Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista

Luonnollisten lukujen suurista osajoukoista

Pro gradu -tutkielma Minna Turunen 234482

Itä-Suomen yliopisto

Fysiikan ja matematiikan laitos Kevät 2016

Sisältö

Johdanto 3

1 Luonnollinen tiheys 7

1.1 Esimerkki leikkauksen luonnollisesta tiheydestä . . . 8

2 Filtterit ja ultraltterit 12 2.1 Filtterit . . . 12

2.2 Ultraltterit . . . 14

2.3 Raja-arvo ltterin suhteen . . . 18

3 Luonnollinen tiheys ltterin suhteen 21 3.1 Vastaus I : Ei välttämättä maksimaalinen . . . 21

3.2 Vastaus II : Projektiivisesti maksimaalinen . . . 25

4 Transniittinen ltteriketju 32 4.1 Ordinaalit . . . 32

4.1.1 Luonnolliset luvut . . . 32

4.1.2 Ordinaalin määritelmä . . . 33

4.2 Aputuloksia . . . 34

4.3 Filtteriketju . . . 35

4.3.1 Filtteriketjun rekursio . . . 37

Viitteet 44

Johdanto

Luonnollinen tiheys on yksi monista tavoista kuvata luonnollisten lukujen osajoukon kokoa. JoukonA⊂Nluonnollinen tiheys määritellään raja-arvona

d(A) := lim

n→∞

A(n) n ,

missä A(n) ilmaisee lukua n pienempiä olevien joukon A alkioiden luku- määrän. Luonnollisesta tiheydestä hieman heikompi versio on Schnirelmann- tiheys, joka määritellään vastaavana suurimpana alarajana, inf_n∈N^A(n)_n [12].

Luonnollisten lukujen osajoukolla voi siis olla hyvin määritelty Schnirelmann- tiheys, vaikka sillä ei välttämättä olisi olemassa luonnollista tiheyttä.

Luonnollisella tiheydellä on eräitä todennäköisyysmitan ominaisuuksia. Eri- tyisesti numeroituvan additiivisuuden puuttuessa sen ominaisuuksista, se ei kuitenkaan ole mitta. Esimerkiksi Buck [2] sekä Freedman ja Sember [7] ovat tutkimuksissaan käsitelleet luonnollisen tiheyden äärellistä additiivisuutta.

Niven [13] puolestaan on koonnut tunnettuja tuloksia luonnolliselle tiheydel- le ja lisäksi käsitellyt tutkimuksessaan luonnollisen tiheyden nolla omaavia erilaisia lukuteorian kannalta mielenkiintoisia joukkoja.

Eräs luonnolliseen tiheyteen liitettävä tulos on Szemerédin lause. Väittä- män esittivät Erdös ja Turán vuonna 1936, mutta sen yleisen muodon to- disti Szemerédi vuonna 1975. Szemerédin lause sanoo, että luonnollisten lu- kujen osajoukko A ⊂ N, jolla on positiivinen luonnollinen tiheys, sisältää mielivaltaisen pituisen aritmeettisen regression, toisin sanoen tällöin pätee a, a +r, a+ 2r, . . . , a+ (k−1)r ⊂ A, missä luvut a ja r ovat luonnollisia lukuja ja luku k ≥1 ilmaisee kyseisen regression pituuden. [5, 15]

Luonnollisen tiheyden avulla voidaan määritellä esimerkiksi tilastollinen sup- peneminen. Jonon (x_n) ⊂ X sanotaan suppenevan tilastollisesti kohti raja- arvoa x∈ X, jos jokaista pisteen x avointa ympäristöä U vastaavan joukon {n ∈ N : x_n ∈/ U} luonnollinen tiheys on nolla, tai ekvivalentisti joukon {n ∈ N : x_n ∈ U} luonnollinen tiheys on yksi. Tilastollisen suppenemisen käsitteen esitti Fast vuonna 1949. [6]

Tilastollinen suppeneminen eroaa tavallisesta suppenemisesta siinä mielessä, että jopa äärettömän moni lukujonon (x_n) termi voi olla avoimen ympäris- tön ulkopuolella. Koska äärellisen joukon luonnollinen tiheys on nolla, niin tavallisesti suppeneva lukujono on myös tilastollisesti suppeneva, mutta ei

välttämättä päinvastoin.

Filtteri on joukkokokoelma, joka sisältää koko perusjoukon, mutta ei tyhjää joukkoa; on ylöspäin suljettu; sekä on suljettu äärellisten leikkausten suh- teen. Filtterin voi ajatella olevan joukkokokoelma, johon kuuluvat joukot ovat tarpeeksi suuria toteuttamaan haluttuja ominaisuuksia. Tietyssä mie- lessä ltteri siis pystyy toteamaan kustakin joukosta, onko se suuri joukko vai ei. Filtterin käsitteen esitti Cartan vuonna 1939 ja tämän jälkeen lttereitä on hyödynnetty niin analyysissa, topologiassa, lukuteoriassa kuin logiikassa- kin. [3, 4]

Lukujonon (x_n)⊂X sanotaan suppenevan ltterin suhteen kohti raja-arvoa x ∈ X, jos jokaista pisteen x avointa ympäristöä U vastaava joukko {n ∈ N : x_n ∈ U} kuuluu kyseiseen ltteriin. Kuten tilastollisen suppenemisen tapauksessa, tavallisesti suppeneva lukujono suppenee myös vapaan ltterin suhteen, mutta ltterin suhteen suppenemisesta ei automaattisesti seuraa ta- vallinen suppeneminen. Edellä mainittu tilastollinen suppeneminen voidaan tulkita suppenemisena sellaisen ltterin suhteen, joka koostuu joukoista, joi- den luonnollinen tiheys on yksi.

Joukkokokoelman I sanotaan olevan ideaali, jos se sisältää tyhjän joukon;

kahden kokoelman joukon yhdiste kuuluu myös joukkokokoelmaan; ja ko- koelmaan kuuluvan joukon osajoukko kuuluu myös joukkokokoelmaan. Ide- aali luonnollisten lukujen yli voidaan ajatella ltterin duaalina: siinä missä ltterin joukot voidaan identioida suuriksi joukoiksi, ideaalin joukot voi- daan ymmärtää pieninä joukkoina.

Lukujonon (x_n)⊂X sanotaan suppenevan ideaalin suhteen kohti raja-arvoa x∈X, jos jokaista pisteen xavointa ympäristöäU vastaava joukko{n ∈N: x_n ∈/ U} kuuluu kyseiseen ideaaliin. Ideaalisuppenemista tutkivat Kostyrko, Salát ja Wilczy«ski vuonna 2000 yleistyksenä tilastollisesta suppenemisesta.

