YLI 0 PPILASKIRJ 0 ITUKSISSA

MATEMAATTISET

"

I . TEHTÄVÄT ·

--_.

^~

YLI 0 PPILASKIRJ 0 ITUKSISSA

VUOSINA 1874 - 1915

VASTAUKSILLA JA OHJEILLA VARUSTANUT

RAF AEL LAUREN

FIL. MA1ST:

TOINEN LISÄTTY PAINOS

-

_-y~

r : -

JYVÄSKYLÄ

K. J. GUMMERUS OSAKEYHTIÖ

(

"

JYVÄSKYLÄSSÄ 1916

K. J. GUMMERUS OSAKEYHTIÖN KIRJAPAINOSSA

Koska vuoden 1912 alussa julkaistu, toimittamani ylioppilaskirjoituksissa suoritettujen m[Ltemaattisten tehtävien kokoelma on loppuunf;myyty, olen noudatta- nut kustanta.jan kehoitustrt toimittaa unden painoksen mainittua kokoelmaa. Tähän kokoelmaan olen tietysti entisten lisäksi ottanut vuosiAu 1912-1915 ylioppilas- esimerkit. 'llässäkin kokoelmassa olen esimerkit jär- jestänyt ajanmukaisesti puolustaen asiaa samoilla sa- noilla kuin edellisessä painoksessa: »Oppilaitten, jotka tämän13,atuista kokoelmaa aikovat käyttää, täytyy otaksua tutustuneen koulun koko matematiikkakurssiin ja siis vain kaipaavan tilaisuutta koettaa voimiaan kurssin viimeis^J ",n koetehtävien suorittamisessa. Tie- tenkin haluavat oppilaat silloin saada tehtävät juuri siinä järjestyksessä kuin ne aikoinaan ovat ylioppilas- kokelaille annetut. Ajanmukainen järjestys herättää suurempaa harrastusta kuin aineenmukainen, sillä oppi- laat ovat edellisessä tapauksessa paremmin tilaisuu- dessanäkemään, millä edistysasteella he ovab

Loppuun olen liittänyt yksityiskohtaisen luettelon esimerkeistä aineenmukaisesti järjestettynä, jotta ne oppilaat, jotka haluavat suorittaa määrätynlaisia. teh- täviä, näkisivät, mihin alaan kunkin vuoden kukin esimerkki kuuluu.

Kokoelmaan olen myöskin liittänyt luettelon niistä eri oppikirjoissa tavattavista vastaavista termeistä, jotka , kokoelmassa esiintyvät.

Lappeenrannassa tammikuulla 1916.

Luettelo eri geometrian oppikirjoissa esiintyvistä termeistä.

asema

=

(kuvion) kanta, (kappaleen) pohja.

kartio

=

kooni.

korkeusviiva = korkeusjana.

pallosegmentin sivupinta = kalotti tai vyöhyke.

parallfllipipeedi

=

suuntaissärmiö.

perspektiiviasento

=

homoteettinen asento.

prisma = särmiö.

proportsionaali = verto. pyramiidi = särmäkartio.

segmentti = lohko.

sekantti = leikkaaja.

sektori

=

leikkale.

sentraali = keskusjana.

sentrikulma = keskuskulma.

sivupinta = vaippapinta.

sivutaso = sivutahko.

sivuviiva = sivujana.

suol'akaide = suorakulmio.

sylinteri = lieriö.

tangentti = sivuaja.

transversaali = suora, joka leikkaa suoria tahi kuviota.

tylsä = tylppä.

yhdenmukainen = yhdenmuotoinen (00).

. yhteellmen = yhteneväinen (00, 00, _).

-.

Tehtävät.

1874.

;; 1. \.

Mont~

vuotta pitää 1250 markan olla lainassa 6 ^Jjo mukaan, jotta sen tuottama korko olisi yhtä suuri k in 1000 markan korko 5 OJa mukaan 9 vuodessa?

2. Piirrä neliö, jonka ala on yhtä suuri kuin k~h­

-den Lunnetun neliön alojen erotus.

3 . . Todista seuraava väittämä: Jos neliön keski- pisteen kautta piirretään kaksi toinen toistansa vas- taan kohti suoraa viivaa, niin neliö jakaantuu neljään yhteelliseen osaan.

4:.', Mies sanoi: »Hääpäivänäni oli ikäni vaimoni ik~än kuin 4: 3, mutta 9 vuotta myöhemmin kuin ;<

5! 4.» Vanhako mies oli ja vanhako vaimo heidän h'äpäivänänsä?

5. Mitkä ovat yhtälön

x4-25x~

+

¹⁴⁴⁼⁰

ju ret?

6. ,,-Yhtiön kauppavoitto 150 mk on jaettava !~san {)s~tkkaille. Jos osakkaita olisi ollut 5 enemmän, olisi jokainen saanut 5 mk vähemmän .. ,_ Montako osakasta ob( yhtiössä?

7.:

Pellolla on pälässä

t, (\;c ·S ~-,.a n .

I .. r. e

, \

pitkin tienviertä 20 kuhilasta 10 m Nämä ovat koottavat pellon päähän

2~

I

,.,

siihen, missä enSlmamen kuhilas on. Pitkäkö matka on kuljettava, ennenkuin kaikki kuhilaat saadaan ko- koon, jos yksi kuhilas kerrallaan viedään?

®

Pallon pinta on 178,02 dm 2; suuriko sen säde on? 9. Suunnikkaan viereiset sivut ovat-1,72 ja 0,85 m ja niiden välinen kulma on 125⁰ 3' 40"; suuriko on suunnikkaan ala?

10. RKahden kirkon välillä on korkea vuori. Mo- lemm11t kirkot näkyvät paikkaan, josta on 7 km toi-- selle ja 4 km toiselle-kirkolle. TähtäysBuunnat mai nitusta paikasta kirkkoihin muodosta~m keskenäm 62° 21' 20" suuruisen kulman. Kuinka' etäällä kirk t ovat toisistaan?

lS75.

L-'"

Todista, että suunnikkaan lävistäjät puolittav1at ^I

toisensa. , , I

2. P,Piirrä ympyrään kolmio, jonka kulmat suhta,u-.

tuvat toisiinsa kuin 1::2: 3.

3. \- On ympyrä ja sen tasossa piste. Piirrä pistee tä se kantti, joka erottaa ympyrän kehästä kolmannen os n.

4~_ Isä jakaa 4400 mk kahdelle lapsellensa, joi ta tcii~en on 11 ja toinen 16 vuoden vanha, niin, e tä kummankin osa lisättynä 5 % yksinkertaisilla koroJI- laan hänen täyttäessään 21 vuotta on yhtä su 'ri.

Paljonko kumpainenkin lapsi saa jaossa ja mikä lon·

osien lopullinen suuruus?

-1!.

r Ratkaise yhtälö

V6x

^{+22 --}

V-:2

^x+ 3 = 3. ~

6. ~Mies ostaa perunoita ];2, markalla. Kun hlJin

j ~kun

ajan kuluttua taas osVaa samall,

,L'''l.määräl~ lä

--- 2

- l - i

peru~oita, on niiden hinta noussu t 20 penniä kapalta ja hän saa sen vuoksi niitä 5 kappaa vähemmän. Mon- 'tako kappaa hänensimäisellä kerralla rahoillaan sai?

7. Geometrisessa sarjassa on toinen termi 20 ja

r

viides termi 160 ; "luuriko kymmenen ensimäisen termin summa on?

8. Katkaistun kartion muotoinen astia vetää 100

, 1"

litraa. Pohjan säde on 3 dm ja astian korkeus 4,78 .-' dm, Suuriko astian suun säde on?

9. Kolmiosm on' sivu a = 8.1896 m ja b = 2,5762 m

1

sekä niiden v' ,inon kulma C = 57° 11' 12"; määrää kolmion muu~ Rulmat, kolmas sivu ja ala.

10. Pallo, jonka säde on 2,5 dm ja paino 5 kg, riippuu sileällä pystysuoralla seinällä 4 dm pituisessa nauhassa, joka on kiinnitfltty pisteeseen pallon pin- nalla. Laske nauhan jännitys, ja pallon paine seinää vast.aan.

Huom.! Tehtävä voidaan ratkaista käyttämättä trigonomet- risia tauluja.

1876.

1"\,, On kolme pistettä. Piirrä kolmio, jonka sivut näissä pisteissä jakaantuvat kahteen yhtä suureen osaan.

2, Todista, että suunnikkaassa lävistäjien neliöiden summa on yhtä slluri kuin sivujen neliöiden summa.

:~. Todista väittämä: Jos kolmiossa kahden korkeus- viivan kantapisteet yhdistetään, saadaan alkuperäisen kolmiorP kanssa yhden mukainen kolmio.

4. ~. Tilastollisten tietojen mukaan 1000 miehestä, jotb ovat täyttäneet 21 vuotta, 14 kuolee 51:llä ikä- vuodellaan. Sen vuoden 10pu1"sa, jonki kuluessa 1000

- 3 -

/j' {~: -

'[ ^,

l

o

j

miestä on täyttänyt 21 vuotta, päättävät he yhteisesti panna sellaisen rahasumman kasvamaan korkoa ko- rolle 4 ¹,'2 % mukaan, että kun se viimeisen 50-vuo- tiaan kuolinvuoden lopussa jaetaan niiden 14 perheen kesken, joilta isä 50 vuotiaana on kuollut, kullekin tulee 10000 mk. Paljonko jokaisen on annettava?

