Greenin ja Stokesin lauseet

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro Gradu -tutkielma

Niina Oksman

Greenin ja Stokesin lauseet

Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka

Toukokuu 2012

Tampereen yliopisto

Informaatiotieteiden yksikkö

OKSMAN, NIINA: Greenin ja Stokesin lauseet Pro gradu -tutkielma, 38 s.

Matematiikka Toukokuu 2012

Tiivistelmä

Tutkielma käsittelee vektoriarvoisten funktioiden integrointia. Tutkielman aluksi palautetaan mieleen, mitä ovat vektoriarvoiset funktiot, ja esitetään käyrän ja pinnan määritelmät. Tämän jälkeen käydään lyhyesti läpi sileän käyrän, sileän pinnan, suunnistetun käyrän, suunnistetun pinnan, takaisinve- tosijoituksen ja differentiaalisen k-muodon määritelmät. Ennen tutkielman pääaiheen esittämistä katsotaan, miten määritetään funktion integraali yli kaksiulotteisen joukon ja määritellään viivaintegraali ja pintaintegraali.

Tutkielman pääaiheena on Greenin ja Stokesin lauseet. Molemmat lauseet väittävät, että

I

∂ ~S

ω = Z Z

S~

dω,

missä ω on differentiaalinen 1-muoto ja S~ on suunnistettu kaksiulotteinen joukko. Lauseet eroavat ainoastaan ympäröivän avaruuden osalta. Greenin lausetta tarkastellaan kolmessa eri tapauksessa ja Stokesin lausetta kahdessa eri tapauksessa. Lauseille esitetään todistukset kussakin tapauksessa.

Lukijalta oletetaan differentiaali- ja integraalilaskennan perusosaamista sekä vektoreiden laskutoimitusten hallintaa. Päälähteenä tutkielmassa käy- tetään James Callahanin kirjaa Advanced Calculus: A Geometric View.

Sisältö

1 Johdanto 1

2 Valmistelevia tarkasteluja 2

2.1 Vektoriarvoiset funktiot . . . 2

2.2 Käyristä ja pinnoista . . . 3

2.3 Suunnistetut käyrät, tasoalueet ja pinnat . . . 5

2.4 Sijoitusmenetelmistä ja differentiaalimuodoista . . . 7

3 Integraaleista 10 3.1 Tasointegraali . . . 10

3.2 Viivaintegraali . . . 13

3.3 Pintaintegraali . . . 15

4 Greenin ja Stokesin lauseet 18 4.1 Greenin lause . . . 19

4.2 Stokesin lause . . . 30

Viitteet 38

1 Johdanto

Tämä tutkielma käsittelee vektoriarvoisten funktioiden integrointia. Tutkiel- massa keskitytään Greenin ja Stokesin lauseisiin ja niiden todistuksiin. Mo- lemmat lauseet väittävät, että

I

∂ ~S

ω = Z Z

S~

dω,

missä ω on differentiaalinen 1-muoto ja S~ on suunnistettu kaksiulotteinen joukko. Lauseet eroavat ainoastaan ympäröivän avaruuden osalta.

Ennen kuin esitetään tutkielman pääaihe, käydään läpi pääaiheen kan- nalta tärkeitä määritelmiä ja lauseita. Luvun 2 alussa palautetaan mieleen, mitä tarkoitetaan vektoriarvoisilla funktioilla, ja katsotaan käyrän ja pin- nan määritelmät. Tämän jälkeen määritellään sileä käyrä ja sileä pinta sekä suunnistettu käyrä ja suunnistettu pinta. Luvun lopussa määritellään diffe- rentiaalinen k-muoto ja takaisinvetosijoitus.

Luvussa 3 katsotaan ensin lyhyesti, miten integroidaan yli kaksiulotteisen joukon ja yli suunnistetun kaksiulotteisen joukon. Luvun 3 kappaleissa 3.2 ja 3.3 määritellään viiva- ja pintaintegraali ja esitetään muutama lause näihin liittyen.

Luvussa 4 Greenin lausetta tarkastellaan kolmessa eri tapauksessa: kun suunnistettu kaksiulotteinen joukko S~ on sekä muuttujan x että muuttujan y funktioiden rajoittama, kun joukko S~ on vain toisen muuttujan funktioi- den rajoittama ja kun joukkoS~ on näiden kahden edellä mainitun tyyppisten joukkojen yhdiste. Lauseelle esitetään todistukset kussakin tapauksessa. Sto- kesin lause esitetään differentiaalimuotojen avulla ja todistetaan differentiaa- limuotoja ja takaisinvetokuvausta käyttäen. Stokesin lause todistetaan ensin suunnistetulle pintapalalle ja sitten suunnistetulle pinnalle.

Tutkielmassa lukijalta oletetaan differentiaali- ja integraalilaskennan pe- rusosaamista sekä vektoreiden laskutoimitusten hallintaa. Tällä tarkoitetaan yliopiston analyysin kurssien asioita. Nämä asiat voi kerrata esimerkiksi Tom Apostolin kirjoista Calculus, Volume 1: One-Variable Calculus, with an Int- roduction to Linear Algebra ja Calculus, Volume 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Proba- bility.

Päälähteenä tutkielmassa käytetään James Callahanin kirjaa Advanced Calculus: A Geometric View. Päälähteen lisäksi teorian tukemiseen ja esi- merkkeihin käytetään Tom Apostolin kirjaaCalculus, Volume 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equations and Probability, Robert Adamsin ja Christopher Essexin kirjaa Calculus: A Complete Course, Steven Weintraubin kirjaa Differential Forms: A Comple- ment to Vector Calculus ja Jerrold Marsdenin ja Anthony Tromban kirjaa Vector Calculus.

2 Valmistelevia tarkasteluja

Tässä luvussa esitetään tutkielman aiheeseen liittyviä määritelmiä ja lausei- ta.

2.1 Vektoriarvoiset funktiot

Tarkastellaan funktiota f : Rⁿ → R^m, missä n, m ∈ N = {1,2, . . .}. Kun funktion f sekä määrittely- että arvojoukko onR, puhutaan reaaliarvoisesta reaalimuuttujan funktiosta. Kun n = 1 ja m > 1, kutsutaan funktiota vek- toriarvoiseksi reaalimuuttujan funktioksi. Kun n > 1 ja m = 1, on funktio reaaliarvoinen vektorimuuttujan funktio, ja kun n >1 ja m > 1, on funktio vektoriarvoinen vektorimuuttujan funktio eli vektorikenttä.

Tässä tutkielmassa käsitellään vektoriarvoisia funktioita. Määrittelyjouk- ko kerrotaan kunkin asian yhteydessä. Jatkossa vektoriarvoisia funktioita merkitään lihavoiduilla kirjaimilla.

Tutkielmassa vektoreilla i,j jaktarkoitetaan luonnollisen kannan vekto- reita. Siis, josi,j,k∈R³, niini= (1,0,0),j = (0,1,0) jak= (0,0,1), ja jos i,j∈R², niini= (1,0) ja j= (0,1).

Esimerkki 2.1. Funktio f(t) = ₂^t i+√

t j+t³k on vektoriarvoinen funktio, missä vektoriti,jjakovat avaruudenR³vektoreita. Siis funktiofon funktio f:R→R³. Funktion f komponenttifunktiotf₁, f₂, f₃ :R→R ovat

f₁ = t

2, f₂ =√

t ja f₃ =t³.

Reaalimuuttujan vektoriarvoisten funktioiden raja-arvot, jatkuvuus, de- rivaatta ja integraali voidaan tutkia funktion komponenttifunktioiden avul- la. Nämä oletetaan tunnetuksi. Asiat voi kerrata esimerkiksi Tom Apostolin kirjoistaCalculus, Volume 1 ja Calculus, Volume 2.

Katsotaan kappaleen lopuksi, millaisista funktiosta käytetään nimitystä upotus.

Määritelmä 2.1. Olkoon f : T → R³ jatkuvasti differentioituva kuvaus, missä T ⊆ R². Kuvaus f on upotus pisteessäa ∈ T, jos funktion derivaatta pisteessä a on injektio. [3, s. 212]

2.2 Käyristä ja pinnoista

Kappaleessa määritellään sileä ja paloittain sileä käyrä sekä sileä ja paloittain sileä pinta. Aluksi esitetään käyrän määritelmä.

Määritelmä 2.2. Olkoon f : J → Rⁿ vektoriarvoinen funktio, missä J = [a, b] ja a, b ∈ R. Jos funktio f on jatkuva joukossa J, niin funktion f ar- vojoukkoa f(J) kutsutaan käyräksi. Käyrää merkitään kirjaimella C. [2, s.

