16.4. Aallon heijastuminen

16. MEKAANISET AALLOT

PŠŠkohdat:

1. Aaltojen eteneminen, superpositio ja heijastuminen.

2. Aallon nopeus 3. EtenevŠt aallot

4. Seisovat aallot, resonanssi 5. Aallon kuljettama energia 6. AaltoyhtŠlš

Aalto on etenevŠ "hŠiriš" tai poikkeama tasapainotilasta. Aal- to kuljettaa tavallisesti mukanaan energiaa ja liikemŠŠrŠŠ.

TŠllŠ tavoin etenevŠt esim. ŠŠni, valo ja radioaallot. Mekaani- set aallot etenevŠt kimmoisan vŠliaineen vŠrŠhtelyinŠ (esim.

ŠŠniaallot ilmassa tai aallot veden pinnalla). TŠllšin aalto ei kuitenkaan kuljeta mukanaan vŠliainetta. SŠhkšmagneettiset aallot (esim. valo) taas eivŠt tarvitse vŠliainetta, vaan voivat edetŠ tyhjišssŠ. Kvanttimekaniikka selittŠŠ kuinka jopa hiuk- kasetkin liikkuvat aineaaltoina.

16.1. PeruskŠsitteitŠ

Poikittaisessa aallossa hŠirišt (esim. vŠliaineen hiukkasten poikkeamat tasapainoasemas- taan) ovat kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan (esim. jŠnnitetyn langan

vŠrŠhtelyt ja sŠhkšmagneettiset aallot). PitkittŠisessŠ aallossa taas poikkeamat ovat aallon etenemissuunnassa (esim.

ŠŠniaallot kaasussa tai kitkattomassa nesteessŠ).

1

Veden pinnan aaltoilussa hiukkaset liikkuvat elliptisiŠ ratoja, siis sekŠ poikittain ettŠ pitkittŠin. (Esim. pinnalla kelluvan ros- kan liikerata)

Aaltorintama on niiden pisteiden muodostama pinta, joissa aalto on samassa vaiheessa (esim.

aallonharjan muodostama pinta).

SŠde on suora, joka on kohti- suorassa aaltorintamaa vastaan.

PistemŠinen lŠhde synnyttŠŠ palloaallon, jonka aaltorintamat ovat pallopintoja. Kaukana lŠhteestŠ ne ovat lŠhes tasoja, jolloin kyseessŠ on tasoaalto.

16.2. Aaltojen superpositio

Jos samalla alueella on yhtaikaa kaksi tai useampia aaltoliik- keitŠ, muodostuu aaltojen superpositio. Resultanttiaalto on li- neaarisen superpositioperiaatteen mukaan yksittŠisten aalto- jen summa. Jos

aaltoliikkeet 1, 2, 3, ...

aiheuttavat tietyssŠ pisteessŠ erikseen poikkeamat y₁, y₂, y₃, ..., niin niiden yhdessŠ aiheuttama

kokonaispoikkeama tŠssŠ pisteessŠ on y_tot = y₁ + y₂ + y₃ + ....

Lineaarisuus on tavalli- sesti voimassa, jos poikkeamat eivŠt ole liian suuria.

2

Aaltojen superpositio voi johtaa niiden interferenssiin, jossa samansuuntaiset poikkeamat vahvistavat toisiaan (konstruktii- vinen interferenssi) ja vastakkaissuuntaiset poikkeamat

heikentŠvŠt toisiaan (destruktiivinen interferenssi).

Interferenssi ei johdu aaltojen vuorovaikutuksesta, sillŠ

yksittŠiset aallot etenevŠt lineaarisen superpositioperiaatteen mukaan toisistaan riippumattomasti.

16.3. Aallon nopeus jŠnnitetyssŠ langassa

Tarkastellaan jŠnnitetyssŠ langassa etenevŠŠ yhtŠ poikittaista aaltoa, pulssia, joka aiheuttaa jokaisessa pisteessŠ hetkellisen poikkeaman tasapainosta.

Laboratorioon kiinnitetyssŠ koordinaatistossa pulssi liikkuu oikealle nopeudella v. Pulssin mukana liikkuvassa koordinaa- tistossa pulssi on stationaarinen (paikallaan pysyvŠ), mutta lanka liikkuu vasemmalle nopeudella v. LyhyttŠ langan osaa AB voidaan pitŠŠ R-sŠteisen ympyrŠn kaarena, jonka pituus on Dl = 2qR.

Pulssikoordinaatistossa langan liike on tŠssŠ osassa pyšrimisliikettŠ, jonka

keskeiskiihtyvyys on a = v²/R.

Jos Dl:n pituisen langan osan massa on m = m Dl = 2mqR (missŠ m on langan lineaarinen massatiheys, ts.

massa/pituus), siihen tŠytyy vaikuttaa keskihakuisvoima F_^ = ma = mv²/R = 2mqv².

TŠmŠ voima aiheutuu langan jŠnnityksestŠ: jos langan suuntainen jŠnnitysvoima on F, Dl:n pituista osaa pyrkii

palauttamaan tasapainotilaan F:n poikittainen komponentti F_^

= 2F sinq. PienillŠ poikkeamilla q on pieni ja sinq » q, joten

( F_^ =) 2mqv² = 2Fq.

TŠstŠ saadaan nopeudeksi

v = Ö F/m .

Esim. 16.1. Toisesta pŠŠstŠŠn kiinnitettyŠ vaakasuoraa lan- kaa jŠnnitetŠŠn toisesta pŠŠstŠ 2.0 kg punnuksella. Vaaka- suoran osan pituus on 1.60 m ja massa 20.0 g. MikŠ on puls- sin etenemisnopeus langassa?

16.4. Aallon heijastuminen

Kun jŠnnitetyssŠ langassa liikkuva pulssi saapuu langan pŠŠhŠn, se heijastuu.

Jos pŠŠ on liikkumaton, pulssi palaa ylšsalaisin kŠŠntyneenŠ.

TŠmŠ johtuu kiinteŠnseinŠmŠn lankaan kohdistamasta reaktiovoimasta, joka on yhtŠ suuri ja vastakkaissuuntainen kuin saapuvan pulssin seinŠmŠŠn kohdistama voima.

Jos langan pŠŠ on vapaasti liikkuva, siihen ei kohdistu mitŠŠn ulkoisia voimia ja heijastunut pulssi on alkuperŠisen pulssin kanssa identtinen.

(16.1)

Kun pulssi kohtaa epŠjatkuvuuskohdan, se yleensŠ osittain lŠpŠisee sen ja osittain heijastuu siitŠ. NŠin tapahtuu esim.

pulssin saapuessa kevyen ja raskaan langan liitoskohtaan.

Jos pulssi tulee kevyen langan puolelta, raskaan langan

reaktiovoima riittŠŠ kŠŠntŠmŠŠn heijastuneen osan ylšsalaisin (mutta se ei tietenkŠŠn kŠŠnnŠ lŠpŠissyttŠ osaa). Jos sen sijaan pulssi tulee raskaan langan puolelta, heijastunut osa ei kŠŠnny (eikŠ myšskŠŠn lŠpŠissyt osa).

YleisessŠ tapauksessa heijastunut aalto kŠŠntyy ylšsalaisin silloin, kun heijastuminen tapahtuu tiheŠmmŠstŠ aineesta.

KŠŠntymistŠ ei tapahdu, kun aalto kohtaa harvemman aineen.

16.5. EtenevŠt aallot

Tarkastellaan jŠnnitetyssŠ langassa nopeudella v etenevŠŠ pulssia, jonka aiheuttamaa poikkeamaa merkitŠŠn y:llŠ. Ajan hetkellŠ t = 0 pulssin muotoa kuvaa jokin paikan x funktio y = f(x). Jos pulssi etenee langassa muotonsa sŠilyttŠen, hetkellŠ t on pisteessŠ x tŠsmŠlleen sama poikkeama, joka oli hetkellŠ t = 0 pisteessŠ x Ð vt. TŠmŠ poikkeama on y = f(x Ð vt). NŠin ollen poikkeaman paikka- ja aikariippuvuutta kuvaavalle aalto- funktiolle y(x,t) saadaan yhtŠlš

y(x,t) = f(x Ð vt). (16.3)

Tietty pulssin kohta (esim. sen huippu), pulssin vaihe, liikkuu siten, ettŠ yhtŠlš

x Ð vt = x₀ = vakio

on koko ajan voimassa, missŠ x₀ on ko. kohdan paikka hetkellŠ t = 0. TŠstŠ nŠhdŠŠn, ettŠ muotonsa sŠilyttŠvŠn pulssin kaikki vaiheet liikkuvat samalla nopeudella, vai- henopeudella

Jos v on positiivinen, yhtŠlš (16.3) esittŠŠ positiivisen x-akselin suuntaan etenevŠŠ aaltoa. TŠllšin vastakkaiseen suuntaan liikkuva aalto noudattaa yhtŠlšŠ

y(x,t) = f(x + vt)

Jotta funktio y(x,t) esittŠisi nopeudella v etenevŠŠ (muotonsa sŠilyttŠvŠŠ) aaltoa, x:n ja t:n tŠytyy siis esiintyŠ siinŠ joko kombinaationa x Ð vt tai x + vt, mutta ei missŠŠn muussa muodossa.

16.6. Harmoninen aalto

Tarkastellaan jŠnnitettyŠ lankaa, jonka jokin piste (esim. x = 0) on pakotettu yksinkertaiseen harmoniseen vŠrŠhdysliikkee- seen y(x₀,t) = A sinwt.

