Scanned by CamScanner
Scanned by CamScanner
ELEC-C4140 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 1. välikoe: 25.10.2016
1. (a) A/m
(b) Konservatiivisen vektorikenttäfunktion roottori on nolla kaikkialla eli se on pyörteetön.
Sen polkuintegraali pisteestä toiseen on riippumaton valitusta polusta. Se voidaan määri- tellä skalaarifunktion gradienttina.
(c) Integraalimuodossa Gaussin laki kertoo, että kokonaissähkövuo suljetun pinnan läpi (ulos- päin) on yhtä suuri kuin pinnan sisällä oleva kokonaisvaraus.
(d) Sähkökentänvoimakkuuden tangenttikomponentti (rajapinnan suuntainen komponentti) on jatkuva (eli sama pinnan molemmin puolin), ja sähkövuontiheyden normaalikompo- nentti on jatkuva.
(e) Magneettinen dipoli on rakenne, jonka magneettikenttä on samanlainen kuin sähködipolin sähkökenttä. Koska magneettisia varauksia ei ole olemassa, ei magneettista dipolia voi tehdä monopoleista. Virtasilmukan magneettikenttä on kaukana silmukasta dipolin kenttä.
(f ) Lenzin laki kertoo, että kun virtapiirin läpi kulkeva magneettivuo muuttuu, siihen indu- soituu sellainen virta, jonka oma magneettikenttä vastustaa alkuperäisen magneettiken- tän muutosta.
2. Coulombin lain mukaan pisteessäR1oleva pistevarausq1 kohdistaa pisteessäR2olevaan va- raukseenq2voiman
F12=q1q2
4πε0· R2−R1
|R2−R1|3
Tehtävässä pisteessä−(ˆx+yˆ)a/2 sijaitsevaan varaukseen kohdistuu voimia muista kolmesta varauksesta. Lasketaan ne yhteen.
F= q2 4πε0
µ
− xˆa
| −xˆa|3− yˆa
| −yˆa|3− (ˆx+y)aˆ
| −(ˆx+y)aˆ |3
¶
Eli
F = q2 4πε0
Ã
− xˆ a2− yˆ
a2− xˆ+yˆ
¡p 2¢3
a2
!
= − q2 4πε0a2
¡xˆ+yˆ¢ µ
1+ 1 2p
2
¶
Eli voima osoittaa poispäin toisista varauksista, symmetrisesti yksikkövektorin −(ˆx+yˆ)/p 2 suuntaan. Voiman itseisarvo on täten
|F| = q2 4πε0a2
µp 2+1
2
¶
Sen voi kumota vetovoimalla kohti muita varauksia. Pannaan origoon vastakkaismerkkinen pistevarausqk ja mitoitetaan sen suuruus siten, että voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaiset.
Paikkavektori origosta kulmapisteeseen on −(ˆx+yˆ)a/2, jonka pituus (eli varausten välinen etäisyys) on p
2a/2.
Siksiqk:n aiheuttama voima tarkasteltavaan varaukseen on
Fk= q qk
4πε0· −(ˆx+yˆ)a/2
| −(ˆx+y)a/2ˆ |3, |Fk| =|q qk| 4πε0 · 1
¡p
2a/2¢2= |q qk| 4πε0a2·2
Vaatimalla voimat yhtäsuuriksi (|F| = |Fk|) saadaan uuden varauksen itseisarvoksi suhteessaq- varaukseen
¯
¯
¯ qk
q
¯
¯
¯=1 2
µp 2+1
2
¶
≈0,9571 jaqkon tietysti erimerkkinen kuinq, jotta voima olisi vetovoima.
3. Lasketaan magneettikenttäz-akselilla Biot-Savartin laista
dH= I 4π
dl×Rˆ R2 = I
4π dl×R
R3
missädlon differentiaalinen virta-alkio (huomaa, että se on vektori, eli että sillä on suunta) ja Ron vektori virta-alkiosta tarkasteltavaan kenttäpisteeseenz-akselilla.
Nyt on virta-alkiodl=φˆbdφja vektoriR= −ˆrb+zˆz.
Integroidaan pitkin silmukkaa, jolloin saadaan
H(z)= I 4π
2π
Z
0
φˆ×(−ˆrb+ˆzz)
³p
b2+z2´3 bdφ= I b 4π³p
b2+z2´3
b
2π
Z
0
ˆ zdφ+z
2π
Z
0
ˆ rdφ
= zˆ2πI b2 4π³p
b2+z2´3
Huomaa, että jälkimmäinen integraali antaa nollan:
2π
Z
0
ˆ rdφ=
2π
Z
0
(ˆxcosφ+yˆsinφ)dφ=0
Magneettivuon tiheysz-akselilla:
B(z)=µ0H(z)= zˆµ0I b2 2¡
b2+z2¢3/2