Tilastollinen suppeneminen siis vastaa suppenemista sellaisen ideaalin suh- teen, joka koostuu joukoista, joiden luonnollinen tiheys on nolla. [10]

Suppeneminen ltterin suhteen ja suppeneminen ideaalin suhteen ovat ekvi- valentteja toistensa kanssa. Kuten tilastollinen suppeneminen, myös tavalli- nen supeneminen voidaan ajatella ltteri- tai ideaalisuppenemisena. Tavalli- nen suppeneminen voidaan tulkita ideaalin suhteen suppenemisena, jos kysei- sen ideaalin muodostavat luonnollisten lukujen äärelliset osajoukot. Vastaa- vasti tavallinen suppeneminen voidaan tulkita ltterisuppenemisena, kun lt- terin muodostavat sellaiset joukot, joiden komplementit ovat äärellisiä (täl-

lainen ltteri tunnetaan nimellä koniittinen tai Fréchet-ltteri).

Tässä pro gradu -tutkielmassa yhdistetään käsitteet luonnollinen tiheys ja raja-arvo ltterin suhteen. Luvussa 1 määritellään luonnollinen tiheys täs- mällisemmin ja esitetään muutamia luonnollisen tiheyden ominaisuuksia. Lu- vussa 2 määritellään ltteri ja ultraltteri, esitellään erilaisia lttereitä ja niiden ominaisuuksia, määritellään täsmällisemmin lukujonon suppeneminen ltterin suhteen ja lisäksi osoitetaan, että kaikilla lukujonoilla on olemassa yksikäsitteinen raja-arvo ultraltterin suhteen.

Luvussa 3 tarkastellaan luonnollisten lukujen osajoukkojen luonnollista ti- heyttä, kun raja-arvo ajatellaankin ltterin suhteen otettuna. Jos ltteri on maksimaalinen, niin tiedetään, että kaikilla luonnollisten lukujen osajoukoilla on olemassa luonnollinen tiheys raja-arvona tämän ltterin suhteen. Luon- nollisesti herää kysymys, päteekö implikaatio toiseen suuntaan, eli seuraako siitä, että kaikilla luonnollisten lukujen osajoukoilla on olemassa luonnolli- nen tiheys jonkin ltterin suhteen, se että kyseinen ltteri on maksimaalinen.

Luvussa 3 vastataan tähän kysymykseen.

Luvussa 4 konstruoidaan transniittisella rekursiolla ltteriketju aloittaen Fréchet-ltteristä, tai tätä hienommasta vapaasta ltteristä, ja päätyen mel- ko hienoon, mutta ei kuitenkaan maksimaaliseen ltteriin. Rekursiossa uusi ltteri muodostetaan sellaisen ltterin avulla, joka koostuu täsmälleen niistä joukoista, joiden luonnollinen tiheys on yksi aiemman ltterin suhten. Lopul- ta ketjun hienoin ltteri tulee koostumaan täsmälleen niistä joukoista, joiden luonnollinen tiheys on yksi ltterin itsensä suhteen.

Läpi tutkielman käytetään seuraavia merkintöjä ja oletetaan näiden pitävän, ellei toisin mainita. Olkoon X on Hausdor-avaruus. Joukkokokoelmalla F tarkoitetaan vapaata ltteriä joukonNyli ja joukkokokoelmallaU tarkoite- taan vapaata ultraltteriä joukonNyli. Isoilla kirjaimilla yleisesti merkitään joukkoja ja näiden osajoukkoja, pienillä kirjaimilla merkitään lukuja ja pie- nillä kreikkalaisilla kirjaimilla merkitään ordinaaleja. Luvun 3 merkinnällä M₁ < M₂ < . . . tarkoitetaan luonnollisten lukujen osajoukoista koostuvaa jonoa: siis kaikilla i∈N pätee M_i ⊂Nja maxM_i <minM_i+1.

Kerrataan vielä tutkielmassa tarvittava muutama joukko-opillinen käsite. Re- laatio ≤⊂ X ×X on osittainjärjestys, jos se on reeksiivinen, eli kaikille x∈X pätee x≤x; antisymmetrinen, eli kaikille x, y ∈X, joille on voimassa x ≤ y ja y ≤ x, pätee x = y; ja transitiivinen, eli kaikille x, y, z ∈ X, joille on voimassa x ≤ y ja y ≤ z, pätee x ≤ z. Relaatio ≤⊂ X ×X on line-

aarijärjestys, jos reeksiivisyyden, antisymmetrisyyden ja transitiivisuuden lisäksi se on vielä vertailtava, eli kaikille x, y ∈X on voimassa jokox≤y tai y ≤x. Relaatio ≤⊂X×X on hyvinjärjestys, jos se on lineaarijärjestys ja lisäksi jokaisella joukon X epätyhjällä osajoukolla on olemassa pienin alkio relaation suhteen.

1 Luonnollinen tiheys

Luonnollinen tiheys on eräs tapa mitata luonnollisten lukujen osajoukon ko- koa. Englanninkielisessä kirjallisuudessa luonnollisesta tiheydestä puhuttaes- sa käytetään termiä natural density tai vaihtoehtoisesti asymptotic density.

Määritelmä 1.1. OlkoonA ={a₁, a₂, . . .} ⊂Nosajoukko positiivisia koko- naislukuja. Ajattelemme indeksoinnin jatkossa kasvavasti, ts. a₁ < a₂ < . . . . Joukon A lower density d_L(A)ja upper density d_U(A) määritellään

d_L(A) = lim inf

n→∞

A(n) n , d_U(A) = lim sup

n→∞

A(n) n ,

missä A(n) = |A∩ {1, . . . , n}|, eli A(n) kertoo lukujonon A niiden jäsenten lukumäärän, joille pätee aj ≤n.

Sanotaan, että joukolla A on luonnollinen tiheys d(A), jos d_L(A) = d_U(A), jolloin merkitään

d(A) = lim

n→∞

A(n) n .

Jos joukon A luonnollinen tiheys on hyvin määritelty, niin tällöin pätee0≤ d(A)≤1. [12, s. 256-257] [16, s. 415]

Kirjallisuudessa käytetään toisinaan luonnollisen tiheyden määritelmänä pelk- kää lower density-käsitettä, jolloin upper density määriteltäisiin d_U(A) = 1−d_L(A)(esimerkiksi [7, s. 294]). Tässä pro gradu -työssä käytämme luon- nolliselle tiheydelle määritelmää 1.1.

Esimerkki 1.2. Esimerkkejä joukkojen luonnollisista tiheyksistä:

(a) d(N) = 1.

(b) d(2N) = ¹₂. Itse asiassa kaikille joukoille A, jotka ovat muotoa A = {an+b:n∈N}, a ∈ N, luonnollinen tiheys on hyvin määritelty ja d(A) = ¹_a.

Jos ajatellaan luonnollista tiheyttä d kuvauksena d : P(N) ⊃ D → [0,1], on sillä monia todennäköisyysmitan ominaisuuksia, vaikkei se kuitenkaan ole mitta. Mitan ominaisuuksista luonnolliselle tiheydelle d pätee esimerkiksi:

• d(N) = 1 (vrt. perusjoukon mitta on 1);

• jos osajoukkoA on äärellinen, niind(A) = 0(vrt. äärellinen osajoukko on nollamittainen Lebesguen mitalla);

• jos joukolla A on olemassa hyvin määritelty luonnollinen tiheys d(A), niin myös joukon komplementilla on olemassa luonnollinen tiheys, jolle pätee d(A^c) = 1−d(A);

• jos d(A) ja d(B) ovat hyvin määriteltyjä ja A ⊂ B, niin d(A)≤ d(B) (vrt. mitan monotonisuus);

• josA∩B =∅, niind(A∪B)on hyvin määritelty jad(A∪B) = d(A) + d(B) (vrt. mitan additiivisuus). (Huom. Kuitenkin josA∩B ̸=∅, niin luonnollisia tiheyksiäd(A∩B)jad(A∪B)ei välttämättä ole olemassa.