A on poikkeaman itseisarvon maksimiarvo, amplitudi, ja w on sen kulmataajuus (rad/s)

w = 2p / T,

missŠ T on yhteen kokonaiseen vŠrŠhdykseen kuluva aika, vŠrŠhdysaika (wT = 2p radiaania).

dxdt = d

dt vt + vakio = v.

(16.4)

VŠrŠhtely leviŠŠ pisteen x₀ ympŠristššn siten, ettŠ langan muutkin pisteet alkavat suorittaa harmonista vŠrŠhdysliikettŠ amplitudilla A ja kulmataajuudella w. Eri pisteet vŠrŠhtelevŠt kuitenkin eri vaiheessa (esim. maksimipoikkeama esiintyy eri pisteissŠ eri aikoina). PisteessŠ x langan poikkeama on siis

y(x,t) = A sin [w t + F(x)],

missŠ F(x) on vŠrŠhtelyn vaihekulma (joka on paikan funktio).

Funktio y(x,t) esittŠŠ nopeudella v etenevŠŠ muotonsa sŠilyttŠvŠŠ aaltoa, harmonista aaltoa. YhtŠlšiden (16.3) ja (16.4) mukaan x:n ja t:n tŠytyy siis esiintyŠ siinŠ joko kombinaationa x + vt tai x Ð vt. EdellisessŠ tapauksessa

vaihekulman F(x) tŠytyy olla muotoa F(x) = w x / v + f, missŠ f on muuttujista x ja t riippumaton vakio,vaihevakio. TŠllšin

aaltofunktion lauseke on

y(x,t) = A sin [w/v (x + vt) + f ]

= A sin (k x + w t + f),

missŠ k = w/v on aaltoluku. YhtŠlš (1.7) esittŠŠ negatiivisen x- akselin suuntaan etenevŠŠ harmonista aaltoa. Vastaavalla tavalla todetaan, ettŠ positiivisen x-akselin suuntaan etenevŠŠ harmonista aaltoa kuvaa funktio

y(x,t) = A sin (k x Ð w t + f).

TŠmŠ standardimuoto saadaan esittŠmŠllŠ funktion

A sin [w t + F(x)] vaihekulma muodossa F(x) = w x / v + f + p ja kŠyttŠmŠllŠ identiteettiŠ sin (x + p) = sin (Ðx).

TietyllŠ ajan hetkellŠ kahden perŠkkŠisen samassa vaiheessa olevan pisteen (esim. kahden aallonharjan) vŠlinen etŠisyys on aallonpituus, l. Siten x:n muutos l:n verran aiheuttaa siis 2p:n vaiheen muutoksen: k (x + l) = k x + 2 p. Aaltoluku on siis

k = 2p / l.

(16.7)

(16.8)

Toisaalta k on mŠŠritelmŠnsŠ perusteella w/v, joten aallon nopeudelle saadaan yhtŠlš

v = w / k = (w / 2p) l = f l = l / T, missŠ f = w / 2p = 1 / T on aallon

taajuus.

VŠliaineen hiukkasten nopeus tietyssŠ pisteessŠ on yhtŠlšn (16.8) mukaan

¶y/¶t = Ð w A cos (k x Ð w t + f) ja hiukkasten kiihtyvyys on

¶²y/¶t² = Ð w² A sin (k x Ð w t + f).

Esim. 16.3. ErŠŠn etenevŠn aallon yhtŠlš on y(x,t) = 0.05 m sin [ p/2 (10xÐ40t) Ð p/4 ].

MŠŠrŠŠ (a) aallonpituus, taajuus ja vaihenopeus; sekŠ (b) vŠ- liaineen nopeus ja kiihtyvyys paikassa x = 0.5 m ajanhetkellŠ t = 0.05 s.

(16.5)

(16.9) (16.10)

16.7. Seisovat aallot

Tarkastellaan kahta vastakkaisiin suuntiin etenevŠŠ harmo- nista aaltoa, joilla on sama amplitudi, taajuus ja aallonpituus.

Lineaarisen superpositioperiaatteen mukaan niiden resultantti- aalto on summa

y(x,t) = A sin (k x Ð w t) + A sin (k x + w t), kun komponenttiaaltojen (16.7) ja (16.8) vaihevakiot on asetettu nolliksi. KŠyttŠmŠllŠ identiteettiŠ sin x + sin y = 2 sin [(x + y)/2] cos [(x Ð y)/2] saadaan

y(x,t) = 2 A cos wt sin kx.

TŠmŠ yhtŠlš esittŠŠ stationŠŠristŠ harmonista aaltoa

y(x,t) = 2 A cos wt, seisovaa aaltoa, joka ei etene. VŠliaineen jokainen piste on samanvaiheisessa yksinkertaisessa

harmonisessa vŠrŠhdysliikkeessŠ, jonka amplitudi 2A sin kx on paikan funktio. Solmukohdissa (engl. node) amplitudi on nolla ja kupukohdissa (engl. antinode) se on 2A.

Solmukohdissa sin kx = 0, ts. k x = 0, p, 2p, ... ja kupukohdissa sin kx = ±1, ts. k x = p/2, 3p/2, 5p/2, ... . Solmukohtien ja kupu- kohtien etŠisyys toisistaan on p/k = l/2.

(16.11)

16.8 Resonanssi

Rajoittamattomassa jatkuvassa vŠliaineessa esiintyvillŠ seisovilla aalloilla voi olla mikŠ taajuus tai aallonpituus tahansa. Sen sijaan rajoitetussa tilassa vain tietyt diskreetit taajuudet ja aallonpituudet ovat mahdollisia.

Molemmista pŠistŠŠn kiinnitettyyn lankaan voi muodostua seisova harmoninen aalto (langan pŠistŠ heijastuvien aaltojen yhdistyessŠ). Koska pŠŠt eivŠt liiku, niiden kohdalla on oltava solmukohdat. Solmukohdat ovat etŠisyydellŠ l/2 toisistaan, joten langan pituuden L tŠytyy olla l/2:n monikerta. Siten

L = n l/2; n = 1, 2, 3, ... . TŠmŠn ehdon ollessa

voimassa saadaan heijastuvien aaltojen resonanssi, jolloin muodostuu joku vŠrŠhtelyn normaali- muodoista. TŠllšin aal- lonpituuden tŠytyy olla l_n = 2L / n,

joten sallitut

normaalimuotojen taajuudet ovat

fn = v / l = nv / 2L.

(16.12)

(16.13)

Alin taajuus, jolla lanka voi vŠrŠhdellŠ, on perustaajuus eli ensimmŠinen harmoninen taajuus f = v / 2L. TŠtŠ vastaava normaalimuoto on perusvŠrŠhdys, ja korkeamman taajuuden normaalimuodot ovat ylivŠrŠhdyksiŠ, 1. ylivŠrŠhdys, 2. yli- vŠrŠhdys jne.

KŠyttŠmŠllŠ yhtŠlšŠ v = Ö(F/m) (16.1) resonanssitaajuuksille saadaan lauseke

fn = nv / 2L = n Ö(F/m) / 2L

joka osoittaa, ettŠ taajuus kasvaa langan jŠnnityksen kasvaes- sa.

Resonanssiaallonpituus l_n (16.12) saadaan myšs seisovan aallon yhtŠlšstŠ (16.11) vaatimalla, ettŠ y(0, t) = y(L, t) = 0.

TŠstŠ seuraa ehto sin kL = 0, josta edelleen kL = np ja L = n l/2.

Esim. 16.4. Tasajakoisessa eli kromaattisessa sŠvelasteikos- sa, jollaista kŠytetŠŠn tavallisesti kiinteŠviritteisissŠ soittimis- sa, sŠvelten A ja D taajuuksien suhde on 3/2 (terssi). MŠŠrŠŠ pianon A- ja D-kielten jŠnnityksien suhde FA / FD, jos kielten pituuksien suhde L_A / L_D = 4/5 ja ne on tehty samanlaisesta langasta.

(16.14)

16.9. AaltoyhtŠlš

Jokainen muotoa y(x,t) = f(x ± vt) oleva aalto toteuttaa

lineaarisen differentiaaliyhtŠlšn, jota sanotaan aaltoyhtŠlšksi.

MerkitŠŠn z = x + vt, jolloin y(x,t) = f(x + vt) = f(z) ja

Samat toiset derivaatat saadaan myšs muuttujan x Ð vt tapauksessa. AaltoyhtŠlš on derivaattojen vŠlinen relaatio

Mekaanisten aaltojen tapauksessa tŠmŠ differentiaaliyhtŠlš voidaan johtaa suoraan soveltamalla Newtonin toista lakia vŠ- liaineen hiukkasten liikkeeseen.

Koska aaltoyhtŠlš (16.17) on lineaarinen (siinŠ esiintyy vain derivaattojen ensimmŠisiŠ potensseja), sen ratkaisujen y₁, y₂, ... mikŠ tahansa lineaarikombinaatio ay₁ + by₂ + ... on myšs ratkaisu. TŠstŠ seuraa, ettŠ yhtŠlšn kuvaamat aallot noudattavat lineaarista superpositioperiaatetta.

Esim. Totea, ettŠ y(x,t) = A sin (k x Ð w t + f) toteuttaa aalto- yhtŠlšn (16.15).

¶y(x,t)

¶x = df(z)

dz ¶z(x,t)

¶x = df(z) dz ,

¶²y(x,t)

¶x² = d²f(z)

dz² ¶z(x,t)

¶x = d²f(z) dz² ;

¶y(x,t)

¶t = df(z)

dz ¶z(x,t)

¶t = df(z) dz v ,

¶²y(x,t)

¶t² = d²f(z)

dz² ¶z(x,t)

¶t = d²f(z) dz² v² .

