Diplomityö
Tarkastaja: professori Esa Räsänen Tarkastaja ja aihe hyväksytty
Luonnontieteiden tiedekuntaneuvoston kokouksessa 5.2.2014
TIIVISTELMÄ
TAMPEREEN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknis-luonnontieteellinen koulutusohjelma
TOPI HÄMÄLÄINEN: Diuusiolaskut Lorentz-kaasussa Diplomityö, 60 sivua, 0 liitesivua
Toukokuu 2014
Pääaine: Teknillinen fysiikka Tarkastajat: Esa Räsänen
Avainsanat: Diuusiovakio, Lorentz-kaasu, bill2d-ohjelma
Klassiseen Hamiltonin mekaniikkaan perustuvia biljardijärjestelmiä ja niiden kaoot- tisuutta on tutkittu varsin paljon. Tässä työssä on keskitytty yhteen biljardijärjes- telmien erityistapaukseen, niin sanottuun Lorentz-kaasuun, jossa hiukkanen kim- poilee jaksolliseen kolmiohilaan asetettujen ympyräkiekkojen välillä kahdessa ulot- tuvuudessa. Lorentz-kaasu on tyyppiesimerkki jaksollisesta kaoottisesta biljardista, jota on tutkittu runsaasti matemaattisessa fysiikassa ja jolle on viime vuosina löy- tynyt käytännön ilmentymiä grafeenisovelluksissa. Tässä työssä käytettiin uusia ja tehokkaita numeerisia menetelmiä erilaisten Lorentz-kaasujen tutkimukseen, erityi- sesti diuusiokerrointen tarkkaan määrittämiseen. Tutkimuksessa keskityttiin aluk- si perinteisten kovareunaisten ympyräkiekkojen tapaukseen ja sitten yleisempään ja fysikaalisesti realistisempaan pehmeiden potentiaalien muodostamaan Lorentz- kaasuun, josta ei ole aiempaa tutkimusta.
Tutkimuksessa diuusiovakioiden määrittämiseen käytettiin tutkija Janne Solan- pään kehittämää bill2d-ohjelmaa. Tämä laskentakoodi on joustava ja laajennettava, ja se käyttää aiemmin molekyylidynamiikan simuloinnissa sovellettuja menetelmiä.
Koodi on myös yleispätevä, sillä sitä voi käyttää useimpien biljardijärjestelmien, kuten periodisten järjestelmien, simulointiin erilaisilla hiukkasten välisillä vuorovai- kutuksilla. Tässä työssä sitä siis sovellettiin pehmeä- ja kovareunaisen kolmiohilara- kenteisen Lorentz-kaasun diuusivakioiden määrittämiseen eri parametreilla.
Kovareunaisen Lorentz-kaasun diuusiovakioita määritettiin kaasun sirottajien välimatkan funktiona. Tuloksia verrattiin kirjallisuuteen ja saatiin varsin yhtene- viä tuloksia, mikä osoitti koodin toimivuuden. Systeemistä piirretty törmäyskartta osoitti systeemin olevan näin täysin kaoottinen. Hiukkasen lentoradoista piirrettiin havainnollistavia kuvia.
Pehmeäreunaisen Lorentz-kaasun diuusiovakioita laskettiin usean eri parametrin suhteen. Aluksi sitä määritettiin sirottajien eli Fermi-napojen välimatkan funktiona kuten kovan Lorentz-kaasun tapauksessakin. Mitä pehmeämmät reunat sirottajil- la oli sitä pienempiä diuusiokertoimet olivat. Näytti myös siltä, että datapisteiden vaihtelu lisääntyi pehmeyden myötä. Kun diuusiokertoimia määritettiin energian funktiona huomattiin, että diuusiokerroin kasvoi lähes eksponentaalisesti energian
kasvaessa. Saaduissa tuloksissa nähtiin myös mielenkiintoisia piikkejä tietyillä ener- gian arvoilla. Kun vastaavilla arvoilla piirrettiin hiukkasen lentoratoja, huomattiin kvasiperiodista liikettä, mikä osaltaan selitti epäjatkuvuuksia diuusiokertoimessa.
Diuusiokertoimia laskettiin myös Fermi-napojen terävyyden ja säteen funktiona.
Systeemeistä piirrettiin myös törmäyskarttoja, jotka tietyillä energian arvoilla viit- tasi siihen ettei systeemi olisi täysin kaoottinen. Lisätutkimusta kuitenkin tarvitaan tämän ns. heikon kaaoksen rajan tarkemmaksi selvittämiseksi.
ABSTRACT
TAMPERE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Master's Degree Programme in Science and Engineering
TOPI HÄMÄLÄINEN : Diusion calculations in the Lorentz gas Master of Science Thesis, 60 pages, 0 Appendix pages
May 2014 Major: Physics
Examiner: Esa Räsänen
Keywords: Diusion coecient, Lorentz gas, bill2d-program
Billiard systems that are based on the classical Hamiltonian mechanics and their chaotic behavior have been studied a lot. In this work we have focused on a speci- c billiard case, the so-called Lorentz gas, where a particle moves between circular scatterers positioned in a triangular lattice in two dimensions. The Lorentz gas is a typical example of a periodic chaotic billiards, which have been studied in mathema- tical physics for a long time, and for which physical counterparts have been recently found in graphene applications. In this work we used new and ecient numerical methods to study dierent Lorentz gases, especially to determine the diusion coef- cients. We focused rst on conventional hard-wall scatterers and thereafter on a more generic and physically more realistic case of a soft-potential Lorentz gas, for which there is no previous research.
In this project we used the bill2d-program developed by Janne Solanpää to calcu- late particle diusion. This code is exible and expandable, and it applies methods previously used in molecular dynamics simulations. The code is generic in the sen- se that it is readily applicable to most two-dimensional billiards including periodic systems, with dierent types of interparticle interactions. In this work we applied it to determine the diusion coecients in a triangular lattice of circular scatterers, i.e., the Lorentz gas with dierent parameters.
In the hard-wall Lorentz gas we determined diusion coecients as a function of the interscatterer distance. We compared our results with the literature and found similar results which proved that the code worked correctly. We plotted the bouncing map of the system which appeared as fully chaotic. We also plotted a few illustrative particle trajectories.
In the soft-wall Lorentz gas we determined the diusion coecients as a func- tion of several parameters. First we calculated it as a function of the interscatterer distance with dierent softness proles. Generally, the softness led to smaller dif- fusion coecients. Also the variance in the diusion increased when the gas was softer. Next we calculated the diusion as a function of particle energy. The dif- fusion coecient was found to increase almost exponentially and we found some interesting spikes with specic energy values. When we plotted the trajectories with
those energy values, we found quasi-periodic movement explaining the peaks. We also calculated the diusion coecients as a function of the radius of the scatterers.
Finally we examined some bouncing maps. At specic energy values there were sig- natures of so-called weak chaos. However, further studies would be needed to study this eect in more detail.
ALKUSANAT
Kiitän lämpimästi tämän diplomityön työn ohjaajaa ja tarkastajaa professori Esa Räsästä kaikista neuvoista ja ohjauksesta. Kiitän myös Janne Solanpäätä kaikesta käytännön opastuksesta hänen koodinsa käyttöön ja kaikesta muustakin.
On ollut hienoa olla osana laskennallisen fysiikan tutkimusryhmää ja päästä tu- tustumaan moniin mielenkiintoisiin tutkimuksiin.
SISÄLLYS
1. Johdanto . . . 1
2. Teoria . . . 4
2.1 Hamiltonin järjestelmä . . . 4
2.1.1 Lagrangen mekaniikka . . . 4
2.1.2 Hamiltonin yhtälöt . . . 5
2.1.3 Kaaos Hamiltonin järjestelmässä . . . 6
2.2 Biljardijärjestelmät . . . 10
2.2.1 Dynamiikka vaihe- ja tangenttiavaruudessa . . . 10
2.2.2 Biljardimalli kahdessa ulottuvuudessa . . . 11
2.2.3 Lorentz-kaasu . . . 13
2.3 Diuusio . . . 15
2.3.1 Yleinen tarkastelu . . . 15
2.3.2 Diuusio Lorentz-kaasussa . . . 18
3. Numeeriset menetelmät . . . 22
3.1 Aikapropagointi . . . 22
3.2 Simulaation toteutus . . . 23
3.3 Diuusiokertoimen laskeminen . . . 26
4. Tulokset . . . 27
4.1 Kova Lorentz-kaasu . . . 27
4.1.1 Kovan Lorentz-kaasun systeemi . . . 27
4.1.2 Diuusiovakiot . . . 27
4.1.3 Ratakäyrät ja törmäyskartat . . . 31
4.2 Pehmeä Lorentz-kaasu . . . 33
4.2.1 Pehmeän Lorentz-kaasun systeemi . . . 33
4.2.2 Diuusiovakiot . . . 34
4.2.3 Ratakäyrät ja törmäyskartat . . . 43
5. Johtopäätökset . . . 55
Lähteet . . . 57
TERMIT JA NIIDEN MÄÄRITELMÄT
KS Kolmogorov-Sinai entropia
KAM Kolmogorov-Arnold-Moser rengaspinta
θ kulma
λ Lyapunovin eksponentti
Γ L-ulotteinen tilavektori ajanhetkellä t
d dimensio
D diuusiovakio
D Jacobin matriisi
E pistehiukkasen energia
H Hamiltonin funktio
J diuusiovuo
k hiukkasten lukumäärä
L Lagrangen funktio
L kasvumatriisi
m massa
M törmäyskartta
pj yleistetyt liikemäärät qj yleistetyt koordinaatit
r etäisyys
r paikkavektori
S Fermi-napojen terävyys/vaikutusintegraali S linearisoitu törmäyskartta
t aika
T liike-energia
u 2N-ulotteinen koordinaattivektori v 2N-ulotteinen liikemäärävektori
V potentiaali
W Lorentz-kaasun sirottajien välinen etäisyys x, y, z Paikan koordinaatteja
f˙ f :n aikaderivaatta
∇ gradienttioperaattori
1. JOHDANTO
Maailmassa on monia kaaottisia ilmiöitä, joiden käyttäytymistä ei voi ennustaa pit- källe tulevaisuuteen. Kaoottisissa systeemeissä pieni muutos alkuehdoissa aiheuttaa suuria poikkeavuuksia ajan kuluessa. [1]. Esimerkiksi sää ja virtaukset ovat kaoot- tisia systeemeitä. Myös esimerkiksi biologiassa [2], kemiassa [3,4,5,6] ja taloudessa esiityy kaaosta. Yhdysvaltalainen meteorologi Edward Lorenz kehitti vuonna 1963 yhden tunnetuimmista kaoottisista malleista, Lorenzin yhtälöryhmän, tutkiessaan ilmakehän konvektiovirtauksia [7]. Lorenzin systeemissä näkyy tietyillä parametria- lueilla omituinen attraktori, jota kutsutaan Lorenzin perhoseksi (kuva 1.1). Lorenz huomasi mallissaan, että säätä ei voi ennustaa muutamaa päivää pidemmälle tule- vaisuuteen, mikä johtuu herkästä riippuvuudesta alkuehdoista [8,9].