Tätä tarkastellaankin tarkemmin myöhemmässä esimerkissä);

• σ-additiivisuus ei päde, eli on voimassa0 =∑

d({n})̸=d(∪

n∈N{n}) = 1. [2, s. 335-336] (Mitan ominaisuudet [14, s. 253-254].)

1.1 Esimerkki leikkauksen luonnollisesta tiheydestä

Seuraavaksi esitettävän esimerkin tarkoituksena on näyttää, että kahden luon- nollisen tiheyden omaavan luonnollisten lukujen osajoukon leikkauksella ei välttämättä ole olemassa hyvin määriteltyä luonnollista tiheyttä.

Esimerkki 1.3. Halutaan konstruoida sellaiset joukot A, B ⊂ N, joilla on hyvin määritellyt luonnolliset tiheydet d(A) ja d(B), mutta joiden leikkauk- sen luonnollista tiheyttä d(A∩B) ei ole määritelty.

Muodostetaan joukot A ja B siten, että d(A) =d(B) = ¹₂.

Valitaan joukoksi A= 2N, eli parilliset luonnolliset luvut. Selvästikin tällöin d(A) = ¹₂.

Joukko B konstruoidaan rekursiivisesti valitsemalla siihen vuoroin parillisia, vuoroin parittomia luonnollisia lukuja siten, että joukon luonnollisena tihey- tenä kuitenkin säilyy d(B) = ¹₂.

Halutaan siis, että joukolla A∩B ei ole hyvin määriteltyä luonnollista ti- heyttä. Tämä tarkoittaa, että raja-arvoa

d(A∩B) = lim

n→∞⟨A∩B⟩_n,

missä ⟨A∩B⟩_n = ^|(A∩B)∩{_n^1,...,n}|, ei ole olemassa. Toisin sanoen ⟨A∩B⟩_n ei suppene kohti mitään raja-arvoa n:n lähestyessä ääretöntä, vaan hajaantuu.

Joukko B voidaan konstruoida siten, että rajoitetaan tämä heilahtelu välille 1

4 .⟨A∩B⟩_n. 2

5. (1.1)

Joukon B konstruoinnin idea: Aloitetaan konstruktio valitsemalla joukkoon B parillisia luonnollisia lukuja järjestyksessä, aloittaen luvusta2. Tällöin jou- koissa A ja B olevien yhteisten alkioiden lukumäärä kasvaa ja luonnollisesti termi⟨A∩B⟩_nkasvaa. Valitaan siis joukkoonBparillisia lukujab₁ < b₂ < . . . niin monta, kunnes ⟨A∩B⟩_n ≥ ²₅, eli kunnes saavutetaan arvion (1.1) ylä- raja. Tämä toteutuu jo indeksillä b₁ =n = 2.

Tämän jälkeen vaihdetaan valittavaksi joukkoon B parittomia lukuja. Täl- löin joukkoon B valitaan alkiota, joita ei ole joukossa A. Leikkauksen A∩B alkioiden lukumäärä pysyy samana, jotenn:n kasvaessa termi⟨A∩B⟩_nluon- nollisesti pienenee. Valitaan siis joukkoon B parittomia lukuja b₂ < . . . < b_i kunnes ⟨A∩B⟩_n≤ ¹₄, missä n=b_i, eli kunnes saavutetaan arvion (1.1) ala- raja.

Seuraavaksi valitaan joukkoonBtaas järjestyksessä seuraavia parillisia luku- ja b_i+1 < b_i+2 < . . . < b_j, kunnes saavutetaan arvion (1.1) yläraja indeksillä n = b_j, jonka jälkeen valitaan jälleen joukkoon B parittomia lukuja. Kons- truktiota jatketaan samalla periaatteella.

Huom. Arvion (1.1) ala- ja ylärajat eivät ole ideaalit rajat termin ⟨A∩B⟩_n heilahtelulle, mutta tarpeeksi riittävät ristiriidan aikaansaamiseksi esimerkis- sämme raja-arvon olemassaoloa silmällä pitäen.

Joukon B konstruointi tarkemmin: Konstruoidaan rekursiivisesti kuvaus θ : N→ {0,1}, missä

θ(n) =

{1,jos n ∈B;

0,jos n /∈B.

Funktio θ kertoo siis jokaisen luonnolisen luvun n kohdalla, kuuluuko ky- seinen luku n joukkoon B vai ei. Koska joukon B konstruointi aloitettiin parillisista luvuista, asetetaan siis θ(1) = 0 ja θ(2) = 1.

Määritellään lisäksi apufunktio d^∗ :N→[0,1] siten, että d^∗(n) =⟨A∩B⟩_n = |(A∩B)∩ {1, . . . , n}|

n .

Tällöin esimerkiksi

d^∗(1) = |(A∩B)∩ {1}|

1 = | ∅ | 1 = 0, d^∗(2) = |(A∩B)∩ {1,2}|

2 = |{2}|

2 = 1 2. Nyt kaikilla n≥3 kuvaus θ määritellään seuraavasti:

• Kun n on pariton, eli n= 2k+ 1,k = 1,2, . . . , niin

θ(2k+ 1) =





0, jos d^∗(2k−2)≤ ¹₄; θ(2k−1), jos d^∗(2k−2)∈]¹₄,²₅[;

1, jos d^∗(2k−2)≥ ²₅.

• Kun n on parillinen, elin = 2k, k= 2,3, . . . , niin

θ(2k) =





1, josd^∗(2k−2)≤ ¹₄; θ(2k−2), josd^∗(2k−2)∈]¹₄,²₅[;

0, josd^∗(2k−2)≥ ²₅.

Toisin sanoen se, valitaanko joukkoonBparillisia vai parittomia lukuja, vaih- tuu, kun d^∗ poistuu väliltä ]¹₄,²₅[.

Tällöin esimerkiksi:

n θ(n) d^∗(n)

1 0 0

2 1 ¹₂ ∈/]¹₄,²₅[ 3 1 ¹₃ ∈]¹₄,²₅[ 4 0 ¹₄ ∈/]¹₄,²₅[ 5 0 ¹₅ ∈/]¹₄,²₅[ 6 1 ²₆ ∈]¹₄,²₅[ 7 0 ²₇ ∈]¹₄,²₅[ 8 1 ³₈ ∈]¹₄,²₅[ 9 0 ³₉ ∈]¹₄,²₅[ 10 1 ₁₀⁴ ∈/]¹₄,²₅[ 11 1 ₁₁⁴ ∈]¹₄,²₅[

... ... ...

Joukko B koostuu siis niistä luvuista n, joille pätee θ(n) = 1. Nyt siis B ={2,3,6,8,10,11, . . .}.