¶²y(x,t)

¶x² = 1v² ¶²y(x,t)

¶t² . (16.15)

16.10. Aallon kuljettama energia jŠnnitetyssŠ langassa

Tarkastellaan aallon y(x,t) etenenmistŠ langassa, jonka mas- satiheys on m. Silloin dx:n pituisen langan osan massa on dm = m dx, joten tŠmŠn osan liike-energia on

Kun dx:n pituinen osa venyy pituuteen dl, tehty tyš on

dU = F(dl Ð dx). Koska (¶y/¶x)² <<

1, dl voidaan esittŠŠ muodossa

missŠ on kŠytetetty binomikehitelmŠŠ (1 + z)ⁿ = 1 + nz + ... . NŠin ollen tarkasteltavan langan osan potentiaalienergia on

ja mekaaninen kokonaisenergia dE = dK + dU on

Harmoniselle aallolle y(x,t) = A sin (k x Ð w t)

dE = ^1/2 A² [mw² + Fk²] cos²(kx Ð wt) dx

= mw² A² cos²(kx Ð wt) dx, missŠ on kŠytetty riippuvuuk-

sia k = w/v ja v² = F/m, jolloin Fk² = Fw²/v² = mw². TŠmŠ mer- kitsee sitŠ, ettŠ kunkin langan osan liike- ja potentiaaliener- giat ovat koko ajan keskenŠŠn yhtŠ suuret.

dK = 1

2 m dx ¶y

¶t

2.

dl » dx² + dy² = dx 1 + ¶y

¶x

2

» dx 1 + 1 2 ¶y

¶x

2 ,

dU = F (dl Ð dx) » 12 F dx ¶y

¶x

2

dE = 1

2 m ¶y

¶t

2 + F ¶y

¶x

2 dx.

Lausekkeen dE arvot ovat vŠlillŠ [0, mw²A²dx] ja funktion cos²(kx Ð wt) keskiarvo on 1/2, joten aallon kuljettama keski- mŠŠrŠinen energia on

dE_av = ^1/2 mw²A²dx ja keskimŠŠrŠinen teho on

P_av = (dE/dt)_av = ^1/2 mw²A² v, missŠ v = dx/dt on aallon nopeus.

Teho on siis verrannollinen etenevŠn aallon taajuuden ja am- plitudin nelišihin.

Esim. 16.5. Lanka, jonka massatiheys on 2.0 g/m, on kiinni- tetty tankoon siten, ettŠ langan jŠnnitys on 15 N. Tanko vŠrŠh- telee taajuudella 12 Hz ja aiheuttaa lankaan aallon, jonka am- plitudi on 1.5 mm. Kuinka paljon tangosta siirtyy tehoa lan- kaan?

(16.16)

16.11. Aallon nopeus

Tarkastellaan aaltoa y(x,t), joka etenee langassa. TŠllšin dl:n pituiseen langan osaan kohdistuu y-akselin suuntainen voima F_^ = F [sin(q + dq) Ð sin q]

» F [tan(q + dq) Ð tan q]

= F [(¶y/¶x)_x+dx Ð (¶y/¶x)_x], missŠ derivaatat on laskettu pisteissŠ x ja x+dx. Kun tŠssŠ yhtŠlšssŠ esiintyvŠ y:n 1. derivaattojen muutos jaetaan dx:llŠ, saadaan y:n toinen derivaatta

F_^ = F dx (¶²y/¶x²).

Newtonin toisen lain mukaan F_^ = m dx (¶²y/¶t²), joten

Tuloksena on aaltoyhtŠlš (16.15), josta nŠhdŠŠn, ettŠ aallon nopeus on v = Ö(F/m), kuten aikaisemmin on osoitettu yhtŠlšs- sŠ (16.1).

¶²y(x,t)

¶x² = m

F ¶²y(x,t)

¶t² . (16.18)

17. €€NIOPPI

PŠŠkohdat:

1. €Šniaallot: pitkittŠiset paine- ja tiheysaallot 2. €Šniaaltojen resonanssi

3. Doppler-ilmiš 4. Huojunta

5. €Šniaallon intensiteetti 6. AaltoyhtŠlš

Ihmiskorvin voidaan kuulla ŠŠniŠ, joiden taajuudet ovat vŠlillŠ 20 Hz Ð 20 kHz. TŠtŠ matalammat ŠŠnet ovat infra- ja korke- ammat ultraŠŠniŠ.

17.1. €Šniaallot

€Šni on kaasun tai nesteen pitkittŠistŠ aaltoliikettŠ, joka muut- taa jaksollisesti vŠliaineen painetta ja tiheyttŠ.

Paineen muutosten maksimikohdissa molekyylien poikkeamat ovat nollia ja pŠinvastoin, joten paineen ja poikkeamien vŠlillŠ on 90° vaihe-ero.

Kappaleessa 17.5 osoitetaan, ettŠ pitkittŠisten aaltojen no- peus nesteessŠ ja kaasussa (engl. fluid) on

v = Ö B/r , missŠ

on puristusmoduli eli puristuvuuskerroin (engl. bulk modulus).

Esim. 17.1. Laske pitkittŠisten ŠŠniaaltojen nopeus (a) vedes- sŠ ja (b) ilmassa (1 atm). B / Nm^Ð2 r / kgm^Ð3

vesi 2.1 ´ 10⁹ 10³ ilma 1.41 ´ 10⁵ 1.29

17.2. €Šniaaltojen resonanssi

Putkessa olevaan ilmapatsaaseen, esim. urkupilliin voi muodostua seisova aalto, koska ŠŠni heijastuu sekŠ putken suljetusta ettŠ avoimesta pŠŠstŠ. "Suljetun pillin" toinen pŠŠ on suljettu ja "avoimen pillin" molemmat pŠŠt ovat avoimia.

(17.1) (17.2) B = Ð V DP

DV

Pillin suljetussa pŠŠssŠ molekyylien poikkeamat ovat koko ajan nollia, joten kyseessŠ on poikkeamien solmukohta, joka vastaa paineen kupukohtaa. Pillin suljettuun pŠŠhŠn saapuva paineen maksimi (minimi) heijastuu siis maksimina (miniminŠ) ja heijastuminen ei muuta paineaallon vaihetta.

Avoin pŠŠ on koko ajan ulkoilman paineessa, joten se on pai- neen solmukohta ja siis poikkeamien kupukohta. Pillin avoi- meen pŠŠhŠn saapuva paineen maksimi muuttuu minimiksi ja pŠinvastoin, joten heijastunut paineaalto on puolen aallon vai- hesiirrossa tulevaan aaltoon nŠhden, mutta poikkeama-aalto heijastuu vaiheensa sŠilyttŠen.

Koska solmukohdan etŠisyys viereisestŠ kupukohdasta on l/4, pillin pituuden tŠytyy olla resonanssissa L = n l/4, missŠ n on pariton kokonaisluku. NŠin ollen suljetun pillin resonanssi- taajuudet ovat

f_n = v / l = nv / 4L ; n = 1, 3, 5, ...

Avoimen pillin molemmissa pŠissŠ on poikkeamien kupukohta.

Koska vierekkŠiset kupukohdat ovat etŠisyydellŠ l/2 toisis- taan, resonanssissa L:n tŠytyy olla l/2:n monikerta, ts.

f_n = nv / 2L ; n = 1, 2, 3, ...

(17.3)

(17.4)

Esim. 17.2. YlŠpŠŠstŠŠn avoimeen pystyssŠ olevaan putkeen muodostetaan ilmapatsas laskemalla putkessa olevan veden pintaa. Samalla kuunnellaan ŠŠniraudan putkeen tuottamaa ŠŠntŠ, jolloin alunperin tŠydestŠ putkesta kuullaan kaksi en- simmŠistŠ resonanssia, kun ilmapatsaan korkeus on 18.9 cm ja 57.5 cm. MikŠ on ŠŠniraudan taajuus, jos ŠŠnen nopeus on 340 ms^Ð1?

17.3. Doppler-ilmiš

Kun aaltoliikkeen lŠhde ja havaitsija liikkuvat toistensa suhteen, havaittu taajuus muuttuu. TŠmŠ on Doppler-ilmiš.

(i) Jos ŠŠnen lŠhde (S) on levossa vŠliaineen suhteen, mutta havaitsija (O) lŠhestyy lŠhdettŠ nopeudella v_O, ŠŠniaaltojen nopeus O:n suhteen on v' = v + v_O, missŠ v on ŠŠnen nopeus vŠliaineen suhteen. Aallonpituus O:n suhteen on muuttuma- ton l₀ = v / f₀, missŠ f₀ ja l₀ ovat ŠŠnen taajuus ja aallonpituus S:n ja O:n ollessa levossa. NŠin ollen O:n kuulema taajuus on

f' = v' l0

= v + vv f^{0 0}.

Jos taas O etŠŠntyy lŠhteestŠ nopeudella vO, v' = v Ð v_O ja O:n

havaitsema taajuus on f'

= v' / l₀ = [(v Ð v_O)/v] f₀. YhdistŠmŠllŠ nŠmŠ lausekkeet saadaan

(ii) Jos havaitsija on levossa, mutta ŠŠnen lŠhde lŠhestyy sitŠ nopeudella v_S, aallonpituus lyhenee. Koska S liikkuu yhden jakson aikana matkan v_S

T, perŠkkŠiset aallonharjat ovat

etŠisyydellŠ l' = vT Ð v_S T

= (v Ð v_S) / f₀ toisistaan.