~Kolmessa

kylässä on yhteensä 43 taloa; näihin maJoltetaan 360 sotamiestä siten, että ensimäisen kylän taloihin jokaiseen sijoitetaan 6, toisen kylän taloihin kuhunkin 10 ja kolmannen kylän taloihin kuhunkin 12 miestä. Ensimäisessä kylässä majailevien sota- miesten luku on yhtä paljon suurempi toisessa kylässä majailevien miesten lukua, kuin tämä jälkimäinen on kolmanteen kylään majoitettujen miesten lukua suu- rempi. Montako taloa kussakin kylässä on?

6. \{ Luokan oppilaat päättävät antaa opettajallensa muistolahjan, joka maksaa 84 mk. Kun kaksi oppi- lasta kieltäytyy ottamasta siihen osaa, täytyy toisten kunkin maksaa 10 penniä enemmän kuin muuten.

Montako oppilasta on luokalla?

'7.~, Jaa polynoomi

x² - 15 x

+

⁵⁶

tekijöihinsä.

8. Pallosegmentin muotoisen padan korkeus on 1,2 dm ja suun halkasija 2 dm. Paljonko se vetää?

9. Korkkipalloon. jonka halkasija on 1 dm, on asetettava siksi raskas lyijysydän, että pallo vedessä uppoaa tasan puoleen tilavuuttaan. Mikä on sydän- pallon säde, jos lyijyn ominaispaino on 11,33 ja kor'- kin O,24?

10. Maan säde on 6377 km pitkä; suuriko maan ja kuun keskipi,steiden, väli on, kun maan säde näkyy kuun keskipisteestä 0° 57' 1O":n kulmassa. ."

- 4 -

i I

1~77.

, 1. IZ Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toi-

I

nen kylki jatketaan kärjen toiselle puolelle itsensä pi-

~tuisella

janalla ja jatkeen päätepiste yhdistetään aseman

I

toiseen päätepisteeseen, niin yhdistysjana on kohtisuo-

l

rassa asemaa vastaan. li",l,

2. Puolita kolmion pinta suoralla, joka kulkee kol-

C f:

mion sivulla olevan pisteen kautta. j'

3. Kolmion kärjet keskipisteinä on piirrettä vä kolme' ) ympyrää niin, että ne kaksittain sivuavat toisensa "- ulkopuolitse.

4. ,""Vuosikymmenen 1860- 70 kuluessa lisääntyi Hel-

I •

singin väkiluku puolella vuoden 1860 väkiluvulla. Jos väkiluvun 'lisäys tapahtuisi seuraavinakin vuosikym- mlminä samassa suhteessa, paljonko väkeä Helsingissä olisi 1890, kun siellä 1860 oli 21700 asukasta?

5. Mies kävelee kaupungista lähimpään kestikie- variin. Kun hän on käynyt 1 tunnin, ajaa matkus- taja kyydillä hänen ohitsensa. Kestikievarissa viipyy kyytimies 1/4 tuntia ja tapaa paluumatkallansa jalka- miehen 2 km kestikievarista. Kuinka kaukana kau- pungista kestikievari on, kun jalkamies 10 km mat- kalla viipyy ~ tuntia ja kyytimies 50 minuuttia?

6. Kolminumeroisessa luvussa on numeroiden summa 15. Jos luku jaetaan ylI.~lköiden numerolla, saadaan osamääräksi 91; jos lukuun lisätään 99, saadaan toi- nen luku, jossa on samat numerot kuin alkuperäisessä vaikka vastakkaisessa jäjI jestyksessä. Mikä luku on?

7. 600 m pitkä ja 490 m leveä suorakaiteen muo- toinen pelto on keskellä joka kohdalta yhtä leveätä

~! -Tonk.~

-

~~a .<;, l 4

kertaa niin suuri' kuin pellon.

Kumka levea nntjY on'? ,

/

-- 5 --

f

8:. P~perineliöön, jonka sivu on 1 ^1/2 dm, piirretääll, nelIOn sIvun keskipiste keskipisteenä ja neliön 8i\'L1 säteenä, ympyrän kaari. Jos -tätä kaarta vastaava ym- pyränsektori tehdään kartion sivupinnaksi, suuriko siten saadun kartion tilavuus on?

y.

^{9. \ K.a~desta} eri paikasta katsottuna, joiden etäi- syys tOlslstaan on 100 km, nävttää sama lento tähti

s~ttyvän yhtä korkealla, nim.

45°

yli horisontin, niiltta alvan päinvastaisissa ilmansuunnissa. Kuinka kor- kealla maan pinnasta lentotähti on syttynyt, jos maan

kehä on 40000 km? . '

10. Missä on tasa-aineisen ympyränmuotoisen levyn

painol~iste ,

jos siinä jossakin kohdassa on ympyrä'n- muotomen reikä?

1878.

1. Pitkäkö tasasivuisen kolmion sivu on, kun sen ala on 50 m²?

2. Kolmion sivulla on määrättävä sellainen piste, että sen kautta piirretty aseman suuntainen suora erottaa kolmion, joka on yhtä suuri kuin se kolmio, joka ,aseman puolella syntyy, kun tunnettu piste ja aseman päätepiste yhdistetään.

3. :-< Nelikulmion kolmittain yhdistettyjen sivujAn summat ovat 90, 100, 110 ja 120 metriä. Kuinka pitkät sivut ovat?

4.}2. Joukko sotamiehiä marssii täyteen ahdettuna suorakaiteena, jossa on pitkittäin 14 miestä enemmän kuin eturinnassa. Vihollisten nähtävissj\. lisätään etu- rintaan 828 miestä niin, että ainoastaan 5 miestä sAi- soo peräkkäin. Kuinka monimiehinen on joukko ? .

- 6 -

5. v Ratkaise yhtälöryhmä

r

^x·!

+

^{y~ a}

J = ?,+ -

1 xy xy

l

^{x~ - y? = lJ.}

6. Helsingissä oli 1878 40000 asukasta. Milloin on siellä 1 miljoona asukasta, jos väen lisääntyminen otaksutaan olevan 2¹/2 ajo vuodessa?

7. Suunnikkaassa on ykt?i sivu a = 35 'm, toinen lävistäjä d

=

63 m ja lävistäjien tekemä kulma v

=

21° 36' 30". Määrää toinAn lävistäjä e ja tunnAtun sivun (a) viereinen sivu b.

8. Ympyränmuotoisen paperilevyn säde on

V1

dm.

Neljännes mainitusta ympyrästä leikataan erilleen ja jäljelle jäävästä sektorista tehdään kartion sivupinta.

Suuriko kartiontilavuus on?

")( 9. Suomi on niiden parallelipiirien välillä, joiden

I maantieteelliset lpveydet ovat 60° ja 69° sekä niiden meridiaanien välillä, joiden maantieteelliset pituudet ovat 40° ja 48°. Suuriko on Suomen ala, jos maan ekvaattori on 5400 maantieteellistä peninkulmaa?

10. Minkä matkan piiässä maan keskipisteestä on maan ja kuun vetovoima yhtäsuuri, kun molempien taivaankappalten keski pisteiden väli on 60 maan sä- dettä 'ja kuun massa on 1/S0 maan massasta?

1879.

1. Kylässä on kolme taloa, joiden manttaaliluvut ovat 1/2, 1 113 ja 3/4• Manttaalien suhteen tulee näit- ten talojen rakentaa 7 kilometrin pituinen tie. Keski- mäisen talon tieosalla on 1/4 km leveä suo. Tien ra- kentaminen suon ·poikki arvellaan maksavan saman

7 --- /

verran kuin 2 km muuta tietä. Paljonko tietä tulee jokaisen talon osaksi?

2, Etsi polynoomin

2 (3 a

+

^{2) x~}

+

⁹

+

^{(a 2 _ 12) x4}

+

^{9 x6}

+

^{12 x}

+

\. 2 (2 a - 9) x:^{l -} 6 ax~

neliöjuuri.

3. Kolmen suorakaiteen alat ovat 200, 300 ja 600 m^2• Suorakaiteilla on kaksittain yksi yhteinen sivu.

Pitkätkö niiden sivut ovat?

4:, \ Vuoden 1878 lopussa oli eräällä naisella säästö- pankissa 200 mk. Pääomaansa lisää hän joka vuo- den alussa 10 mk. Milloin on pääoma kasvanut 500 markaksi, jos luetaan korkoa korolle 5 0/0:n mukaan?

5. Kolmiossa on määrättävä piste, josta kolmion kärkiin piirretyt janat jakavat kolmion kolmeen yhtä-

suureen osaan. _

@'

Piirrä ympyräviiva, joka kulkee määrätyn pis- teen kautta ja sivuaa kahta annettua suoraa.

7. Määrää kulma C kolmiossa, jossa a

=

100 m, b = 150 m ja c = 200 m?

