TÄRPPEJÄ – YO 2010 TÄRPPEJÄ – YO 2010

TÄRPPEJÄ – YO 2010 TÄRPPEJÄ – YO 2010

PITKÄ MATEMATIIKKA

PITKÄ MATEMATIIKKA

KURSSIT 0 - 2

KURSSIT 0 - 2

2.

3.

S08

4 3 3 2

1  x  | 12

6 – 4x > 9

-4x > 3 | : (-4) 4

 3

 x

5

5 5

5 5

5









 5

5 5 



25

1

5

5

 24

25 1





 n n

4x³ - 5x² = 2x – 3x³ 4x³- 5x² – 2x + 3x³ = 0 7x³ – 5x² – 2x = 0

x(x² – 5x² – 2) = 0

x = 0 V x = 1 V x = -2/7

YOs09 VEROTON HINTA + ALV = VEROLLINEN HINTA (ASIAKKAAN MAKSAMA HINTA) veroton hinta = x

1,17  x = 54,35 x = 46,65

UUSI ALV = 17 % - 9 % = 8 %

1,08  46,45  50,17

54,35 € – 50,17 € = 4,18 € HALVEMPI

50,17 / 54,35 = 0,9231 100% - 92,3% = 7,7 %

Esimerkki 3

Sievennä murtolauseke

2 7

3

3 ) 12

(

2





 

x x

x x r

) 2 3 )(

( 1 3

) 4

(

3





 

x x

x

rtk-kaavalla nimittäjän nollakohdat x₁ = 1/3 ja x₂ =2

) 2 )(

1 3

(

) 2

)(

2 ( 3







 

x x

x x

) 2

)(

3 1 (

) 2

)(

2 ( 3

x x

x x







 

x x

3 1

6 3



 

KURSSI 3

KURSSI 3

S06

r A

A r





 r

 A

 r  A

Ympyrän ympäri piirretty neliö sivu = 2r



 A 2





A

A

A 4

) 2

( 





Ympyrän sisään piirretty neliö:

r = neliön lävistäjän puolikas

neliön sivu a:

a

 a

 ( 2 r )

A

a 4

2

 

YOS08

d = 0,35 m d = 0,10 m

14 m h

35 , 0

10 , 0 14 h 

) ( 4

4 , 1 35

, 0

m h

h





Tukin pituus = 14m – 4 m = 10 m

Yhden tukin tilavuus: 0,05 4 0,4385 3

14 1 175 , 3 0

1 _{2 2}









  

V

Kaadettujen määrä:

200 456 V 

Huom: vastaukseksi on käynyt myös 457, 450, 460

KURSSI 4

KURSSI 4

Taulukkokirjan kaava: S08 y – y₀ = k(x – x₀)

5 11 5

3

11 3

5

11 5

3















 x y

x y

y x

k = 3/5

) 6 5 (

8  3 

 x

y

) 6 (

3 40

5 y   x  18 3

40

5 y   x  0 22 5

3 x  y  

YMPYRÄN TANGENTTI

suora s on tangentti

tangentilla ja ympyrällä yksi yhteinen piste

yhteiseen pisteeseen piirretty säde on kohtisuorassa tangenttia vasten

s

Esimerkki 4, kirjasta

Määritä pisteestä (3, 5) ympyrälle x

+ y

= 2 piirrettyjen tangenttien yhtälöt Tangentin kulmakerroin = k

Tangentin yhtälö:

y – 5 = k(x – 3) kx – y – 3k + 5 = 0

Ympyrän kp = (0, 0) säde = 2

Tangentti on säteen etäisyydellä keskipisteestä:

) 2 1 (

| 5 3

0 0

|

2

2













 k

k

k 2

1

| 3 5

|

2





 k

k | 5  3 k |  2 k

 1

2 2

| 3 5

|  k  k

 25  30 k  9 k

 2 k

 2 7 k

 30 k  23  0

Ratkaisukaavalla: k = 1 tai k = 23/7 x – y + 2 = 0, 23x – 7y -34 = 0

2 2

0 0

b a

c by

d ax





 

KURSSI 5

KURSSI 5

j i

j i

AB

 ( 7  3 )  ( 3  1 )  4  2 CD

 (  3  1 ) i  (  2  4 ) j   4 i  6 j 28

2 6 4

4     









CD AB

5 2 20

2

4



 





AB CD

 (  4 )

 (  6 )

 52  4 13

28 7 13

2 5 2

cos 28  



 

  ^{ 150 , 3}

KUVIO – 1 PISTE

i + 7j =x(2i + 3j) +y(-7i + 6j) i + 7j =2xi + 3xj -7yi + 6yj i + 7j =(2x-7y)i + (3x+6y)j

 











7 6

3

1 7

2

y x

y x

 















14 12

6

3 21

6

y x

y x

33y = 11 y = 1/3

x sijoittamalla: x= 5/3

) 3 2

- 7 3 5

10 (

3 1 3

7 5

j i

j i

tai

b a

j i











KURSSI 6

KURSSI 6

P(kuoret samanväriset) = P(rr tai mm tai ss)





 15

1 16

2 0,37

30 11 15

7 16

8 15

5 16

6     

S05

s00

10 3003 15  



 





2⁵ = 32

E.4. Noppaa heitetään kahdesti.