Aallonpituus on siis l', ja koska ŠŠnen nopeus O:n suhteen on v, hŠn

havaitsee taajuuden

Jos S etŠŠntyy O:sta nopeudella v_S, aallonpituus on l' = vT + vS T = (v + vS) / f0 ja O:n havaitsema taajuus on f' = v / l' = [v / (v + v_S)] f₀. YhdistŠmŠllŠ nŠmŠ kaksi lauseketta saadaan (iii) Jos sekŠ lŠhde ettŠ havaitsija liikkuvat, voidaan yhdistŠŠ yhtŠlšt (17.5) ja (17.6) TŠllšin saadaan

TŠtŠ yhtŠlšŠ kŠytettŠessŠ etumerkit valitaan siten, ettŠ f' kas- vaa S:n tai O:n liikkuessa toista kohti ja se pienenee S:n tai O:n liikkuessa toisesta poispŠin.

(17.5) f' = v ± v0

v f⁰.

f' = v

l' = v v Ð vS f0.

f' = v v ± vS

f0. (17.6)

f' = v ± vO

v ± vS

f0. (17.7)

Esim. 17.3. Poliisiauto kulkee 50 ms^Ð1 nopeudella ja saavut- taa samaan suuntaan kulkevaa kuorma-autoa, jonka nopeus on 25 ms^Ð1. Poliisiauton hŠlyytysŠŠnen taajuus on 1200 Hz.

MinkŠ taajuuden kuorma-auton kuljettaja kuulee ennen ohitus- ta ja sen jŠlkeen, kun ŠŠnen nopeus on 350 ms^Ð1?

17.4. Huojuminen

Tarkastellaan kahta harmonista aaltoa, joilla on hieman

toisistaan poikkeavat taajuudet f₁ ja f₂. Oletetaan, ettŠ aaltojen amplitudit ovat samat ja niiden vaihevakiot ovat nollia. TŠllšin niiden resultantti on pisteessŠ x = 0 on

TŠmŠ voidaan tulkita aalloksi, jonka taajuus on f₁:n ja f₂:n keskiarvo f_av = (f₁ + f₂) / 2 ja jonka amplitudi vaihtelee hitaasti (on moduloitunut) taajuudella (f₁ Ð f₂) / 2.

Korva kuulee taajuuden f_av, mutta ŠŠnen voimakkuus vaihtelee huojuntataajuudella (f1 Ð f2), joka on kaksi kertaa modulaatio- taajuus. TŠmŠ aiheutuu siitŠ, ettŠ ŠŠnen voimakkuuden mŠŠrŠŠ amplitudifunktion cos[(w₁ Ð w₂) t / 2] neliš cos²[...].

y(0,t) = A sin w1t + A sin w2t

= 2 A cos w1 Ð w2

2 t sin w1 + w2

2 t .

Amplitudimoduloinnilla (AM) voidaan esim. radioaaltoihin liittŠŠ informaatiota. TŠllšin kantoaallon (taajuus esim. fav = 30 MHz) amplitudia moduloidaan ŠŠnisignaalin taajuuksilla (yleensŠ alueella 0 Ð 5 kHz). TŠllšin nŠhdŠŠn, ettŠ amplitudifunktion taajuuden ollessa (f₁ Ð f₂) / 2 = 5 kHz komponenttiaaltojen taajuudet ovat f₁ = f_av + 5 kHz ja f₂ = f_av Ð 5 kHz. TŠstŠ seuraa, ettŠ AM-radiokanava vaatii kŠyttššnsŠ 10 kHz:n levyisen taajuuskaistan.

17.5. €Šnen nopeus

Tarkastellaan putkessa olevaa nestettŠ (tai kaasua), jossa etenee pitkittŠinen aalto. Kun aalto saapuu pisteeseen x, siinŠ oleva Dx:n pituinen nestesylinteri siirtyy pisteeseen x + s ja laajenee tai puristuu Dx + Ds:n pituiseksi. Ko. neste-elementin massa ei muutu, vaan se on Dm = r A Dx, missŠ r on nesteen tasapainotiheys ja A on putken poikkipinta-ala.

Neste-elementin kiihtyvyys on a = ¶²s/¶t², joten Newtonin toisen lain mukaan

F = (p₁ Ð p₂) A = Dm a = r A Dx ¶²s/¶t²,

missŠ p₁ ja p₂ ovat aallon aiheuttamat paineen muutokset elementin vasemmalla ja oikealla puolella. Kun tŠmŠ yhtŠlš jaetaan puolittain A:lla ja Dx:llŠ, saadaan rajalla Dx ® 0 tulos

Ð lim_{Dx ®0} p2 Ð p1

Dx = Ð ¶p

¶x = r ¶²s

¶t² . (17.9) (17.8)

Tilavuuden suhteelliseen muutokseen DV/V tarvittavaa pai- neen muutosta p kuvaa puristusmoduli (17.2)

B = Ð p / (DV/V).

Aallon aiheuttama tilavuuden muutos on

DV/V = A Ds / (A Dx) = Ds / Dx ® ¶s/¶x, kun Dx ® 0.

Siten paineen muutokselle saadaan lauseke p = Ð B ¶s/¶x.

Kun tŠmŠ sijoitetaan yhtŠlššn (17.9), saadaan pitkittŠisten poikkeamien s aaltoyhtŠlš

Vertaamalla tŠtŠ yleiseen aaltoyhtŠlššn (16.15) havaitaan, ettŠ aallon nopeus on

TŠmŠ on ŠŠnen nopeus nesteessŠ ja kaasussa (fluid).

Harmonisen aallon tapauksessa vŠliaineen pitkittŠiset poikkeamat ovat (f = 0)

s = s₀ sin(kx Ð wt),

joten yhtŠlšn (17.10) mukaan sen paineen muutokset ovat p = Ð B ¶s/¶x = Ð B k s₀ cos(kx Ð wt)

= Ð p₀ cos(kx Ð wt).

Koska k = w/v (16.15) ja B = rv² (17.12a), paineamplitudi on p₀ = B k s₀ = r w v s₀.

Vertaamalla yhtŠlšitŠ (17.13) ja (17.14) nŠhdŠŠn, ettŠ s:n ja p:n (poikkeaman ja paineen) vŠlillŠ todella on 90°:n vaihe-ero, kuten kappaleessa 17.1 jo pŠŠteltiin.

(17.10)

¶²s

¶x² = r B ¶²s

¶t² . (17.11)

(17.12a)

(17.13)

(17.14)

(17.15) v = Br .

€Šnen nopeus kaasussa voidaan kirjoittaa tilasuureiden avulla olettamalla, ettŠ ŠŠnen eteneminen on ideaalikaasun adia- baattinen prosessi (ts., lŠmmšn siirtymistŠ kaasussa ei paine- aallon oskillaatioiden aikana ehdi tapahtua). TŠllšin paineen P ja tilavuuden V vŠlillŠ on relaatio PV^g = vakio, missŠ g = C_p/C_v. TŠmŠn yhtŠlšn kokonaisdifferentiaali antaa paineen muutok- sen dP ja tilavuuden muutoksen dV vŠlille relaation

dP V^g + P gV^gÐ1dV = 0

josta saadaan merkitsemŠllŠ dP = DP = p ja dV = DV edelleen p = Ð g P DV/V.

Vertaamalla tŠtŠ yhtŠlššn (17.2) havaitaan, ettŠ kaasun adiabaattinen puristuvuuskerroin on

B = Ð p / (DV/V) = g P.

Siten ŠŠnen nopeus kaasussa on yhtŠlšn (17.12a) mukaan

KŠyttŠmŠllŠ vielŠ ideaalikaasun tilanyhtŠlšŠ PV = nRT ja esittŠmŠllŠ kaasun massatiheys muodossa r = nM / V, missŠ M on moolinmassa (kg/mol), saadaan

v = Ö [(gnRT/V) / (nM/V)].

TŠstŠ saadaan lopulta ŠŠnen nopeuden riippuvuus lŠmpštilas- ta ja kaasumolekyylien massasta

v = Br = gP r .

v = gRT M .

(17.12b)

(17.12c)

17.6. €Šnen intensiteetti

EdellŠ tarkastellun (putkessa etenevŠn) harmonisen aallon aiheuttama nesteen paineen lisŠys on p, joten aalto

kohdistaa nesteeseen voiman F(x,t) = p(x,t) A. Koska vŠliaine liikkuu nopeudella ¶s(x,t)/¶t, aalto tekee tyštŠ teholla

P(x,t) = F(x,t) ¶s(x,t)/¶t = p(x,t) A ¶s(x,t)/¶t.

KŠyttŠmŠllŠ yhtŠlšitŠ (17.13) ja (17.14) tehoksi saadaan P(x,t) = p₀ A w s₀ cos²(kx Ð wt).

Funktion cos²(kx Ð wt) keskiarvo on ^1/2, joten aallon kuljettama keskimŠŠrŠinen teho on

Pav = ^1/2 p0 A w s0 = ^1/2 r A w² s02 v, koska p₀ = r w v s₀ (17.15).

Aaltoliikkeen intensiteetti I on sen etenemissuuntaa vastaan kohtisuoran pinta-alayksikšn lŠpi aikayksikšssŠ siirtynyt ener- giamŠŠrŠ (W/m²)

I = teho / pinta-ala = P / A.

€Šniaallon keskimŠŠrŠinen intensiteetti on yhtŠlšn (17.16) mu- kaan

I_av = P_av / A = ^1/2 r w² s₀² v,

joka voidaan esittŠŠ paineamplitudin p₀ funktiona sijoittamalla s₀ = p₀ / (rwv) (17.15)

I_av = p₀² / 2rv.

TŠssŠ muodossa esitettynŠ intensiteetti on taajuudesta riippumaton.

(17.16)

(17.17)

(17.18)

PistemŠisen lŠhteen synnyttŠmŠn isotrooppisen palloaallon tapauksessa aaltorintaman pinta-ala etŠisyydellŠ r lŠhteestŠ on 4pr², joten intensiteetti on

I = P / 4pr², missŠ P on lŠhteen sŠteilemŠ teho.