323] Käyrää C sanotaankaareksi, jos se ei leikkaa itseään. Siis toisin sanoen arvojoukkoa f(J) sanotaan kaareksi, kun funktiof on injektio.

Käyrästä voidaan käyttää myös nimitystä viiva tai polku. Jos käyrän tai kaarenC alku- ja päätepiste ovat samat, niin käyrä tai kaari on suljettu. Sul- jetusta itseään leikkaamattomasta käyrästä käytetään usein nimitystä Jor- danin käyrä.

Huomautus 2.1. Määritelmässä 2.2 muuttujaa t∈J nimitetään paramet- riksi ja funktion f sanotaan parametrisoivan käyränC tai antavan käyrän C parametriesityksen. Käyrän parametriesitys ei ole yksikäsitteinen.

Esimerkki 2.2. Yksikköympyrän parametrisoiva funktio on f : [0,2π]→R²,f(t) = cost i+ sint j.

Määritellään seuraavaksi sileä käyrä ja paloittain sileä käyrä.

Määritelmä 2.3. Olkoon f : [a, b] → Rⁿ vektoriarvoinen jatkuva funktio, missä a, b ∈ R. Funktion f parametrisoima käyrä C on sileä, jos funktion f derivaatta on jatkuva ja f⁰(t) 6= 0, kun t ∈ ]a, b[. Käyrää C kutsutaan paloittain sileäksi, jos käyränC =C₁∪C₂∪. . . C_kjokainen komponenttikäyrä C₁, . . . , C_k on sileä ja käyrän C_i+1 alkupiste on käyrän C_i päätepiste, kun i= 1, . . . , k−1 ja k ∈N. [3, s. 7] [2, s. 323]

Siis jatkuvan yhden muuttujan funktion kuvaajasta käytetään nimitystä käyrä, viiva tai polku. Kun kyseessä on kahden muuttujan funktio, käytetään funktion kuvaajasta nimitystä pinta. Kappaleessa esitetään pintapalan mää- ritelmä parametrisoidun pinnan määritelmän sijasta. Parametrisoidun pin- nan määritelmä (ks. [1, s. 870] tai [2, s. 417]) on lähes sama kuin pintapalan määritelmä. Esitetään nyt pintapalan määritelmä ja määritellään sen jäl- keen paloittain sileä pinta ja sileä pinta. Tasoalueella tarkoitetaan yhtenäistä joukkoa, jonka reunaviiva on suljettu eikä leikkaa itseään [2, s. 420].

Määritelmä 2.4. Olkoon f : T → R³ jatkuvasti differentioituva injektiivi- nen upotus avoimessa joukossa T⊆R². OlkoonU ⊂Tsuljettu ja rajoitettu tasoalue. Pinta S onpintapala, jos S =f(U). [3, s. 392]

Siis funktio f antaa pintapalan S parametriesityksen.

Huomautus 2.2. Määritelmästä 2.4 voidaan päätellä, että pintapalalla S on reunat. Reunaviivojen kokonaisuudesta käytetään merkitään ∂S. Määri- telmässä 2.4 oletus siitä, että funktio f on upotus, takaa sen, että funktion kuva on kaksiulotteinen kaikkialla [3, s. 392].

Huomautus 2.3. PintapalatS_i,i∈N, sopivat yhteen, jos seuraavat pätevät (i) jokainen reunaviiva∂S_i on paloittain sileä suljettu käyrä, joka koostuu

äärellisestä määrästä komponenttikäyriä,

(ii) pintapaloillaSi jaSj on yhteisiä pisteitä ainoastaan niiden reunoilla ja (iii) kolmen tai useamman pintapalan yhteiset pisteet ovat eristettyjä ja

niitä on äärellinen määrä.

[3, s. 412]

Määritelmä 2.5. Joukko S ⊂ R³ on paloittain sileä pinta, jos se koostuu äärellisestä määrästä pintapaloja siten, että pintapalat sopivat yhteen. [3, s.

412]

Esimerkki 2.3. (Vrt. [3, s. 412 – 413].) Tarkastellaan yksikköpallon pintaa S, joka on paloiteltu neljään pintapalaan siten, että pintapala S₁ on itäinen vyö, pintapala S₂ on läntinen vyö ja pintapalatS₃ jaS₄ ovat pohjoinen kansi ja eteläinen kansi (ks. kuva [3, s. 413]). Pinta S on paloittain sileä pinta.

Määritelmä 2.6. OlkoonS paloittain sileä pinta. Paloittain sileä pintaSon sileä, jos pinnallaS on olemassa jokaiselle mielivaltaiselle pisteelle p∈S\∂S sellainen hajoitelma S=S₁∪S₂∪ · · · ∪S_n, n∈N, että piste pon pinnan S jonkin pintapalan S_i sisäpiste. [3, s. 415]

2.3 Suunnistetut käyrät, tasoalueet ja pinnat

Käyrällä, tasolla ja pinnalla voi olla suunta. Tässä kappaleessa käydään ly- hyesti läpi, millainen on suunnistettu käyrä, suunnistettu tasoalue ja suun- nistettu pinta.

Määritelmä 2.7. OlkoonC sileä käyrä avaruudessaRⁿ. KäyränC suunnis- tus osoittaa suunnan, mihin käyrä kulkee. Suunnistettua käyrää merkitään nuolella C. [5, s. 45]~

Siis sileät käyrät ovat suunnistettuja. Paloittain sileä käyrä C on suun- nistettu, jos sen komponenttikäyrillä on sama suunnistus.

Oletetaan, että funktio f : [a, b] → Rⁿ parametrisoi suunnistetun käyrän C. Jos käyrän~ C~ suunnistus on pisteestä f(a) pisteeseen f(b), piste f(a) on käyrän C~ alkupiste ja f(b) loppupiste. Suunnistettu käyrä on suunnistettu kaari, jos funktio f on injektio.

Huomautus 2.4. Jos käyrän C~ suunta on oikealle käyrän siinä pisteessä, jossa käyrän parametrisoiva funktio saa pienimmän arvonsa, sanotaan käyrän olevan positiivisesti suunnistettu. Kun käyrän suunta on kyseisessä pisteessä vasemmalle, on käyrä negatiivisesti suunnistettu. Jos käyräC~ on suljettu, niin positiivisella suunnistuksella tarkoitetaan, että suunta on vastapäiväinen.

Jos käyrä on paloittain sileä, suunnan määrää se funktio, joka saa pie- nimmän pienimmän arvon. Seuraavaksi esitetään tasoalueen suunnistuksen määritelmä.

Määritelmä 2.8. OlkoonT ⊆R² tasoalue. TasoalueenT suunnistus on jär- jestetyn vektoriparin, jossa vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, pyö- rähdyssuuntaa mielivaltaisessa pisteessä p∈ T. Suunnistetusta tasoalueesta käytetään merkintääT~. [3, s. 353]

Siis jokainen tasoalue on suunnistettu.

Huomautus 2.5. Vektoriparin pyörähdyssuunta on ensimmäisestä vekto- rista vektoreiden muodostaman pienemmän kulman kautta toiseen vekto- riin. Tasoalue T~ on positiivisesti suunnistettu, jos järjestetyn vektoriparin pyörähdyssuunta on vastapäivään.

Jos tasoalue T on suunnistettu, niin jokaisella tasoalueen T polkuyhtäi- nen osajoukolla on sama suunnistus [3, s. 354]. Polkuyhtenäisellä joukolla tarkoitetaan sellaista joukkoa tai pintaa, jonka kaksi mielivaltaista pistettä voidaan yhdistää käyrällä.

Huomautus 2.6. Tasoalueen T~ suunnistus määrää reunaviivan ∂ ~T suun- nistuksen. Pinnan S~ suunnistus määrää sen reunaviivan ∂ ~S suunnistuksen.

[3, s. 355, s. 389]

Määritellään seuraavaksi suunnistettu pintapala ja suunnistettu paloit- tain sileä pinta.

Määritelmä 2.9. PintapalaS on suunnistettu, jos pintapalan määritelmäs- sä (määritelmä 2.4) tasoalue U~ on suunnistettu. Suunnistettua pintapalaa merkitään nuolella S. Tasoalueen~ U~ suunnistus määrää pintapalan S~ suun- nistuksen. [3, s. 392]

Määritelmä 2.10. OlkoonSon paloittain sileä polkuyhtenäinen pinta. Ole- tetaan, että pinnan S jokainen pintapala on suunnistuva ja, että kahden vierekkäisen yhteenliitetyn pintapalan yhteisten reunakäyrien suunnistukset ovat vastakkaiset. Tällöin pinta S~ on suunnistuva ja pinnan suuntauksen määrää sen pintapalat. [3, s. 420]

Paloittain sileä suunnistettu pinta ja sen reunaviiva kirjoitetaan S~ =S~₁∪ · · · ∪S~_k =S~₁+· · ·+S~_k

∂ ~S =∂ ~S₁∪ · · · ∪∂ ~S_k=∂ ~S₁+· · ·+∂ ~S_k, missä k ∈N.