Esitä satunnaismuuttujan x = silmälukujen erotuksen itseisarvon jakauma.

2. noppa 6

5 4 3 2 1

5

4

3 2 1 0

4

3

2 1 0 1

3

2

1 0 1 2

2

1

0 1 2 3

1

0

1 2 3 4

0

1

2 3 4 5

p

= 6/36

p

= 10/36

p

= 8/36

p

= 6/36

p

= 4/36

p

= 2/36

x

= 0, x

= 1, x

= 2, x

= 3, x

= 4, x

= 5

E.7. Mikä on kahden nopan heitossa silmälukujen erotuksen itseisarvon odotusarvo?

E.4…

p

= 6/36 p

= 10/36 p

= 8/36 p

= 6/36 p

= 4/36 p

= 2/36

18 5 35 36

4 2 36 3 4

36 2 6

36 1 8

36 0 10 36

6            

Ex

x₀ = 0, x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3, x₄ = 4, x₅ = 5







i

p

x

X

E ( ) 

Edellinen päivä Seuraava päivä: sataa pouta

Pouta 0,20 0,80

Sade 0,60 0,40

Ylihuomenna sataa, kun tänään on pouta PPS tai PSS

P(PPS tai PSS) = 1  0,80  0,20 + 1  0,20  0,60 = 0,28

KURSSI 7

KURSSI 7

Dsinx = cosx Dcosx = -sinx Dfg =fDg + gDf f ’(x) = sinx  Dcosx + cosx  Dsinx

= sinx  (-sinx) + cosx  cosx = -sin²x + cos²x

f ’(0) = -sin²0 + cos²0 = 1

f ’ (x) = 2x – 3 2x – 3 = 1 2x = 4 x = 2

k = tan

y ’ = 2x – 2 2x – 2 = 1 x = 3/2 y sijoittamalla

y = (3/2)² – 2  (3/2) – 3 =-15/4

KURSSI 8

KURSSI 8

e^x = e⁰ x = 0

logxy = logx + logy logx^r = rlogx

log(xy²) – 2logy

= logx + logy² – 2logy

= logx + 2logy – 2logy

=logx

E.4. Milloin funktio f(x) = ln (x E.4.

+ 3) - ½ln x on vähenevä?

f ’(x) = x x

x x

x x

2 1 3

2 1

2 1 3 2

2

2 

 



 

x x

x x

x

2 ) 3 (

) 3 (

1 2

2

2

2









 

x x

x x

2 ) 3 (

3 4

2

2 2







 

x x

x

2 ) 3 (

) 1 (

3

2 2





 

0 1 x² - 1

2x

- +

+ +

f ’(x) f (x)

- +

Määritelty, kun x > 0, jolloin jatkuva ja derivoituva

V: Vähenevä, kun 0 < x < 1

V: Vähenevä, kun 0 < x < 1

KURSSI 9

KURSSI 9

E.4.

Määritä yhtälön sin 2x = sin 30° ne ratkaisut, jotka ovat välillä [-180°, 270°].

2x = 30 + n  360 tai 2x = (180 - 30) + n  360

2x = 30 + n  360 tai 2x = 150 + n  360

x = 15 + n  180 tai x = 75 + n  180

x = -165 tai x = 15 tai x = 195 x = -105 tai x = 75 tai x = 255

K06

S04

KURSSI 10

KURSSI 10



1 2

1 dx

x ^



1

2dx x



1) ( 2

/

1 2 2

1  

 x^{ }

1) ( /

2 1

1 

 x^

x / 1

2

1



2 ) 1 2 ( 1 1))

1 2

(1     





S2008 2.

dx x e

 ⁽

^{ )  1} ₃  ^{3 e}

^{dx }  ^{x dx }

Osittaisintegointi  ^{f ' gdx  fg }  ^{g ' fdx}

dx

xe

E ^{. 17 .} 

f(x) = e^x g’(x) = 1

dx e

e x dx

e x

e

^{ }  ^

^{ }

^ 

 1

C e

x C

e e

x 



  



 ( 1 )