Joukon B luonnollisena tiheytenä haluttiin säilyttää d(B) = ¹₂. Tämä pätee, koska: Tiedetään, että d(A) = d(2N) = ¹₂. Joukko B on konstruoitu siten, että se sisältää vuoroin parillisia ja vuoroin parittomia lukuja. Jos joukon B parittomat luvut siirretään yhden askeleen luokusuoralla oikealle, joukon B alkiot vastaavat täsmälleen joukon A alkioita. Siis d(B) =d(A) = ¹₂. Esimerkin tavoitteena oli etsiä sellaiset joukot A, B ⊂ N siten, että d(A) = d(B) = ¹₂, mutta siten, että raja-arvoa

d(A∩B) = lim

n→∞⟨A∩B⟩_n (1.2)

ei ole olemassa. Raja-arvo (1.2) vastaa edellä määritellyn funktion d^∗ raja- arvoa, kun n → ∞. Toisaalta luvut d^∗(n) muodostavat lukujonon (d^∗_n)_n∈N, missä d^∗_n=d^∗(n). Nyt funktiond^∗ raja-arvo, kun n → ∞, on sama kuin lu- kujonon (d^∗_n) raja-arvo, kun n→ ∞.

Tiettävästi lukujonolla (a_n) on olemassa raja-arvo jos ja vain jos lim inf

n→∞ a_n = lim sup

n→∞ a_n.

Lukujonon (d^∗_n)tapauksessa (konstruktion perusteella) selvästikin lim inf

n→∞ d^∗_n≤ 1

4 ja lim sup

n→∞ d^∗_n≥ 4 10. Siis

lim inf

n→∞ d^∗_n ̸= lim sup

n→∞ d^∗_n,

joten lukujonolla (d^∗_n) ei ole raja-arvoa. Näin ollen ei myöskään ole olemassa raja-arvoja

nlim→∞d^∗(n) = lim

n→∞⟨A∩B⟩_n=d(A∩B).

Siis joukkojen A ja B leikkauksen luonnollista tiheyttä ei ole määritelty.

2 Filtterit ja ultraltterit

2.1 Filtterit

Määritelmä 2.1. Filtteri F luonnollisten lukujenNyli on kokoelma joukon N osajoukkoja, eliF ⊂P(N), joka toteuttaa seuraavat ominaisuudet

(i) ∅∈/ F ja N∈F;

(ii) josA∈F ja A⊂B, niin B ∈F;

(iii) F on suljettu äärellisten leikkausten suhteen, eli jos A, B ∈ F, niin A∩B ∈F.

[1, s. 57]

Tässä pro gradu -tutkielmassa käsitellään lttereitä vain luonnollisten luku- jen yli, joten määritelmäkin on luonnollisesti esitetty tässä muodossa. Myös myöhemmät määritelmät ja tulokset esitetään myös vain koskien lttereitä luonnollisten lukujen yli. Määritelmässä 2.1 luonnollisten lukujen joukon N voi korvata myös jollain mielivaltaisella joukolla X, jolloin saataisiin määri- teltyä ltteri joukon X yli.

Intuitiivisesti ajateltuna ltteri on joukkokokoelma, joka sisältää tarpeek- si suuria joukkoja, jotka toteuttavat haluttuja ominaisuuksia. Selvästikin määritelmän 2.1 ominaisuudet (i) ja (ii) sopivat tähän ajatusmalliin: tyhjä joukko ei ole tarpeeksi suuri ja tarpeeksi suuren joukon sisältävän joukon on myös oltava tarpeeksi suuri. Sen sijaan aivan yhtä selvää ei ole nähdä, onko kahden (tai äärellisen monen) tarpeksi suuren joukon leikkaus välttä- mättä tarpeeksi suuri.

Toinen tapa ajatella lttereitä on ajatella niitä joukkokokoelmina, joiden jou- kot sisältävät tarpeeksi alkioita, jotta tietyt ominaisuudet toteutuvat. Edel- leen tämä ajatusmalli soveltuu hyvin määritelmän 2.1 ominaisuuksiin (i) ja (ii). Lisäksi, jos kaksi joukkoa sisältää tarpeeksi alkioita, jotka toteuttavat haluttuja ominaisuuksia, myös näiden joukkojen leikkauksen on sisällettävä tarpeeksi alkoita. Tästä keskustellaan lisää todennäköisyysanalogiassa alla.

Filtterin ominaisuuksia voi verrata myös todennäköisyysmitan, P : Ω → [0,1], ominaisuuksiin, kun rajoitutaan tarkastelemaan vain tapauksia, jois- sa P(A) = 1: Perusjoukon todennäköisyys on yksi, kun taas tyhjän joukon todennäköisyys ei ole sitä; jos tapahtuman A todennäköisyys on yksi, niin myös tapahtumanB, jolle päteeA⊂B, todennäköisyys on yksi; sekä kahden

tapahtuman, joiden todennäköisyydet ovat yksi, leikkauksen todennäköisyys on myös yksi.

Luonnollisten lukujen joukon N yli on olemassa triviaali ltteri: pelkästään joukon itsensä sisältävä joukkokokoelma{N}. Ei-triviaalia ltteriä kutsutaan aidoksi ltteriksi.

Filtterit voidaan järjestää relaatiolla ⊂. Olkoot F ja F^′ lttereitä luon- nollisten lukujen yli. Sanotaan, että F^′ on hienompi kuin F (taiF on kar- keampi kuin F^′), jos F ⊂ F^′. Lisäksi, jos F ̸= F^′, sanotaan, että F^′ on aidosti hienompi kuin F (tai F on aidosti karkeampi kuin F^′).

Määritelmä 2.2. Fréchet-ltteri joukon N yli on ltteri, joka koostuu täs- mälleen niistä luonnollisten lukujen osajoukoista, joiden komplementit ovat äärellisiä. Toisin sanoen Fréchet-ltteri on muotoa

F ={A⊂N:N\A on äärellinen}.

Fréchet-ltteri tunnetaan myös määritelmänsä perusteella nimellä koniitti- nen ltteri. [1, s. 57]

Määritelmä 2.3. FiltteriF joukonNyli on vapaa, jos leikkaus∩

F∈FF on tyhjä joukko.

Prinsipaalinen ltteri on muotoa F = {F ⊂ N : A ⊂ F}, missä A ⊂ N.

Selvästikään prinsipaalinen ltteri ei ole vapaa, koska kaikki ltterin joukot sisältävät saman osajoukon, joten niiden leikkaus ei voi olla tyhjä joukko.

Jatkossa rajoitutaan tarkastelemaan vapaita lttereitä. Vapaan ltterin ja Fréchet-ltterin välillä on seuraava yhteys:

Lemma 2.4. FiltteriF on vapaa jos ja vain jos se sisältää Fréchet-ltterin.

Todistus. (⇒). Oletetaan, että F on vapaa ltteri joukon N yli. Määritel- män 2.3 mukaan tällöin siis pätee∩

F∈F F =∅, eli kaikillan ∈Non olemassa sellainen F_n ∈ F, jolle pätee n /∈ F_n. Olkoon FF Fréchet-ltteri ja olkoon A ∈ FF. Nyt joukko N\A on äärellinen. Koska F on suljettu äärellisten leikkausten suhteen, niin joukolle F :=∩

n∈N\AF_n pätee F ∈F. Joukon F määritelmän perusteella päteeF∩(N\A) =∅, eli on oltavaF ⊂A. Filtterin määritelmän nojalla siis pätee myös A∈ F. Siis FF ⊂ F, eli vapaa ltteri sisältää Fréchet-ltterin.