8. Suora salama näkyy 40° kulmassa. Salaman ja _ pamahduksen väli oli 13 sek jQ jyrinätä kesti leimah-

duksen jälkeen vielä 4 sek. Pitkäkö oli salama kun

,

ääni sekunnissa kulkee 1/3 km?

9~\ Kuinka monta kannua litra on, kun kannu on 100 kuutiokymmenystuumaa, 1 m on 3,3681 jalkaa ja jalka on 10 kymmenystuumaa ? .

10. Kun harpilla piirretään ympyrä ja harppia kul- jetetaan niin, että sen kylkien muodostama taso on alati kohtisuorassa paperin tasoa vastaan, niin harpin kyljet muodostavat liiknntonsakautta sekä suoran eheän' että. suoran katkaistun kartion sivupinnat. Suu- retko ovat näiden pintojen alat ja sen kappaleen tila-

- 8 -

vuus, jota rajoittavat nämä pinnat ja ympyrän taso.

kun harpin kyljet ovat 5 dm ja kärkien väli on 6 dm?

11. Hevonen vetää 500 kg ylämäkeä, jonka nousu on 3 sadalta. Suurenko vastavoiman tulee hevosen voittaa, jos kitkakoeffisientti on 0,03?

1880.

1:' Todista väittämä: .Jos kolmion kahdesta kärjestä piirretään korkeusjanat, niin näiden kärkien ja kor-

i. \ keusjanojen kantapisteitten kautta käy pIirtäminen ympyrä vii va.

'2. Piirrä kahden samaan tasoon kuuluvan ympy- rän yhteiset tangentit.

8. Puolenpäivän aikana tammikuun 1 p. 1880 osoit- taa kello Helsingissä 6 t 41 min 50 sek; vuoden ku- luessa se edistää säännöllisesti vuorokaudessa 3 min 56,56 sek. Milloin se vuoden kuluessa osottaa samaa tuntia, minuuttia ja sekunttia kun tavallinen oikein käypä kello?

i-.

Ratkaise yhtälöryhmä

f3x+2y ~4z=9

:5x-3y+6z = 15

ls

^x

+

^{6 Y - 4 z = 32.}

5. Laivaväelle jaettiin .joka päivä matkan kestäessä a sama määrä leipää ja matkan päätyttyä oli leipä lo-

pussa. Jos matka olisi kestänyt 5 vuorokautta kau- vemmin, niin olisi täytynyt jakaa 6 kg vähemmän päivää kohden, jotta leipävarat riittäisivät. .Jos taa- sen matkaan olisi mennyt neljä vuorokautta v'ähem- män aikaa, niin olisi sopinut jakaa ' 6 kg enemmän vuorokaudessa ja perille päästessä olisi kuitenkin ollut

- 9-

r

I .

jäljellä 18 kg leipää. Montako päivää matka kesti ja paljonko leipää joka päivä jaettiin?

6. Helsingin Nikolainkirkon portaat ovat Iampuilla valaistavat; ylimmälle portaalle asetetaan yksi lamppu, toiselle kaksi, kolmannelle kolme j. n. e., niin että kullekin portaalle pannaan yksi lamppu enemmän kuin lähinnä olevalle ylirnmälle portaalle. Tähän tar- vitaan 1081 lamppua; Montako porrasta on?

7. On tehtävä sylinterin muotoinen rasia niin, että siihen tarkalleen mahtuu pallo, jonka ~ilavuus on 14,13 dm^3• Montako dm² peltiä tarvitaan rasiaan ilman kantta?

8. Kolmiossa on sivu a

=

19,8 m, kulma A = 170 0' 12" ja kulma B

=

116° 20' 10"; määrää sivu b, kulma C ja kolmion ala.

9. Suorakulmaisen kolmion isompi kKteetti on pie- nemmän ja hypotenuusan keskipropEft sio1:aali ja kol-

o mion ala on 5 m^2• Määrää kolmion sivut ja kulmat.

lO.(,. Painovoiman kiihtyväisyyden lukuarvo on. 981, jos cm on pituuden ja sek ajan yksikköinä. Mikä on kiihtyväisyyden lukuarvo, jos m on pituuden ja lQin ajan yksikköinä.

1881.

1. On piirrettä vä tunnetulla säteellä ne ympyrät" . jotka sivuavat tunnettua ympyrää ja joiden keskipis- teet ovat tunnetulla, ympyrän tasossa olevalla, suo- ralla viivalla.

2.R Piirrä kolmio, kun kaksi sen kulmista ja sivu- jen summa on tunnettu.

3,( Todista väittämä: .Jos tasakylkisen kolmion asema- kulmat jaetaan kahtia ja ne pisteet, joissa nämä kah-

- 1 0 -

tiajakajat leikkaavat kolmion kylkiä, yhdistetään, niin ^{r , -}

. hd ⁰ t . k L ^I

yhdistävä Jana on y ensuun alIlen aseman anssa.

4. Vuokraaja saa suorittaa vuotuisen vuokramak- . sunsa joko rahassa tai rukiissa ja maidossa näille sovi- tusta hinnasta. Suuriko vuokra on rahassa lasket-·

tuna ja mikä rukiille ja maidolle sovittu hinta on, kim vuokraa yhtenä vuonna maksettiin 80 hl ruis ta, 300 1 maitoa ja 320 mk, toisena vuotena 65 hl ruista, 200 1 maitoa ja 58ti mk 25 p sekä kolmantena 85 hl ruista, 500 1 maitoa ja 181 mk 25 p?

.l

^5~f Ratkaise yhtälö

x - 6 x -- 12 5 x- 12- x -

6 = 6'

6. Myllyssä jauhetaan 5 tunnissa kahdella kivi- parilla yhteensä 9 hehtol. rukiita. Toisella parilla yksin jauhetaan ruishehtolitra 15 minu!lttia lyhemmässä ajassa kuin toisella. Missä ajassa kumpaisellakin kivi- parilla erikseen jauhetaan ruishehtolitra?

7. Astia on katkaistun kartion muotoinen, sen sy- vyys on !:J cm, pohjan halkaisija 4 cm ja suun hal- kaisija () cm. Paljonko astia vetää ja suuriko on sen sisäpuolisen pinnan ala?

8. Kolmiossa on a = 22 m, b = 15 m ja C 33° 45' 12"; määrää muut kulmat ja kolmas sivu.

9. Ympyrän kaaren vastaava jänne on 4 dm ja kaari itse 225°. Suuriko on sen ympyräviivan säde, josta kaari on osa?

10. Kuinka korkea olisi ilmakehä, jos sen tiheys joka kohdalta olisi sama kuin maanpinnalla, jostla sen ominaispaino on 0,0013, kun barometrikorkeus_~ol} 760 mm ja elohopean ominaispaino on 13,6?

- 1 1 -

I ~

, ,

1882.

1. - Todista väittämä: Suunnikkaan vastakkaisten

i

kulmain kahtiajakajat ovat. joko yhdensuuntaiset tai

yhtyvät. . I

2.

g

Piirrä ympyrässä olevan pisteen kautta jänne

I

siten, että se tässä pisteessä jakaantuu'kahteen osaan, joista toinen on kaksi kertaa niin suuri kuin toinen. ;

3. On piirrettävä kolmio, kun tunnetaan sen asema ja toinen asema kulma, sekä niiden kahden ympyrän keskipisteiden väli, joista toinen on piirretty kolmion sisään ja toinen sivuaa tunnettua asemaa sekä mo- lempien toisten sivujen jatkoja.

!l4. Mestarilla on apunansa sälli ja oppipoika ja an-

saitsee ensimäisenä kuukautena 60 mk; toisena kuu- kautena on hänellä kaksi sälliä ja kolme oppi poikaa ja paitsi sitä kuun jälkipuoliskolla kolmaskin sälli sekä ansaitsee 110 mk; kolmantena kuukautena tekee hä- nen kanssaan työtä kuun edellisellä puoliskolla viisi sälliä ja kolme oppi poikaa sekä kuun jälkipuoliskolla kuusi sälliä ja kaksi oppi poikaa, ja ansaitsee silloin 165 mk. Paljonko ansaitsee hän kuukaudessa erik- seen omasta, sällinsä ja oppi poikansa työstä?

5. ",Ratkaise yhtälö

5 5x (x

+

^{0,5) (x -0,5)}

+

¹²

^=6'

6. Määrää c yhtälöstä 5 x² - 7, 5 x

+

^c

= °

^niir.,

että juurie~ neliöiden erotus on 0,15.

7. Suorassa kartiossa suhtautuu korkeus aseman säteeseen kuin 4: 3. Jos kartion sivupinta tasoitetaan, niin slJuriko on siten syntyneen Yl)lpyrän sektorin kulma?

- 12 ~

Kolmiossa on a

=

47,96 dm, b

=

55,82 dm ja c 8. 62,62 dm. Suurikodn A ja mikä on kolmion ala?

Kolmiossa on yksi· sivuista 12 cm ja toinen 9

9. .

cm' näiden sivujen vastassa olevista kulmista ~n Isom- ma~ sini yhtäsuuri kuin pienemmän tangenttI. Suu- retko ovat kolmion kulmat?