Fysiikassa biljardi on dynaaminen systeemi, jossa hiukkanen liikkuu suoraviivai- sesti ja kitkattomasti ja muuttaa suuntaansa heijastumalla elastisesti biljardipöydän reunoista. Biljardisysteemit ovat Hamiltonin mekaniikan idealisaatioita biljardipelis- tä, mutta kaaostutkimuksessa biljardipöydällä voi olla muitakin muotoja kuin suo- rakulmio, ja se voi olla jopa moniulotteinen. Dynaamisia biljardeja voidaan tutkia myös epäeuklidisessa geometriassa; ensimmäiset tutkimukset biljardeista näyttivät toteen niiden ergodisen liikkeen negatiivisella kaarevalla pinnalla [10].
Sinai-biljardi on neliö, josta on poistettu ympyrän muotoinen alue sen keskeltä.
Tällöin hiukkanen siis kimpoilee sekä pöydän reunoista että keskellä olevasta ympy- räreunasta. Sinai-biljardi on pelkistetty malli kahden vuorovaikuttavan kiekon sys- teemistä, jotka kimpoilevat neliössä. Biljardimallin kehitti Yakov G. Sinai esimerkki- nä vuorovaikuttavasta Hamiltonin systeemistä, jolla on fysikaalisia termodynaamisia ominaisuuksia: kaikki sen lentoradat ovat ergodisia ja sillä on on positiivinen Liapu- novin exponentti. Systeemi on siis täysin kaoottinen yksittäisiä säännöllisiä ratoja lukuun ottamatta.
Lorentz-kaasu on eräs biljardimalli, jossa on ääretön joukko ympyränmuotoisia sirottajia kolmiohilassa. Se on ikään kuin kokoelma Sinai-biljardimallin pöytiä. Mi- käli Lorentz-kaasusta löytyy reitti, jota pitkin pistehiukkanen pystyy liikkumaan törmäämättä sirottajiin, sanotaan biljardilla olevan ääretön horisontti. Toisaalta jos tällaista reittiä ei löydy, niin biljardilla on äärellinen horisontti. Kuvassa 1.2 näkyy kuinka pistehiukkanen etenee Lorentz-kaasussa.
Diuusio on yksi monista kulkeutumisilmiöistä luonnossa. Diuusio toteutuu se-
koituksesta tai massan liikkeestä tarvitsematta materiaalin liikettä, mikä erottaa sen muista ilmiöistä. Diuusiota ei pidä sekoittaa konvektioon tai advektioon, jotka ovat muita kulkeutumismekanismeja, jotka käyttävät materiaalin liikettä hiukkas- ten liikuttamiseen paikasta toiseen. Diuusion käsitettä on laajasti käytetty mm.
fysiikassa, kemiassa, biologiassa, sosiologiassa ja taloustieteessä. Hiukkasen diuusio Lorentz-kaasussa voidaan määrittää laskemalla miten pitkälle se pääsee etenemään lähtöpaikastaan tietyssä ajassa. Tämä on keskeinen kysymys tässä tutkimustyössä.
Diuusiota käsitellään lisää kappaleessa 2.3.
Myös kvanttimekaniikassa on käsitelty Lorentz-kaasua. Eräässä Nature-lehden ar- tikkelissa v. 2012 saatiin aikaan keinotekoinen säädeltävä grafeeni, jonka vyöraken- teesta löytyy Diracin pisteitä [11]. Tässä systeemissä kuparipinnan vapaat elektronit törmäilevät kolmiohilassa oleviin CO-molekyyleihin aivan Lorentz-kaasun tapaan.
−10
0
10 −20
−10 0
10 20 5
15 25 35 45
Y X
Z
Kuva 1.1: Eräs Lorenzin systeemin rata, josta näkee oudon attraktori kuvion, jota kutsu- taan usein Lorenzin perhoseksi.
15 10 5 0 20
15 10 5 0
Kuva 1.2: Esimerkkikuva Lorentz-kaasusta, jossa pistehiukkanen etenee törmäten elasti- sesti kolmiohilassa oleviin ympyräsirottajiin. On huomionarvoista, että sirottajahila on jaksollinen eli tällä biljardijärjestelmällä ei ole reunoja.
2. TEORIA
2.1 Hamiltonin järjestelmä
Hamiltonin järjestelmä on dynaaminen systeemi, jota hallitaan Hamiltonin yhtälöil- lä. Fysiikassa se kuvaa systeemin aikaevoluutiota, esimerkiksi planetaarista järjestel- mää tai elektronia elektromagneettisessa kentässä. Näitä systeemejä voidaan tutkia sekä Hamiltonin mekaniikalla että dynaamisen systeemin teorialla [12].
2.1.1 Lagrangen mekaniikka
Lagrangen mekaniikka on yksi klassisen mekaniikan muotoilu, jolla on kaksi tärke- ää etua verrattuna sitä aikaisempaan Newtonin muotoiluun. Ensinnäkin Lagrangen kaavat ottavat saman muodon kaikissa koordinaattisysteemeissä. Toiseksi Langran- gen lähestymistapa eliminoi kaikki rajoitteiden voimat. Tämä yksinkertaistaa monia ongelmia [13].
Lähdetään johtamaan Lagrangen kaavoja lähdettä [13] seuraten tarkastelemal- la hiukkasta, joka liikkuu kolmessa ulottuvuudessa konservativisen kokonaisvoiman F(r) alaisuudessa. Hiukkasen liike-energia on
T = 1
2mv2 = 1
2mr˙2 = 1
2m( ˙x2+ ˙y2+ ˙z2), (2.1) ja sen potentiaalienergia on puolestaan
V =V(r) =V(x, y, z). (2.2) Lagrangen funktio määritellään seuraavasti:
L=T −V. (2.3)
Derivoidaan L x:n ja x˙:n suhteen,
∂L
∂x =−∂V
∂x =Fx (2.4)
ja ∂L
∂x˙ = ∂T
∂x˙ =mx˙ =px. (2.5)
Dierentoimalla toinen yhtälö ajan suhteen ja yhdistämällä Newtonin toinen laki, Fx = ˙px, kaavan (2.4) kanssa nähdään, että
∂L
∂x = d dt
∂L
∂x˙. (2.6)
Samalla tavoin voidaan myös todistaa vastaavat yhtälöt y:lle ja z:lle. Näin on muo- dostettu Newtonin toisesta laista kolme Lagrangen yhtälöä (karteesisissa koordinaa- teissa):
∂L
∂x = d dt
∂L
∂x˙, (2.7)
∂L
∂y = d dt
∂L
∂y˙ (2.8)
ja ∂L
∂z = d dt
∂L
∂z˙. (2.9)
Lagrangen yhtälöt saadaan myös käyttämällä variaatioperiaatetta, jonka mukaan hiukkanen kulkee sitä reittiä, jolle vaikutusintegraali S on stationäärinen [13,14].
Vaikutusintegraali on
S = Z t2
t1
L dt. (2.10)
2.1.2 Hamiltonin yhtälöt
Toinen oleellinen klassisen mekaniikan muotoilu on Hamiltonin mekaniikka, joka voi- daan johtaa Lagrangen mekaniikan tulosten kautta tai myös kokonaan siitä riippu- matta. Hamiltonin mekaniikka on nykyisin mekaniikan perusformalismi käytännössä kaikessa mekaniikkaan liittyvässä tutkimuksessa. Tehokkaaksi työkaluksi se on osoit- tautunut kvanttimekaniikassa, jonka matemaattinen kuvaus perustuu käytännössä kokonaan Hamiltonin mekaniikkaan ja Hamiltonin operaattoreihin.
Seuraavaksi johdamme Hamiltonin yhtälöt edellä käsitellyn Lagrangen forma- lismin kautta. Seuraamme tässä lähdettä [15]. Aluksi tehdään Legedren muunnos {qj,q˙j, t} → {qj, pj, t}. Tässä on nyt otettu käyttöön yleistetyt koordinaatit qj, xi = xi({qj}), i= 1, .., n. Tässä on hyvä huomauttaa, että yleistettyjä koordinaatteja on yksi vähemmän kuin karteesisia jokaista rajoitetta kohti. Yleistetyt liikemäärät pj määritellään seuraavasti:
pj = ∂L
∂q˙j
. (2.11)
Hamiltonin funktio määritellään seuraavasti:
H(qj, pj, t) = X
j
˙
qjpj−L. (2.12)
Sen kokonaisdierentiaali on muotoa dH =X
j
∂H
∂qjdqj+X
j
∂H
∂pjdpj+X
j
∂H
∂t dt. (2.13)
Kaavasta (2.12) saadaan dH =X
j
pjdq˙j+X
j
˙
qjdpj −X
j
∂L
∂q˙jdq˙j−X
j
∂L
∂qjdqj −∂L
∂tdt, (2.14) joka voidaan yksinkertaistaa seuraavasti. Ensinnäkin ensimmäinen ja kolmas termi kumoavat toisensa, koska pj = ∂L/∂q˙j. Neljäs termi voidaan muotoilla uudestaan seuraavasti
X
j
∂L
∂qjdqj (2.6)= d dt
∂L
∂q˙jdqj = ˙pjdqj. (2.15) Tästä tuloksena saadaan
dH =X
j
˙
qjdpj −X
j
˙
pjdqj −∂L
∂tdt. (2.16)
Vertaillaan nyt kaavoja (2.13) ja (2.16). Muuttujat q ja p ovat toisistaan riippu- mattomia ja siksi myös dqj, dpj ja dt ovat toisistaan riippumattomia. Tästä syystä niiden kertoimet kaavoissa (2.13) ja (2.16) ovat myös samoja. Nyt voimme kirjoittaa
˙
qj = ∂H
∂pj, j = 1,2, ..., n, (2.17)
˙
pj =−∂H
∂qj, j = 1,2, ..., n (2.18)
ja ∂H
∂t =−∂L
∂t. (2.19)
Kaksi ensimmäistä yhtälöä (2.17) ja (2.18) ovat systeemin Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt. Viimeinen yhtälö (2.19) ei ole varsinainen liikeyhtälö, mutta se osoittaa, että H riippuu ajasta vain ja ainoastaan silloin, jos aika esiintyy Hamiltonin funktiossa eksplisiittisesti [15,16,17].