(⇐). Oletetaan, että FF ⊂ F, missä FF on Fréchet-ltteri, ja osoitetaan, että tällöin F on vapaa ltteri. Fréchet-ltteri joukon N yli on vapaa (Pe- rustelu: Jos Fréchet ltteri FF ei olisi vapaa, olisi olemassa sellainenn ∈N, jolle pätee n∈∩

A∈FF A. Koska {n} on äärellinen, niin päteeN\ {n} ∈FF. Olkoon A ∈FF. Nyt n ∈A, mutta n /∈ A\ {n} ∈ FF, mikä on ristiriita.).

Tällöin siis pätee ∩

A∈F

A⊂ ∩

A∈FF

A=∅.

Eli ltteri F on vapaa.

Olkoon {Fn}_n∈N jono lttereitä. On helppo osoittaa, että tällöin näiden lt- tereiden leikkaukset ja yhdisteet

∩

n∈N

Fn ja ∪

n∈N

Fn

ovat myös lttereitä. Kun käytetään osittainjärjestysrelaatiota ⊂, ltteri

∩

n∈NFn on joukkokokoelman {Fn}_n∈N suurin alaraja ja vastaavasti ltteri

∪

n∈NFn on joukkokokoelman pienin yläraja.

Määritelmä 2.5. Olkoon B ⊆P(N). B on ltterikanta, jos (i) B ̸=∅ ja ∅∈/ B;

(ii) kahdenB:n joukon leikkaus sisältää jonkin B:n joukon.

Sanotaan, ettäBon ltterinF kanta, josB ⊂F ja jokainen joukkoF ∈F sisältää jonkin joukon B ∈ B. Toisin sanoen ltterikannan B generoima ltteri F on muotoa F ={F ⊂N:B ⊆F jollekinB ∈B}. [1, s. 59]

2.2 Ultraltterit

Määritelmä 2.6. Filtteri U on ultraltteri (eli maksimaalinen ltteri), jos ei ole olemassa aidosti hienompaa ltteriä U^′. [1, s. 60]

Osoitetaan seuraavaksi niin kutsuttu ultraltterilemma, jonka mukaan jo- kainen ltteri on laajennettavissa ultraltteriksi. Tätä varten esitetään apu- tuloksena ensin Hausdorn maksimaaliperiaate, joka puolestaan seuraa valinta- aksioomasta (todistus sivuutetaan).

Hausdorn maksimaaliperiaate. Jokainen osittainjärjestetty jouk- ko(X,≼)sisältää maksimaalisen ketjun(Y,≼)⊂(X,≼)(Huom.

Merkintä (Y,≼) ⊂ (X,≼) tarkoittaa, että on voimassa Y ⊂ X ja, että relaatio ≼ on rajoittunut joukkoon Y). Toisin sanoen joukko (Y,≼)toteuttaa seuraavat ominaisuudet:

(i) (Y,≼)on ketju, eli lineaarijärjestetty joukko;

(ii) (Y,≼)on maksimaalinen, eli jos

(Y,≼)⊂(Y^′,≼)⊂(X,≼),

missä (Y^′,≼) on lineaarijärjestys, niin Y = Y^′ (eli ei ole olemassa isompaa ketjua X:ssä kuin Y).

[9, s. 32]

Lemma 2.7. (Ultraltterilemma). Jokainen ltteri on laajennettavissa ultraltteriksi. Toisin sanoen jokaiselle ltterille F on olemassa ultraltteri U siten, että F ⊆U.

Todistus. Ajatellaan joukkoa

{F^′ ⊂P(N) :F^′on ltteri ja F ⊂F^′}

osittainjärjestettynä relaatiolla ⊂. Hausdorn maksimaaliperiaatteen no- jalla on tässä joukossa tällöin olemassa maksimaalinen ketju (K,⊂)

. . .⊂G ⊂. . . , G ∈K.

Merkitään U :=∪

G∈KG, ja osoitetaan, ettäU on ltteri:

(i) Selvästi, koska G on ltteri, niin kaikilla G ∈ K pätee ∅ ∈/ G, ja siis

∅∈/ ∪

G∈KG =U. Vastaavasti myös pätee N∈U.

(ii) Olkoot A∈U ja B ⊂Nsiten, että A⊂B. KoskaA∈U =∪

G∈KG, niin on olemassa ltteri G ∈ K, jolle A∈ G. Koska G on ltteri, niin määritelmän nojalla pätee myös B ∈G ⊂U, eli B ∈U.

(iii) OlkootA, B ∈U. Tällöin on olemassa ketjunK ltteritG1 jaG2 siten, ettäA∈G1 jaB ∈G2. Valitaan lttereistä hienompiGi,i= 1,2, jolloin on voimassa A, B ∈Gi. Koska Gi on ltteri, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myös A∩B ∈Gi ⊂U, eli A∩B ∈U.

Joukkokokoelma U toteuttaa ltterin määritelmän ominaisuudet (i),(ii) ja (iii), joten se on ltteri. Koska F ∈ K, pätee selvästi F ⊂ U. Lisäksi U ∈K.

Osoitetaan vielä, että U on ultraltteri: Jos U ei olisi ultraltteri, olisi ole- massa ltteri U^′ siten, että F ⊂ U ⊂ U^′. Koska ketju (K,⊂) on maksi- maalinen, niin pätee myös U^′ ∈ K ja näin ollen U^′ ⊂ U. Siis U = U^′, ja

U siis on ultraltteri.

Seuraavaksi esitetään muutamia ultraltterin ominaisuuksia. Lemmoja 2.10 ja 2.11 hyödynnetään jatkossa esimerkiksi tarkastellessa, onko jokin ltteri maksimaalinen vai ei.

Lemma 2.8. OlkoonU ultraltteri joukonNyli. Jos on olemassaA, B ⊂N siten, että A∪B ∈U, niin A∈ U tai B ∈U. Lisäksi, jos joukot A ja B ovat erillisiä, niin täsmälleen toinen kyseisistä joukoista kuuluu ltteriin U. Todistus. Tehdään antiteesi: On olemassa sellaiset joukot A, B ⊂ N, joille pätee A /∈U ja B /∈U, mutta A∪B ∈U. Merkitään

G ={G⊂N:A∪X ∈U}. Tarkistetaan, että G on ltteri:

(i) KoskaA∪ ∅=A /∈U, niin∅∈/ G. Vastaavasti, koskaA∪N=N∈U, niin N∈G.

(ii) Olkoon G₁ ∈G ja olkoon G₂ ⊂Nsiten, että G₁ ⊂G₂. Nyt A∪G₁ ⊂A∪G₂.

Koska F on ltteri ja A∪G₁ ∈ U, niin määritelmän nojalla pätee myös A∪G2 ∈U ja siis G2 ∈G.