10. Pitkänkö matkan tonnin painoinen kappale kul- k ee 2 minuutissa. ios siihen koko ajan vaikuttaa 10 , ~ . . kilon suuruinen voima liikkeen suuntaan? . PaIDovo~- man kiihtyväisyys on 9,81, kun metri on pItuuden Ja sekuntti ajan yksikköinä.

1883.

1. Etsi lukujen 1221, 2849, 3367 ja. 4995 suurlll yhteinen tekijä. .. . . . . .. .

l~' A:n, B:n ja C:n pItI Jakaa ke~kenans~. ~:aa~

rahasumman suhteessa}:

t: i ..

Jostaklll syysta taytYl C:n jättää puolet osastansa~A:n ja B:n kesken jaetta-

vaksi suhteessa -}: {-. Miten on summa jaettava?

( 3. R Näytä toteen, että viisikulmiossa kaikki~~ .lävis- täjien summa on pienempi kuin .2-kertaine~ pllIl. .

4. Suorakaiteen sivut ovat 225 ja 157 PItuusykSIk- köä. Suorakaide on jaettava vähimpään lukuun ne- / liöitä. Montako' saadaan ja pitkätkö ovat niiden sivut?

l/

^{5. A oli velk~a; B:lle· 1 ~3 mk.:} ~uoritt~essaan oli A:lla ainoastaan D markan Ja B:lla allloastaan12 mar- kan seteleitä. Maksu tapahtui siten, että he vaihet- tivat setelit keskenänsä. Paljonko rahaa oli kummal- lakin, kun heillä yhteensä oli 257 mk?

6.' Ratkaise yhtälöryhmä

{ X2 -- y2

+

^{2 (x}

+

^y)

⁼

⁹

x-y=7.

- 13 -

\

I II

r

v

7. Kolmion sivut jaetaan n

+

1 yhtä suureen osaan ja jakopisteet yhdistetään siten, että yhdistävät janat tulevat sivujen suuntaisiksi. Monesko osa on trans- versaalien summa kolmion piiristä ja milloin on tämä summa yhtä suuri kuin piiri?

8. Laske cos

V

⁰ juurilausekkeena.

9. Muuta logaritmeja käyttämättä

t y

^{2 +]12} desi,- maaliluvuksi kahdella desimaalilla.

10. Syyskuussa v. 1872 mitattiin Helsingin tähti- tornista Nikolainkirkon huipun ja zenitin väli; tämä kulma oli 87° 5' 59",5. Tähtitornin ja kirkon vaaka- suora väli on 950 m; tähtäyskone oli 30,6 m yli me- renpinnan. Korkeallako yli merenpinnan on kirkon huippu?

11. Kartion aseman säde on

V3

dm ja korkeus

y

27 dm. Määrää kartion tilavuus ottamalla kolme desimaalia.

12.. Miten sopii tangolla, joka on tasa-aineinen ja joka kohdaltaan yhtä vahva, määrätä kappaleen paino, jos tangotl paino' tunnetaan?

1884.

1. R.Etsi lukujen 989, 2623 ja 3139 pienin yhteinen

.d iaettava.

II

h t '1 ;; ;

!l II ',.1 I '

I '

2. Todista, että kaikkien niiden kolminumeroisten lukujen summa, joissa on samat numerot, on jaollinen 3:l1a, 37:11ä sekä numeroiden fmmmalla.

•• f. Ratkaise yhtälöl'yhmä

f

^{1 1 _ 5}

!i+y-6' 11

^{1 _}

ⁱ li - y - 6'

- 14

II .

I 4. Suorakaiteen piiri on 16 m ja ala 7 m²• Pit- kätkö ovat suorakaiteen sivut?

5. Toisen asteen yhtälössä on juurien summa ,a ja niiden neliöiden summa b., Mikä on yhtälö '?

6. Piirrä x, jos x: a

=

1 :

y'2

ja a on tunnettu jana. \

7.

'ZSuo~a viiva ja sen ulkopuolella oleva piste tun- ' netaan; pisteen kautta on asetettava taso kohti suo- raan tunnettua suora a vastaan.

8. Laske sin x, kun cotg ~ = a. Mikä on sin x:n arvo, jos a

=

1

+

^y'2?

9. Kolmiossa on yksi sivuista a

=

704 ja toinen b

=

302 sekä jälkimäisen' sivun vastainen kulma B = 25° 14' .13". Määrää muut sivut ja kulmat.

10. Kurtio leikataan aseman suuntaisella tasolla kahteen osaan, jotka suhtautuvat toisiinsa kuin m: n.

Miten on taso asetettava'? Miten, jos kartio on jaet- tava kahtia?

11,\, Tuimetaan taso ja sen ulkopuolella kaksi pis- tettä, jotka molemmat ovat samalla puolella tasoa.

On tasossa mFiärätt,ävä piste, missä kimmoinen kap- pale kohtaa tasoa, jos kappale heitettynä toisesta tun- netusta pisteestä ponnahduksen jälkeen kulkee toisen pisteen kautta.

18t'S5

Å.

1. Todista, että luku, jonka m

+

n viimeistä nu- meroa, muodostavat 2^{m •} 5ⁿ:llä jaollisen luvun, itsekin on jaollinen sillä tulolla.

2. ';~,'roisen asteen yhtälön koeffisientit ovat ratsio-

naaIil3ia lukuja ja yhtälön toisena juurena on

~! -+ ~~.

Mik;/ on yhtälö?

- 15 c....

i/ 1·

f

3. Opettaja antoi oppilaillensa kaksi kokonaista lukua kerrottavaksi keskenänsä ja käski heidän, ker- tomisen toimitettua, koettaaksensa oliko oikein las- kettu, jakaa tulo pienemmällä luvulla. Kolmen oppi-. laan jakolasku ei käynyt tasan, vaan sai yksi heislä 672 osamääräksi ja 77 jäännökseksi, toinen 667 os1,1- määräksi ja 82 jäännökseksi ja kolmas 611 osamää- räksi ja 14 jäännökseksi. Jakaminen oli kyllä oikein

'imitettu, mutta kertomisessa oli kukin heistä tehn:y t t..:okuvirheen; enSlmall1en oli nimittäin unhottanut eräässä paikassa lisätä 2 »muistista», toinen oli seu- raavassa paikassa vasemmalle kädelle unhottanut lisätä 5 »muistista,> ja kolmas oli unhottanut tätä seu- raavassa paikassa lisätä 6 »muistista». Mitkä olivat ' ne kaksi lukua, mikä oikea tulo Ja mitkä niiden kol- men oppilaan tulot?

4. f\ Ratkaise yhtälöryhmä (x:y=y:z { x+y+z=a

, l x²

+

^y2

+

^{Z2 = b2•}

5. \\ Jos murtoluku, jonka nimittäjä on 7, muutetaan desimaaliluvuksi, niin mitkä luvut saattavat olla sen jaksoina?

6. Etsi yhtälön

(Wx+

Ci-)X = j reaalijuuri desimaali- lukuna, jossa on 5 desimaalia.

7. Montako ympyrää, joissa säteet ovat yhtä snuret, sopii piirtää niin, että ne siv.uavat toisi ansa peräkkäil ' sekä erästä ympyrää, jonka säde on yhtä suuri kuin edellä mainittujen ympyröiden?

Dm' .

. 8. 'iZTunnetulla·Js .. uOl'alla on määrättävä ne ptsteet, joista tunnettu ympyrä näkyy määrätyssä kuli assa.

- 16 -

9. Kahden kuution muotoisen jyvähinkalon asemesta on otettava suorakulmaisen parallelipipeedin muotoinen hinkalo, jonka asemana on neliö ja jonka korkeus on oleva yhtä suuri kuin molempien tunnettujen hinka- loiden korkeudet yhteensä. Määrää hinkalon aseman. särmä.

10. Minkä sentrikulman tangentit ja vastaavaiset jänteet ovat yhtä suuret?

11. Kun pilvi nähtiin eräästä paikasta, näkyi· se 10Ulmassa ja oli 43° 35' 8" yli horisontin. 'roia·een, 2526 metriä etelään päin olevaan paikkaan, näkyi sa- malla kertaa mainittu pilvi luoteessa. Korkeallako yli maan pinnan oli pii vi?

112. Kun oli purjehdittava A:sta B:hen, joiden paikko- jen välillä meressä käy virta, suunnattiin laiva suo- raan etelään. Jollei virtaa olisi ollut, olisi laiva pur- jehtinut tähän suuntaan 50 km nopeudella tunnissa.

Perille saapui se 54 tunnin kuluttua. Paluumatb.lla ohjattiin laiva luoteeseen, johon suuntaan se olisi pur- jehtinut 60 km tunnissa, jollei virta olisi siihen vai- kuttanut, ja saavuttiin 66 tunnin kuluttua' A:han.

Määrää virran suunta ja nopeus.

1885 B. *)

1. R.. Kun muutamien henkilöiden kesken jaettiin 247 ll1k, tuli jokainen saamaan 6 mk enemn1än kuin oli '--"

henkilöitä. Montäko henkeä oli?