2.1.3 Kaaos Hamiltonin järjestelmässä
Liapunovin eksponentti
Hamiltonin järjestelmissä eli ei-dissipatiivisissa systeemeissä jonkin alkujakauman tilavuus vaiheavaruudessa on säilyvä [17,18]. Systeemissä, jossa on N vapausastet- ta, liikeratoja voidaan kuvata 2N -ulotteisessa vaiheavaruudessa, jossa on N paikka-
koordinaattia ja N vastaavaa kanonisesti konjugoitunutta liikemäärää. Determinis- tisen systeemin Liapunovin eksponentti (nimetty Aleksander Liapunovin mukaan) on suure, joka karakterisoi äärimmäisen lähellä olevien ratojen erilleen ajautumista.
Tarkastellaan kahta vaiheavaruuden rataa v(t) ja u(t), joiden alkuehtojen ero on
|u(0)−v(0)|. Alkuehdot u(0) ja v(0) kehittyvät Hamiltonin liikeyhtälöiden mukai- sesti [kts. kaavat (2.18) ja (2.17)]. Nyt radat erkanevat seuraavan kaavan mukaisella nopeudella
|u(t)−v(t)|=eλt|u(0)−v(0)|, (2.20) jossaλ on Liapunovin eksponentti. Tästä saadaan λ:lle seuraava yhtälö
λ(u,v) = lim
t→∞
1 t ln
|u(t)−v(t)|
|u(0)−v(0)|
. (2.21)
Erkanemisen nopeus voi olla|u(0)−v(0)|:n eri orientaatioille erilainen. Tästä syys- tä on olemassa Liapunovin eksponenttien spektri, joka on saman suuruinen kuin vaiheavaruuden ulottuvuus. 2N -ulotteisessa vaiheavaruudessa on 2N ortogonaalis- ta suuntaa ja siten 2N toisistaan riippumatonta Liapunovin eksponenttia λj, jot- ka määrittelevät lentoratojen eriytymisen toisistaan jokaisessa suunnassa. Suurinta eksponenttia tavallisesti kutsutaan johtavaksi Liapunovin eksponentiksi [19], koska se määrittelee dynaamisen systeemin ennustettavuuden käsitteen. Positiivinen joh- tava Liapunovin eksponentti yleensä merkitsee sitä, että systeemi on kaoottinen.
Johtavan Liapunovin exponentin määrittämisen lisäksi on kehitetty myös metodeja määrittelemään jokainen Liapunovin eksponentti [20].
Termi |u(t)−v(t)| määritellään seuraavasti:
|u(t)−v(t)|= v u u t
N
X
j=1
[∆qj(t)2+ ∆pj(t)2], (2.22) jossa∆qj(t)ja ∆pj(t) ovat vastaavia muutoksia kahden lentoradan koordinaateissa ja liikemäärissä ajassa t. Tämä etäisyys ei ole hyvin määritelty metriikka, koska tä- män suureen arvo riippuu siitä, mitkä kanonisten konjugoituneitten koordinaattien ja liikemäärien parit valitaan käytettäväksi. Tästä syystäλ:n arvo riippuu liikemää- rän ja koordinaattien valinnasta [21].
Toisaalta se, onkoλpositiivinen vai nolla, on riippumaton koordinaattisysteemin valinnasta. Positiivinen Liapunovin eksponentti merkitsee nopeaa alkutilanteessa lähekkäin olevien lentoratojen erkanemista vaiheavaruudessa ja siten äärimmäistä dynamiikan herkkyyttä alkuehdoista. Vastaavasti λ = 0 merkitsee lentoratojen va- kaata, periodista tai kvasiperiodista käyttäytymistä vaiheavaruudessa Liapunovin eksponentin määritys tehdään numeerisesti datasta, joka on joko kokeelisesti tai nu- meerisesti luotu. Koelentorataa v korjataan säännöllisesti etäisyydend0päähän refe-
renssilentoradasta u ja tämän jälkeen keskiarvoistetaan etäisyydetdj, minkä verran lentoradat ovat erossa ennen uudelleenkorjausta [21].
Integroituvuus
Klassisen systeemin kaoottisuus tai säännöllisyys vastaa olennaisesti sitä, onko se integroituva vai ei. Nimetään integroituviksi ne dynaamiset systeemit joilla on yhtä monta liikevakiota kuin vapausastetta. Hamiltonin klassiselle systeemille tämä voi- daan esittää seuraavasti: klassinen systeemi, jossa on N vapausastetta, on integroi- tuva, jos on olemassa N toisistaan riippumatonta globaalisti määriteltyä funktio- taIj(q1, q2, ..., qN, p1, p2, ..., pN), jotka ovat kiertymässä eli joiden yhteiset Poissonin sulkeet häviävät [22]:
{Ij, Ik}= 0. (2.23)
Joukko {I1, I2, ..., IN} muodostaa Hamilton-Jacobi-teorian vaikutusmuuttujat [17]
ja puolikkaan vaiheavaruuden koordinaattien joukosta. Toinen puolikas muodostuu kulmamuuttujista. Dynamiikkaa voidaan siten täysin kuvata kulmamuuttujien ai- kaevoluution mukaan, kun sopiva koordinaattisysteemi on löydetty. Säilyvät suureet perustuvat symmetrioihin kuten Nötherin teoriassa on todistettu [23]. Käytännössä systeemin integroitavuuden määritys voi vaatia keksiliäisyyttä.
Liikevakiot puolestaan rajoittavat ratojen levittäytymistä vaiheavaruudessa. Jo- kainen uusi liikevakio rajoittaa jokaista annettua rataa alempiulotteisen vaiheava- ruuden osan sisällä. Tällöin integroituvassa N -ulotteisessa systeemissä jokainen rata on rajoitettu N -ulotteiseen pintaan 2N -ulotteisessa vaiheavaruudessa. Nämä pinnat muodostavat N -ulotteiset rengaspinnat vaiheavaruuteen ja niitä kutsutaan invarian- teiksi rengaspinnoiksi [21].
Toisaalta jos kaikki mahdolliset radat eivät ole rajoitetut N -ulotteisiin suljettui- hin pintoihin [KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser)-rengaspinnat sekoitetussa vaihea- varuudessa], niin ei-rajoitetut radat voivat liikkua vaiheavaruudessa paljon vapaam- min. Tällöin sekoittuminen sekä alkuehtojen herkkyys eivät ole ainoastaan mahdol- lisia vaan automaattisia. Mikäli yksiulotteisessa aikariippuvaisessa systeemissä tai kaksiulotteisessa ajasta riippumattomassa systeemissä on sekoitus kaoottisia lento- ratoja ja KAM-rengaspintoja, niin kaoottisen dynamiikan alueet on yleisesti erotel- tu toisistaan näillä rengaspinnoilla. Korkeampiulotteisissa systeemeissä tämä ei ole enää mahdollista, ja kaoottiset alueet vaiheavaruudessa on kaikki yhdistetty keske- nään. Jos lentorata on alussa kaoottisella alueella, se voi diusoitua koko vaiheava- ruuden läpi. Tätä prosessia kutsutaan Arnoldin diuusioksi [24]. Hamiltonin kaaos on siten ainoastaan mahdollinen ei-integroituvissa Hamiltonin systeemeissä. On kui- tenkin huomattava, ettei integroituvuuden puute suoraan kerro, ovatko Hamiltonin liikeyhtälöt ratkaistavissa. Yleisesti se ei ole mahdollista, mutta erittäin yksinkertai-
sissa tapauksissa se on tehtävissä, vaikka systeemi olisi periaatteessa kaoottinen ja ei-integroituva [21].
Poincarén alue
Yleisesti käytetty työväline systeemin integroitavuuden ja yleisen käyttäytymisen ar- viointiin on Poincarén (leikkaus)pinta [21]. Siihen merkitään ne kohdat, joissa hiuk- kanen kohtaa vaiheavaruuden läpi määritellyn leikkaustason. Vaiheavaruus, johon sisältyy vain suljettuja käyriä tai periodisia pisteitä, merkitsee integroitavuutta. Vai- heavaruus, joka sisältää vain satunnaisesti hajallaan olevia pisteitä, merkitsee yleis- tä kaaosta. Vaiheavaruus, joka sisältää näitä molempia tapauksia on ei-integroituva, mutta siinä erottuu sekä kaoottisia, että säännöllisen dynamiikan sisältäviä aluei- ta, jolloin systeemiä yleisesti kutsutaan miksatuksi. Käytännössä Poincarén alueesta on usein vaikeaa suoraan määrittää systeemin kaoottisuutta, koska periodiset alueet saattavat olla hyvin pieniä ja/tai sekoittuneina kaoottiseen osaan.
Periodiset kiertoradat
Klassisessa mekaniikassa periodinen kiertorata on rata, joka palaa samaan pisteeseen vaiheavaruudessa äärellisen ajan jälkeen. Se, millaisia periodisia kiertoratoja systee- millä on, liittyy sen integroitavuuteen ja siihen esiintyykö siinä kaoottista käyttäy- tymistä [21].