Kokeellisesti on huomattu, ettŠ ŠŠnen intensiteetin kasvaessa kymmenkertaiseksi korvan aistiman ŠŠnen voimakkuus

kasvaa noin kaksinkertaiseksi. TŠstŠ syystŠ on hyšdyllistŠ mitata kuuloaistimuksen voimakkuutta intensiteetin I logaritmil- la mŠŠrittelemŠllŠ ŠŠnen intensiteettitaso b yhtŠlšllŠ

b = 10 lg I/I₀,

missŠ I₀ on ihmisen kuulokynnystŠ vastaava intensiteetti (pie- nin ihmisen kuultavissa oleva intensiteetti) 1 kHz:n taajuudella, 10^Ð12 W/m². Intensiteettitason yksikkš on desibeli (dB). Edelli- sessŠ, desibelin mŠŠritelmŠssŠ, kŠytetŠŠn 10-kantaista loga- ritmia lg = log₁₀.

Kuulokynnyksen ja kipukynnyksen, I_p = 1 W/m² = c I₀ inten- siteettitasot ovat

b₀ = 10 lg I₀/I₀ = 0 dB ja b_p = 10 lg 10¹²I₀/I₀ = 120 dB.

Esim. 17.4. Laske kuulo- ja kipukynnyksiŠ vastaavat poikkea- ma- ja paineamplitudit, kun ilman tiheys on 1.29 kg/m³ ja ŠŠ- nen nopeus on 340 m/s ja taajuus 1.0 kHz.

(17.19)

(17.20)

Esim. 17.5. ErŠŠn ŠŠnilŠhteen intensiteetti on I₁ tietyllŠ etŠi- syydellŠ mitattuna. MikŠ on intensiteettitason muutos havain- topaikassa, jos ŠŠnilŠhteen viereen tuodaan toinen samanlai- nen ŠŠnilŠhde.

Esim. 17.6. Isotrooppisesti joka suuntaan emittoivan kaiutti- men ŠŠniteho on 0.8 W. MillŠ etŠisyydellŠ kaiuttimesta on in- tensiteettitaso 85 dB?

17.7. Fourier-sarja

Luonnossa esiintyvŠt aallot ovat harvoin puhtaasti harmo- nisia, ts. muotoa (16.7) tai (16.8). Esim. musiikki-instru- menttien tuottamien ŠŠniaal- tojen muoto poikkeaa yleensŠ huomattavasti sinifunktion

muodosta, koska instrumentti vŠrŠhtelee perustaajuutensa lisŠksi useilla korkeammilla harmonisilla taajuksilla.

Vuonna 1807 Joseph Fourier osoitti, ettŠ mikŠ tahansa

normaalisti kŠyttŠytyvŠ jaksollinen funktio voidaan esittŠŠ har- monisten funktioiden superpositiona. Jos aaltoliike on tietyssŠ pisteessŠ x ajan t jaksollinen funktio y(t), jonka jakson pituus on T, se voidaan esittŠŠ Fourier-sarjana

y(t) = b₀/2 + S_n=1^¥ (a_n sin nwt + b_n cos nwt) ,

missŠ w = 2p / T = 2pf. Sen harmonisten komponenttien a_n sin nwt ja b_n cos nwt taajuudet nf ovat funktion y(t) taajuu- den f monikertoja. Komponenttien amplitudit a_n ja b_n, Fourier- kertoimet, saadaan integraaleina

a_n = 2/T ò₀^T y(t) sin nwt dt ja b_n = 2/T ò₀^T y(t) cos nwt dt.

Esim. vŠrŠhdysajan T vŠlein jaksollisesti toistuvan suora- kulmaisen aallon

A, 0 £ t < T/2 ja y(t) =

ÐA, T/2 £ t < T Fourier-sarja on

y(t) = 4A/p (sin wt + 1/3 sin 3wt + + ^1/5 sin 5wt + ^1/7 sin 7wt +...) .

(17.21a)

(17.21b) (17.21c)

34 . MAXWELLIN YHT€L…T JA S€HK…MAGNEETTISET AALLOT

PŠŠkohdat:

1. Amp•ren lain tŠydennys: SiirtymŠvirta

2. SŠhkšmagneettiset aallot: Maxwellin yhtŠlšt

3. SŠhkšmagneettisen sŠteilyn energia ja Poyntingin vektori 4. SŠhkšmagneettisen sŠteilyn liikemŠŠrŠ ja sŠteilypaine

Faraday oli huomannut jo v. 1845, ettŠ magneettikenttŠ vaikut- taa lasissa etenevŠŠn valoon, ja oletti sen vuoksi valossa ole- van "sŠhkšisiŠ ja magneettisia" vŠrŠhtelyjŠ. Koska suureen 1 / (e₀ m₀)^1/2 oli havaittu olevan suuruudeltaan mitatun valonno- peuden luokkaa, pŠŠtti James Clerk Maxwell tutkia Faradayn hypoteesia tarkemmin. HŠn huomasi v. 1861, ettŠ Amp•ren laki ei ole yksikŠsitteinen ja tŠydensi sitŠ ns. siirtymŠvirtater- millŠ. TŠmŠn jŠlkeen hŠn pŠŠtyikin lopulta v. 1865 ennusta- maan sŠhkšmagneettisten aaltojen olemassa olon ns. Max- wellin yhtŠlšiden pohjalta.

34.1. SiirtymŠvirta

SŠhkšvirta luo ympŠrilleen magneettikentŠn B, jonka viivainte- graali suljetun silmukan l ympŠri on Amp•ren lain mukaan

missŠ I on silmukan rajoittaman pinnan lŠpi kulkeva sŠhkšvirta ja m₀ on tyhjišn permeabiliteetti. Katso tarkemmin SŠhkš- ja magnetismiopin kurssista, kappaleesta 30.4.

O B × dllll = m0 I , (30.11)

Tarkastellaan oheisen kuvan mukaisesti johtimen magneet- tikentŠŠ tapauksessa, jossa virralla I varataan kondensaat- toria. Amp•ren lakia voidaan soveltaa siten, ettŠ johdin lŠ- pŠisee silmukan, jota pitkin in- tegrointi suoritetaan ja virta I lŠpŠisee silmukan mŠŠrŠŠmŠn tason. Mutta jos silmukan mŠŠrŠŠmŠ pinta valitaan siten, ettŠ se kulkee kondensaattorin levyjen vŠlistŠ, pinnan lŠpŠise- vŠ virta I = 0 ja saadaan vir- heellinen tulos B = 0.

TŠstŠ syystŠ Maxwell pŠŠtteli, ettŠ kondensaattorin levyjen vŠ- lissŠ muuttuva sŠhkškenttŠ aiheuttaa oman magneettikenttŠn- sŠ. Sen lŠhteenŠ on muodollisesti kondensaattorin levyjen vŠ- lissŠ kulkeva ns. siirtymŠvirta I_D (engl. displacement current), jonka avulla Amp•ren laki saa muodon

Jos tasolevykondensaattorin varaus on Q(t) ja levyjen pinta- ala on A, levyjen vŠlissŠ on sŠhkškenttŠ E = Q / e₀A, missŠ e₀ on tyhjišn permittiivisyys. Varaus ja kenttŠ muuttuvat, kun joh- timessa kulkee virta, sillŠ

I = dQ/dt = e₀ A dE/dt = e₀ dF_E/dt,

missŠ F_E = AE on sŠhkškentŠn vuo. Siten muuttuvaan sŠh- kškenttŠŠn liittyvŠ siirtymŠvirta on

I_D = e₀ A dE/dt = e₀ dF_E/dt.

O B × dllll = m0 I + ID .

(34.1)

Nyt voidaan kirjoittaa Amp•reÐMaxwellin laki muotoon

Esim. 34.1. Tasolevykondensaattorin levyt ovat R-sŠteisen ympyrŠn muotoisia. MŠŠrŠŠ magneettikenttŠ levyjen vŠlissŠ, kun kondensaattori varautuu vakiovirralla I.

34.2. Maxwellin yhtŠlšt

SŠhkšÐmagnetismin perusyhtŠlšt voidaan nyt koota yhteen ns. Maxwellin yhtŠlšiksi. NŠmŠ ovat SŠhkš- ja magnetismio- pin kurssilta yhtŠlšt (24.3), (31.2) ja (31.3) sopivasti yleistettyi- nŠ sekŠ edellŠ saatu yhtŠlš (34.2):

Gauss

Gauss

Faraday

AmpereÐ Maxwell

(34.3)

(34.4)

O E × dllll = Ð d

dt B × dA O D × dA = r dr = Q

O B × dA = 0

O H × dllll = J + ¶D

¶t × dA

(34.5)

(34.6) O B × dllll = m0 I + e0dFE

dt . (34.2)

Maxwellin yhtŠlšt ovat symmetriset sŠhkš- ja magneettikent- tien suhteen lukuunottamatta sitŠ, ettŠ magneettisia varauksia ja niiden virtoja ei esiinny.

Maxwellin yhtŠlšt voidaan esittŠŠ myšs differentiaalimuodos- sa:

Gauss Gauss Faraday AmpereÐ Maxwell

Maxwellin yhtŠlšt tŠydennettyinŠ vielŠ varauksen sŠilymislailla ja liikkuvaan varaukseen q kohdistuvan Lorentz-voiman lau- sekkeella

F = q (E + v ´ B),

selittŠvŠt ja kuvaavat tŠydellisesti kaikki sŠhkšmagneettiset il- mišt.