2. Yn\i)yrän keMilä, jonka pituus on 100 metriä, liikkuu kaksi kappaletta niin, että ne kohtaavat toi-

*) Koska yleisesti valitettiin, että ISS5-vuoden tehtävät olivat liian vaikeat, antoi ylioppilastutkintovalic' .. ta uudet esimerkit.

2 17 -

sensa joka 20:s sekuntti, jos liikkuvat samaan suun- taan, mutta joka 4:s sekuntti, jos liikkuvat eri suuntiin.

Kuinka suuri on kummankin kappaleen nopeus?

3. ( Ratkaise yhtälöryhmä

{ x +

^{y = 58}

y-X+yy =

10.

4. Jaa luku a kahteen tekijään, joiden summa on mitä pienin.

5. Mikä on päättymättömän sarjan 1 - f

+

^(f)2-

(f)3

+ ( - w ...

^{summa? .}

6. Jos kolmioon on piirretty ympyra Ja se,n keskl- pisteen kautta yhden sivun suuntainen su~ra vii~~, niin tämä viiva leikkaa molemmat muut Sivut OSIIn niin. että ensimainitun sivun vieressä olevien osien sum'rpa on yhtä suuri kuin kolmion sisälle lankeava osa vhdensuuntaisesta suorasta.

7." Piirrä neliön ympäri toinen tunnettu neliö. Mi:- loin on tehtävä mahdollinen?

8. Minkä matkan päässä pallosta näkyy

i

sen pin- nasta?

9. Kolmiossa on a: b

=

3 : 4 ja B = 2 A. Suuriko on kulma A?

lO.RKun erivartisen vaa'an toiseen kuppiin pantiin

~ eräs tavara, painoi se 3 kg; mutta pantuna toiseen kuppiin 31- kg. Mikä on tavaran oikea paino?

1886. 2

1.-#

Kahdenmarkan rahassa on kehäkirjoituksena: i

Hopeata 83

+

osaa. Vaskea 12

t

osaa. Rahan toi-, sella puolen on kirjoitettu: 47,24 kappaletta naulasta selvää hopeata. On määrättävä, paljonko painaa yh- den markan raha.

- 18 -

(2.

aupungissa tuli jokaisen talonomistajan suo- rittaa kaupungin kassaan 5 % saadusta hyyrymäärästä.

Sittemmin määrättiin, että mainittu prosentti oli oleva 10.

Monellako prosentilla täytyy talonomistajien korottaa hyyryjä saadakseen saman puhtaan säästön kuin ennen?

3. RJaa trinoomi 11 x²- 8 x - 3 tekijöihin, jotka ovat ensimäistä astetta x:n suhteen.

4. Kahden luvun summa on 1886 ja niiden pienin

yhtej.Q~n jaettava 35351. Mitkä ovat luvut?

5. Hangon radan perustajat tarjosivat aikoinaan radan Suomen valtion lunastettavaksi sillä ehdolla, että valtio kaupan päätettäessä maksaisi 600900 mk ja sittemmin joka puolen vuoden loputtua saman sum- man 37 vuotena. Minkä summan olisi valtion pitänyt heti ja yhdellä kertaa maksaa, jos luetaan korkoa ko- rolta 6 % mukaan?

6. Todista, että teräväkulmaisessa kolmiossa kaksi korkeusviivaa leikkaa toisiaan niin, että toisen osien tulo on yhtä suuri kuin toisen osien tulo.

7. YzPiirrä suunnikas, kun tunnetaan sen sivut ja toinen niistä kulmista, joita lävistäjät muodostavat keskenänsä.

8. Tukkikaupassa lasketaan toisinaan sylinterin- muotoisen tukin tilavuus, jos tukissa on sydän- mätä, siten että tukin halkaisijasta (d) vähennetään mädän halkaisija (dl) ja jäännös pidetään semmoisen sylinterinmuotoisen tukin halkaisijana, jossa ei ole mätää. Kumpainenko, ostaja vai myyjä häviää tämän laskun mukaan, ja montako Olo kelpaavasta puusta on tuo häviö?

9. Kahden yhden mukaisen kartion tilavuudet suh- tautuvat toisiinsa kuin m: n. Miten suhtautuvat toi~

siinsa niiden' sivupinnat?

- 19 --

L I

10. Sin x

= t

ja sin y

= -13'

Laske sin (x T y).

11. Kolmiossa on yksi sivuista 10 m ja toinen 20 m sekä kolmion ala 60 m²• Määrää kolmas sivu.

12. Miten on kolmeen pisteeseen, joidf'n keskinäiset välit tunnetaan, jaettava eräs paino, jotta siten saa- tujen painovoimien painopisteenä tulisi olemaan kol- mioon piirretyn ympyrän keskipiste?

1887 . . , &.

1 Eräänä' vuonna oli vehnätynnyrin hinta 2 OJa ja sen paino 4 OJa suurempi kuin edellisenä vuote!1a . Mo- nellako OJa:lla pitää leipurin korottaa tai alentaa vehnä- le~vän hintaa, saadakseen saman ':.?~ kuin ennenkin?

2. ~Kun kahden luvun suurin yhteinen, tekijä etsi- . tään uudistettujen jakojen kautta, saadaan osamää- riksi järjestyksessä 4, 5, 1 ja 2 sekä suurimmaksi yh- teiseksi tekijäksi 111. Mitkä ovat luvut?

3.

II

Huvilan hinta oli maksettava siten. että 4000 , mk maksettaisiin heti ja 52ö3 mk

t

vuoden kuluttua';

sittemmin ehdotti myyjä, että ostaessa piti maksaa 6500 mk ja 1 vuoden kuluttua 2756 mk. .Jos molem- mat maksutavat ovat yhtä edulliset, kysytään, minkä

%:n mukaan laskettiin korko ja paljonko piti myyjän saaj.a, jos kauppasumma olisi heti maksettu?

,-4-. Suunnikkaan piiri on 10 m ja sen toinen lävis-

\- l 60^{0 N} 'k

täjä 4 m sekä sen vastassa oleva ku ma . Duuri 0

on toinen lä vistäjä ja ala?

,5.\ 'l'odista, että säännöllisen viisikulmion 'kaksi lä- vistäjää, jotka eivät lähde samasta kärjestä, jakavat toisensa jatkuvaisessa suhteessa.

6. Miten on oppikirjoissa tavattava kahden janan keskiproportsionaalin etsimistä koskeva sääntö muo-

- 20-

dostettava, jos puoliympyrän asemesta piirretään joku mielivaltainen ympyränkaari ?

7. Katkaistun kartion muotoisen vesisäiliön korkeus oli 4 1/2 m, pohjan halkaisija 5 m ja suun halkaisija 5

1 /2

m. Uusi säiliö oli tehtävä edellisen kanssa yh- denmukaiseksi niin, että se tulisi vetämään 300 m³•

Minkä mittaisiksi ovat uuden säiliön osat tehtävät?

8. Ympyrään piirretty jänne on

t

kehän pituudesta.

Suuriko on pienempi niistä kahdesta kaaresta, joihin jänne jakaa kehän?

9. Kolmiossa on yksi sivuista 10 m,· vastainen kulma 31⁰ 21' 36" sekä molempien toisten sivujen summa 20 m. Laske joko mU,iden sivujen pituudet taikka kolmion ala .

10. Katkaistun suoran kartion muotoisessa kup- paussarvessa oli sivuviiva 4 cm, pohjan halkaisija 1¹/2 cm ja suun halkaisija 3 cm sekä siihen suljetun ilman jäntevyys 360 mm. Monenko kilon voimalla painaa ulkoilma S,trven ihoa vastaan, jos barometrin silloinen korkeus oli 760 mm? (Elohopean ominaispaino = 13,6).

1888.

1.\( Mikä on i:n arvo, jos

~a + ~b = Vz?

(1)"') a - b

i72l ~Maitoon,

jota eräs määrä maksoi 60 penniä, li- sktt'iin sen verran vettä, että seosta maksoi sama määrä v~l,in 40 penniä. Montako OJa vettä lisättiin? (1) *)

3.w..Tukkukauppias' myi tehtaasta ostamansa tava- ran vähittäismyyjälle hintaan, joka eräällä Ofo:lla oli korkeampi ~uin tehtaan hinta. Vähittäismyyjä myi

'i') (1) = helppo.