Gutzwiller [25] luokittelee periodiset kiertoradat elliptisiin, parabolisiin, hyperbo- lisiin ja loksodromisiin kiertoratoihin. Nämä nimet viittaavat lentoratojen vuon luon- teeseen periodisten kiertoratojen lähistöllä vaiheavaruudessa. Loksodromiset kiinto- pisteet voivat esiintyä vain systeemissä, jossa on ainakin kolme vapausastetta.
Integroituvilla systeemeillä voi olla vain parabolisia periodisia kiertoratoja ja ne ovat yleisesti erityistapauksia. Periodisen kiertoradan ympäristö systeemissä, jossa on vähemmän kuin kolme vapausastetta on joko elliptinen, jossa vuo kiertää pis- teiden ympäri vaiheavaruudessa tai hyberbolinen, jossa pisteet määritellään asymp- toottien risteyskohdilla. KAM-rengaspinnat ovat ilmaus vuosta elliptisten periodis- ten kiertoratojen ympäri.
Monissa tapauksissa vaiheavaruus on miehitetty yhdistelmällä näistä kahdesta erilaisesta periodisesta kiertoradasta. Näiden kiertoratojen ympärillä oleva vuo tuot- taa sekoituksen kaoottista ja kvasiperiodista dynamiikkaa, jota kutsutaan pehmeäksi kaaokseksi [25]. Äärimmäisessä tilanteessa esiintyy vain hyperbolisia periodisia kier- toratoja. Tällainen kova kaaos esiintyy esimerkiksi joissakin biljardisysteemeissä ku- ten stadionbiljardissa. Kun jonkin parametrin muutos aiheuttaa kasvun kaoottisessa käyttäytymisessä pehmeästi kaoottisessa systeemissä, niin tämä tapahtuu hyperbo- listen periodisten kiertoratojen rajojen romahduksena.
2.2 Biljardijärjestelmät
2.2.1 Dynamiikka vaihe- ja tangenttiavaruudessa
Alla olevassa johdossa on seurattu lähdettä [10]. Lähdetään liikkeelle merkinnäl- lä Γ(t), joka kuvaa L-ulotteista tilavektoria ajanhetkellä t, ja jatkuvan virtauksen liikkeen yhtälö on muotoa
˙Γ =F(Γ), (2.24)
jonka muodollinen ratkaisu on
Γ(t) = Φt(Γ(0)). (2.25)
Oletetaan systeemin olevan rajoitettu. Törmäykset tapahtuvat ajanhetkillä
{τ1, τ2, τ3...}, ja kaikissa kohtaamisissa viimeisen tilan törmäyskartta Γf kuvaa en- simmäisen tilan Γi:
Γf =M(Γi). (2.26)
M(Γ):n oletetaan olevan palautuva ajan suhteen ja dierentoituva vaiheavaruuden muuttujien suhteen. Näin yhdistetystä aikaevoluutiosta vaiheavaruudessa saadaan
Γ(t) = Φt−τn ◦M◦Φτn−τn−1 ◦ · · · ◦Φτ2−τ1 ◦M◦Φτ1(Γ(0)). (2.27) Lentoradan stabiilisuus saadaan ottamalla käyttöön muutettuja lentoratoja Γs(t) yhdistettynä Γ(t):ään parametrisoidulla polulla parametrin s kanssa niin, että lims→0Γs(t) = Γ(t). Tangenttivektorit δΓ(t) = lims→0(Γs(t) −Γ(t))/s kehittyvät liikkeen linearisoitujen kaavojen mukaan:
δ˙Γ =D(Γ)·δΓ. (2.28)
Tässä D(Γ) = ∂F/∂Γ on Jacobin matriisi. Tämän linearisoidun yhtälön ratkaisu (muodollinen) kirjoitetaan
δΓ(t) = Lt·δΓ(0), (2.29)
jossa aikaevoluutiokuvaus Lt on integroidun Jacobin [26] aikajärjestetty eksponent- ti. Tangenttivektori kartoitetaan välittömästi törmäystapahtumassa kaavan (2.26) mukaisesti δΓi:stä δΓf:ään seuraavasti:
δΓf =S·δΓi ≡ ∂M
∂Γi ·δΓi, (2.30)
jossa S on linearisoitu törmäyskartta.
Pidetään nyt termit lineaarisina vainδΓi:ssä, jolloin linearisoidusta kartasta (2.30)
tulee
δΓf = ∂M
∂Γi ·δΓi+ ∂M
∂Γi ·F(Γi)−F(M(Γi))
δτc. (2.31) Tässä kartassaδτcon viiveaika, jolla poikkeutetun lentoradan törmäys on viivästetty referenssilentoradan suhteen. Se määritellään spatiaalisesta poikkeutuskomponentis- ta, joka on ortogonaalinen törmäystasoon, ja referenssilentoradan spatiaalinen nor- maalinopeus määritellään välittömästi ennen törmäystä. Viiveajan merkki voi olla positiivinen tai negatiivinen ja se riippuuΓi:sta ja lineaarisestiδΓi:sta. Yhdistetään nyt virtauksen aikavälin ratkaisu (2.29) linearisoidun törmäyskartan (2.30) kanssa.
Tangenttiavaruudessa poikkeutettujen vektoreiden rajat voidaan muodostaa seuraa- van relaation mukaan:
δΓ(t) = Lt−τn ·S·Lτn−τn−1· · ·Lτ2−τ1 ·S·Lτ1 ·δΓ(0). (2.32) Tämä on linearisoitu virta, jota voi verrata vaihevirtaan, kts. (2.27).
AlkupoikkeutusvektorinδΓ(0)suunta määrää nyt, kasvaako vai kutistuuko kaoot- tisissa systeemeissä tämän äärettömän pienen häiriön normi eksponentaalisesti. Lia- punovin eksponentin määritelmä on esitelty aiemmin [kts. kaava (2.21)] ja tässä se on vielä eri tavalla esitettynä:
λ= lim
t→∞
1
t log |δΓ(t)|
|δΓ(0)|. (2.33)
Oseledecin teoreemassa [27,28] ergodiset systeemit, joiden ergodinen tila on täysi L-ulotteinen vaiheavaruus, on L ortonormaalista alkuvektoria δΓl(0), jotka muo- dostavat joukon L:n eksponentteja {λl} eli Liapunovin eksponenttien spektrin. On huomionarvoista, että jotkut Liapunovin eksponenteista katoavat, koska dynamiikan täytyy toteuttaa rajoitteita kuten mm. liikemäärän ja energian säilymislakeja.
2.2.2 Biljardimalli kahdessa ulottuvuudessa
Tietokonesimulaatiot ovat olleet ja tulevat olemaan tärkeä osa statistisen fysiikan kehitystä. Ne ovat viime aikoina johtaneet uusiin ja odottamattomiin oivalluksiin, joista matemaattiset fyysikot ovat luoneet teorioita. Biljardimallien ja diuusiosys- teemien tutkiminen on hyötynyt paljon simulaatioista ja analyyttisistä laskuista.
Erityisellä mielenkiinnolla biljardimalleihin on monia syitä. Teoreettinen käsitte- ly on melko yksinkertaista ja niiden mallien ergodisien ja dynaamisien ominaisuuk- sien oletetaan olevan tyypillisiä realistisille fysikaalisille systeemeille. Biljardimalleja käsitellään mm. klassisesssa mekaniikassa, statistisessa fysiikassa, optiikassa ja akus- tiikassa.
Biljardisysteemissä on tyypillisesti suljettu reuna, jonka sisällä pistehiukkanen
liikkuu vakionopeudella v ja heijastuu elastisesti reunasta. Niin kutsuttuja kaikkial- la sirottavia biljardimalleja tutki Yakov G. Sinai [30] ja Leonid Bunimovich [31].
Sinai-biljardin pöytä on neliö, josta on poistettu ympyrä keskeltä (kts. kuva 2.1a).
Pöytä on tasainen, eikä siinä ole kaarevuutta. Sinai esitteli tämän mallin esimerkkinä vuorovaikuttavasta Hamiltonin systeemistä, jolla on termodynaamisia ominaisuuk- sia: kaikki sen mahdolliset radat ovat ergodisia ja sillä on positiivinen Liapunovin eksponentti. Sinai-biljardi on siis täysin kaoottinen ja siinä on vain eristettyjä sään- nöllisiä ratoja.
Bunimovichin stadioni on biljardi, jonka reuna koostuu kahdesta puoliympyrästä, jotka on yhdistetty suorilla. Suorien reunaosien olemassaolo on tärkeää, jotta stadio- ni olisi ergodinen. Ennen tätä mallia luultiin, että biljardeihin, joissa on positiivinen Liapunovin eksponentti, tarvittaisiin kuperia sirottajia (esim. Sinai-biljardin kiek- ko) tuottamaan eksponentaalinen poikkeavuus kiertoradoissa. Bunimovich osoitti, että ottamalla huomioon kiertoradat koveran alueen polttopisteen yli oli mahdollis- ta saada eksponentaalinen poikkeavuus. Bunimovichin stadion on esitetty kuvassa 2.1b.
a b
Kuva 2.1: Sinai-biljardi vasemmalla (a) ja stadionbiljardi oikealla (b). Molemmat systeemit ovat kaoottisia biljardeja.
Seuraavassa johdossa on seurattu lähdettä [10]. Biljardissa hiukkanen pääsee ete- nemään törmäysten välissä ilman rajoitteita, jolloin paikalle ja liikemäärälle pätee q˙ =p/m, p˙ =0. Nyt saadaan
q(t) = q(0) +
p(0) m
t, p(t) =p(0) (2.34) ja
δq(t) = δq(0) +
δp(0) m
t, δp(t) =δp(0). (2.35)
Törmäyskartta peilimäiselle heijastukselle, jolle kohtisuorasti pintaan osoittavan no- peuskomponentin merkki on käännetty vain, on
qf =qi,pf =pi−2(pi·n)n. (2.36) Tässä n on yksikkövektori kohtisuorassa pintaa vasten törmäyskohdassa.