Huomautus 2.7. Suunnistetulla pinnalla S on olemassa mielivastaisessa pisteessä p∈S\∂S yksikäsitteinen normaalivektori n(p)6= 0, missä

n(p) = v₁(p)×v₂(p) kv₁(p)×v₂(p)k

ja vektorit v1,v2 ∈R³ ovat lineaarisesti riippumattomia tangenttivektoreita pisteessä p. [3, s. 388, s. 417]

Huomautus 2.8. Pinnalla on kaksi puolta. Pinnan S~ sen puolen suunta, missä n(p) sijaitsee, on vastapäiväinen eli positiivinen. [3, s. 388]

Katsotaan vielä lopuksi esimerkki.

Esimerkki 2.4. (i) Kuution pinta on suunnistuva, jos sen kahden vierek- käisen yhteenliitetyn pintapalan yhteisten reunakäyrien suunnistukset ovat vastakkaiset [3, s. 421].

(ii) Möbiuksen nauha ei ole suunnistettu pinta [3, s. 415 – 416].

2.4 Sijoitusmenetelmistä ja differentiaalimuodoista

Joskus integraalin määrittäminen voi olla hankalaa joko alueen muodon tai integroitavan funktion takia. Tällöin integraalin määrittämistä voidaan hel- pottaa viemällä integraali toiseen koordinaattisysteemiin. Tämä voi tapahtua kahdella tavalla: ilmaisemalla muuttuja itse jonakin differentioituvana funk- tiona tai ilmaisemalla funktio uuden muuttujan avulla [3, s. 2]. Kappaleessa esitetään lyhyesti näistä ensimmäinen. Tämän tyyppistä sijoitusta kutsutaan takaisinvedoksi.

Takaisinvetosijoituksessa muuttuja ilmaistaan uuden muuttujan differen- tioituvana funktionax=φ(s). Tällöin dx=φ⁰(s)ds ja

Z

f(x)dx= Z

f(φ(s))φ⁰(s)ds= Φ,

missä Φ(s) on funktion f(φ(s))φ⁰(s) integraalifunktio. Tasaisinvetosijoituk- sessa oletetaan, että funktiollaφ(s)on olemassa käänteisfunktioφ⁻¹(s). Sijoi- tuksessa halutaan määräämättömäksi integraaliksi F(x) = Φ(φ⁻¹(x)), missä s=φ⁻¹(x) on funktionx=φ(s) käänteisfunktio. [3, s. 2]

Lisää takaisinvetosijoituksesta voi lukea esimerkiksi James Callahanin kir- jasta Advanced Calculus: A Geometric View [3].

Takaisinvetosijoituksessa esitettyä funktiotaf(φ(s))φ⁰(s)dskutsutaanta- kaisinvetokuvaukseksi ja siitä käytetään merkintääf^∗. Takaisinvetokuvausf^∗ kuvaa funktion f differentiaalimuodot funktion f arvojoukosta funktion f määrittelyjoukkoon.

Määritellään nyt lyhyesti mitä tarkoitetaan differentiaalimuodoilla. Lisää differentiaalimuodoista voi lukea esimerkiksi Steven H. Weintraubin kirjasta Differential Forms: A Complement to Vector Calculus [5].

Differentiaalimuodot ovat viiva- ja pintaintegraalin integrandeja sekä suun- nistetun yksi- tai kaksoisintegraalin integrandeja. Määritellään differentiaa- limuodot avaruudessaR³ ja käytetään yleisiä koordinaattiakseleitax, yja z.

Differentiaalimuotojen määritys avaruudelle Rⁿ tapahtuu vastaavasti.

Määritelmä 2.11. (i) Astetta 0 oleva differentiaalimuoto α on funktio A=α.

(ii) Astetta 1 oleva differentiaalimuoto on α =A dx+B dy+C dz, missä A, B ja C ovat funktioita.

(iii) Astetta 2 oleva differentiaalimuoto onα =A dydz+B dzdx+C dxdy, missä A, B ja C ovat funktioita.

(iv) Astetta 3 oleva differentiaalimuoto on α=A dxdydz, missä Aon funk- tio.

[5, s. 1]

Jatkossa astetta k olevasta differentiaalimuodosta käytetään lyhennettä differentiaalinen k-muoto tai k-muoto.

Huomautus 2.9. Differentiaalisella 1-muodolla tarkoitetaan integroituvaa viivaintegraalia (kappale 3.2), siis integroidaan yli yksiulotteisen suunnis- tuvan alueen. Differentiaalisella 2-muodolla integroidaan yli kaksiuloitteisen

suunnistetun alueen (kappale 3.3) ja 3-muodolla integroidaan yli kolmiulot- teisen suunnistetun alueen. [3, s. 423]

Esimerkki 2.5. Differentiaalimuotoα= 2x²dx+ (yz+ 3)dz on astetta 1.

Huomautus 2.10. Differentiaalimuotojen kertolaskuissa sovelletaan seuraa- via sääntöjä:

(i) dxdx=dydy=dzdz = 0,

(ii) dxdy=−dydx, dxdz =−dzdx, dydz=−dzdy.

[5, s. 2]

Määritellään nyt diffentiaalimuodon jatkuvuus ja differentioituvuus.

Määritelmä 2.12. Olkoon T ⊆R³ yhtenäinen joukko.

(i) Differentiaalimuoto α on jatkuva joukossa T, jos sen jokainen kompo- nenttifunktio on jatkuva joukossa T.

(ii) Differentiaalimuoto α on differentioituva joukossa T, jos sen jokainen komponenttifunktio on differentioituva joukossa T.

(iii) Differentiaalimuotoα on jatkuvasti differentioituva joukossaT, jos sen jokainen komponenttifunktio on jatkuvasti differentioituva joukossaT. [5, s. 6]

Seuraavaksi esitetään differentiaalimuodon ulkoisen derivaatan määritel- mä ja tämän jälkeen katsotaan lyhyesti, miten takaisinvetokuvaus kuvaa dif- fentiaalimuotoja.

Määritelmä 2.13. Olkoon A 0-muoto eli funktio. FunktionA ulkoinen de- rivaatta dA on 1-muoto

dA= ∂A

∂x dx+∂A

∂y dy+∂A

∂z dz =Axdx+Aydy+Azdz.

[5, s. 5]

Määritelmä 2.14. Olkoonα k-muoto. Differentiaalisen k-muodon ulkoinen derivaattadα on (k+1)-muoto, missä jokaiseen k-muodon funktioon sovelle- taan määritelmää 2.13. [5, s. 5]

Lause 2.1. Olkoonf:R² →R³,f(u, v) = (f₁(u, v), f₂(u, v), f₃(u, v))funktio, missä f₁, f₂, f₃ ovat komponenttifunktioita. Oletetaan, että funktion f arvo- joukko on sileä pinta. Olkoon α =A(x, y, z)dx+B(x, y, z)dy+C(x, y, z)dz funktion f arvojoukossa määritelty 1-muoto. Tällöin

f^∗(α) = A(f(u, v))∂f1(u, v)

∂u du+B(f(u, v))∂f2(u, v)

∂u du +C(f(u, v))∂f₃(u, v)

∂u du+A(f(u, v))∂f₁(u, v)

∂v dv +B(f(u, v))∂f₂(u, v)

∂v dv+C(f(u, v))∂f₃(u, v)

∂v dv.

Todistus. Ks. [5, s. 81].

Seuraus 2.1. Lauseen 2.1 perusteella takaisinvetokuvaus korvaa ulkoisen derivaatan.

3 Integraaleista

Luvussa käsitellään integrointia yli kaksiulotteisen joukon, yli käyrän ja yli pinnan. Koska vektoriarvoiset funktiot usein koostuvat reaaliarvoisista kom- ponenttifunktioista integrointi yli kaksiulotteisen joukon esitetään reaaliar- voisille funktioille. Integrointi yli käyrän ja yli pinnan esitetään vain vekto- riarvoisille funktioille. Reaaliarvoisten funktioiden viiva- ja pintaintegraalis- ta voi lukea esimerkiksi Tom Apostolin kirjasta Calculus, Volume 2: Multi- Variable Calculus and Linear Algebra, with Applications to Differential Equa- tions and Probability.