- 21 -

I

r

I

I

tavaran hintaan, joka oli yhtä monta OJa känen osto- hintaansa suurempi. Tavaran hinta tuli silloin ole- maan 21 OJa korkeampi kuin tehtaan hinta. Montako Ofo v<?itti kumpainenkin kauppias? (1)

4. '·'Ratkaise. yhtälö

V

^{ö 1}

^{+ x+Vl+X=~}

^{x . 3 - x}

^Vr;'

⁽¹⁾

5. Etsi yhtälöiden

Jx+y+z=O

1

^xy

+

^{xz + yz = 0}

l xyz = 1 juuriryhmät. (2)*)

6. Kolmio, jonka sivut· ovat a = 3 m, b = 2~ m ja c = 30 m, on muutettava toiseksi, niin että sivun b vastassa oleva kulma jää muuttumatta, mutta piiri on tuleva puoleksi tunnetun kolmion piiristä. Mitkä ovat uuden kolmion sivut a', b' ja c'? (3)*"')

7. Jos kahdesta pisteestä, jotka ovat ympyrän hal-' • kaisijalla tahi sen jatkeilla molemmin puolin keskipis- tettä ja yhtä kaukana r;iitä, piirretään kohtisuora't ja- nat mielivaltaista tangenttia vastaan, niin on todistet- tava, että näiden kohtisuorien r;umma tai erotus on yhtä suuri kuin ha.lkasija. (1)

8. Neljä suoraa a, b, c ja d ovat samassa tasossa.

Piirrä d:n suuntainen suora niin, että b jakaa kahtia sen osan piirretyr;tä suorasta, joka on a:n ja c:n välillä< (2) 9. Sylinterinmuotoinen tukki, jolla on vaakasuora asema, uppoaa veteen 314:ksi halkaisijataan. Määrää tämän mukaan puun ominaispaino. (2)

10.' Siihen tähti tieteelliseen työhön, jonka tarkoi- tuksena oli taivaan pohjoispuoliskon tutkiminen, otti

") (2) = keskink. vaikea; ."*) (3) = vaikea.

- 22 -

osaa Helsingin observatoorio, tarkastamalla sitä vyö- . hykettä, joka on 55:nnen ja 65:nnen deklinatsioonipii- rien välillä. Monesko osa koko työstä tuli mainitun observatoorion osalle? (1)

11. Ympyrän kehästä on erotettava kaari niin että .

,

vastaavan jänteen suhte säteeseen on yhtä suuri kuin kaaren cosini. Mikä on kaaren asteluku ? (2)

12. Kolmiossa on sivu a

=

99,78 cm. b 43,56 cm ja c

=

86:86 cm. Suuriko on kulma A? (1)

1~89.

1.\<

Laske yhteen lausekkeet

Va

+

Vb

ja a -

Vb

.. . V a

+Vb

seka saata summa yksmkertaisimpaan muotoonsa. (1) 2. t.:Joku aika sitten oli hopean ja kullan arvo.ien suhde 1: 15; nykyään on suhde 1:' 21. Montako ^c 0/0

on kullan arvo kohonnut ja montako % hopean arvo

alentunut? (1) -

.3. ~~Ii.es osti 8075 markalla kahdenlaisia arvopape- reita, JOlden kumpaisenkin nimellisarvo oli 100 mk.

Toisen arvopaperilaadun silloinen arvo oli 101 ¹/4 sekä tuotti korkoa 4⁰;0; toisen arvo oli JOO fl/4 ja tuotti kor- koa 4 1/2 OJa. Vuotuista korkoa sai mies kaikkiaan

3~5 mk. Mootako kappaletta kumpaakin laatua osti mles? (1)

4.1\ Ratkaise yhtälöryhmä (x+y+z=31

t

^x2

⁺

^{Z2 -xz y2 = = 90 68. (1) /}

5. Piirrä se jana, jonka lukuarvona on yhtälön

~2 ~ px . __ q2 positiivijuuri, jos p ja q ovat tunnettu- Jen JanoJen lukuarvoja saman mitan suhteen. (1)

- 23-

6. Jos on piirrettävä kolmio, kun tunnetaan sivut a ja b sekä kulma B, nUn saattaa, jos b

<

a, piirtää kaksi kolmio ta ABC ja A' BC. 1'0dista, jos kolmatta si vua kumpaisessakin kolmiossa merkitään 0 ja 0', että ,a2 - b²

=

00'. (2)

",j

^7. Piirrä tunnettu jana asemana kolmio, jonka vas- takkainen kärki on tunnetulla suoralla ja painopiste toisella tunnetulla suoralla. (2)

8. Miten on piirrettävä ympyrä, jonka ala on yhtä- suuri kuin tunnetun suoran sylinterin tai kartion koko pinta-ala? (1)

A

B

Kuva 1.

c

9. Kolmisivuinen katkais- tu pyramiidi, ABCDEF on jaettu kahdella tasolla EAC ja ECD kolmeen pyramiidiin EABC

=

P₁, EACD

=

P2 ja

CDl<~F

=

P:;, Todista, että P₁ ^: P₂

=

P₂ ^{: p;J'} Mikä sääntö saadaan tästä katkaistun py- ramiidin tilavuuden laskua varten? (3) (Katso kuv. 1.) 10. Määrää kolmion kulma A yhtälöstä

sin A

+

^{oos A =}

^{t Y2.}

⁽²⁾

11. Laske kolmion ala, jos kaksi sen kulmista on 137⁰ 19' 18" ja 23° 53' 20" sekä niiden välissä oleva sivu 19,243 metriä. (1)

12. Heilurikello, joka ei ole lämmön vaikutuksen alainen, käy oikein Helsingissä. Jos kello muutetaan Pariisiin, niin hidastuu sen kulku 44 sek vuorokau- dessa. Missä suhteessa keskenänsä ovat painovoiman kiihtyväisyydet Helsingissä ja Pariisissa? (1)

-- 24 -

1890.

1 Suomen hopearahassa on hopean ja kuparin painosuhde sama kuin 83 1/3 : 12²jp, ja 94,48 markassa on 1 naula selvää hopeata" Mikä raha-arvo on mar- kanrahassa olevalla kuparilla, jos naulasta kuparia saadaan kuparirahoja :3 markan 32 pennin arvosta? (1) 2.~ Toimita jako (a⁵ b²

+

^{a2 b5): (a}

+

^{b). (1) /_}

;~.~A ja B olivat kauppaliikkeeseen panneet rahoja, joiden keskinäinen suhde oli 28: 29. A otti pois 292 päivän kuluttua rahansa sekä niille kasvaneen koron;

B otti rahansa korkoineen pois jo 219 päivän kuluttua.

Koska molemmat henkilöt saivat yhtäsuuret summat, kysytään: minkä 0;0 mukaan oli korko laskettu, jos vuoteen luetaan 365 päivää? (1)

4-. tlRatkaise yhtälö

2

Y2

~2 ^{_ 2}

+

^x·

+ Y2

= 1. (1) 5. Ympyrän kaari

AB jaetaan kahtia pis- teessä C, kaari CA kah- tia pisteessä D, kaari DC kahtia pisteessä E, kaari A

ED pisteessä F j. n. e. Si- ^{Kuva 2.}

B ten saadaan rajapiste X. Suuriko

kaaresta AB? (1) (Katso ku v. 2).

osa on AX koko 6. Kolmioon ABC piirre-

tyn sunllnikkaan ADEF ala on ~ kolmion alasta. Las-_{n .} ke, suuretko ovat suhteet AD : AB ja' AF : AC. (2) (Katso kU\'. 3).

- 25 -

B~--....::.,.",._ ....

Kuva 3.

c

v

7.f( Neljä pistettä A, B, C ja D ovat sellaisessa asen-

no~sa, että A:n ja B:n kautta sekä C:n ja D:n kautta piirretyt suorat leikkaavat toisensa pistepssä E niin, että EA: EC = ED : EB; todista että mainittujen nel- jän pisteen kautta käy piirtäminen ympyräviiva. (1)

S. Etsi nelikulmiossa sellainen piste, että siitä kum- . paan hyvänsä pariin vastakkaisia kärkiä piirretyt ja- nat jakavat nelikulmion kahteen yhtäsuureen osaan. (3)

9. Määrää sen sylinterin korkeus ja aseman säde, jonka sivupinta ja tilavuus ovat yhtä suuret kuin pal- lon pinta ja tilavuus, jos pallon säde on r. (1)

10. Sin x on määrättävä tg x:n funktsioonina ja se- litettävä miten kaavassa tavattava kaksoismerkki on

,

^.

käytettävä. (1)

11. Suorakulmaisessa kolmiossa ovat kateetit 244 m ja 151 m. Määrää kolmion kulmat. (1)

12. Kalle ja Otto laskevat alas suorasta sileästä mäestä. Kun Kalle on joutunut puoliväliin mäkeä, lähtee Otto liikkeelle. Minkä osan mäestä on Otto laskenut silloin, kun Kalle on joutunut mäen alapää- hän, jos niiuen alkunopeudet oli 0 ja kitka on kum- paisenkin keIkalla sama. (2)

1891.

l.~Kolme miestä A, B ja C oli eraana palVana yht'aikaa työstään vapaana; A on vapaa joka 12:s, B joka 15:s ja C joka 16:s päivä. Monenko päivän ku- luttua ovat he ensi kerran kaikki kolme yht'aikaa vapaina?

2. Etsi kolminumeroinen luku, jossa l:ksi kymme- nien luku on 3 kertaa niin suuri kuin satojen luku, 2:ksi yksiköiden luku on 1 pienempi kuin kymmenien

- 26-

luku ja 3:ksi, jos luvun numerot kirjoitetaan vastak- kaiseen järjestykseen, saadaan luku, joka on 297 suu-

rempi kuin etsittävä luku. 1

3. Etsi polynoomien a³ - a²b

+

^{3ab2 - 3b~ja a2}

_ 5ab

+

^4b2 suurin yhteinen tekijä.