Biljardeista voidaan laskea monia kaoottisia dynamiikkaa kuvaavia ominaisuuksia kuten esimerkiksi Liapunovin spektri, Kolmogorovin ja Sinain entropia hKS, nopeu- den korrelaatiofunktio C(t) = hv(0)·v(t)i/v2 sekä Poincaré osan korrelaatiohajonta Cm−n =hvn·vmi/v2. Tässä vn on nopeusvektori heti n:nen törmäyksen jälkeen ja v =|v|. Lorentz-kaasulle sekä muille periodisille systeemeille lasketaan yleensä myös diuusiovakioita eri menetelmin [10] kuten jäljempänä kappaleessa 2.3 nähdään.
2.2.3 Lorentz-kaasu
Mikäli rajattu Sinai-biljardi, jossa on ympyrän tai pallon muotoisia sirottajia, ava- taan äärettömäksi ryhmäksi sirottajia saadaan Lorentz-kaasu, eli ns. laajennettu biljardi [32,33]. Lorentz kehitti tämän lähestymistavan vuonna 1905 tutkiakseen sähköistä konduktiota. Periodiset sirottajajoukot tasossa tai korkeammissa ulottu- vuuksissa olivat kuitenkin tiedossa jo vuonna 1873 Galtonin tutkimuksissa (Galtonin pöytä). Ne ovat olleet tärkeä esimerkki hyperbolisesta dynamiikasta singulariteettien kanssa alkaen Sinain työstä vuonna 1970 [10,32]. Lorentz-kaasusta on esimerkkikuva 1.2 kappaleessa 1.2.
Periodinen Lorentz-kaasu on yleinen malli, joka sisältää pistehiukkasen liikkumas- sa vapaasti vakionopeudella v joukossa ympyrän muotoisia sirottajia, joista se elas- tisesti kimpoaa [32,34]. Yleisin malli on sirottajista muodostettu kolmiohila, mutta myös muunlaisia geometrioita on käytetty. Mikäli ulkoista kenttää ei ole, pistehiuk- kanen liikkuu suoraan sirottajien välillä.
Periodisessa Lorentz-kaasussa on kolme mahdollista järjestelmää riippuen perio- disen kopin muodosta ja kovien sirottajien koosta. Merkitään sirottajien välistä etäi- syyttä W :llä (kts. kuva 2.2). Olkoon sirottajien säde vakio 1. Nyt alue, jossa sirot- tajat menevät päällekkäin, on −0.2679 ≈ √
3−2< W ≤0. Tällöin hiukkanen jää ansaan sirottajien väliin ja diuusiota ei ole. Alaraja on se W :n arvo jolla sirottajat peittävät tason kokonaan eli hiukkanen ei pääse liikkumaan missään. Kun kiekot eivät mene päällekkäin, on mahdollista, että törmäysten välisellä ajalla on yläraja.
Lorentz-kaasulla on tällöin niin sanottu äärellinen horisontti ja on olemassa normaa- li diuusio määriteltynähx2i ∼t. Alue on nyt0< W <4/√
3−2≈0.3094. Yläraja on nyt se W :n arvo, millä hilaan voidaan piirtää suora niin, ettei se koske yhteen- kään sirottajaan. Tällöin biljardilla sanotaan olevan ääretön horisontti ja törmäysten välillä olevalla ajalla ei ole ylärajaa. Alue on silloin W > 4/√
3−2. Neliön, suora-
kulmion ja kolmionmuotoisten koppien ei-päällekkäisillä kiekoilla on myös ääretön horisontti, mikä johtaa poikkeavaan diuusioon muodoltaanhx2i ∼tln t [35,36,33].
W
a b
c
Kuva 2.2: Periodinen kolmiohilarakenteinen Lorentz-kaasu. Sirottajien säde on vakio 1. On kolme mahdollista järjestelmää riippuen sirottajien välimatkasta W : (a) Ääretön horisont- ti,W >4/√
3−2; (b) Äärellinen horisontti,0< W <4/√
3−2; (c) Sirottajien päällekkäin meno, √
3−2< W ≤0, jolloin diuusiota ei esiinny [33].
Periodinen koppi kahdessa ulottuvuudessa on yleensä neliö, suorakulmio tai kuusi- kulmio. Jokaisessa näistä tapauksista Lorentz-kaasu on dynaamisesti vastaava ää- relliseen, samanmuotoiseen ja -kokoiseen biljardiin, jossa on kovaseinäiset reunat.
Tämä johtuu siitä, että biljardi, jonka reunoista tapahtuu heijastuksia, voidaan laa- jentaa heijastamalla ala jokaisen suoran rajan yli. Lisäksi, neliö, suorakulmio ja kuusikulmio ovat samoja vaikka niitä heijastetaan tai käännetään, joten heijastuk- sen reunaehdot ovat yhtenevät periodisiin reunaehtoihin. Näin Lorentz-kaasu jolla on neliönmmuotoinen periodinen koppi on vastaava Sinai-biljardiin [33].
Satunnaisessa Lorentz-kaasussa sirottajakiekot tai pallot eivät ole järjestäytyneet hilaksi, vaan ovat sijoittuneet satunnaisesti avaruuteen. Horisontti on äärellinen jopa alimmilla sirottajien tiheyksillä.
Lorentzin kaasumalleja huomioidaan fysiikan kirjallisuudessa, esimerkiksi mole- kyylidynamiikassa. Se on mahdollisesti yksinkertaisin deterministisen diuusion mal- li fyysisiltä ominaisuuksiltaan; siinä on Hamiltonin rakenne, jatkuva aikadynamiik- ka ja käänteinen aikainvarianssi. Yksinkertaisemmat, mutta vähemmän fysikaaliset mallit sisältävät yksidimensionaalisia karttoja f : R → R periodisen ominaisuuden kanssa f(x+ 1) =f(x)+ 1ja moni-Baker karttoja avaruudessa[0,1]2×Z. Ensimmäi- sessä tapauksessa, jossa f on paloittainen lineaarinen kartta, diuusiovakio on kar-
keiden parametrien funktio. Lorentzin (kaltaisten) mallien numeeriset tutkimukset ovat näyttäneet epäsäännöllistä mutta sileämpää käyttäytymistä kuin paloittainen lineaarinen kartta. On myös olemassa paljon kirjallisuutta diuusiosta periodisessa Lorentz-kaasussa kahdessa ulottuvuudessa ja hajottavassa biljardiasetelmassa [? ].
2.3 Diuusio
2.3.1 Yleinen tarkastelu
On kaksi tapaa esitellä diuusion käsite: joko fenomenologinen lähestymistapa al- kaen Ficksin diuusiolaeista ja niiden matemaattisista seurauksista tai fysikaali- nen/atomistinen, jossa lähdetään liikkeelle diusoituvien hiukkasten satunnaiskäve- lystä [37].
Fenomenologisessa lähestymistavassa Ficksin lakien mukaan diuusiovuo on ver- rannollinen konsentraation negatiiviseen gradienttiin. Diuusio etenee korkeamman konsentraation alueista matalamman konsentraation alueisiin. Ficksin ensimmäinen laki on muotoa
J =−D∇φ, (2.37)
jossa J on diuusiovuo, D on diuusiovakio ja φ on konsentraatio. Ficksin toinen laki ennustaa miten diuusio aiheuttaa konsentraation muutoksen ajan t suhteen [37]:
∂φ
∂t =D∇2φ. (2.38)
Atomistiselta kannalta diuusiota käsitellään hiukkasten satunnaiskävelyn tulok- sena. Molekulaarisessa diuusiossa liikkuvat molekyylit liikkuvat lämpöenergian vai- kutuksesta. Pienten hiukkasten satunnaiskävelyn uidin suspensiossa (eli väliaineen hienojakoisessa saostumisessa heterogeenisessa seoksessa) löysi Robert Brown vuon- na 1827. Brownin liikkeen teorian ja diuusion atomistisen taustan kehitti Albert Einstein [38].
Satunnaiskävely on yksinkertainen stokastinen prosessi, joka formalisoi ajatuksen satunnaiseen suuntaan otetuista peräkkäistä askelista. Yleensä satunnaiskulku aja- tellaan diskreettiaikaisena prosessina, eli aika saa vain kokonaislukuarvoja ja uudel- la kokonaislukuarvolla prosessi siirtyy uuteen pisteeseen. Tällöin piste on paikallaan vain kyseisen ajanhetken ja seuraavana erillisenä ajanhetkenä se on taas uudessa paikassa. Välissä pisteen ei ajatella olevan missään, koska aikaa ei pidetä jatkuva- na, vaan diskreettinä. Kyseessä on Markov-prosessin erikoistapaus. Jatkuva-aikainen satunnaiskulku saadaan kun ajatellaan, että prosessi pysyy samassa pisteessä seu- raavaan kokonaislukuarvoiseen ajanhetkeen saakka, joilloin se taas siirtyy uuteen paikkaan. Nyt on kaksi erilaista vaihtoehtoa: piste voi olla paikallaan vielä seuraa- valla kokonaislukuarvoisella ajanhetkellä ja siirtyä heti sen jälkeen, tai se voi aina
tällaisellä ajanhetkellä olla jo siirtynyt uuteen paikkaan.
Diuusion voi siis käsittää satunnaiskävelynä ja sen voi laskea käyttämällä Eins- teinen kaavaa [38,39], joka määritetään myöhemmin tässä kappaleessa [kts. (2.92)].
Tässä työssä on sovellettu satunnaiskävelyä hiukkasen liikkeeseen Lorentz-kaasussa ja laskettu sen diuusiokerrointa eri parametrien funktiona.
Yksi keskeisimmistä teemoista kaoottisen kulkeutumisen teoriassa on determinis- tisen diuusion ongelma. Useiden vuosien ajan deterministisen diuusion vakioita on laskettu erilaisissa matalaulotteisissa systeemeissä, erityisesti periodisessa Lorentz- kaasussa. Tämä malli jäljittelee klassista diuusiota kristallissa, mutta on myös iso- mornen periodiselle systeemille, jossa on kaksi kovaa kiekkoa yksikkökopissa. Tä- män mallin dynaamisista- ja kuljetusominaisuuksista on tehty paljon tutkimuksia, ja motivaationa on ollut erityisesti Bunimovichin ja Sinain täsmällinen matemaattinen analyysi. Diuusiovakiota on laskettu monilla eri metodeilla [40].