(iii) OlkootG1, G2 ∈G. Tällöin on voimassaA∪G1, A∪G2 ∈U ja ltterin määritelmän nojalla pätee

A∪(G₁∩G₂) = (A∪G₁)∩(A∪G₂)∈U, joten G₁ ∩G₂ ∈G.

Kaikille joukoille U ∈ U pätee U ⊂ A∪ F ∈ U, joten U ∈ G ja siispä U ⊂ G. Lisäksi oletuksen perusteella on olemassa sellainen B ⊂ N, jolle B ∈G, muttaB /∈U. Eli ltteri U ei ole maksimaalinen, mikä on ristiriita ja väite seuraa.

Olkoot sittenA, B ⊂Njoukkoja siten, ettäA∩B =∅. Jos pätisi sekäA∈F että B ∈ F, niin ltterin määritelmän nojalla myös A∩B =∅ ∈ F, mikä

on ristiriita. Väite seuraa.

Seuraus 2.9. Olkoon U ultraltteri ja (A_i)_1≤i≤n äärellinen jono joukon N osajoukkoja siten, että ∪

1≤i≤nA_i ∈U. Tällöin pätee A_i ∈U vähintään yh- dellä i. Lisäksi, jos joukot A_i ovat erillisiä, pätee A_i ∈U täsmälleen yhdellä i.

Todistus. Väite seuraa edellisestä lemmasta induktiolla n:n suhteen.

Lemma 2.10. Olkoon U ltteri. Tällöin U on ultraltteri jos ja vain jos kaikille A ⊂N pätee joko A ∈U tai A^c ∈U (mutta ei molemmat).

Todistus. (⇒). Oletetaan, että U on ultraltteri. Olkoon A ⊂ N mieli- valtainen. Joukolle A ja sen komplementille A^c pätee A∪A^c = N ∈ U ja A ∩A^c = ∅. Näin ollen lemman 2.8 nojalla tällöin pätee joko A ∈ U tai A^c ∈U.

(⇐). Oletetaan, että kaikilleA⊂Npätee jokoA∈U taiA^c ∈F. Tehdään antiteesi: U ei ole ultraltteri. Tällöin ultraltterilemman perusteella on olemassa ultraltteri U^′ siten, ettäU ⊂ U^′. Joukkokokoelma U^′ \U ̸=∅ on siis C ={C ⊂N:C ∈U^′ ja C /∈U}. Oletuksen nojalla nyt siis kaikille C ∈ C pätee C^c ∈ U ⊂ U^′. Siis nyt on voimassa C ∈ U^′ ja C^c ∈ U^′. Filtterin määritelmän nojalla tällöin myösC∩C^c=∅ ∈U^′, mikä on ristiriita.

Siispä U:n on oltava ultraltteri.

Lemma 2.11. Filtteri F on maksimaalinen jos ja vain jos ei ole olemassa sellaista joukkoa A ⊂ N, että jokaisella F ∈ F pätee sekä F ∩A ̸= ∅ että F \A̸=∅.

Todistus. (⇒). Oletetaan, että ltteri F on maksimaalinen. Tehdään anti- teesi: On olemassa sellainen A ⊂N siten, että jokaisella F ∈ F pätee sekä F ∩A̸=∅ että F \A ̸=∅. Eli siis kaikilla F ∈F pätee

F ∩A̸=∅ ja F ∩A^c̸=∅.

Tällöin on oltava A /∈F- Jos olisi A∈F, niin pätisi ∅ =A∩A^c̸=∅, mikä on ristiriita. Vastaavasti on oltavaA^c∈/ F. Lemman 2.10 nojallaF ei tällöin ole ultraltteri eli maksimaalinen ltteri, mikä on ristiriita oletuksen kanssa.

(⇐). Oletetaan seuraavaksi, että ei ole olemassa sellaista joukkoaA⊂N, että jokaisella F ∈ F pätee sekä F ∩A ̸= ∅ että F \A ̸= ∅. Tehdään antiteesi:

ltteri F ei ole maksimaalinen. Tällöin on olemassa ltteri F^′ siten, että F (F^′. Valitaan nyt A∈F^′\F. OlkoonF ∈F ⊂F^′. Tällöin

- koskaA, F ∈F^′, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myösA∩F ∈ F^′, siis on oltava A∩F ̸=∅.

- koska A /∈F, niin täytyy päteä F ̸⊂A. Siis on oltava F \A̸=∅.

Saadaan ristiriita oletuksen kanssa, siispä ltterin F on oltava maksimaali-

nen.

2.3 Raja-arvo ltterin suhteen

Tässä osiossa määritellään lukujonon yleistetty raja-arvo ltterin suhteen.

Tätä määritelmää varten tarvitaan muutamia apukäsitteitä ja -tuloksia. Li- säksi osoitetaan myös, että lukujonolla on aina olemassa hyvinmääritelty ja yksikäsitteinen ltteriraja-arvo ultraltterin suhteen.

Määritelmä 2.12. Topologinen avaruus (X,T) on kompakti, jos sen jokai- sella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite.

Lemma 2.13. Olkoon (X,T) kompakti topologinen avaruus. Jos C_i ⊂ X, i ∈ I, ovat suljettuja joukkoja ja ∩

i∈IC_i = ∅, niin on olemassa äärellinen osajoukko J ⊂I, siten, että ∩

i∈JC_i =∅.

Todistus. Olkoot Ci ⊂ X, i ∈ I, suljettuja joukkoja. Tällöin joukkojen komplementit C_i^c ovat avoimia joukkoja. Oletetaan, että pätee ∩

i∈IC_i =∅.

Ottamalla komplementit puolittain saadaan { ∩

i∈I

C_i }c

=∪

i∈I

C_i^c=X.

Siis{C_i^c}i∈I muodostaa avoimen peitteen joukolleX. Avaruuden(X,T)kom- paktisuudesta seuraa, että tälle avoimelle peitteelle on olemassa äärellinen osapeite, toisin sanoen on olemassa äärellinen osajoukko J ⊂I siten, että

∪

i∈J

C_i^c=X.

Ottamalla taas komplementit puolittain saadaan

∩

i∈I

C_i =∅.

Määritelmä 2.14. Topologinen avaruus (X,T) on Hausdor-avaruus, jos kaikilla joukon X erillisillä pisteillä on olemassa erilliset avoimet ympäristöt.

Toisin sanoen kaikilla x, y ∈ X, x ̸= y, on olemassa avoimet U_x, U_y ⊂ X siten, että x∈U_x, y∈U_y ja U_x∩U_y =∅.

Määritelmä 2.15. (a) Olkoon (x_n) ⊂ X jono ja olkoon F ltteri joukon N yli. Jono (xn) suppenee ltterin F suhteen kohti raja-arvoa x,

lim

n,Fx_n =x∈X,

jos jokaisella pisteen x avoimella ympäristölläU ⊂X pätee {n ∈N:x_n∈U} ∈F.

Esitetään vielä määritelmän 2.15 muotoilu reaalisessa tapauksessa, joka on sinällään käyttökelpoisempi jatkoa ajatellen, kun käsitellään lukujonon sup- penemista reaaliakselilla.