3.1 Tasointegraali

Kappaleessa käydään läpi, minkä tyyppisiä kaksiulotteisia joukkoja on ja miten niiden yli integroidaan. Kappaleen funktiot ovat reaaliarvoisia vek- torimuuttujan funktioita. Palautetaan ensin mieleen, miten integroidaan yli suorakulmion muotoisen tasoalueen.

Määritelmä funktion integraalista yli suorakulmion muotoisen tasoalueen oletetaan tunnetuksi, ks. [1, s. 793] tai [2, s. 357]. Funktion tasointegraalin määrittämiseen käytetään seuraavaa lausetta.

Lause 3.1. Olkoonf(x, y)suorakulmion muotoisella tasoalueellaR ={(x, y) : a≤x≤bja c≤y≤d,missäa, b, c, d∈R}määritelty jatkuva funktio. Funk- tion f tasointegraali yli joukon R on

Z Z

R

f(x, y)dxdy =

b

Z

a





d

Z

c

f(x, y)dy



dx=

d

Z

c





b

Z

a

f(x, y)dx



dy.

Todistus. Ks. [3, s. 319 – 321].

Tarkastellaan seuraavaksi joukkoja, jotka ovat jatkuvien funktioiden ra- joittamia.

Olkoon S (x, y)-tasossa oleva jatkuvien funktioiden rajoittama yhtenäi- nen joukko. NytS voi olla kahden muuttujanxfunktion rajoittama (kuva 1) tai kahden muuttujan y funktion rajoittama (kuva 2).

Kuva 1: Muuttujan x funktioiden rajoittama joukko.

Kuva 2: Muuttujany funktioiden rajoittama joukko.

Jos S on kahden muuttujan x funktion rajoittama, voidaan S ilmaista

seuraavasti:

S : a≤x≤b, γ(x)≤y≤δ(x),

missä funktiot y = γ(x) ja y = δ(x) ovat välillä [a, b] jatkuvia ja γ(x) ≤ δ(x). Jos S on kahden muuttujan y funktion rajoittama, voidaan S ilmaista seuraavasti:

S : c≤y≤d, α(y)≤x≤β(y),

missä funktiotx=α(y)jax=β(y)ovat välillä[c, d]jatkuvia jaα(y)≤β(y).

Joukko voi myös olla sekä muuttujan x funktioiden rajoittama että muuttu- janyfunktioiden rajoittama. Katsotaan nyt miten määritetään tasointegraali yli edellä mainittujen joukkojen.

Lause 3.2. Olkoon S (x, y)-tasossa oleva joukko siten, että a ≤ x ≤ b ja γ(x) ≤ y ≤ δ(x), missä γ(x) ja δ(x) ovat jatkuvia funktioita välillä [a, b].

Olkoon f(x, y) joukossa S määritelty jatkuva funktio. Funktion f(x, y) ta- sointegraali yli joukon S on

Z Z

S

f(x, y)dxdy=

b

Z

a







δ(x)

Z

γ(x)

f(x, y)dy





dx.

Samaan tapaan voidaan määrittää integraali yli joukon, jota rajoittavat muut- tujan y funktiot.

Todistus. Ks. [3, s. 321].

Jos joukko on suunnistettu, tasointegraali määritetään seuraavasti:

Määritelmä 3.1. Olkoon joukko S~ suunnistettu ja olkoon f(x, y) joukossa S määritelty jatkuva funktio. Tällöin funktion f integraali yli joukonS~ on

Z Z

S~

f(x, y)dxdy=sgn S~ Z Z

S

f(x, y)dxdy,

missä sgn S~ = +1, kun joukon S~ suunnistus on positiivinen, ja sgn S~ =−1, kun suunnistus on negatiivinen. [3, s. 356]

Esimerkki 3.1. (Vrt. [1, s. 800].) OlkoonS~ negatiivisesti suunnistettu jouk- ko, jonka pisteet toteuttavat seuraavat epäyhtälöt: 0≤y ≤1ja 0≤x ≤y². Tarkastellaan funktiotaf(x, y) =e^y3 joukossa S.~

Funktio on selvästi jatkuva joukossaS, joten funktiolle voidaan määrittää~ integraali yli suunnistetun joukon S. Siis~

Z Z

S~

e^y3dxdy=− Z Z

S

e^y3dxdy=−

1

Z

0 y²

Z

0

e^y3dxdy =−

1

Z

0

y²e^y3dy

=−

1

,

0

e^y3

3 =−e−1 3 .

3.2 Viivaintegraali

Kappaleessa käydään läpi, miten integroidaan funktio yli käyrän.

Määritelmä 3.2. Olkoon C~ sileä positiivisesti suunnistettu käyrä, jonka parametrisoi funktiog(t), missäg: [a, b]→Rⁿjat∈[a, b]. OlkoonFkäyrällä C~ määritelty jatkuva vektorikenttä. Tällöin vektorikentän F viivaintegraali yli käyrän C~ on

Z

C~

F·dg=

b

Z

a

F[g(t)]·g⁰(t)dt.

[2, s. 324] [3, s. 10] [4, s. 288]

Jos käyrä on negatiivisesti suunnistettu, integraalin eteen tulee miinus- merkki.

Huomautus 3.1. Tarkastellaan määritelmää 3.2, kun funktiotgjaFilmais- taan komponenttifunktioidensa avulla. Olkoon nytg= (g₁, g₂, . . . , g_n), missä g₁, g₂, . . . , g_n : R → R, ja olkoon F = (f₁, f₂, . . . , f_n), missä f₁, f₂, . . . , f_n : Rⁿ→R ovat jatkuvia funktioita ja n∈N. Tällöin viivaintegraali on

Z

C~

F·dg= Z

C~

(f₁dg₁+· · ·+f_ndg_n) =

n

X

k=1 b

Z

a

f_k[g(t)]g⁰_k(t)dt.

Kun käsitellään kaksiulotteista avaruutta, on tapana merkitä funktiongkom- ponenttifunktioita g₁ =x ja g₂ =y. Tällöin viivaintegraali on

Z

C~

f1dx+f2dy.

[2, s. 324]

Esimerkki 3.2. (Vrt. [4, s. 290].) Määritetään integraali Z

C~

cosz dx+e^xdy+e^ydz,

kun sileän positiivisesti suunnistetun käyrän C~ parametrisoi funktio g : [0,2]→R³, missä g(t) = i+tj+e^tk.

Määritetään ensin F(g) ja g⁰(t):

F(g) =F(1, t, e^t) = cose^ti+e¹j+e^tk ja g⁰(t) =j+e^tk.

Funktioiden sisätulo on

F(g(t))·g⁰(t) = (cose^ti+e¹j+e^tk)·(j+e^tk)

= (0·cose^t)i+ (1·e)j+ (e^t·e^t)k=e j+e^2tk.

Viivaintegraaliksi saadaan Z

C~

cosz dx+e^x dy+e^y dz =

2

Z

0

(e+e^2t)dt = 2e+ 1 4e⁴ −1

2.

Aiemmin todettiin, ettei käyrän parametriesitys ole yksikäsitteinen. Esite- tään seuraavaksi lause tapauksesta, jossa käyrällä on kaksi parametriesitystä.

Lause 3.3. OlkoonC~ avaruudenRⁿsileä suunnistettu käyrä, jonka paramet- risoi sekä funktio g(t) että funktio h(t). Olkoon F on jatkuva vektorikenttä käyrällä C. Jos funktiot~ g ja h piirtävät käyrän C~ samaan suuntaan, niin

Z

C~

F·dg = Z

C~

F·dh.

Jos funktiot piirtävät käyrän eri suuntaan, Z

C~

F·dg=− Z

C~

F·dh.

Todistus. Ks. [2, s. 327].

Esitetään seuraavaksi määritelmä integraalista yli paloittain sileän suun- nistetun käyrän.

Määritelmä 3.3. Olkoot m ∈ N ja C~ = C~1 ∪ · · · ∪C~m paloittain sileä positiivisesti suunnistettu käyrä, jonka parametrisoi funktio g. Käyrällä C~ määritellyn jatkuvan vektorikentän F viivaintegraali yli käyränC~ on

Z

C~

F·dg=

Z

C~1+C~2+···+C~m

F·dg= Z

C~1

F·dg+ Z

C~2

F·dg+· · ·+ Z

C~m

F·dg.

[3, s. 9]

Määritelmä 3.3 voidaan yleistää tapaukseen, jossa käyrät ovat erillisiä.

Symbolia H

käytetään yleensä silloin, kun integroidaan yli suljetun käyrän.

3.3 Pintaintegraali

Kappaleessa määritellään vektoriarvoisten funktioiden pintaintegraali yli si- leän suunnistetun pintapalan ja yli paloittain sileän suunnistetun pinnan.