Selitetään aluksi hiukan determinististä diuusiota yksinkertaisen esimerkin kaut- ta [40]. Ensimmäisenä lähestymisenä voidaan ajatella diuusion olevan yksinkertai- nen satunnaiskävely. Kuvassa 2.3 näkyy melko realistinen esimerkki tästä proses- sista: Kuvitellaan, että jonain iltana myöhään yöllä eräs merimies haluaa päästä laivalleen, mutta hän on todella juopunut eikä pysty hallitsemaan askeliaan. Yksin- kertaisuuden vuoksi ajatellaan, että merimies kulkee yhdessä ulottuvuudessa. Hän aloittaa lyhtypylväältä paikastax= 0ja sitten tekee askelia pituudella s vasemmal- le ja oikealle. Kuitenkin, koska hän on todella juopunut, niin hän unohtaa kaikki muistonsa yksittäisten askelien väliltä, joten kaikki askeleet ovat riippumattomia toisistaan. Se on siis sama kuin heittäisi kolikkoa päättääkseen, mennäkö seuraa- van askeleen vasemmalle vai oikealle. Nyt voidaan kysyä todennäköisyyttä löytää merimies n:n askeleen jälkeen etäisyyden x päästä lähtöpaikasta. Tämä ongelma oli kehitetty (kolmessa dimensiossa) ensimmäistä kertaa Karl Pearsonin Nature- artikkelissa vuodelta 1905 [41]. Hän kysyi ratkaisua, jonka Lord Rayleigh [42] tar- josi viitaten omaan vanhempaan työhönsä. Pearson päätyi sitten lopputulokseen, jossa todennäköisin paikka mistä merimiehen löytää on lähellä lähtöpaikkaa. Tämä viittaa Gaussiseen todennäköisyysjakaumaan merimiesten paikoista, jotka on saatu sopivassa skaalausrajassa ajatuskokeesta, jossa joukko merimiehiä lähtee samasta lähtöpaikasta.
Verrattuna tähän klassiseen kuvaan diuusiosta ei-korreloivana satunnaiskävely- nä dynaamisten systeemien teoria tekee mahdolliseksi käsitellä diuusiota determis- tisenä prosessina. Nyt voidaan korvata onneton merimies pistehiukkasella. Kolikon heittämisen sijaan hiukkasen, jonka alkuehto on x0, liikerata luodaan dynaamisella systeemillä.
xn+1 =M(xn). (2.39)
M(x) on tässä yksiulotteinen kartta, joka määrää miten hiukkanen tulee kartoite-
n
x
Kuva 2.3: "Satunnaiskävelyn ongelma" [41] juopuneen merimiehen kannalta lyhtypylvään luona. Aika-paikka-kaavio näyttää merimiehen liikeradan, jossa n ∈ N kuvaa diskreettiä aikaa jax∈Rkuvaa merimiehen paikkaa diskreetissä hilassa [40].
tuksi diskreeteillä aika-askeleilla n ∈ N paikasta xn paikkaan xn+1. Määritettäessä M(x) yhdessä kaavan (2.39) kanssa saadaan systeemin täydet mikroskooppiset lii- keyhtälöt. Tällä keinoin hiukkasen täysi muisti otetaan huomioon ja kaikki askeleet ovat täysin korreloituneita.
Ratkaiseva uusi fakta, joka erottaa tämän dynaamisen prosessin yksinkertaises- ta ei-korreloivasta satunnaiskävelystä on se, että xn+1 on ainutkertaisesti määrätty xn:stä, toisin kuin olisixn+1:n satunnaisjakauma annetullexn:lle. Mikäli hiukkasjou- kon syntyvällä dynamiikalla − jokainen hallittuna samalla deterministisellä dynaa- misella systeemilläM(x)−on se ominaisuus, että diuusiovakio D on olemassa, niin tätä prosessia kutsutaan deterministiseksi diuusioksi [43,44]. Diuusiovakio määri- tellään Einsteinin kaavalla [38,39], joka johdetaan seuraavaksi Green-Kubo-relaation kanssa [40].
Greenin [45] ja Kubon [46] metodilla voidaan laskea lineaariset kuljetusvakiot ta- sapainotilassa aikakorrelaatiofunktioiden avulla. Relaatiot voi johtaa joko lineaari- sella reaktioteorialla tai lähestymistavalla, joka perustuu Chapman-Enskog-metodiin ja jossa ratkaistaan Boltzmannin yhtälö.
Aloitetaan johtaminen ratkaisemalla diuusiokaava hiukkasen löytämisen toden-
näköisyysjakaumalle annetusta paikasta ja ajasta P(x, t), joka on Boltzmannin ja- kaumafunktiof(x,v, t) integroituna nopeuden yli makroskooppisessa rajassa:
∂P
∂t =D∇2P. (2.40)
Kaava on lineaarinen, joten yleinen ratkaisu on integraali Greenin funktiden yli.
Tämä antaa Diracin deltajakauman ratkaisun alkuhetkellä P(x,0) = δ(x−x0), ja näin pääsemme muotoon
P(x, t) = (4πDt)−d/2exp
−(x−x0)2 4Dt
, (2.41)
jossa d on tiladimensio. Neliöllinen siirtymä hiukkaselle on siten (xt−x0)2
= Z
(x−x0)2P(x, t)dx= 2dDt. (2.42) Nyt oletetaan, että diuusiokaava arvioi hiukkasen dynamiikkaa vain suurilla ajoil- la (suuremmilla kuin tyypillisillä korrelaatioajoilla), koska diuusiokaava ei sisällä muistia ja on myös poistettu nopeuden vapausasteet. Nyt saadaan yhtälö
D= lim
t→∞
h(xt−x0)2i
2dt , (2.43)
joka on Einsteinin relaatio diuusiovakiolle. Tätä kaavaa on käytetty tässä tutki- muksessa. Voimme muuntaa relaation seuraavaan muotoon:
D= 1 2d lim
t→∞
d dt
(xt−x0)2
= 1 d lim
t→∞h(xt−x0)·vti
= 1 d lim
t→∞
Z t
0
hvt0 ·vtidt0
= 1 d
Z ∞
0
hvt0 ·v0idt0. (2.44) Tämä on Green-Kubo-relaatio diuusiolle, jota on käytetty periodisen Lorentz- kaasun diuusiovakion laskemiseen [33].
2.3.2 Diuusio Lorentz-kaasussa
Tässä kappaleessa noudatellaan pääosin lähdettä [47]. Tarkastellaan seuraavaksi dif- fuusiota Lorentz-kaasussa. Periodisen Lorentz-kaasun geometria nähdään kuvassa 1.2. Pistehiukkanen, jonka massa on m, liikkuu vakionopeudella v joukossa pyöreitä kovia sirottajia joiden säde on R, ja jotka ovat järjestäytyneet kolmiohilaan. Tör-
mäyksessä sirottajan kanssa hiukkanen kimpoaa elastisesti. Käytetään nyt suureille arvoja v = 1, m = 1 ja R = 1. Hilassa kiekkojen keskipisteiden etäisyys on tällöin 2+W, jossa W on kiekkojen välissä olevien raon minimipituus. Raon pituus W on yhteydessä lukumäärätiheyteen n seuraavasti:
n = 2
√3(2 +W)2. (2.45)
Aukon koko W tai vastaavasti kiekkojen lukumäärätiheys n ovat ainoat hallinta- parametrit. Tiiviillä pakkauksella W = 0 liikkuva hiukkanen on vangittuna yhteen alueeseen, jonka muodostavat kolme kiekkoa. Kuten edellisessä kappaleessa tuli jo todettua, niin jos 0 < W < W∞ = 4√
3−2 ≈ 0.3094, hiukkasella on äärellinen horisontti ja jos W > W∞, hiukkasella on ääretön horisontti. Bunimovich ja Si- nai todistivat, että jos 0 < W < W∞, systeemi on ergodinen ja diuusiovakio on olemassa, kun taas se hajaantuu, jos W>W∞.
Machta ja Zwanzig ovat johtaneet yksinkertaisen analyyttisen likiarvon diuusio- vakiolle D [47]. Perusidea on se, että diuusiota voidaan käsitellä Markov-prosessina kolmikulmaisten suljettujen alueiden välillä. Tähän tarkoitukseen he ovat laskeneet keskiarvoistetun suhteen τ−1, jossa hiukkanen lähtee sellaisesta ansasta. Yksinker- taisen vaiheavaruuden argumentin mukaan tämä suhde määritellään jakamalla vai- heavaruuden se osa, josta on mahdollista paeta ansasta, koko ansan vaiheavaruuden tilavuudella. Lisäksi satunnaiskävelyille kaksiulotteisissa isotrooppisissa hiloissa dif- fuusiovakio on D=l2/(4τ), jossal = (2 +W)/√
3on etäisyys ansojen keskipisteiden välillä. Tämä johtaa diuusiovakion Machta-Zwanzig satunnaiskävelylikiarvoon
DMZ = W(2 +W)2 π[√
3(2 +W)2−2π]. (2.46) Parempi likiarvo diuusiovakiolle saadaan käyttämällä Einsteinin kaavaa (2.43) kah- dessa ulottuvuudessa. Diuusiovakion D voi määrittää terminh∆x2(t)ilineaarisesta osasta. Vaikkakin periaatteessa tämä on vastaava Green-Kubo-formalismin kanssa, niin Einsteinin lähestymistapa on numeerisesti tehokkaampi Lorentz-kaasussa.
Machta-Zwanzig-approksimaatio (2.46) on pätevä ainoastaan pienillä aukon suu- ruuksilla W→0, jossa kaavan diuusiovakion pitäisi kasvaa lineaarisesti W :n suh- teen. Suuremmille W :n arvoille ja noin W<0.1:een asti kaava (2.46) yliarvioi oikean diuusiovakion, kun taas arvoille W>0.1se aliarvioi diuusion.