Ñ ´ E = Ð ¶B

¶t Ñ × D = r Ñ × B = 0

Ñ ´ H = J + ¶D

¶t

(34.3b) (34.4b) (34.5b)

(34.6b)

(29.12)

34.3. SŠhkšmagneettiset aallot

Kahdesta jŠlkimmŠisestŠ Maxwellin yhtŠlšstŠ voidaan helposti johtaa sŠhkšmagneettisten aaltojen yhtŠlš. Tarkastellaan ti- lannetta tyhjišssŠ:

Samoin saadaan magneettikentŠlle

NŠmŠ ovat tavallisia aaltoyhtŠlšitŠ, muotoa (16.15), joista ete- nevŠn aallon nopeudeksi saadaan

c = 1 / (e₀ m₀)^1/2

Vakion m₀ arvo on ampeerin mŠŠritelmŠn perusteella 4p ´ 10^Ð7 Vs / Am ja vakion e₀ arvo puhtaasti sŠhkšisin mittauksin mŠŠri- tettynŠ 8.854 ´ 10^Ð12 As / Vm. NŠmŠ arvot antavat sŠhkšmag- neettisten aaltojen nopeudeksi

c = 2.998 ´ 10⁸ ms^Ð1.

TŠmŠ on valon nopeus tyhjišssŠ. Valo onkin sŠhkšmagneet- tista aaltoliikettŠ. TŠstŠ johtuen vakio e₀ mŠŠritellŠŠnkin nykyi- sin yhtŠlšllŠ

e₀ = 1 / (m₀ c²).

ѲE Ð m0e0 ¶²E

¶t² = 0.

(34.8)

(34.9) ѲB Ð m0e0 ¶²B

¶t² = 0.

(34.7)

AaltoyhtŠlšiden (34.7) ja (34.8) ratkaisut E = E₀ sin(kx Ð wt) ja B = B₀ sin(kx Ð wt)

kuvaavat x-akselin suuntaan eteneviŠ tasoaaltoja, jotka eivŠt riipu koordinaateista y ja z, mutta E = Ey tai Ez ja B = Bz tai By. Maxwellin yhtŠlšistŠ seuraa siis, ettŠ sŠhkšmagneettisilla tasoaalloilla on seuraavat ominaisuudet:

1. E ja B esiintyvŠt yhdessŠ siten, ettŠ kaikilla x:n ja t:n arvoilla

E = c B

2. EdellisestŠ seuraa, ettŠ E ja B ovat samassa vaiheessa.

3. E ja B ovat kohtisuorassa aallon etenemissuuntaa vastaan, joten kyseessŠ on poikittainen aalto.

4. E ja B ovat myšs kohtisuorassa toisiaan vastaan siten, ettŠ vektori E ´ B osoittaa aallon etenemissuuntaan.

(34.10)

MikŠli sŠhkšmagneettinen aalto, esim. valo kulkee vŠliainees- sa, jossa e = er e0 ja m = mr m0, niin sen nopeus on

v = 1 / Öme,

joka on aina pienempi kuin valon tyhjišnopeus c. TŠmŠ on seurausta siitŠ, ettŠ sŠhkš- ja magneettikentŠt ovat vuorovai- kutuksessa aineen varausten kanssa.

34.4 Aallon kuljettama energia ja Poyntingin vektori

SŠhkš- ja magneettikenttiin liittyvŠn energian analyysi osoitti, yht. (26.10) ja (32.13), ettŠ kenttien energiatiheydet ovat

u_E = ^1/2 e₀E² ja u_B = ^1/2 B²/m₀.

Koska E = cB = B / Öm₀e₀, niin u_E = u_B ja etenevŠn sŠhkšmag- neettisen aallon kokonaisenergiatiheys u_E + u_B on

uE = e0E² = B²/m0 = Ö(e0/m0) EB.

Koska aallon energia liikkuu aallon mukana nopeudella c, sen etenemissuuntaa vastaan kohtisuoran tason lŠpi kulkee

ajassa dt energia dU = u A c dt, missŠ A on tason pinta-ala ja A c dt on sen aallon osan tilavuus, joka kulkee ajassa dt tason lŠpi. Aallon intensiteetti eli teho/pinta-ala

S = (dU/dt) / A on siis

S = uc = EB / m₀, missŠ E ja B ovat ajasta riippuvia.

(34.11a) (34.11b)

(34.12)

(34.13) (34.14)

Aallon kuljettaman energian suuruutta ja suuntaa voidaan kuvata ns. Poyntingin vektorilla

S = E ´ B / m₀,

jonka itseisarvo |S| = S on aallon intensiteetti ja suunta on energian etenemissuunta.

Jos E on tasoaalto E(x,t) = E₀ sin(kx Ð wt), B on samanvaihei- nen tasoaalto B(x,t) = B₀ sin(kx Ð wt) ja aallon intensiteetti on yhtŠlšn (34.14) mukaan

S = EB / m₀ = E₀B₀/m₀ sin²(kx Ð wt).

Koska funktion sin²(kx Ð wt) keskiarvo 1/2, aallon keskimŠŠrŠi- nen intensiteetti on

S_av = u_av c = E₀B₀ / 2m₀.

Esim. 34.2. Radioasema lŠhettŠŠ 10 kW teholla 100 MHz taa- juista signaalia. Laske 1 kilometrin etŠisyydellŠ lŠhettimestŠ (a) aallon sŠhkš- ja magneettikenttien amplitudit, ja (b) ener- gia, joka saapuu 10 cm ´ 10 cm pinnalle 5 min aikana.

(34.15)

(34.16)

Esim. 34.3. Kun jŠnnitelŠhde kytketŠŠn johtimella virtapiiriin, syntyy johtimen ympŠrille sŠhkškenttŠ. Sen lisŠksi sŠhkšvirta synnyttŠŠ magneettikentŠn. Osoita kŠyttŠen Poyntingin vekto- ria, ettŠ johtimeen siirtyvŠ energia on yhtŠsuuri kuin syntyvŠ Joulen lŠmpš.

34.5 SŠteilypaine

Suhteellisuusteorian mukaan energialla U on massa m siten, ettŠ U = mc². Koska sŠhkšmagneettinen aalto kuljettaa ener- giaa (nopeudella v = c), sillŠ on nŠin ollen myšs liikemŠŠrŠ.

Energian U liikemŠŠrŠ on

p = mv = mc = U/c.

Jos sŠhkšmagneettinen aalto absorboituu tŠydellisesti johon- kin pintaan, se luovuttaa sille liikemŠŠrŠn U/c. Jos aalto hei- jastuu pinnasta tŠydellisesti palaten tulosuuntaansa, liikemŠŠ- rŠn sŠilymisen vuoksi se "luovuttaa" pinnalle liikemŠŠrŠn 2U/c.

Jos kappale saa ajassa dt liikemŠŠrŠn dp, siihen kohdistuu Newtonin toisen lain mukaan voima F = dp/dt. SŠhkšmagneet- tisen aallon etenemissuuntaa vastaan kohtisuoralle tasolle saapuu ajassa dt energia dU = uAc dt = SA dt. Jos energia absorboituu tŠydellisesti, taso saa liikemŠŠrŠn dp = dU/c = uA dt = (S/c) A dt ja siihen kohdistuu siis voima F = dp/dt = uA = (S/c) A. TŠmŠ merkitsee sitŠ, ettŠ pintaan kohdistuu sŠteily- paine

P = F/A = S/c = u,

joka on sama kuin aallon energiatiheys u (N/m² = J/m³). Jos aalto heijastuu tŠydellisesti kŠŠntyen vastakkaissuuntaiseksi, sŠteilypaine on 2u.

Esim. 34.4. Auringon sŠteilyn intensiteetti maan pinnalla on 1.0 kW/m². Aurinkopaneeli, jonka koko on 10 m ´ 10 m, ab- sorboi auringon sŠteilyn kokonaan. MikŠ on auringon sŠteilyn aiheuttama voima paneeliin, kun sŠteily tulee kohtisuoraan pa- neelin pintaa vastaan?

(34.17)

(34.18)

34.6. Hertzin koe

Heinrich Hertz onnistui v. 1887 tuottamaan ja havaitsemaan Maxwellin ennustamat aallot laboratorio-olosuhteissa. Heijas- tavia metallipintoja kŠyttŠen hŠn onnistui jopa saamaan ai- kaan seisovia aaltoja. Kun taajuus oli mŠŠritettŠvissŠ LC-piirin resonanssitaajuutena, hŠn saattoi mŠŠrittŠŠ keksimiensŠ aal- tojen etenisnopeudenkin, noin 3 ´ 10⁸ m/s.

Hertzin kokeiden seurauksena opittiin pian kŠyttŠmŠŠn radio- aaltoja informaation siirtoon. Vuonna 1996 "radio tŠyttikin jo sata vuotta".

34.7. SŠhkšmagneettisten aaltojen spektri

SŠhkšmagneettiset aallot kattavat hyvin laajan taajuusalueen, jonka ŠŠripŠitŠ edustavat hyvin pitkŠt radioaallot (» 100 Hz) ja kosmisessa sŠteilyssŠ esiintyvŠt "kovat" g-sŠteet (» 10²³ Hz).

TŠmŠ kattaa noin 100 oktaavia. Taajuuksilla ei ole periaat- teessa mitŠŠn teoreettista ylŠ- tai alarajaa. Taajuudet tai aal- lonpituudet voidaan karkeasti jakaa erillisiin alueisiin lŠhinnŠ sen mukaan, kuinka aallot syntyvŠt ja/tai kuinka niitŠ havai- taan.