Kappaleen määritelmissä oletetaan, että pintapalan suunnistus on positiivi- nen. Jos suunnistus on negatiivinen, tulee integraalin eteen miinusmerkki.

Määritelmä 3.4 (pintaintegraali). Olkoon S~ sileä suunnistettu pintapala.

OlkoonF(x, y, z) = (f₁, f₂, f₃)pintapalallaS~ määritelty jatkuva vektorikent- tä, missä f₁, f₂ ja f₃ ovat komponenttifunktioita. Vektorikentän F pintain- tegraalia yli pintapalan S~ merkitään

Z Z

S~

f₁(x, y, z)dydz+f₂(x, y, z)dzdx+f₃(x, y, z)dxdy.

Olkoon funktiog(u, v) :T→R³ pintapalanS~ =g(U~)parametriesitys, missä T⊆R² ja U~ ⊂T. Tällöin vektorikentänF pintaintegraalin arvo on

Z Z

U~

f1(g(u, v))∂(y, z)

∂(u, v)+f2(g(u, v))∂(z, x)

∂(u, v) +f3(g(u, v))∂(x, y)

∂(u, v)

dudv.

[3, s. 402]

Lause 3.4. Pintaintegraali on riippumaton siitä, mitä pintapalan S~ para- metriesitystä käytetään. [3, s. 401]

Todistus. Ks. [4, s. 335].

Pintaintegraalin määritelmässä esitettyjen Jacobin determinanttien _∂(u,v)^∂(y,z),

∂(z,x)

∂(u,v) ja ^∂(x,y)_∂(u,v) muodostamasta vektorista käytetään nimitystä suuntanormaa- li. Siis suuntanormaali N on

N=

∂(y, z)

∂(u, v),∂(z, x)

∂(u, v),∂(x, y)

∂(u, v)

.

Määritellään seuraavaksi vektorikentän integraali yli paloittain sileän pin- nan ja katsotaan sen jälkeen esimerkki.

Määritelmä 3.5. Olkoon S~ paloittain sileä suunnistettu pinta ja olkoon F(x, y, z) = (f₁, f₂, f₃) pinnalla S~ määritelty vektorikenttä, missä f₁, f₂ ja f₃ ovat komponenttifunktioita. VektorikentänFpintaintegraali yli paloittain sileän pinnanS~ on

Z Z

S~

f₁(x, y, z)dydz+f₂(x, y, z)dzdx+f₃(x, y, z)dxdy

=

k

X

i=1

Z Z

S~i

f1(x, y, z)dydz+f2(x, y, z)dzdy+f3(x, y, z)dxdy,

missä S~ =S~₁+· · ·+S~_k ja k ∈N. [3, s. 417, s. 420]

Pintaintegraali yli paloittain sileän suunnistetun pinnan on siis sileiden suunnistettujen pintapalojen integraalien summa.

Esimerkki 3.3. (Vrt. [3, s. 421].) Tarkastellaan (x, y, z)-avaruudessa olevaa yksikkökuutiota, jonka yksi kärjistä on origossa ja muut kärjet ovat x-, y- ja z-akseleiden positiivisilla puolilla. Oletetaan, että yksikkökuution paloittain sileä pinta S~ on suunnistettu. Olkoon F(x, y, z) = (x+y, y−x,0) pinnalla S~ määritelty vektorikenttä. Tasossa x= 1 pinnan S~_x=1 parametrisoi funktio g_x=1 : U~ → R³, missä U~ on positiivisesti suunnistettu yksikköneliö (u, v)- tasossa ja (x, y, z) = (1, u, v). Nyt kun x= 1, suuntanormaali N_x=1 on

N_x=1 =

∂(y, z)

∂(u, v),∂(z, x)

∂(u, v),∂(x, y)

∂(u, v)

= (1,0,0).

Vektorikentän F pintaintegraali yli pinnanS~_x=1 on Z Z

S~x=1

(x+y)dydz+ (y−x)dzdx+ 0dxdy

= Z Z

U~

((1 +u)·1 + (u−1)·0 + 0)dudv

=

1

Z

0 1

Z

0

(1 +u)dudv= 3 2.

Pintaintegraalit yli kuution muiden pintojen S~x=0, S~y=0, S~y=1, S~z=0 ja S~z=1

saadaan laskettua vastaavasti, ks. [3, s. 421].

Esitetään seuraavaksi hyödyllinen lause pintaintegraalista.

Lause 3.5. Olkoon paloittain sileällä suunnistetulla pinnallaS~ on kaksi suun- nistettujen pintapalojen ositusta S~ = S~₁+· · ·+S~_k = T~₁+· · ·+T~_m, missä k, m∈N. Tällöin

k

X

i=1

Z Z

S~i

f₁dydz+f₂dzdy+f₃dxdy=

m

X

j=1

Z Z

T~j

f₁dydz+f₂dzdy+f₃dxdy,

missä F(x, y, z) = (f₁, f₂, f₃) on pinnalla S~ määritelty vektorikenttä. [3, s.

420]

Todistus. Määritelmän 3.5 nojalla vektorikentän pintaintegraali yli paloittain sileän pinnan on

Z Z

S~

f₁dydz+f₂dzdx+f₃dxdy=

k

X

i=1

Z Z

S~i

f₁dydz+f₂dzdy+f₃dxdy.

Toisaalta, määritelmän 3.5 nojalla vektorikentän pintaintegraali yli paloittain sileän pinnan on

Z Z

S~

f₁dydz+f₂)dzdx+f₃dxdy =

m

X

j=1

Z Z

T~j

f₁dydz+f₂dzdy+f₃dxdy.

Siis

k

X

i=1

Z Z

S~i

f1dydz+f2dzdy+f3dxdy= Z Z

S~

f1dydz+f2dzdx+f3dxdy

=

m

X

j=1

Z Z

T~j

f1dydz+f2dzdy+f3dxdy.

Kun tarkastellaan pintaintegraalin määritelmää, huomataan, että inte- grandi on 2-muoto. Esitetään kappaleen lopuksi pintaintegraalista lause, jos- sa käytetään takaisinvetokuvausta.

Lause 3.6. Olkoon f : T → R³ jatkuvasti differentioituva injektiivinen upotus avoimessa joukossa T ⊆ R². Olkoon U~ ⊂ T positiivisesti suunnis- tettu, suljettu ja rajoitettu tasoalue ja olkoon S~ = f(U~) suunnistettu pin- tapala. Olkoon ω pinnalla S~ määritelty jatkuva 2-muoto siten, että ω = A dydz+B dzdx+C dxdy. Tällöin

Z Z

S~

ω= Z Z

f(U)~

A dydz+B dzdx+C dxdy

= Z Z

U~

A(f(u, v))∂(y, z)

∂(u, v)+B(f(u, v))∂(z, x)

∂(u, v) +C(f(u, v))∂(x, y)

∂(u, v)

dudv

= Z Z

U~

f^∗(ω).

[3, s. 432]

Todistus. Seuraa pintaintegraalin määritelmästä ja lauseesta 2.1.

4 Greenin ja Stokesin lauseet

Tässä luvussa käydään läpi tutkielman pääaihe: Greenin ja Stokesin lauseet.

Luku on melko suoraan James Callahanin kirjanAdvanced Calculus: A Geo- metric View kappaleista 9ja 11.

4.1 Greenin lause

Greenin lause väittää, että tietynlaisten funktioiden tasointegraali yli tasossa olevan suunnistetun joukon S~ on yhtäsuuri kuin funktion integraali yli suun- nistetun reunaviivan ∂ ~S. Kappaleessa käsitellään Greenin lause kolmessa eri tapauksessa.

Ensimmäinen tapauksessa oletetaan, että positiivisesti suunnistetun jou- kon S~ pisteille ovat yhtäaikaa voimassa seuraavat epäyhtälöt:

S~ : a≤x≤b, γ(x)≤y≤δ(x) ja S~ : c≤y≤d, α(y)≤x≤β(y),

missäγ(x)jaδ(x)ovat muuttujanxjatkuvia funktioita välillä[a, b]siten, että joukonS~ reunaviiva on paloittain sileä, jaα(y)ja β(y)muuttujanyjatkuvia funktioita välillä [c, d] siten, että joukon S~ reunaviiva on paloittain sileä.

Siis joukkoS~ on sekä muuttujan x että muuttujan y funktioiden rajoittama.

Joukon S~ suunnistus määrää reunaviivan ∂ ~S suunnistuksen.

Joukon S~ sulkeumalla tarkoitetaan joukon ja reunaviivan yhdistettä S~∪

∂ ~S.