Suurille W :n arvoille on äärellinen todennäköisyys pcf hiukkasen liikkumiselle törmäyksettä ansan läpi. Tämä todennäköisyys on laskettu tietokonesimulaatioilla artikkelissa [47]. Törmäyksettömät lennot tapahtuvat vain, kun W > 2(sin(π/3) + 1)/√
3−2 '0.1547. Jos luotetaan Machta-Zwanzig-kuvaan diuusiosta hyppypro- sessina, voidaan kaava (2.46) korjata seuraavasti. Jos hiukkanen liikkuu törmäykset-
tä ansan läpi, se menee ajassa τ pidemmän etäisyyden yli kuin kaavassa (2.46) on arvoitu. Tälle suuremmalle etäisyydelle otetaan etäisyys ansan keskeltä sen naapurin keskelle, l2 =√
3l. Nämä prosessit tuottavat kuitenkin suuremman diuusiovakion, Dl2 =l22/(4τ) = 3DMZ, jossa DMZ on kaavan (2.46) diuusiovakio. Määritellään nyt korjattu Machta-Zwanzig-diuusiovakio Dcf painottamalla törmäyksettömien lento- jen osuuden todennäköisyyden pcf kautta:
Dcf = [1−pcf]DMZ+pcf3DMZ = [1 + 2pcf]DMZ. (2.47) Kun W >0.1547, tämä yhtälö parantaa alkuperäistä Machtan ja Zwanzigin approk- simaatiota huomattavasti, mutta se kuitenkin vielä aliarvioi numeerisesti tarkkaa tulosta, kun W on suuri.
Toinen merkittävä osuus kaavan (2.46) korjaukseen on määritetty takaisinsiron- tatodennäköisyydellä pbs, joka on todennäköisyys sille, että hiukkanen poistuu an- sasta samasta aukosta, mistä se siihen saapui. Artikkelissa [47] laskettiin numee- risesti tätä todennäköisyyttä jatkuvasti syöttäen hiukkasta tietyn aukon kautta ja sitten seuraamalla, mistä aukosta se poistui ansasta. Markov-approksimaatio Mach- tan ja Zwanzigin kaavasta (2.46) vastaa 1/3:n takaisinsirontatodennäköisyyttä. Kui- tenkin pienille W :n arvoille numeerisesti laskettu todennäköisyys on merkittävästi suurempi kuin 1/3, kun taas suurille W :n arvoille se on huomattavasti pienempi.
Jälkimmäiseen tilanteeseen on osittain syynä törmäyksettömät lennot ansan läpi.
On huomattava, että takaisinsirontatodennäköisyys poikkeaa 1/3:sta jopa sellaisille aukon suuruuksille, joissa keskimääräinen törmäysten lukumäärä ansan sisäpuolen hyppyjen välillä on suuri. Kun W = 0.055, jolloin takaisinsironnan todennäköisyys saavuttaa maksimin pbs = 0.38, enemmän kuin 17 törmäystä tapahtuu ennen kuin hiukkanen hyppää seuraavaan ansaan. Kun taas W= 0.02, pbs on vielä lähellä arvoa 0.36 mutta törmäysten lukumäärä on suurempi kuin 50. Nämä törmäyssuhteet so- pivat hyvin Machta-Zwanzigin tuloksiin. Kuitenkin, perustuen kolmen törmäyksen alarajaan ansassa, kun W on alle äärettömän horisontin, Machta ja Zwanzig päät- telivät, että diuusiovakion approksimaation (2.46) tulisi olla tarkka kaikille näille W :n arvoille. Tämä on todistettu numeerisesti tietokonesimulaatioilla [48].
Takaisinsironnan todennäköisyyden pbs yksityiskohtainen funktionaalinen muo- to on myös monimutkainen: maksimin alla kohdassa W = 0.055 on ainakin kolme aluetta, joissa pbs laskee likimäärin lineaarisesti. Numeeriset tulokset osoittavat, että funktion täytyy lopulta pudota erittäin jyrkästi kohti kohtaa pbs(0) = 1/3. Takai- sinsironnan todennäköisyyden pbs avulla voidaan nyt tehdä toinen korjaus alkupe- räiseen Machta-Zwanzig-diuusiovakioon (2.46). Tätä tarkoitusta varten oletetaan taas, että diuusio on hyppyprosessi taajuudella τ−1 etäisyyden l yli. Nyt tiedus- tellaan mihin ansaan hiukkanen voi liikkua suorittamalla kaksi hyppyä aikajaksolla
2τ. Tälle on ainoastaan kaksi vaihtoehtoa: joko hiukkanen kokee takaisinsironnan, jolloin se menee takaisin alkuperäiseen ansaansa eikä suorita mitään varsinaista pai- kanmuutosta aikajaksolla2τ, tai se liikkuu etäisyyden l2 yli oikealle tai vasemmalle sen alkuperäisestä ansasta. Vastaava diuusiovakio on tällöin
Dbs = [1−pbs]l22
8τ = [1−pbs]3/2DMZ. (2.48) Pienille W :n arvoille korjattu diuusiovakio approksimoi numeerisesti täsmällisiä arvoja melko hyvin. Suuremmille W :n arvoille kaava (2.48) parantaa alkuperäis- tä Machta-Zwanzig-approksimaatiota kuten myös edellinen approksimaatio (2.47).
Toisaalta molemmat approksimaatiot tuottavat pienempiä arvoja kuin oikeat (nu- meeriset) tulokset.
Nyt on esitetty kaksi mikroskopista siroamismekanismia, jotka johtavat poikkea- miin Machta-Zwanzig-approksimaatiosta: törmäyksettömät lennot ansan yli ja takai- sinsironta. Yhdistämällä nämä prosessit saadaan yksi esitys diuusiovakiolle. Tämä voidaan suorittaa yksinkertaisesti vaihtamalla Machta-Zwanzig-diuusiovakio DMZ kaavassa (2.48) kaavan (2.47) diuusiovakioon Dcf. Tästä saadaan
D1 = 3/2[1−pbs][1 + 2pcf]DMZ. (2.49) Tämä funktio on ns. ensimmäisen kertaluvun approksimaatio ja suurilla W :n arvoil- la se on paljon lähempänä numeerista tulosta kuin alkuperäinen Machta-Zwanzig- approksimaatio [47].
3. NUMEERISET MENETELMÄT
3.1 Aikapropagointi
Kovan Lorentz-kaasun aikapropagaatioon käytetään toisen kertaluvun nopeus-Verlet- algoritmia [49,50]. Tässä esitellään algoritmin matemaattinen perusta mukaillen läh- dettä [50].
Taylorin approksimaatiosta paikkavektorille saadaan r(t+ ∆t) =r(t) +v(t)∆t+a(t)(∆t)2
2 +r(t)(∆t)3
6 +O(∆t4), (3.1) jossa O on virhetermi ja a kiihtyvyys. Nopeuden Taylorin kehitelmä on puolestaan v(t+ ∆t) = v(t) +a(t)∆t+O(∆t2). (3.2) Parempi tarkkuus saadaan, kun korvataan kiihtyvyys keskiarvolla[a(t)+a(t+∆t)]/2, jolloin hiukkasen paikka ja nopeus voidaan kirjoittaa nopeus-Verlet -diskretoinnin mukaisesti muodossa
r(t+ ∆t) = r(t) +v(t)∆t+a(t)∆t2
2 (3.3)
ja
v(t+ ∆t) =v(t) + [a(t) +a(t+ ∆t)]∆t
2 . (3.4)
Määritellään seuraavaksi v
t+ ∆t 2
=v(t) +a(t)∆t
2 , (3.5)
jonka avulla saadaan yhtälöt 3.3 ja 3.4 muotoon r(t+ ∆t) =r(t) +v
t+∆t 2
∆t (3.6)
ja
v(t+ ∆t) =v t+∆t
2
+a(t+ ∆t)∆t
2 . (3.7)
Tämä algoritmi on symplektinen [51]. Toinen tärkeä ominaisuus on palautumis- symmetria ajan suhteen. Tämän voi nähdä käyttämällä∆t:n sijasta −∆t:tä, jolloin
aika-askelia taaksepäin mennessä saadaan sama tulos. Nämä ominaisuudet tekevät algoritmista sopivan kaottisten ilmiöiden tutkimiseen [9].
Pehmeän Lorentz-kaasun aikapropagaatioon käytetään neljännen kertaluvun al- goritmia
v→v+a∆td1 r→r+v∆tc1 v→v+a∆td2
r→r+v∆tc2 v→v+a∆td3
r→r+v∆tc3 r→r+v∆tc4,
(3.8)
jossa kertoimet ovat seuraavat:
d1 =d3 = 1 2−21/3 d2 =− 21/3
2−21/3 c1 =c4 = 1
2 1 2−21/3 c2 =c3 = 1−21/3
2(2−21/3).
On huomionarvoista, että neljännessä vaiheessa nopeudessa ei enää tapahdu muu- tosta elid4 = 0 [52].
3.2 Simulaation toteutus
Tämän diplomityön simulaatioihin on käytetty tutkija Janne Solanpään kirjoitta- maa Bill2d-ohjelmistoa. Ohjelmisto on kirjoitettu C++ -kielellä, ja se on varsin no- pea sekä helposti laajennettava erilaisiin dynaamisiin biljardisysteemeihin. Tämän koodin metodit sopivat sekä molekyylidynamiikan simulaatioihin että vuorovaikut- tavien monen kappaleen biljardien tutkimiseen. Aikaisemmin tätä ohjelmaa on käy- tetty mm. klassisten Wigner-molekyylien dynamiikan tutkimuksessa [53] ja kahden hiukkasen ympyräbiljardin tutkimiseen [9,54]. Esitellään seuraavaksi koodissa toteu- tettu propagaatiomenetelmä lähdettä [9] seuraten.
Simulaatio on toteutettu niin, että aluksi hiukkasen kokonaisenergia E kiinni- tetään. Tämän jälkeen hiukkaselle valitaan satunnainen lähtöpaikka energeettisesti sallitulla alueella. Tällöin kovassa Lorentz-kaasussa hiukkasta ei luonnollisesti voi asettaa sirottajakiekkojen sisään. Pehmeässä Lorentz-kaasussa lähtöpaikan potenti- aalienergia ei voi ylittää kokonaisenergiaa E. Nopeuden itseisarvo määräytyy poten-
tiaalin avulla seuraavasti:
v(r) =p
2(E−V(r)). (3.9)
Nopeusvektorin suunta valitaan satunnaisesti.
