Moniulotteinen analyysi 800322A Välikoe 1/2 29.10.2012 Kuulustelija: Pekka Salmi
1. Olkoon
α(t)= (t2,t3) −1≤ t≤1.
(a) Laske polunαtangenttivektori pisteessät.
(b) Laske polunαpituus.
2. Ovatko seuraavat väittämät totta vai eivät? Tehtävän arvostelu: oikea vas- taus +1, väärä vastaus −12, tyhjä vastaus ±0 (tehtävän kokonaispistemäärä ei voi olla negatiivinen).
(a) Jos funktiolla f: Rn→ Ron olemassa osittaisderivaatat jokaisen muut- tujan suhteen jokaisessaRn:n pisteessä, niin f on differentioituva.
(b) Jos funktio f:Rn →Ron jatkuva ja sillä on olemassa osittaisderivaa- tat jokaisen muuttujan suhteen, niin f on differentioituva.
(c) Funktio f: Rn → R on jatkuva, jos sen toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja ovat yhtäsuuret.
(d) Jos jokin funktion f: Rn → Rosittaisderivaatta ei ole jatkuva, niin f ei ole differentioituva.
(e) Funktion f: Rn → Rm k:nnen koordinaattifunktion fk: Rn → Rgra- dientin voi lukea f:n Jacobin matriisink:nnelta vaakariviltä.
(f) Jos funktio f: Rn→ Ron differentioituva, niin f on jatkuva.
3. Olkoon
f(x,y)=(x3+y3,yexy,x−y), (x,y)∈R2. (a) Onko f differentioituva? Perustele.
(b) Määrää funktion f derivaattaLpisteessä (0,1).
(c) LaskeL(1,2).
4. Tutkitaan funktiota
f(x,y)=
xy px2+y2
jos (x,y),(0,0)
0 jos (x,y)=(0,0) (a) Laske funktion f osittaisderivaatat pisteessä (0,0).
(b) Tutki onko funktio f differentioituva pisteessä (0,0).
