Osoita, ett¨a luonnollisten lukujen yhteenlasku on liit¨ann¨ainen, eli todista kaava (a+b) +c=a+ (b+c)

Matematiikan johdantokurssi 11/2004

1. Tarkastellaan funktiotaf :R→R,f(x) =x²−9. M¨a¨arit¨a joukkojen{−3,0,1,5}

ja [−2,1 ] kuvajoukot sek¨a joukkojen{−100,−5,0,16}ja [−2,1 ] alkukuvajoukot.

2. Todista kaavat

a)f(A₁∩A₂)⊂f(A₁)∩f(A₂), b) f⁻¹(B₁∪B₂) =f⁻¹(B₁)∪f⁻¹(B₂).

3. Olkoon f : A → B kuvaus ja A₁ ⊂ A, A₂ ⊂ A sek¨a B₁ ⊂ B. Anna esimerkki tapauksesta, jossa

a)f on surjektio jaf(A₁\A₂)6=f(A₁)\f(A₂), b)f on surjektio jaA₁ 6=f⁻¹(f(A₁)),

c)f on injektio ja B₁ 6=f(f⁻¹(B₁)).

4. Laske Peanon aksioomien ja laskutoimitusten m¨a¨aritelmien avulla a) 3 + 2, b) 3·2.

5. Osoita, ett¨a luonnollisten lukujen yhteenlasku on liit¨ann¨ainen, eli todista kaava (a+b) +c=a+ (b+c).

Vihje: Sovella induktioaksioomaa c:n suhteen.

6. Oletetaan luonnollisten lukujen yhteenlaskun ominaisuudet tunnetuiksi. Todista, ett¨a kokonaisluvut m¨a¨arittelev¨a relaatio R on ekvivalenssirelaatio.

7. Oletetaan kokonaislukujen kertolaskun ominaisuudet tunnetuiksi. Todista, ett¨a rationaaliluvut m¨a¨arittelev¨a relaatio R on ekvivalenssirelaatio.

8. a) Oletetaan luonnollisten lukujen laskutoimitusten ominaisuudet tunnetuiksi.

Todista, ett¨a kokonaislukujen yhteenlasku on liit¨ann¨ainen, eli todista kaava ([a, b]⊕[c, d])⊕[e, f] = [a, b]⊕([c, d]⊕[e, f]).

b) Oletetaan kokonaislukujen laskutoimitusten ominaisuudet tunnetuiksi. Todista, ett¨a rationaalilukujen yhteenlasku on liit¨ann¨ainen, eli todista kaava

([a, b][c, d])[e, f] = [a, b]([c, d][e, f]).