Lause 4.1 (Greenin lause). Olkoon S~ edellä mainitulla tavalla suunnistettu ja rajoitettu joukko (x, y)-tasossa ja olkoon ∂ ~S joukon S~ reunaviiva. Olkoot P(x, y)ja Q(x, y) joukonS~ sulkeumassa jatkuvasti differentioituvia reaaliar- voisia funktioita. Tällöin

I

∂ ~S

P dx+Q dy = Z Z

S~

∂Q

∂x − ∂P

∂y

dxdy.

Todistus. Oletetaan, että joukko S~ on positiivisesti suunnistettu. Väite voi- daan ilmaista seuraavasti:

I

∂ ~S

P dx+ I

∂ ~S

Q dy = Z Z

S~

∂Q

∂x dxdy− Z Z

S~

∂P

∂y dxdy.

Nyt väite voidaan jakaa kahteen osaan. Todistetaan väitteen ensimmäinen puolikas, eli

I

∂ ~S

P dx=− Z Z

S~

∂P

∂y dxdy, (4.1)

käyttämällä hyväksi joukkoa S~ rajoittavia muuttujan x funktioita. Siis kun (x, y)∈S, niin~ a ≤x≤b ja γ(x)≤y≤δ(x).

Aloitetaan yhtälön (4.1) vasemmasta puolesta eli viivaintegraalista. Suun- nistettu reunaviiva ∂ ~S koostuu paloista, jotka ovat jatkuvien funktioiden ar- vojoukkoja eli käyriä siten, että reunaviiva on paloittain sileä. Merkitään näitä käyriä seuraavasti:C~1,C~2,C~3 jaC~4, missä parilliset ovat pystysuoria ja parittomat sivuttaissuuntaisia käyriä siten, että käyrän C~₃ yli integroidaan toiseen suuntaan kuin käyrän C~₁ yli ja käyrän C~₄ yli integroidaan toiseen suuntaan kuin käyrän C~₂ yli (kuva 3). Koska joukkoS~ on funktioiden rajoit- tama, on käyriä neljä tai vähemmän.

Siis oletusten perusteella funktio γ(x) parametrisoi käyrän C~₁ ja funktio δ(x) käyrän C~3, pystysuorat käyrät C~2 ja C~4 parametrisoi funktiotx = b ja x=a.

Kuva 3:S~ muuttujan x funktioiden rajoittamana.

Viivaintegraalit yli pystysuorien käyrienC~₂jaC~₄ eivät vaikuta, koska käy- rän C~₂ yli integroitaessa on integrointiväli pisteestä b pisteeseen b ja käyrän C~₄ yli integroitaessa integrointiväli on pisteestä a pisteeseen a. Siis viivain- tegraaliksi tulee molemmista tapauksista 0. Nyt yhtälön 4.1 viivaintegraali saadaan määritettyä integroimalla sivuttaissuuntaisten käyrien yli. Määritel- män 3.3 nojalla

I

∂ ~S

P dx= Z

C~1

P dx+ Z

C~3

P dx.

KäyrienC~₁jaC~₃yli integroitaessa voidaan käyttää muuttujaaxparametrina.

Nyt käyrän C~₁ yli integroitaessa integrointiväli on pisteestä a pisteeseen b ja käyrän käyränC~₃ yli integroitaessa integrointiväli on pisteestäb pisteeseena.

Koska funktio γ(x) parametrisoi käyrän C~₁ ja funktio δ(x) käyrän C~₃, niin funktion P(x, y) viivaintegraali yli käyränC~₁ ja C~₃ on

Z

C~1

P(x, y)dx=

b

Z

a

P(x, γ(x))dx ja

Z

C~3

P(x, y)dx=

a

Z

b

P(x, δ(x))dx=−

b

Z

a

P(x, δ(x))dx.

Siis funktion P(x, y) viivaintegraali yli reunaviivan∂ ~S on I

∂ ~S

P dx=

b

Z

a

(P(x, γ(x))−P(x, δ(x))) dx,

missä γ(x) ja δ(x) ovat muuttujanx jatkuvia funktioita välillä [a, b].

Tarkastellaan nyt yhtälön (4.1) oikeaa puolta. Käyttämällä määritelmää 3.1 ja lausetta 3.2 saadaan

Z Z

S~

−∂P

∂y dxdy= Z Z

S

−∂P

∂y(x, y)dxdy=

b

Z

a δ(x)

Z

γ(x)

−∂P

∂y(x, y)dydx

=

b

Z

a

δ(x)

,

γ(x)

−P(x, y)dx

=

b

Z

a

(P(x, γ(x))−P(x, δ(x)))dx.

Nyt yhdistämällä yllä saadut tulokset saadaan Z Z

S~

−∂P

∂y dxdy=

b

Z

a

(P(x, γ(x))−P(x, δ(x)))dx= I

∂ ~S

P dx.

Näin todistettiin väitteen ensimmäinen puolikas.

Väitteen toinen puolikas, I

∂ ~S

Q dy= Z Z

S~

∂Q

∂x dxdy,

voidaan todistaa samalla tavalla kuin ensimmäinen puolikas, mutta käyttä- mällä joukkoa S~ rajoittavia muuttujan y funktioita.

Esimerkki 4.1. (Vrt. [4, s. 349].) Olkoon P(x, y) = x, Q(x, y) = xy ja olkoon joukko S~ yksikköympyrä x²+y² ≤1. Tarkastellaan Greenin lauseen voimassaoloa.

Oletetaan, että S~ on positiivisesti suunnistettu. Joukon S~ reunaviivan

∂ ~S parametrisoivat funktiot x = cost ja y = sint, missä 0 ≤ t ≤ 2π. Siis dx =−sint ja dy = cost. Tällöin Greenin lauseen mukainen viivaintegraali yli reunaviivan ∂ ~S on

I

∂ ~S

P dx+Q dy=

2π

Z

0

((cost)(−sint) + costsintcost)dt

=

2π

Z

0

−1

2sin 2t−sintcos²t

dt

=

2π

,

0

cos 2t

4 +cos³t 3

= 0.

Joukko S~ on sekä muuttujan x funktioiden että muuttujan y funktioiden rajoittama. Määritetään tasointegraali muuttujan x funktioiden avulla. Nyt

−1≤x≤1ja joukkoaS~ rajoittavat funktiot y=√

1−x² jay =−√

1−x². Tasointegraali yli joukon S~ on

Z Z

S~

∂Q

∂x −∂P

∂y

dxdy =

1

Z

−1

√1−x²

Z

−√ 1−x²

(y−0)dydx

=

1

Z

−1

√1−x²

,

−√ 1−x²

y²

2 dx = 0.

Siis Greenin lauseen tulos on voimassa.

Huomautus 4.1. Olkoon F(x, y) = R

f(x, y)dx eli ^∂F_∂x = f . Olkoon nyt P(x, y) = 0 ja Q(x, y) =F(x, y). Tällöin Greenin lauseen nojalla

Z Z

S~

f(x, y)dxdy= I

∂ ~S

F(x, y)dy.

Siis Z Z

S~

f(x, y)dxdy= I

∂ ~S

Z

f(x, y)dx

dy

eli Greenin lauseen avulla voidaan arvioida tasointegraalia sieventämällä se viivaintegraalin ja yksinkertaisen integraalin yhdistelmäksi.

Viivaintegraali voidaan määrittää tasointegraalin avulla. Katsotaan siitä esimerkki.

Esimerkki 4.2. (Vrt. [2, s. 382].) Olkoon S~ positiivisesti suunnistettu neliö, jonka kulmapisteet ovat (0,0), (1,0), (1,1) ja (0,1). Tarkastellaan viivainte- graalia

I

S~

(5−xy−y²)dx−(2xy−x²)dy.

Muuttujille x ja y pätee, että 0≤ x ≤ 1 ja 0 ≤y ≤ 1. Nyt funktioina ovat P = 5−xy−y² ja Q=−2xy+x². Tällöin

∂Q

∂x − ∂P

∂y =−2y+ 2x−(−x−2y) = 3x.

Greenin lausetta käyttämällä saadaan viivaintegraaliksi I

∂ ~S

P dx+Q dy= Z Z

S~

3x dxdy = 3

1

Z

0 1

Z

0

x dxdy= 3 2.

Greenin lause antaa apuja viivaintegraalin määrittämiseen. Seuraavaksi esitetään seuraus tähän liittyen.

Seuraus 4.1. Olkoon P muuttujanx funktio, joka ei sisällä muuttujaa y, ja olkoon Q muuttujan y funktio, joka ei sisällä muuttujaa x. Tällöin

I

∂ ~S

P dx+Q dy = 0.

Todistus. Koska ^∂Q_∂x − ^∂P_∂y = 0−0 = 0, niin I

∂ ~S

P dx+Q dy= Z Z

S~

∂Q

∂x −∂P

∂y

dxdy = 0.