Määritelmä 2.15 (b) Olkoon (x_n)⊂R jono ja olkoon F ltteri joukon N yli. Jono (x_n)suppenee ltterin F suhteen kohti raja-arvoax

limn,Fxn=x∈R, jos jokaisella ε >0 pätee

{n ∈N:|x_n−x|< ε} ∈F.

Lemma 2.16. Olkoon (X,T) kompakti Hausdor-avaruus ja (x_n) ⊂ X jo- no. Olkoon F ultraltteri joukon N yli. Tällöin jonolla (x_n) on olemassa yksikäsitteinen raja-arvo ltterin F suhteen, lim_n,F x_n.

Todistus. Osoitetaan ensin ltteriraja-arvon olemassaolo. Tehdään antiteesi:

Jonolla (x_n)ei ole olemassa ltteriraja-arvoa, ts. yksikään piste x∈X ei ole jonon (x_n) ltteriraja-arvo. Määritelmän 2.15 perusteella tämä tarkoittaa, että jokaisella x∈X on olemassa avoin ympäristö U_x siten, että

{n ∈N:xn∈Ux}∈/ F.

Joukkokokoelma {U_x : x ∈ X} on joukon X avoin peite. Tällöin avaruu- den (X,T) kompaktisuudesta seuraa, että on olemassa äärellinen osapeite {Ui}i∈I, missä I on äärellinen. Nyt kaikilla i∈I pätee

{n ∈N:x_n ∈U_i}∈/ F. Koska F on ultraltteri, niin lemman 2.10 nojalla pätee

{n ∈N:x_n ∈U_i}^c={n ∈N:x_n ∈U_i^c} ∈F. Koska {U_i}i∈I on joukonX avoin peite, niin ∩

i∈IU_i^c=∅. Tästä seuraa

∩

i∈I

{n ∈N:x_n ∈U_i^c}={n ∈N:x_n∈∩

i∈I

U_i^c}=∅ ∈F,

mikä johtaa ristiriitaan ltterin määritelmän kanssa. Siispä jonollaxnon ole- massa ainakin yksi ltteriraja-arvo lim_n,Fx_n.

Osoitetaan seuraavaksi ltteriraja-arvon yksikäsitteisyys. Tehdään antiteesi:

Jonolla (x_n) on olemassa ltteriraja-arvot lim

n,Fx_n=x₁ ∈X ja lim

n,Fx_n =x₂ ∈X,

missäx₁ ̸=x₂. Määritelmästä 2.15 seuraa, että jokaiselle pisteenx₁avoimelle ympäristölle U1 ⊂X pätee

{n ∈N:x_n ∈U₁} ∈F,

ja vastaavasti jokaiselle pisteen x₂ avoimelle ympäristölle U₂ ⊂X pätee {n ∈N:x_n ∈U₂} ∈F.

Koska F on ltteri, niin kaikille avoimille ympäristöilleU₁ ja U₂ pätee myös {n ∈N:x_n∈U₁} ∩ {n ∈N:x_n∈U₂}={n∈N:x_n∈U₁∩U₂} ∈F. Mutta, koska (X,T) on Hausdor-avaruus, niin pisteille x₁ ja x₂ voidaan valita erilliset avoimet ympäristöt, eli U₁ ja U₂ siten, että U₁∩U₂ =∅. Nyt

{n∈N:x_n∈U₁∩U₂}=∅ ∈F,

mikä on ristiriita. Siispä jonon (x_n)ltteriraja-arvo on yksikäsitteinen.

Osoitetaan seuraavaksi ltteriraja-arvon ominaisuus, jonka mukaan lukujo- non raja-arvo säilyy siirryttäessä ltteristä hienompaan.

Lemma 2.17. Olkoon jonolla (x_n)⊂X olemassa raja-arvo ltterin F suh- teen. Olkoon F^′ ltteri ja F ⊂ F^′. Tällöin jonolla (x_n) on olemassa raja- arvo myös ltterin F^′ suhteen, missä F ⊂F^′, ja

lim

n,Fx_n = lim

n,F^′x_n. Todistus. Merkitään

lim

n,Fx_n=x.

Tällöin määritelmän 2.15 mukaan jokaiselle pisteenx avoimelle ympäristölle U ⊂X pätee

{n ∈N:x_n∈U} ∈F. Mutta koska oletettiin, että F ⊂F^′, niin myös

{n∈N:x_n∈U} ∈F^′, eli

n,limF^′x_n=x= lim

n,Fx_n.

3 Luonnollinen tiheys ltterin suhteen

Edellä olevan perusteella tiedetään, että jos U on ultraltteri, niin kaikil- la joukon X jonoilla (x_n) on olemassa yksikäsitteinen raja-arvo ltterin U suhteen. Tästä seuraa, että tällöin kaikilla osajoukoilla A ⊂ N on olemassa ltterin U suhteen luonnollinen tiheys

d_U(A) := lim

n,U ⟨A⟩_n missä siis ⟨A⟩_n= ^{|A∩{1,...,n}_n ^}|.

Mutta entäpä, jos kaikilla osajoukoilla A ⊂ N on olemassa luonnollinen ti- heys ltterin F suhteen, seuraako tästä, että F on ultraltteri?

Vastaus tähän kysymykseen osoitautuu olevan kaksijakoinen: Filtteri, jonka suhteen kaikilla joukoilla A ⊂ N on olemassa luonnollinen tiheys, ei välttä- mättä itse ole maksimaalinen. Tällaisen ltterin avulla muodostettu toinen, eräänlainen projektio-ltteri, kuitenkin on maksimaalinen.

3.1 Vastaus I : Ei välttämättä maksimaalinen

Tässä osiossa osoitetaan, että on olemassa sellainen ltteriF, jonka suhteen kaikilla joukoilla A ⊂ N on olemassa luonnollinen tiheys, mutta joka ei ole maksimaalinen.

Olkoon U ultraltteri joukon Nyli. Määritellään F^∗ :={ ∪

i∈U

M_i :U ∈U} , missä M_i ={2i−1,2i}, i∈N.

Lemma 3.1. Edellä määritelty joukkokokoelma F^∗ on ltterikanta.

Todistus. F^∗ ⊂P(N), joten osoitetaan, että joukkokokoelmaF^∗ toteuttaa ltterikannan määritelmän ehdot (i) ja (ii):

(i) Koska kaikille U ∈U pätee U ̸=∅, niin ∪

i∈UM_i ̸=∅, ja siis ∅∈/ F^∗. (ii) Olkoot A, B ∈F^∗. Tällöin on olemassa sellaisetU_A, U_B ∈U, joille

A= ∪

i∈UA

Mi ja B = ∪

i∈UB

Mi.

Nyt

A∩B =( ∪

i∈U_A

M_i

)∩( ∪

i∈U_B

M_i )

= ∪

i∈U_A∩U_B

M_i.

KoskaUA, UB ∈U, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myösUA∩ U_B ∈U, ja siis A∩B ∈F^∗.

Määritellään nyt ltterikannan F^∗ avulla ltteri F seuraavasti

F :=

{

F ⊂N: ∪

i∈U

M_i ⊂F, missä U ∈U}

. (3.1)

Lemma 3.2. Edellä määritelty joukkokokoelma F on ltteri.