Hiukkanen etenee aika-askel kerrallaan eteenpäin nopeus-Verlet-algoritmilla tai 4. kertaluvun algoritmilla pehmeän Lorentz-kaasun tapauksessa. Ohjelma tarkis- taa jokaisen aika-askeleen jälkeen, että hiukkanen on biljardipöydän sisällä. Mikäli hiukkanen ylittää sirottajan reunan sen paikka, tuleva nopeus ja törmäyskulma (jos lasketaan Poincar´e-karttoja) tallennetaan ja sovelletaan seuraavaa menetelmää reu- natörmäyksen vaikutuksen laskemiseksi kovassa Lorentz-kaasussa.
1. Ensin törmäyspaikka ja -aika lasketaan likiarvoistamalla rata takaisinpäin.
Hiukkanen on täten edennyt takaperin törmäyskohtaan, mikä vastaa jotain aikaa varsinaisten aika-askeleiden välillä.
2. Riippuen biljardin heijastumislaista nopeuden suunta muuttuu.
3. Saatuaan uuden nopeuden hiukkanen etenee suoraviivaisesti aika-askeleen pää- hän.
Jokaisen hiukkasen rajatörmäyksen käsittelyn jälkeen tarkistetaan, onko maksi- misimulaatioaika (lopetuskriteeri) täyttynyt. Jos se on täyttynyt, niin simulaatio loppuu, muuten etenemistä jatketaan [9].
Alkutila
Sallittu konfiguraatio?
Ei
Etene yksi aika-askel
Onko konfiguraatio pöydän sisällä?
Käsittele rajatörmäykset
Onko lopetuskriteeri saavutettu?
Lopetus
Kyllä Ei
Kyllä
Ei
Kuva 3.1: Bill2d-ohjelman vuokaavio [9].
3.3 Diuusiokertoimen laskeminen
Tässä diplomityössä määritettiin diuusiokertoimia hiukkaselle (elektroni) kolmiohi- larakenteisessa kovassa Lorentz-kaasussa (kts. kuva 4.1) sirottajien etäisyyden funk- tiona sekä pehmeässä Lorentz-kaasussa myös hiukkasen energian funktiona sekä si- rottajien reunan terävyyden ja säteen funktiona. Diuusiokertoimen määrittämisek- si bill2d-ohjelmalla laskettiin ensin neliöllisen siirtymän keskiarvoja eri ajanhetkillä seuraavanlaisella kaavalla
k(t) = 1 N
N
X
i=1
[−→ri(t)− −→ri(t= 0)]2. (3.10) Tämän jälkeen sovitettiin saatuihin arvoihin suora, jonka kulmakertoimesta saatiin diuusiokerroin D jakamalla se neljällä Einsteinin kaavan (2.43) mukaisesti, jossa systeemin ulottuvuus d= 2. Esimerkki suoransovituksesta on esitetty kuvassa 3.2.
0 100 200 300 400 500
0 50 100 150 200
k (t)
t (a.u.)
k(t) linear fit k(t) = 0.402t + 0.0921
Kuva 3.2: Neliöllinen siirtymäk t:n funktiona, kun sirottajien välinen minimietäisyysW = 0.1. Kulmakertoimestay saadaan diuusiokerroin jakamalla se neljällä.
4. TULOKSET
4.1 Kova Lorentz-kaasu
4.1.1 Kovan Lorentz-kaasun systeemi
Kovan Lorentz-kaasun sirottajista hiukkanen kimpoaa elastisesti ja suoraviivaisesti eteenpäin. Hiukkaseen ei kohdistu ulkoista voimaa, ja ainoa hiukkasen etenemiseen vaikuttava tekijä on sirottajien välinen etäisyys. Kaikissa esitetyissä tuloksissa si-
w R
Kuva 4.1: Mallikuva Lorentz-kaasun osasta. KuvassaRon sirottajan säde ja W sirottajien välinen minimietäisyys.
rottajan säde R= 1. Kun sirottajat ovat kiinni toisissaan (minimietäisyysW = 0), hiukkanen jää ansaan niiden väliin. Kuvasta 4.3 näkee, että hiukkanen pääsee pa- kenemaan ansasta kovassa Lorentz-kaasussa, kun sirottajien välillä on pienikin rako (W = 0.01 tässä tapauksessa). Mikäli hiukkanen jää ansaan sirottajien väliin, niin luonnollisestiD= 0.
4.1.2 Diuusiovakiot
Ensimmäiseksi laskettiin diuusiokertoimia sirottajien välisen etäisyyden funktiona kovassa Lorentz-kaasussa. Sirottajien sädettä pidettiin vakionaR = 1, ja hiukkasen
energia oli E = 0.5. Aika-askeleena oli ∆t = 1E−3, simulaatiomääränä N = 2000 (kaikissa eri alkuehdot) ja maksimiaikana kullekin simulaatiolletmax = 500. Kuvassa 3.2 on laskettu arvoja k:lle t:n funktiona kun W = 0.1. Dataan on sovitettu suora, jonka kulmakerroin y = 0.402. Kulmakeroimesta saadaan nyt Einsteinin relaation mukaan diuusiokerroin D = y/4 = 0.402/4 = 0.1005. Kuvasta 4.2 ja taulukos- ta 4.1 nähdään, että saadut tulokset vastaavat hyvin vertailudataa [48]. Taulukossa virheet on laskettu suoransijoituksen virheestä. Virheen suuruus on hyvin pieni ver- Taulukko 4.1: Osa lasketuista arvoista diuusiovakioille eri W :n arvoilla. Omien tulok- sien (D) lisäksi taulukossa näkyvät referenssiarvot (Ref.) lähteestä [48]. Diuusiovakioiden virheet näkyvät taulukossa oikealla.
W D Ref. Virhe
0 2.05E-8 0.0004 2.05E-8 0.002 0.003607 0.0036 1.13E-6 0.01 0.01705 0.017 1.64E-5
0.02 0.02984 5.11E-5
0.03 0.04165 2.87E-5
0.04 0.05113 0.052 4.56E-5
0.05 0.05898 5.86E-5
0.06 0.0693 0.069 7.14E-5
0.07 0.07621 8.64E-5
0.08 0.08635 6.04E-5
0.09 0.09407 7.23E-5
0.1 0.1034 0.1 5.54E-5
0.11 0.1061 9.64E-5
0.12 0.1139 1.34E-4
0.13 0.1220 9.90E-5
0.14 0.1291 6.49E-5
0.15 0.1382 0.14 1.27E-4
0.16 0.1375 1.20E-4
0.17 0.1425 1.54E-4
0.18 0.1566 1.68E-4
0.19 0.1627 1.89E-4
0.2 0.1692 0.18 2.13E-4
0.21 0.1781 1.43E-4
0.22 0.1807 2.56E-4
0.23 0.1907 1.72E-4
0.24 0.1984 1.99E-4
0.25 0.2054 2.14E-4
0.26 0.2186 1.41E-4
0.27 0.2259 1.40E-4
0.28 0.2338 1.55E-4
0.29 0.2351 2.01E-4
0.3 0.2534 0.25 2.45E-4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
W (a.u.)
D (a.u.)
This work
PRL 50, 1959 (1983)
0.1 0.11 0.12 0.1
0.11 0.12
W
D
0.25 0.26 0.27 0.2
0.22 0.24
W
D
Kuva 4.2: bill2d ohjelmalla laskettuja diuusiovakioita kovassa Lorentz-kaasussa sirottajien välimatkan W funktiona, joita verrattu lähteestä PRL 50, 1959 (1983) saatuihin tuloksiin [48]. Kuvaan on sijoitettu myös tarkennetut kuvat kohdista W = 0.1−0.12 ja W = 0.25−0.27.
rattuna datassa näkyvään vaihteluun W:n funktiona ja siksi sitä ei ole merkitty kuvaajan pisteisiin. Diuusiokerroin kasvaa varsin tasaisesti W :n funktiona (alussa hiukan voimakkaammin), koska hiukkanen pääsee etenemään kaasussa paremmin.
Kuvaajasta ja erityisesti lähennetyistä kuvista nähdään vaihtelun amplitudin kasvu W:n funktiona. Puolivälin jälkeen diuusiokertoimet ovat myös hiukan vertailuda- taa pienempiä. Vaihtelua ei voi selittää diuusiokertoimien virheellä, koska lasketut virheet ovat vaihtelun amplitudia pienemmät. Vaihtelu on selitettävissä sillä, että Lorentz-kaasun vaiheavaruus on todella monimutkainen (säännöllisiä ja kaoottisia alueita) ja siinä on niin sanottuja "tahmeita" alueita, joihin hiukkanen voi jäädä jumiin.
4.1.3 Ratakäyrät ja törmäyskartat
Tässä kappaleessa on esitetty hiukkasen törmäyskarttoja kovassa Lorentz-kaasussa, joista näkee hyvin sen etenemisen ja törmäykset sirottajista. Kuvassa 4.3 on esitetty hiukkasen ratakäyrä kun W = 0.01. Hiukkanen jää usein ansaan sirottajien väliin pitkäksi aikaa.
Kuva 4.3: Mallikuva systeemistä jossa W = 0.01. Hiukkanen pääsee nyt pakenemaan an- sasta, kun sirottajien välillä on pieni rako.
Kovalle Lorentz-kaasulle piirrettiin myös törmäyskartta, joka näkyy kuvassa 4.5.
Kartasta ilmenee, missä eri kulmissa hiukkanen on osunut tiettyihin hilan kohtiin.
Törmäyskartassa on y-akselilla törmäyskulma θ hiukkasen osuessa reittiin r ja x- akselilla reitti r. Reitti lähtee liikkeelle sirottajan kaarelta ja päättyy toisen sirotta- jan kaarelle kuvan 4.4 mukaisesti. Reitin kokonaispituus on rmax = 2πr0/2 + 2W = πr0+ 2W, jossa r0on sirottajan säde. Törmäyskartasta huomaa, että se on kauttaal- taan täyttynyt, eli lähes jokaiseen reitin kohtaan on tullut osuma jokaisessa mah- dollisessa kulmassa. Tämä tarkoittaa sitä, että systeemi on kaoottinen. Hiukkasella saattaa olla tosin joitain eristettyjä säännöllisiä ratoja, joita ei näy kartassa.