4~ ·

Näytä toteen, että a² ja a³ ovat parittomia lu- kuj , . s a on pariton luku. .

5. ~iehiä ja naisia, yhteensä 32 henkeä, purkivat 480 sakin suuruisen kahvilastin. Joka miehen piti kantaa 3 kertaa niin monta säkkiä kuin miesten luku oli, mutta joka naisen vain puolet naisten luvusta.

montako miestä ja montako naista oli työssä?

6. Ratkaise yhtälöryhmä

{

X2

+

^{y2 = a2}

X 2y^{2 =} a²b2 --b4•

7. Kaksi vuorta, joistakumpaisenkin huippu on 1000 . m yli meren pinnan, ovat semmoisen etäisyyden päässä toisistaan, että välillä olevan meren kuperuuden takia toisen huipulta näkyy toisen huippu aivan meren pin- nassa. Vuorten huippujen väli on 225 km. On mää- rättävä maan säde.

8. Jos nelikulmion sivut jaetaan kahtia ja perät- . täin seuraavat jakopisteet yhdistetään, saadaan suun- nikas. Todista, että sen ala on puoli tunnetun neli- kulmion alasta.

Tunnetaan ympyrä ja sen ulkopuolella piste.

Piirrä pisteestä sekantti niin, että ympyrän sisään lan- keava osa siitä on yhtä suuri kuin säde.

10. Määrää sen pyramiidin korkeus jonka asemana on säännöllinen kuusikulmio, ja jonka kuutiosisältö on yhtäsuuri kuin aseman särmän luknarvo kuutioksi ko- roitettuna.

- 27-

l"l

A 11. Kolmiossa ABC tun~

netaan kulma B = 47° 30' 12" kulma C= 122°41'24"

,

sekä korkeusviiva AD = 11,11 cm. Määrää sivut b ja c. (Katso kuv. 4).

B'---.J---1n

a

C

®

Paljonko mekaanista työtä tulee käyttää 3000 vesilitran nostamiseen 240 metrin syvyydestä?

Kuva 4.

1892.

1. Kaksi miestä A ja B kyntää peltoa. Sillä aikaa, kun A kyntää 6 vakoa, kyntää B 5 vakoa, vaikka A:n kyntämät vaot ovat 100 metrin ja B:n kyntämät vain 90 metrin pituisia. Minkä ajan kuluessa on B:lI aura kulkenut saman matkan, kuin A:n aura on kul- kenut 10 tunnissa?

2.

II

A ja B yhteisesti tekevät erään työn 1~. päi~

väss~ A ja C yhteisesti toimittavat saman tyon. l~

päivässä sekä B ja C yhteisesti 24 päivässä. Mlssa ajassa A, B ja C yksin tekisivät mainitun .työn? .

3.

tt

Eräs luku sisarnksia peri 168000 mk, Jotk.a olI.va:

tasan jaettavat heidän kesken. Koska kakSI heJst.a kuoli, jaettiin niiden osuudet tasan muitten kesken, joten kukin heistä tuli näiden kahden osasta saamaai!

7000 mk. Montako sisarusta oli elossa'? . 4.IZ,Jaa tekijöihinsä polynoomi

. a4 __ 3a2b2

+

^3a2c2

+

^{3b2c2 - 4c4•}

5. Jaa luku a kahteen semmoiseen osaan, summa niiden osien kuutioista on mitä pienin ja mää- rää tämä minimiarvo.

- 28-

6 Etsi sen ympyrän keskipiste, jolle kolmesta tun- netusta pisteestä piirretyt tangentit ovat yhtä suuret.

7. Piirrä suora. joka kolmion ABC:n sivun BC:n kanss sa tekee määrätyn suuruisen kulman sekä leik- kaa CA:D jatkon niin, että se osa piirretystä suorasta, joka on kolmio~1 sis~llä, o~ yhtä su.~~i .. kuin se osa siitä, mikä on CA:n ptkon Ja AB:n valllla.

• Piirrä ympyrä, jOllka kehä kulkee kahden tun- netun pisteen kautta ja sivuaa tunnettua ympyrää.

9. Kolmio, jonka· asema on 5 m ja. korkeus 2,4 m, ajatellaan kerran kääntyvän asemansa ympäri. Suu- riko on siten syntyneen kappaleen tilavuus?

10. 8uunnikkaassa ovat lävistäjät 18 cm ja 24 cm sekä isommat sivut 16 cm pituiset. Suuretko ovat lävistäjien tekemät kulmat'?

11. Määrää suorakulmaisessa kolmiossa terävät kul- mat, jos toinen kateetti on hypotenuusan ja toisen kateetin keskiproportsionaali.

. 12. Kappale, joka painaa 4 kg, nOOitetaan kädellä ylös siten, että se joutuu tasaisesti kiihtyvään liik- keeseen, jonka kiihtyväisyys on puolet painovoiman kiihtyväisyydestä. Suuriko paine vaikuttila käteen, kun kappaleen oma painokin otetaan lukuun?

1893. K.

1 Rat.sastaja, joka vuorakaudessa matkustaa 15 tuntia, kulkee 20 vuorokaudessa 1875 km. Montako tuntia vuorokaudessa pitäisi hänen matkustaa, että hän 18 vuorokaudessa ennättäisi 2000 km, kun hän kum- paisessakin tapauksessa matkustaa samalla nopeudella?

2. Etsi polynoomin 49a²b² 8b³ (3a -- 2b)

+

5a^H (5a - 6b) neliöjuuri.

3. ((Todista, että kokonaisluku, jossa numeroiden summa on jaollinen 9:llä, itsekin on jaollinen 9:llä.

4. t~äärää ne y:n arvot, jotka vastaavat x = - 1

yhtälöss~ x²

+

^{3y - 2y2 - 2x = 1.}

)893. S.

5. Mies kylvää pienen määrän ulkomaalaista kau- raa. Sadon tästä hän kylvää toisena vuotena ja sitten joka vuosi edellisen vuoden sadon. Kolmannen vuoden sato oli 51,2 litraa ja viidennen vuoden sato 3276,8 litraa. Paljonko kylvi hän ensimäisenä vuotena ja monennenko jyvän sai hän pellostClan, jos otaksutaan,

1. fJEräs luku henkilöitä suostui maksamaan tasan määrätyn summan hätääkärsiville. Jos jokainen mak- saisi 5 mk, niii1 koottu summa olisi 110 mk liian suuri; jos taas jokainen olisi maksanut vain 3 mk, niin olisi se jäänyt 90 mk vaille. Montako osanottajaa oli ja suuriko oli koottava summa?

. 2. REtsi polynoomien x² - 3xy - 10y2, x2

+

^{2xy -}

( 35y² ja x^{2 -} 8xy

+

15y² pienin yhteinen jaettava.

3. Ratkaise yhtälöryhmä . että sadon ja kylvön suhde pysyi kunakin vuotena

samana?

!h..

Piirrä suorakaide, jonka ala on yhtä suuri kuin tunnetun neliön ala ja jossa kahden viereisen sivun erotus on tunnettu.

@

Ympyrä ja sen ulkopuolella oleva· piste tunne- taan. Etsi tunnettua pistettä ja ympyrän keskipistettä yhdistävälIä suoralla sellainen piste, että sen väli tun- netusta pisteestä on yhtä suuri kuin ne tangentit, jotka etsitystä pisteestä piirretään ympyrälIe.

8. Pallosegmentin korkeus on k ja sen asemaan piirretyn tasasivuisen kolmion sivu on 1. Mikä on sen pallon säde, josta segmentti on erotettu?

9. Kello 11 ^t 2^m 4⁸ e. p.p. oli kulma, jonka tähtäys~

viiva eräästä höyrylaivasta majakkaan tekee laivat~

kulkusuunnan kanssa, 68⁰ 4' 13"; kello 11 t 35~ 40⁸ e. pp.

samana päivänä oli ma:nittu kulma 108⁰ 46'50". Laske, kuinka kaukana mainittuina hetkinä oli laiva maja- ~ kasta, jos laivan nopeus oli 20 km tunnissa ja se kuko ajan kulki .samaan suuntaan.

10. Lyijypallo, joka painaa 10 kg, putoaa 20 m korkeudesta liikahtamattomalle pinnalle, Paljo?ko läm- pöä .syntyy työnnön kautta?

- 30 -

f x+t(y+z)=

^1U2

l

^{J y z}

^{+ +Hx+y) -}}

^(x

⁺

^z)

⁼

^{= 78 61.}

4~enkilö sijoitti erään pääoman liikkeeseen ja antoi ensimäisen vuoden koron myös jäädä liikkee- seen. Toisena vuotena menetti hän saman %, minkä hän ensimäisenä vuotena voitti, ja kun hän otti ra- hansa pois liikkeestä, sai hän vain

t

alkuperäisestä pää- omasta. Montako Ofo voitti hän ensimäisenä vuonna?

5. Ratkaise yhtälö

6x- ¹

+

^6-x

^{= Ii.}

6. Todista väittämä: Jos tasasivuisen kolmion ym- päri on piirretty ympyrä ja jostakin pisteestä ympyrän kehällä piirretään janoja kolmion kärkiin, niin keski- mäinen näistä janoista on yht~;j suuri kuin molempien toisten summa.