NŠkyvŠ valo

Ihmisen silmŠn nŠkemŠt aallonpituudet ovat vŠlillŠ 400 Ð 750 nm seuraavasti: violetti 400 Ð 450 nm, sininen 450 Ð 520 nm, vihreŠ 520 Ð 560 nm, keltainen 560 Ð 600 nm, oranssi 600 Ð 625 nm ja punainen 625 Ð 750 nm.

NŠkyvŠn valon aallonpituuksia voi syntyŠ atomien valenssie- lektronien siirtyessŠ diskreetistŠ energiatilasta toiseen, jolloin saadaan epŠjatkuva viivaspektri tai elektronien satunnais- liikkeen seurauksena korkeassa lŠmpštilassa olevassa termi- sessŠ lŠhteessŠ, esim. auringossa, jolloin sŠteilyn intensiteetti on aallonpituuden jatkuva funktio. Hyvin intensiivistŠ nŠkyvŠŠ valoa ja muuta sŠhkšmagneettista sŠteilyŠ aallonpituuksilla 0.01 - 10000 nm voidaan myšs tuottaa synkrotronisŠteilynŠ elektronien kiertŠessŠ lŠhes valon nopeudella rengasmaises- sa hiukkaskiihdyttimessŠ, synkrotronissa.

NŠkšaisti ja kasvien fotosynteesi ovat kehittyneet toimimaan sillŠ auringonvalon aallonpituusalueella, jota maan ilmakehŠ ei absorboi (300 Ð 1100 nm).

UltraviolettisŠteily

UltraviolettisŠteilyn (UV) aallonpituusalue on vŠlillŠ 400 nm Ð 1 nm. UV-sŠteilyŠ voi syntyŠ atomien ulkoelektronien siirtymis- sŠ, termisissŠ lŠhteissŠ ja myšs esim. synkrotronissa. Jos il- makehŠn otsoni ei absorboisi lŠhes kokonaan UV-sŠteilyn lyhytaaltoista osaa (l < 300 nm), auringon sŠteily vahingoittaisi vakavasti elollista luontoa. On osoitettu, ettŠ mm. kylmŠlait- teissa kŠytettŠvŠt (chlorofluorocarbon) CFC-yhdisteet (freonit, esim. CF₂Cl₂ ja CF₃Cl) aiheuttavat otsonikerroksen ohenemis- ta, otsonikatoa, ja lisŠŠvŠt nŠin maan pinnalle tulevan UV-sŠ- teilyn mŠŠrŠŠ. Tavallinen lasi absorboi voimakkaasti pitkŠaal- toistakin UV-sŠteilyŠ, joten UV-alueen optisissa komponen- teissa on kŠytettŠvŠ esim. kvartsilasia.

Joissakin atomeissa UV-sŠteilyn absorptiota seuraa pitempi- aaltoisen nŠkyvŠn valon emissio. TŠmŠn fluoresenssi-ilmišn avulla voidaan esim. Hg-loisteputken 253.7 nm:n UV-sŠteily, joka on noin 80 % putken kokonaissŠteilystŠ, muuttaa nŠkyvŠl- le alueelle.

InfrapunasŠteily

InfrapunasŠteilyn (IR) aallonpituusalue on vŠlillŠ 750 nm Ð 1 mm ja se voidaan havaita lŠmpšnŠ. SitŠ syntyy termisten lŠh- teiden lisŠksi molekyylien vŠrŠhdys- ja pyšrimisenergian

muutoksissa. IlmakehŠn hiilidioksidi ja muut ns. kasvihuone- kaasut absorboivat IR-sŠteilyŠ ja kohottavat nŠin maapallon lŠmpštilaa, ns. kasvihuoneilmiš. Koska lasi lŠpŠisee vain lyhytaaltoista IR-sŠteilyŠ, IR-alueen optiikassa on kŠytettŠvŠ esim. NaCl-komponentteja.

YmpŠristšŠŠn lŠmpimŠmpi kohde voidaan havaita sen lŠhettŠ- mŠn IR-sŠteilyn avulla kŠyttŠmŠllŠ IR-herkkŠŠ filmiŠ tai video- kameraa, ns. lŠmpškameraa. TŠllŠ tavoin voidaan paikantaa mm. rakennusten lŠmpšvuotoja, maastoon kadonneita henki- lšitŠ ja ihmisen elimistšssŠ olevia kasvaimia.

Mikroaallot

MikroaaltosŠteilyn aallonpituusalue on 1 mm Ð 15 cm ja sitŠ emittoituu molekyylien pyšrimisenergian muutoksissa ja elektronien vŠrŠhdellessŠ erityisrakenteisissa elektroniputkis- sa, esim. klystronissa tai magnetronissa. NŠitŠ aaltoja kŠyte- tŠŠn mm. tiedonsiirrossa (esim. puheluiden ja numeerisen tie- don vŠlittŠmiseen), tutkissa (esim. sŠŠtutkassa havaitsemaan ilmassa olevia vesipisaroita) ja mikroaaltouunissa taajuudella 2450 MHz, jota vesimolekyylit absorboivat tehokkaasti.

Esim. Laske 2450 MHz:n mikroaaltojen aallonpituus.

Radioaallot

Radioaaltojen aallonpituusalue on 15 cm Ð 3000 km, mutta radio- ja TV-lŠhetyksissŠ kŠytettŠvŠ alue on 15 cm Ð 2 km.

Radioaaltoja syntyy elektronien ollessa kiihtyvŠssŠ liikkeessŠ esim. auringon pintakerroksessa olevassa magneettikentŠssŠ tai lŠhetysantenniin kytketyssŠ vaihtojŠnnitteessŠ. NiitŠ voi- daan vastaanottaa joko aallon E-kentŠn suuntaisella suoralla johtimella, ns. sauva-antennilla, tai B-kentŠn suuntaisella ke- lalla, ns. kehŠantennilla, joihin muuttuva E tai B indusoi vaihtovirran.

RšntgensŠteet (v. 1895, W. Ršntgen)

RšntgensŠteiden aallonpituusalue on 1 nm Ð 0.1 pm, joka menee osittain pŠŠllekkŠin g-sŠteiden alueen kanssa. TŠtŠ sŠteilyŠ syntyy elektronien ollessa kiihtyvŠssŠ liikkeessŠ tŠh- tien pintakerroksissa ja todennŠkšisesti supernovien sekŠ mustien aukkojen ympŠrillŠ. SitŠ voidaan tuottaa synkrot- ronisŠteilynŠ tai ršntgenputkessa kiihdytettyjen elektronien hidastuessa raskaasta metallista valmistetussa anodissa, jol- loin saadaan jatkuvan spektrin omaavaa jarrutussŠteilyŠ. SitŠ syntyy myšs atomien sisŠkuorten elektronien siirtyessŠ

energiatilasta toiseen, jolloin saadaan epŠjatkuvaa karakteris- tista sŠteilyŠ.

Laajan diagnostisen ja terapeuttisen lŠŠketieteellisen kŠytšn li- sŠksi ršntgensŠteitŠ kŠytetŠŠn ršntgendiffraktion avulla

kiteiden tai kiteytettyjen molekyylien, esim. proteiinien rakenteiden tutkimiseen. NiillŠ voidaan myšs paikallistaa materiaaleissa olevia virheitŠ.

GammasŠteet

SŠteilyŠ, jonka aallonpituudet ovat alle 10 pm tai vastaavasti taajuudet yli 10²⁰ Hz, sanotaan g-sŠteiksi. NiitŠ emittoituu ydin- reaktioissa ja saapuu maahan mm. avaruussŠteilynŠ. Gam- masŠteily on tavallisesti selvŠsti hiukkassŠteilyn luonteista.

35 . VALON HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

PŠŠkohdat:

1. Valon sŠteet -> geometrinen optiikka 2. Heijasumis- ja taittumislait

3. Huygensin periaate

4. Valon dispersio ja prisma 5. Todellinen kuva ja valekuva

6. Pallopeilit, kuvausyhtŠlšt ja sŠdediagrammit

Newton oli olettanut valon olevan hiukkasvirtaa. Huygens taas oletti valon olevan jotakin muuta, lŠhinnŠ aaltoliikettŠ, mi- kŠ saikin tukea kokeellisilta havainnoilta. Itse asiassa valo on osoittautunut olevan molempia kvanttiteorian mukaan.

Kaikki klassilliseen sŠhkšmagnetismiin liittyvŠt probleemat, ku- ten valon eteneminen, voidaan ratkaista Maxwellin yhtŠlšiden ja Lorentz-voiman lausekkeen avulla. Monissa tapauksissa ratkaisu voidaan kuitenkin lšytŠŠ yksinkertaisemmin. Esim.

valon kŠyttŠytymistŠ kahden aineen rajapinnassa voidaan tarkastella geometrisen optiikan eli sŠdeoptiikan avulla.

35.1. Geometrinen optiikka

Kokemuksesta tiedŠmme, ettŠ valo kulkee suoraviivaisesti, ai- nakin tavallisimmissa tapauksissa. Geometrisessa optiikassa valon sŠteiden eli aaltorintamien normaalien oletetaankin noudattavan yksinkertaisia geometrisia lakeja. Perusolettamus on se, ettŠ

¥ valon sŠteet etenevŠt homogeenisessa vŠliaineessa suoraviivaisesti.

TŠmŠ merkitsee sitŠ, ettŠ valon aaltoluonteesta johtuvat taipu- misilmišt jŠtetŠŠn ottamatta huomioon. NŠin voidaan tehdŠ, kun valon aallonpituus on paljon pienempi kuin tarkasteltavan systeemin yksityiskohdat.

35.2. Heijastuminen

Kun valo kohtaa kahden aineen (esim. ilman ja lasin) raja- pinnan, tapahtuu yleensŠ osittainen heijastuminen. Jos pinta on epŠtasainen, heijastuneet sŠteet lŠhtevŠt eri suuntiin.