Todistetaan seuraavaksi Greenin lause käyttämällä ainoastaan toisen muut- tujan funktioita. Todistuksessa osittaisderivaatoista käytetään seuraavanlai- sia lyhenteitä: ^∂F_∂y =F_y ja ^{(∂F /∂y)}_∂x =F_yx.

Todistus. Oletetaan, että joukkoa S~ rajoittaa muuttujan x kaksi jatkuvaa funktiota siten, että joukonS~reunaviiva on paloittain sileä. JoukonS~pisteille siis pätevät seuraava:

S~ : a≤x≤b, γ(x)≤y≤δ(x).

Nyt Greenin lauseen ensimmäisessä todistuksessa todistettu väite I

∂ ~S

P dx= Z Z

S~

−∂P

∂y dxdy

on voimassa. Todistetaan väitteen toinen puolikas eli I

∂ ~S

Q dy= Z Z

S~

∂Q

∂x dxdy.

Olkoon F funktion Q antiderivaatta muuttujan y suhteen eli F(x, y) =

Z

Q(x, y)dy ts. Fy(x, y) = Q(x, y).

(4.2)

Koska oletettiin, että funktio Q on jatkuvasti differentioituva eli funktion Q ensimmäiset derivaatat ovat jatkuvia, on funktion F toiset derivaatat jat- kuvia ja Q_x = F_yx = F_xy. Funktion Q_x tasointegraali yli joukon S~ voidaan kirjoittaa seuraavasti (lause 3.2):

Z Z

S~

Q_x(x, y)dxdy=

b

Z

a δ(x)

Z

γ(x)

F_xy(x, y)dydx =

b

Z

a

δ(x)

,

γ(x)

F_x(x, y)dx (4.3)

=

b

Z

a

(Fx(x, δ(x))−Fx(x, γ(x)))dx.

Näytetään nyt, että funktion Q integraali yli reunaviivan ∂ ~S on sama kuin yhtälön (4.3) tulos. Määritetään yksitellen integraalit käyrien C~₁, C~₂, C~₃ ja

C~₄ yli. Käyrän C~₁ yli integroitaessa voidaan muuttujaa x käyttää paramet- rina, jolloin y = γ(x) ja a ≤ x ≤ b. Määritelmän 3.2 ja huomautuksen 3.1 perusteella viivaintegraali on

Z

C~1

Q dy=

b

Z

a

Q(x, γ(x))γ⁰(x)dx.

(4.4)

Koska funktio γ(x) on muuttujan x funktio, saadaan ketjusäännön ja funk- tion Fy = Q määrittelyn (yhtälö (4.2)) avulla funktion F(x, γ(x)) derivaa- taksi

d

dxF(x, γ(x)) =F_x(x, γ(x)) +F_y(x, γ(x))γ⁰(x)

=F_x(x, γ(x)) +Q(x, γ(x))γ⁰(x).

Siis

Q(x, γ(x))γ⁰(x) = d

dxF(x, γ(x))−F_x(x, γ(x)).

Koska Riemannin integraali on lineaarinen, niin

b

Z

a

Q(x, γ(x))γ⁰(x)dx=

b

Z

a

d

dxF(x, γ(x))dx−

b

Z

a

F_x(x, γ(x))dx.

(4.5)

Yhtälön (4.5) oikean puolen ensimmäinen integraali voidaan helposti laskea

b

Z

a

d

dxF(x, γ(x))dx=

b

,

a

F(x, γ(x)) = F(b, γ(b))−F(a, γ(a)).

(4.6)

Yhtälöt (4.4), (4.5) ja (4.6) yhdistämällä saadaan funktion Q viivaintegraa- liksi yli käyrän C~₁

Z

C~1

Q dy=F(b, γ(b))−F(a, γ(a))−

b

Z

a

F_x(x, γ(x))dx.

Kun integroidaan yli käyrän C~₂, on x = b ja muuttujaa y voidaan käyttää parametrina, missä γ(b)≤y≤δ(b). Tällöin viivaintegraali on

Z

C~2

Q(b, y)dy=

δ(b)

Z

γ(b)

F_y(b, y)dy=F(b, δ(b))−F(b, γ(b)).

Kun integroidaan yli käyrän C~₃, muuttujaa x voidaan käyttää parametrina.

Nyt y = δ(x) ja koska käyrän C~₃ yli integroidaan toiseen suuntaan kuin käyrän C~₁ yli, niin integrointi tapahtuu muuttujan x suhteen pisteestä b pisteeseen a. Määritelmän 3.2 ja huomautuksen 3.1 nojalla

Z

C~3

Q dy=

a

Z

b

Q(x, δ(x))δ⁰(x)dx=−

b

Z

a

Q(x, δ(x))δ⁰(x)dx.

Integraali saadaan samanlaiseen muotoon kuin käyrän C~₁ yli integroitaessa.

Nyt funktion γ tilalla on funktio δ ja integraalin edessä on miinusmerkki:

Z

C~3

Q dy=−

b

Z

a

Q(x, δ(x))δ⁰(x)dx=−

b

Z

a

d

dxF(x, δ(x))−Fx(x, δ(x))

dx

=−F(b, δ(b)) +F(a, δ(a)) +

b

Z

a

F_x(x, δ(x))dx.

Kun integroidaan yli käyrän C~₄, on x = a ja muuttujaa y voidaan käyttää parametrina. Koska käyrä C~₄ yli integrointi tapahtuu toisen suuntaan kuin käyrän C~₂ yli integrointi, niin nyt tulee integroida pisteestä δ(a) pisteeseen γ(a). Käyttämällä F_y =Qmäärittelyä (yhtälö (4.2)) saadaan

Z

C~4

Q dy =

γ(a)

Z

δ(a)

Q(a, y)dy=

γ(a)

Z

δ(a)

F_y(a, y)dy =F(a, γ(a))−F(a, δ(a)).

Nyt laskemalla yhteen viivaintegraalit yli käyrienC~₁,C~₂, C~₃ jaC~₄ ja käyttä- mällä yhtälöä (4.3) saadaan

I

∂ ~S

Q dy = Z

C~1

Q dy+ Z

C~2

Q dy+ Z

C~3

Q dy+ Z

C~4

Q dy

=F(b, γ(b))−F(a, γ(a))−

b

Z

a

F_x(x, γ(x))dx

+F(b, δ(b))−F(b, γ(b))

−F(b, δ(b)) +F(a, δ(a)) +

b

Z

a

F_x(x, δ(x))dx

+F(a, γ(a))−F(a, δ(a))

=

b

Z

a

F_x(x, δ(x))dx−

b

Z

a

F_x(x, γ(x))dx= Z Z

S~

Q_xdxdy

= Z Z

S~

∂Q

∂x dxdy.

Siis väite on todistettu. Samaan tapaan voidaan todistaa tapaus, missä jouk- koa S~ rajoittavat muuttujan y funktiot.

Greenin lauseen kolmannessa tapauksessa suunnistettu joukko S~ koostuu äärellisestä yhdisteestä, joka sisältää sekä yhden muuttujan funktioiden ra- joittamia että molempien muuttujien funktioiden rajoittamia joukkoja (ku- va 4). Siis sallitaan, että reunaviivalla∂ ~Svoi olla useampi komponentti, joilla kaikilla on sama suunnistus kuin joukolla S.~

Kuva 4:S~ äärellisenä yhdisteenä.

Todistus. Olkoon joukko S~ suljettu, rajoitettu ja positiivisesti suunnistettu.

Oletetaan, että joukko S~ on äärellinen yhdiste joukoista S~₁, . . . , ~S_N, missä N ∈ N ja osat S~i toteuttavat Greenin lauseen ehdot, kun i = 1, . . . , N. Oletetaan lisäksi, että osat S~_i ovat erillisiä reunoja lukuunottamatta ja, että niillä on sama suunnistus kuin joukolla S. Tarkastellaan erikseen viiva- ja~ tasointegraaleja. Tasointegraalin additiivisuudesta seuraa, että funktioiden

P ja Qosittaisderivaattojen integraali yli joukon S~ on Z Z

S~

∂Q

∂x − ∂P

∂y

dxdy

= Z Z

S~1

∂Q

∂x − ∂P

∂y

dxdy+· · ·+ Z Z

S~N

∂Q

∂x − ∂P

∂y

dxdy.