Todistus. F ⊂ P(N), joten osoitetaan, että joukkokokoelma F toteuttaa ltterin määritelmän ehdot (i)−(iii):

(i) Koska kaikilleU ∈U päteeU ̸=∅, niin∪

i∈UM_i ̸=∅, ja siis∅∈/ F. Ja koska N∈ U sekä ∪

i∈NM_i = N, niin N ∈F^∗, mistä edelleen seuraa N∈F.

(ii) OlkootA∈F jaB ⊂Nsiten, ettäA⊂B. KoskaA∈F, on olemassa sellainen UA ∈U, jolle pätee

∪

i∈UA

Mi ⊂A⊂B.

Siis myös B ∈F.

(iii) Olkoot A, B ∈F. Tällöin on olemassa sellaisetU_A, U_B ∈U, joille

∪

i∈UA

M_i ⊂A ja ∪

i∈UB

M_i ⊂B.

Nyt ( ∪

i∈UA

M_i

)∩( ∪

i∈UB

M_i )

= ∪

i∈UA∩UB

M_i ⊂A∩B.

KoskaU_A, U_B ∈U, niin ltterin määritelmän nojalla pätee myösU_A∩ U_B ∈U, ja siis A∩B ∈F.

Lemma 3.3. Edellä määritelty ltteri F ei ole maksimaalinen.

Todistus. Lemman 2.11 nojalla ltteri F ei ole maksimaalinen, koska on olemassa sellainen A⊂Nsiten, että jokaisella F ∈F pätee sekä F ∩A ̸=∅ että F \A̸=∅.

Tällaiseksi joukoksi Avoidaan valita esimerkiksi A₁ ∈ {∪

i∈F{minM_i}:F ∈ U}. Selvästikin tälle joukolle A₁ pätee molemmat edellä mainitut ehdot.

Filtteriä F voidaan siis laajentaa seuraavasti F ⊂F1, missä F1 ⊃{ ∪

i∈F

{minM_i}:F ∈U} . Tai vastaavasti voidaan valita A₂ ∈ {∪

i∈F{maxM_i}:F ∈U}, jolloin ltte- riä F voidaan laajentaa seuraavasti

F ⊂F2, missä F2 ⊃{ ∪

i∈F

{maxMi}:F ∈U} .

Lemma 3.4. Kaikilla osajoukoilla A ⊂ N on olemassa luonnollinen tiheys edellä määritellyn (3.1) ltterinF suhteen. Toisin sanoen ltterilleF pätee, että kaikilla A⊂N on olemassa raja-arvo

limn,F⟨A⟩_n.

Todistus. Olkoon A ⊂ N mielivaltainen ja olkoon ε > 0. Koska U on ultraltteri, on olemassa ltteriraja-arvo

lim

n,U ⟨A⟩_2n=:d.

Filtteriraja-arvon määritelmän mukaan tämä tarkoittaa, että on olemassa U ∈U ja d∈[0,1] siten, että kaikillaε >0 pätee

{

i∈N:|⟨A⟩_2i−d|< ε 2

}

=U ∈U. (3.2)

Tarkastellaan seuraavaksi n-keskiarvon ⟨A⟩_n muutosta peräkkäisillä n:n ar- voilla. Nyt siis

⟨A⟩_n = |A∩ {1, . . . , n}|

n ,

⟨A⟩_n+1 = |A∩ {1, . . . , n+ 1}|

n+ 1 .

Termi ⟨A⟩_n+1 voidaan kirjoittaa myös muodossa

⟨A⟩_n+1 = |A∩ {1, . . . , n}|+θ

n+ 1 = n⟨A⟩_n+θ n+ 1 , missä θ =

{1, jos n+ 1∈A, 0, jos n+ 1∈/A . Jos θ = 1, saadaan arvio

⟨A⟩_n≤ ⟨A⟩_n+1 ≤ ⟨A⟩_n+ 1

n+ 1. (3.3)

Jos taas θ = 0, saadaan arvio

⟨A⟩_n− 1

n+ 1 ≤ ⟨A⟩_n+1 ≤ ⟨A⟩_n. (3.4) Yhdistämällä arviot (3.3) ja (3.4) saadaan arvio

⟨A⟩_n− 1

n+ 1 ≤ ⟨A⟩_n+1 ≤ ⟨A⟩_n+ 1 n+ 1. Siis kaikilla n ∈N n-keskiarvon muutokselle pätee

⟨A⟩_n+1− ⟨A⟩_n≤ 1

n+ 1. (3.5)

Tästä seuraa, että on olemassai₀ ∈N siten, että kaikilla i∈N, i≥i₀ pätee ⟨A⟩_2i−1− ⟨A⟩_2i=

|A∩ {1, . . . ,2i−1}|

2i−1 − |A∩ {1, . . . ,2i}|

2i

< ε

2. (3.6) Koska U on vapaa ultraltteri, niin

W :=U ∩ {i0, i0+ 1, . . .} ∈U, missä U ∈U toteuttaa ehdon (3.2).

Olkoon nyt ∪

i∈W

M_i =F ∈F.

Olkoonm ∈F. Josmon parillinen, elim = 2i, niin yhtälön (3.2) perusteella

pätee

|A∩ {1, . . . ,2i}|

2i −d

< ε 2.

Jos taas mon pariton, eli m= 2i−1, niin kolmioepäyhtälön sekä yhtälöiden (3.2) ja (3.6) perusteella pätee

|A∩ {1, . . . ,2i−1}|

2i−1 −d

≤

|A∩ {1, . . . ,2i−1}|

2i−1 − |A∩ {1, . . . ,2i}|

2i

+

|A∩ {1, . . . ,2i}|

2i −d

< ε 2 + ε

2 =ε.

Siis kaikilla m∈F on voimassa

|A∩ {1, . . . , m}|

m −d

< ε.

Eli {

m∈N:|⟨A⟩_m−d|< ε

}⊃F ∈F, mikä tarkoittaa, että raja-arvo

limn,F⟨A⟩_n

on olemassa, ja siis kaikilla joukoilla A⊂N on olemassa luonnollinen tiheys määritellyn ltterin F suhteen.

3.2 Vastaus II : Projektiivisesti maksimaalinen

Tässä osiossa osoitetaan, että ltteri, jonka suhteen kaikilla joukoillaA ⊂N on olemassa luonnollinen tiheys, on projektiivisesti maksimaalinen, vaikkei ltteri itse olekaan maksimaalinen.

OlkoonF ltteri joukonNyli. Muodostetaan joukkokokoelmaW seuraavasti W :={

{i∈N:M_i∩F ̸=∅}:F ∈F}

, (3.7)

missä M_i:t ovat luonnollisten lukujen blokkeja, eli ∅ ̸= M_i ⊂ N siten, että kaikilla i∈Non voimassa maxM_i <minM_i+1.

Oletetaan lisäksi, että kaikilla F ∈F pätee

W ={i∈N:M_i∩F ̸=∅} ̸=∅,

eli että jokaisella joukolla F ∈ F on olemassa jokin blokki M_i ⊂ N, jota joukko F leikkaa.