1. Ympyrän halkaisijan AB päätepisteestä B on piirretty tangentti ympyrälle. Siitä erotetaan B:stä al- kaen jana BO yhtä suurtlksi kuin AB. Pisteet A ja 0 yhdistetään. Erään kolmiossa ABO olevan BO:n suun- taisen transversaalin jakaa ympyrän kehä kahteen

- 31-

yhtäsuureen osaan. Missä suhteessa jakaa mainittu transversaali AB:n '?

8. Kartiossa, jonka korkeus on~ 5 m ja aseman säde il m, piirretään 2 m päässä asemasta sen kanssa yhdensuuntainen taso. Suuriko on saadun katkaistun kartion sivupinta ja tilavuus?

9. Kolmiossa on sivu a

=

332,6 m, b

=

418,2 m ja c = 374.5 m. Suuriko on kulma A ja kolmion ala?

10. Pendeli, jonka pituus on 1432,5 mm, heilahtaa Helsingissä 50 kertaa minuutissa. Mikä on painovoi- man kiihtyväisyys mainitulla paikkakunnalla'?

1894. K.

l.+f-Erääseen tehtaaseen ostettiin kerran vuode.n t~r~

peeksi öljyä 247 markalla 50 pennillä, mutta kalkkl,,81 kulunut sinä vuotena. Seuraavana vuotena oSH'ttun 245 markalla öljyä, joka määrä viime vuotisen jään- nöksen kanssa juuri riitti täksi vuodeksi. Edellisenä vuonna oli lamppujen luku 50 ja öljyn hinta 2 mk 25 p 10 litralta. Jälkimäisenä vuonna oli lamppujen luku 72 ja öljyn hinta 2 mk. 50 p 10 Yt~alta. Jok3ai~,e~

jälkimäisen vuoden lampUlsta kuluttI 3moastaan l' silta öljymäärästä, jonka jokainen edellisen :uod~n lam- puista kulutti. Kuinka paljon öljy.ä kul.uttJ yks~ lal~l~p~

kumpaakin lajia vuoden kuluessa Ja kumka palJon olJya jäi jälelle ensimäisenä vuotena? . .

2. Puolisuunnikkaan pinta-ala on 2000 m2 Ja pI- tempi sen yhdensuuntaisista sivuista on 60 m. Kuin.ka pitkä on lyhyempi yhdensuuntaisista sivuista, kun. tle- detään, että sen pituus on sama kuin yhdensuuntalsten . sivujen etäisyys toisistaan?

3. Jaa polynoomi 6x2 - (a-7)xy- (a+2) (a ~ 1\y2

yksinkertaisimpiin tekijöihinsä.

- 32 -

4. / 1

Kuinka pitkässä ajassa tulee kaksinkertaiseksi pääoma, joka tuottaa 6 Ofo korkoa vuodessa ja kas- vaa korkoa korolle, jos korko joka pliolen vuoden ku- luttua lisätään pääomaan '?

5. Pisteestä A, joka on ulkopuolisemmalla kah- desta ympyräviivasta, joilla on sama keskipiste, piir- retään kaksi suoraa siten, että ne sivuavat sisäpuo- lista ympyrää pisteissä B ja 0, sekä leikkaavat ulko- puolisen ympyrän pisteissä D ja E. Todista, että etäi~ys BO on puolet etäisyydestä DE.

Y Piirrä suorakaide, jonka piiri on a, ja jonka pinta- ala on b2. Milloin on tehtävä mahdol1men'?

7. Laske kolme sivuisen pyramiidin tilavuus, kun 'tunnetaan, että sen sivu- ja asemasärmät kaikki ovat

keskenänsä yhtä suuret ja

=

1 dm.

8. Järven pituutta AB määrättäessä on mitattu sen päitten A ja B etäisyys eräästä maalla olevasta pi~­

.. teestä 0 ja huomattu, että etäisyys AO = 289 m Ja etäisyys BO = 601 m sekä kulma AOB

=

^{1000 19'}

6',',4. Kuinka pitkä on järvi.

9. Hae se kulma x ensimäisessä kvadrantissa, joka täyttää ehdon'

sin x + cos x =

t·

10. Kolme matemaattista pendeliä, joitten pituudet ovat 144 mm, 324 mm ja 1024 mm, kulkevat yht'ai- kaa määrätyssä silmänräpäyksessä, tasapainoasemiensa

kau~ta.

La;ke kuinka monta heilahdusta kunkin niistä tämän jälkeen on tehtävä, kunnes ne kaikki jälleen samaan aikaan kulkevat tasapainoasemiensa kautta.

1. eos hoolia, jos 3

1894. S. •

! ^•

alkohoolia ja vettä. sisältää 68 ^1/3 Oja alko- lasketaan painon mukaan. Montako aio

- 33 --

k

v

Ij

cd

alkohoolia, tilavuuden mukaan laskettuna sisältää seos

,

, jos alkohoolin ominaispaino on O,81?

2.~Ratkaise yhtälöryhmä - fx +0,5Y - 3

J _x-o - + 7= 0

1

3y -- 10 (x- 1) x-y

l

⁶

+

^{- 4-}

+

¹

=

^0.

3. Kahden kaksinumeroisen luvun, x:n ja y:n, tulo on 930. Jos luku x kirjoitetaan luvun y:n eteen ja:

nif~ saatu nelinumeroinen luku jaetaan luvulta y, saa- daan osamääräksi 25 ja jäännökseksi 12. Mitkä ovat luvut x ja y?

-4. !( Rautatieasemalta A lähtee matkustajajuna ase- man B:n kautta, siinä kuitenkaan pysähtymättä, ase- malle. O. Junan nopeus on 36 km tunnissa ja A:n ja B:n väli on 24 km. Samaan aikaan lähtee B:stä kaksi tavaraJunaa, toinen A:hall, toinen O:hen, molemmat samalla nopeudella. A:sta tuleva matkustajajuna koh- taa toisen tavarajunan 1/2 tuntia aikaisem'min kuin se saavuttaa toisen. Kuinka suuri on tavarajunain nopeus? . 5. Vedä tasakylkisessä kolmiossa transversaali, joka Jakaa yhtä suuret sivut niin, että ne osat niistä, jotka joutuvat tmnsversaalin ja aseman väliin, tulevat kum- pikin yhtäsuuriksi kuin transversaali.

6. Kolmion kärjestä on vedetty suora asemalla ole- vaan pisteeseen X ja siten saatuihin pieniin kolmioi- hin on piirretty ympyrät. Todista, että ympyröiden säteiden tulo on yhtä suuri kuin niiden ison kolmion aseman osien tulo, jotka _ovat pisteen X ja ympyröi- den sivuamispisteiden välillä.

7. Ympyrä A sivuaa ympyrää B sisäpuolin pisteest:id, P. Suora viiva sivuaa A:ta pisteessä Q ja leikkaa B:n

- 34-

pisteissä R ja S. Todista, että kulma RPQ on yhtä suuri kuin kulma SPQ.

8. Meidän (katkaistun) kartion muotoisista mitta-as- tioistamme säädetään, että kahden litran ja sitä pie- nemmissä' astioissa suun läpimitan pitää olla kaksi kol- masosaa pohjan läpimitasta ja _nflljä viidesosaa kohti- suorasta korkeudesta. Laske sen muotoisen kahden litran astian korkeus sekä pohjan ja suun halkasijat!

9. Kolmiossa on sivu a = 56 cm, sivu b

=

^{41 cm}

ja kulma A = 108° 12' 42". Laske kulmat ~a 0 sef~

sivu c. (,~---,i '_}--: il ~ _;- J(., ,/ /"YV"" ^;tA.-)

10. Kalasumpun kanteen on tehty ympyränmuotqi- nen aukko, jonka halkaisija on 60 cm. Aukon keski- pisteestä pystysuoraan ylöspäin o.n 50 c~ pä~ssä valo~

lähde, joka oletetaan loistavaksi plsteeksl. KUlI1ka suun on sen valoympyrän halkaisija, joka syntyy sumpun ta- saiselle, vaakasuoralte 'pohjalle, jos sumppu on yhd en metrin syvyinen ja täynnä vettä? Ilman ja veden vä- linen taite-eksponentti on 1,33.

1895 IL

1. (i Hiekkanäyte sisältää kaksi mineraalia, kvartsia ja maasälpää. Kvartsi on puhdasta piihappoa, mutta maasälpä sisältää, paitsi 64 Ofo piihappoa, myös 36 Ofo muita aineita. Kun näytteestä tehdään kemiallinen analyysi, huomataan sen sisältävän 73 Ofo piihappoa.

Montako 0(0 kvartsia ja montako ^% maasälpää sisäl- tää tämä näyte?

2. Eräs keino, jolla voi tarkastaa, onko yh teenlasku oikein suoritettu, perustuu seuraavaan lauselmaan:

Jos useampien kokonaisten lukujen summa ja sa- moin näiden lukujen numerosummien summa jaetaan

- 35-

/)