Kesän valmennustehtäväsarja
Ratkaisuita pyydetään lähettämään syyskuun alkuun mennessä postitse osoit- teeseen
Anne-Maria Ernvall-Hytönen Matematiikan ja tilastotieteen laitos PL 68
00014 Helsingin yliopisto
tai sähköpostitse osoitteeseen esavesalainen@gmail.com, johon voi myös lähettää kysymyksiä tehtävistä.
Hyvää kesää ja työn iloa!
Helpompia tehtäviä
1. Olkoot yhtälönx2+ (p2+ 1)x+p= 2ratkaisutx1jax2, ja olkoot ne nollasta poikkeavia sekä erisuuria. Määritä kaikki parametrin parvot, joilla
2x1−1
x2 +2x2−1
x1 =x1x2+ 55 x1x2.
2. Etsi kaikki positiiviset kokonaisluvutxjay, joilla (x2+y)(y2+x)
on jonkin alkuluvun viides potenssi.
3. Etsi kaikki reaaliluvutajab, joilla yhtälöparilla (x+a=y+b
x2−a= 2y
on yksikäsitteinen ratkaisu(x0, y0), ja tämä ratkaisu toteuttaa ehdonx100 +y100 = 1025.
4. Kolmiossa ABC, jossa AB > BC, pisteK on sivulla AB niin, että AK = BC+BK. Suora`, joka kulkee pisteenK kautta on kohtisuorassa janaanAB.
Osoita, että suora`, sivunACpuolittaja ja kulman∠ABCpuolittaja leikkaavat samassa pisteessä.
5. Olkoota,b,cjadreaalilukuja. Osoita, että pienin luvuista a−b2, b−c2, c−d2 ja d−a2 on enintään1/4.
6. Olkootajabreaalilukuja. Josa+b= 4jaa2+b2= 14, niin mitä ona3+b3? 7. Olkoon ABCDE säännöllinen viisikulmio, ja leikatkoot suoratAB ja DE pisteessäF. Selvitä kolmion4BEF kulmat.
1
8. Kolmion ympäripiirretty ympyrä peilataan yhden kolmion sivun suhteen.
Osoita, että peilikuvaympyrä kulkee kolmion korkeusjanojen leikkauspisteen kautta.
9. Olkoonn>2kokonaisluku. Laske
Sn=
n−1
X
k=1
sinkxcos(n−k)x.
10. Olkootαjaβ reaalilukuja väliltä]0, π/2[, ja oletetaan, että cos2(α−β) = sin 2αsin 2β.
Osoita, ettäα+β =π/2.
11. Kolmion sivujen pituudet ovata, b jac. Selvitä, milloin myösa2,b2 ja c2 ovat jonkin kolmion sivujen pituudet.
Vaikeampia tehtäviä
12. Määritellään positiiviselle kokonaisluvullenlukuanseuraavasti:an = 0, jos luvullanon parillinen määrä lukua2007suurempia tekijöitä jaan = 1, jos luvul- lanon pariton määrä lukua 2007suurempia tekijöitä. Onko luku0,a1a2a3. . . rationaalinen?
13. Etsi kaikki positiviiset kokonaisluvut n, joilla pätee, että jos a, b, c >0 ja a+b+c= 3, niinabc(an+bn+cn)63.
14. Olkoona1> 121 jaan+1=p
(n+ 2)an+ 1, kunn>1. Osoita, että 1. an > n−2n,
2. jonobn= 2n ann−1
suppenee (n= 1,2, . . .).
15. Ratkaise yhtälöryhmä kokonaislukujen joukossa:
(3a4+ 2b3=c2,
3a6+b5=d2.
16. Olkoot a ja b erisuuria positiivisia reaalilukuja. Etsi kaikki positiivisten reaalilukujen parit (x, y), jotka ratkaisevat yhtälöparin
x4−y4=ax−by, x2−y2=√3
a2−b2.
2
