

Oletus (3) sisältää kolme riippumattomuusoletusta:

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 sisällä.

• Havainnot ovat riippumattomia otoksien 1 ja 2 välillä.

1 Bernoulli( ) ,1 1,2, , 1

Xi ∼ p i= …n

2 Bernoulli( ) ,2 1,2, , 2

Xj ∼ p j= …n

Nollahypoteesi ja vaihtoehtoiset hypoteesit

• NollahypoteesiH₀:

• Vaihtoehtoinen hypoteesi H1:

1 1 2

H : 1-suuntaiset vaihtoehtoiset hypoteesit H :

H : 2-suuntainen vaihtoehtoinen hypoteesi

p p

> 

< 

≠

0 1 2

H :p =p =p

Parametrien estimointi

• Olkoon fktapahtuman A frekvenssisiinänk-kertaisessa toistokokeessa, jota riippumattomien havaintojen poimiminen Bernoulli-jakaumastakmerkitsee, k= 1, 2.

• Tällöin tapahtuman A suhteellinen frekvenssieli osuus on harhaton estimaattoriBernoulli-jakauman parametrille

p_k= E(X_ik) , i= 1, 2, … , n_k, k= 1, 2

• Huomaa, että frekvenssi fknoudattaa binomijakaumaa parametrein n_kjap_k:

ˆk k/ k, 1, 2 p =f n k=

1

~ Bin( , ) , 1, 2

nk

k ik k k

i

f X n p k

=

∑

=

Yhdistetty otos

• Jos nollahypoteesi pätee, voidaan otokset yhdistääja parametrin p harhaton estimaattorion tapahtuman Asuhteellinen frekvenssi yhdistetyssä otoksessa:

• Jos nollahypoteesiH0pätee, niin

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

ˆ ˆ

ˆ n p n p f f

p n n n n

+ +

= =

+ +

1 2

(1 ) (1 )

ˆ ˆ

Var( )

1 1

(1 )

p p p p

p p

n n

p p

n n

− −

− = +

 

= −  + 

 

0 1 2

H :p =p =p

(6)

Testisuure ja sen jakauma

• Määritellään testisuure

• Jos nollahypoteesi

pätee, niin testisuure znoudattaa suurissa otoksissa approksimatiivisesti standardoitua normaalijakaumaa:

• Approksimaatio on tavallisesti riittävän hyvä, jos

1 2

ˆ ˆ

1 1

ˆ(1 ˆ)

p p

z

p p

n n

= −

 

−  + 

N(0,1) z∼a

1 1ˆ 5 , (11 ˆ1) 5 , 2ˆ2 5 , 2(1 ˆ2) 5 n p ≥ n −p ≥ n p ≥ n −p ≥

0 1 2

H :p=p =p

Perustelu 1/3

• Oletetaan, että testin yleinen hypoteesi H ja nollahypoteesi H0pätevät:

• Tällöin (ks. lukuja Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet, Otos ja otosjakaumatja Väliestimointi):

1 2

11 21 1 12 22 2

1 1

2 2

, , , , , , ,

Bernoulli( ) , 1,2, , Bernoulli( ) , 1,2, ,

n n

i j

X X X X X X

X p i n

X p j n

⊥

=

… …

∼ …

1

2 1

1 1

1 1 1 1

2

2 2

2 1 2 2

1 (1 )

ˆ N ,

1 (1 )

ˆ N ,

n

i a

i n

j a

j

f p p

p X p

n n n

f p p

p X p

n n n

=

 − 

= =  

 

 − 

= =  

 

∑

∼

Perustelu 2/3

• Koska , niin

• Koska todennäköisyys pon tuntematon, satunnaismuuttujan Ylauseke on epäoperationaalinen.

1 2

ˆ ˆ N(0,1)

1 1

(1 )

a

p p

Y

p p

n n

= −

 

−  + 

 

∼

1 2

ˆ ˆ

p⊥p

Perustelu 3/3

• Jos satunnaismuuttujan Ylausekkeessa todennäköisyys pkorvataan otossuureella

saadaan testisuure

joka nollahypoteesinH0pätiessä noudattaa suurissa otoksissa standardoitua normaalijakaumaaN(0, 1):

z∼_aN(0, 1)

• Todistus sivuutetaan.

1 1 2 2 1 2

1 2 1 2

ˆ ˆ

ˆ n p n p f f

p n n n n

+ +

= =

+ +

1 2

ˆ ˆ

1 1

ˆ(1 ˆ)

p p

z

p p

n n

= −

 

−  + 

Testisuure zmittaa tilastollista etäisyyttä

• Testisuure

mittaa mittaa tapahtuman Aotoksista 1 ja 2 määrättyjen suhteellisten frekvenssien tilastollista etäisyyttä.

• Mittayksikkönäon erotuksen standardipoikkeaman

estimaattori, joka on määrätty olettaen, että nollahypoteesi H0pätee.

1 2

ˆ ˆ

p−p

1 2

ˆ ˆ

1 1

ˆ(1 ˆ)

p p

z

p p

n n

= −

 

−  + 

1 2

1 1

(1 )

p p

n n

 

−  + 

Testi 1/2

• Testisuureen

normaaliarvo= 0, koska nollahypoteesinH0pätiessä E(z) = 0

• Siten itseisarvoltaan suurettestisuureen zarvot viittaavat siihen, ettänollahypoteesiH₀ei päde.

• NollahypoteesiH0hylätään, jos testin p-arvo on kyllin pieni.

1 2

ˆ ˆ

1 1

ˆ(1 ˆ)

p p

z

p p

n n

= −

 

−  + 

(7)

Testi 2/2

• Hylkäysalueen valinta ja p-arvon määrääminen: ks. lukua

Testit suhdeasteikollisille muuttujille.