Tarkastellaan sitten viivaintegraalia. Jos kahdella osallaS~_i jaS~_j on yhtei- nen reunakäyräC~k, niin koska ne ovat reunakäyränC~k vastakkaisilla sivuilla, on osan S~_i reunakäyrän C~_k suunnistus vastakkainen kuin osan S~_j reunakäy- rän C~_k suunnistus. Tällöin käyrän C~_k suunnistus osana reunaviivaa ∂ ~S_i on vastakkaissuuntainen kuin sen suunnistus osana reunaviivaa∂ ~S_j, eli integroi- dessa yli reunaviivan ∂ ~S reunakäyrä C~_k supistuu pois. Jäljelle jäävät vain ne käyrät C, jotka ovat osana vain yhden osan reunaviiva~ ∂ ~S_i. Siis jäljelle jää ainoastaan joukon S~ reunaviiva ∂ ~S. Tällöin saadaan viivaintegraalille yhtä- suuruus:

I

∂ ~S

P dx+Q dy = I

∂ ~S1

(P dx+Q dy) +· · ·+ I

∂ ~SN

(P dx+Q dy).

Koska joukon S~ jokaisessa osassa S~_i Greenin lauseen ehdot ovat voimassa, niin Greenin lauseen ehdot ovat voimassa myös joukossa S:~

Z Z

S~

∂Q

∂x −∂P

∂y

dxdy = I

∂ ~S

P dx+Q dy.

Esimerkki 4.3. (Vrt. [1, s. 905].) Olkoon S~ positiivisesti suunnistettu sul- jettu ja rajoitettu (x, y)-tasossa oleva joukko, jonka reunaviiva ∂ ~S ei kulje origon kautta. Osoitetaan, että

I

∂ ~S

−y dx+x dy x²+y² =







0, jos origo on joukon S~ ulkopuolella, 2π, jos origo on joukon S~ sisällä.

Siis P = _x2^−y+y² ja Q = _x2+y^{x 2}. Käsitellään ensin tapaus, kun origo on joukon S~ ulkopuolella. Jos (x, y)6= (0,0), niin

∂

∂x

x

x²+y²

− ∂

∂y

−y x²+y²

= x²+y²−2x² (x²+y²)² −

−x²−y²+ 2y² (x²+y²)²

= 0.

Siis jos origo ei sisälly joukkoon S, niin Greenin lauseen nojalla~ I

∂ ~S

−y dx+x dy x²+y² =

Z Z

S~

∂

∂x

x

x²+y²

− ∂

∂y

−y x²+y²

dxdy= 0.

Oletetaan, että origo sisältyy joukkoonS. Origon on oltava joukon~ S~ sisäpis- te, koska oletettiin, ettei reunaviiva ∂ ~S kulje origon kautta. Siis mielivaltai- selle pisteelle p ∈ S\∂ ~~ S on olemassa > 0 siten, että -säteinen p-keskinen ympyrä sisältyy joukkoon S. Olkoon~ S~ origo-keskinen -säteinen ympyrä.

Oletetaan, että S~ on negatiivisesti suunnistettu. Määritetään integraali yli reunaviivan∂ ~S. Reunaviivalle∂ ~S pätee, että x²+y² =², missäon vakio.

Käyttämällä Greenin lausetta ja viemällä tasointegraali napakoordinaatis- toon (ks. [2, s. 396 – 398]) saadaan integraaliksi

I

∂ ~S

−y dx+x dy x²+y² =

I

∂ ~S

1

² (−y dx+x dy) = Z Z

S~

1

² ·2dxdy

= 1 ²

Z Z

S~

2r drdθ =−1 ²

2π

Z

0

Z

0

2r drdθ

=−1 ²

2π

Z

0

²dθ =−2π.

Tarkastellaan seuraavaksi joukkojen S~ ja S~ rajoittamaa positiivisesti suun- nistettua joukkoa S~1. Siis S~1 =S\~ S~. Joukolla S~1 on kaksi reunaviivaa: sekä

∂ ~S että ∂ ~S. Lisäksi origo ei sisälly joukkoon S~₁. Tällöin Greenin lausetta käyttämällä saadaan, että

I

∂ ~S1

−y dx+x dy x²+y² =

I

∂ ~S

−y dx+x dy x²+y² +

I

∂ ~S

−y dx+x dy x²+y² = 0.

Tästä seuraa, että I

∂ ~S

−y dx+x dy x²+y² =−

I

∂ ~S

−y dx+x dy

x²+y² =−(−2π) = 2π.

Siis väite on todistettu.

Tarkastellaan Greenin lauseen viivaintegraalin integrandia P(x, y)dx+Q(x, y)dy.

Huomataan, että integrandi on 1-muoto. Merkitään tätä 1-muotoa kirjaimel- la α. Differentiaalisen 1-muodon α ulkoinen derivaatta on määritelmän 2.14 nojalla

dα =dP(x, y)dx+dQ(x, y)dy

= ∂P

∂x dx+∂P

∂y dy

dx+ ∂Q

∂x dx+∂Q

∂y dy

dy

= ∂P

∂x dxdx+∂P

∂y dydx+∂Q

∂x dxdy+ ∂Q

∂y dydy.

Nyt käyttämällä huomautuksen 2.10 laskusääntöjä hyväksi saadaan, että

∂P

∂x dxdx+∂P

∂y dydx+ ∂Q

∂x dxdy+ ∂Q

∂y dydy= ∂P

∂y dydx+∂Q

∂x dxdy

= ∂Q

∂x dxdy− ∂P

∂y dxdy

= ∂Q

∂x −∂P

∂y

dxdy.

Siis tämä tarkoittaa, että differentiaalimuotojen avulla lausuttuna Greenin lause näyttää seuraavalta:

I

∂ ~S

α = Z Z

S~

dα,

missä S~ on Greenin lauseessa tarkasteltava joukko.

4.2 Stokesin lause

Stokesin lause yhdistää integraalin yli pinnanS ja integraalin yli pinnan reu- naviivan ∂S toisiinsa. Tutkielmassa Stokesin lause esitetään differentiaali- muotojen avulla ja todistetaan differentiaalimuotoja ja takaisinvetokuvausta käyttäen. Vektorimuotoisen Stokesin lauseen voi katsoa esimerkiksi lähteestä [1] tai [4].

Stokesin lauseessa oletetaan, ettäS~ on paloittain sileä suunnistettu pinta (x, y, z)-avaruudessa jaω =ω(x, y, z)on differentiaalinen 1-muoto.

Sekä Greenin että Stokesin lause väittävät, että I

∂ ~S

ω= Z Z

S~

dω,

missä ω on 1-muoto ja S~ on suunnistettu kaksiulotteinen joukko. Lauseet eroavat ainoastaan ympäröivän avaruuden osalta. Greenin lause on määritel- ty avaruudessa R² ja Stokesin lause avaruudessa R³. Siis Greenin lauseessa joukko S~ on tasoalue ja Stokesin lauseessa S~ voi olla kaareva. Koska tasossa olevat joukot ovat pintapalojen parametriesitysten perustana, voidaan Gree- nin lausetta käyttää Stokesin lauseen todistamiseen.

Stokesin lauseen todistamiseen käytetään seuraavia tietoja hyväksi: Pa- loittain sileä pinta on suunnistettujen pintapalojen äärellinen summa, ja pintapalojen, joilla on yhteinen reunakäyrä, suunnistukset ovat vastakkai- set (määritelmä 2.10). Suunnistettu pintapala S~ = f(U~) on suljetun, rajoi- tetun, suunnatun tasoalueen U~ ⊂ T kuvaus, missä funktio f : T → R³ on jatkuvasti differentioituva injektiivinen upotus avoimessa joukossa T ⊆ R² (määritelmä 2.9). Kuvaus fon upotus pisteessä a, jos derivaatta pisteessäa, df_a : R² → R³, on injektio (määritelmä 2.1). Pintapalalla S~ määritellyn 2-muodon α pintaintegraali on (lause 3.6):

Z Z

S~

α = Z Z

U~

f^∗(α).

Integraali yli pintapalan S~ ei riipu siitä, mitä parametriesitystä käytetään (lause 3.4). Differentiaalisen 2-muodon pintaintegraali yli paloittain sileän suunnistetun pinnan on sileiden suunnistettujen pintapalojen integraalien summa (määritelmä 3.5). Esitetään vielä kaksi lemmaa ennen Stokesin lauset- ta.

Lemma 4.1. Olkoon f : T → R³ jatkuvasti differentioituva kuvaus, missä T ⊂ R². Olkoon α(x, y, z) funktion arvojoukossa f(T) määritelty k-muoto.

Tällöin

f^∗(dα) = d(f^∗(α)). Todistus. Ks. [5, s. 86 – 89].

Seuraavan lemman todistuksessa hyödennetään oletusta, että funktio f on upotus ja injektio.

Lemma 4.2. Olkoon f :T→R³ on jatkuvasti differentioituva injektiivinen upotus avoimessa joukossa T ⊆ R². Olkoon C~ paloittain sileä suunnistettu