Heijastuminen on tŠllšin diffuusi ja pinta nŠyttŠŠ himmeŠltŠ.

Jos sen sijaan pinta on kiillotettu tasaiseksi, heijastuneet sŠteet noudattavat heijastuslakia:

¥ Tuleva sŠde, heijastunut sŠde ja pinnan normaali ovat samassa tasossa ja tulokulma on sama kuin heijastuskulma.

TŠmŠ edellyttŠŠ sitŠ, ettŠ pinnan epŠtasaisuudet ovat

pienempiŠ kuin valon aallonpituus. KyseessŠ on tŠllšin peili- heijastus eli spekulaarinen heijastus ja heijastunut sŠde voi- daan nŠhdŠ vain yhdestŠ suunnasta.

Esim. 35.1. Kaksi peiliŠ on asetettu 120° kulmaan toistensa suhteen. ValonsŠteen tulokulma on ensimmŠiseen peiliin on 50° siten, ettŠ sŠde heijastuu siitŠ toiseen peiliin ja sŠde on kohtisuorassa peilien yhdyssuoraa vastaan. Mihin suuntaan sŠde heijastuu toisesta peilistŠ?

Kolmen keskenŠŠn kohtisuoran peilin muodostama kuutiomainen nurkkaheijastin (engl. corner reflector tai cube corner reflector) heijastaa kaikki siihen saapuvat sŠteet takaisin tŠsmŠlleen tulo- suuntaansa. SitŠ kŠytetŠŠn esim.

autojen ja polkupyšrien heijasti- missa. LŠhettŠmŠllŠ satelliitteihin

ja kuun pinnalle asennettuihin nurkkaheijastimiin eri paikoista lyhyitŠ laserpulsseja ja mittaamalla niiden paluuaikoja on voitu seurata tarkasti esim. mannerten hidasta liikkumista.

Huygensin periaate

Vuonna 1678 Christian Huygens esitti periaatteen, joka tarjoaa kŠyttškelpoisen nŠkškulman aallon etenemisen kuvaamiseen. Se voidaan muotoilla seuraavasti:

¥ Aaltoliikkeen etenemisalueen jokainen piste

muodostaa sekundŠŠristen alkeisaaltojen lŠhteen, josta ne etenevŠt kaikkiin suuntiin palloaaltoina.

Kokonaisaalto on nŠiden alkeisaaltojen summa.

Siten aaltorintaman eri pisteistŠ lŠhteneiden palloaaltojen verhokŠyrŠ muodostaa aaltorintaman myšhemmŠllŠ ajan hetkellŠ.

Heijastuslaki voidaan johtaa Huygensin periaatteen avulla tarkastelemalla tasoaaltoa, joka saapuu tasaiselle pinnalle tulokulmassa q. Tietyn aaltorintaman AB eri pisteet kohtaavat tŠmŠn pinnan eri aikoina ja jokaisessa kohtauspisteessŠ

syntyy samanvaiheinen palloaalto, joiden verhokŠyrŠ CD muodostaa heijastuneen aaltorintaman. Koska tulevien ja lŠhtevien aaltojen nopeus on sama, etŠisyyksien AD ja BC tŠytyy olla samoja. TŠstŠ seuraa, ettŠ heijastuskulman q« ja tulokulman q tŠytyy olla samoja.

35.3. Taittuminen

Kun valo (tai yleisemmin etenevŠ aalto) kohtaa kahden aineen rajapinnan, osa siitŠ yleensŠ lŠpŠisee pinnan ja muuttaa samalla suuntaansa eli taittuu.

Taittumisen sŠŠnnšnmukaisuu- den lšysi kokeellisesti hollantilai- nen matemaatikko Willebrord Snell v. 1621. HŠn pŠŠtteli, ettŠ sinq₁/sinq₂ = vakio, missŠ q₁ ja q₂ ovat tulo- ja taitekulmat valon kul- kiessa aineiden rajapinnan lŠpi.

V. 1678 Huygens johti tŠmŠn tuloksen olettamalla aallon nopeuksiksi v₁ ja v₂ vŠliaineis- sa 1 ja 2. Tarkastellaan pin- nalle aineesta 1 saapuvaa aaltorintamaa AB. Rintama kulkee matkan BB' = AB' sinq₁ ajassa Dt = BB'/v₁. TŠnŠ aika- na pisteestŠ A lŠhtenyt aalto on kulkenut aineessa 2 mat- kan AA' = AB' sinq2 = v2 Dt.

Aineessa 2 etenevŠ taittunut

aaltorintama A'B' on alkuperŠisen aaltorintaman AB lŠhettŠ- mien samanvaiheisten palloaaltojen tangentti. NŠin ollen

Taittuminen ilmaistaan yleensŠ vŠliaineen taitekertoimen n = c / v

avulla, missŠ c ja v ovat valon nopeudet tyhjišssŠ ja kyseises- sŠ aineessa. Aineen taitekerroin (engl. refractive index n on sille ominainen vakio.

sinq1

sinq2

= BB'

AA' = vv¹2 . (35.1) (35.2)

Taitekertoimen mŠŠritelmŠstŠ seuraa nyt, ettŠ

sinq1/sinq2 = v1/v2 = n2/n1. Siten voidaan kirjoittaa taittumislaki:

¥ Tuleva sŠde, taittunut sŠde ja pinnan normaali ovat samassa tasossa ja tulo- ja taitekulman q₁ ja q₂ vŠlillŠ on relaatio

n₁ sinq₁ = n₂ sinq₂,

missŠ n₁ ja n₂ ovat aineiden 1 ja 2 taitekertoimet.

TŠtŠ kutsutaan myšs nimellŠ Snelliuksen laki (engl. Snell's law).

Kun aallon (lŠhteen mŠŠrŠŠmŠ) taajuus on f sama molemmilla puolilla rajapintaa, mutta nopeus muuttuu, niin myšs aallonpituus muuttuu. Koska f = v₁/l₁ = v₂/l₂, niin

l₁/l₂ = v₁/v₂ = n₂/n₁.

Koska tyhjišssŠ n0 = 1, niin taitekertoimen n omaavassa aineessa aallonpituus on

l_n = l₀ / n, missŠ l₀ on aallonpituus tyhjišssŠ.

Jos n₂ > n₁, vŠliaine 2 on optisesti tiheŠmpŠŠ kuin vŠliaine 1.

Aallon tullessa optisesti tiheŠmpŠŠn aineeseen se taittuu pinnan normaalia kohti ja pŠinvastoin. Jos aineen taitekerroin muuttuu paikan jatkuvana funktiona, aine on epŠhomogeeni- nen ja sŠde etenee kŠyrŠviivaisesti. Esim. ilman taitekerroin voi olla lŠmpimŠn maanpinnan lŠ-

heisyydessŠ pienempi kuin ylempŠ- nŠ. TŠstŠ syystŠ valonsŠteet voivat kŠyristyŠ maanpinnan lŠheisyydes- sŠ ylšspŠin ja aiheuttaa ns. kangas- tuksen, jossa sinisen taivaan kuva nŠyttŠŠ maassa olevalta vedeltŠ.

(35.3)

(35.4)

Esim. 35.2. Valo, jonka aallonpituus on 600 nm ilmassa, osuu tulokulmassa 35° piilasin pintaan. Piilasin taitekerroin on 1.6 ja ilman taitekerroin on hyvin lŠhellŠ arvoa 1. Laske kyseisen valon (a) taitekulma, (b) aallonpituus ja (c) nopeus piilasissa tŠllŠ tulokulmalla.

Esim. 35.3. VŠliaineessa, jonka taitekerroin on n₁, on lasilevy, jonka taitekerroin on n₂. Valo lŠpŠisee lasilevyn tulokulmalla a. Osoita, ettŠ lasilevyn lŠpŠissyt valo yhdensuuntaista lasile- vyyn tulevan valon kanssa.

35.4. Kokonaisheijastus

Kun valonsŠde etenee optisesti tiheŠmmŠstŠ aineesta 2 har- vempaan aineeseen 1, se taittuu

rajapinnan normaalista poispŠin.

TŠstŠ seuraa, ettŠ erŠŠllŠ tulokul- malla q2 = qc taittunut sŠde on pin- nan suuntainen, ts. taitekulma on q₁ = 90°. TŠtŠ suuremmilla tulo- kulmilla sŠde ei lainkaan lŠpŠise rajapintaa, vaan heijastuu koko- naan takaisin. TŠtŠ sanotaan ko-

konaisheijastukseksi. Kriittisen kulman q_c arvo voidaan rat- kaista Snelliuksen laista (35.3) asettamalla q1:n arvoksi 90°:

n₁ sin 90° = n₂ sinq_c, josta saadaan sinq_c = n₁ / n₂.

Esim. valon tullessa lasista (n₂ = 1.50) ilmaan (n₁ = 1.00) q_c = 42°.

Esim. 35.4. Mm. Kepler kŠytti hyvŠkseen n₁ = 1 kokonaisheijastusta kuvan mukaisella

tavalla. MikŠ on lasin taitekertoimen oltava, jos valon tulokulma on i?

(35.5)

lasin₂ = n

Kokonaisheijastuksella on useita sovelluksia:

Heijastavat prismat

Suorakulmaisessa tasakylkisessŠ prismassa hypotenuusan normaali muodostaa 45°:n kulman kateettien kanssa. Jos tŠllaiseen lasista (n = 1.50) valmistettuun prismaan tulee valonsŠde kohtisuoraan kateettia vastaan, sŠde kohtaa hypotenuusan tulokulmalla 45°, joka on suurempi kuin

kriittinen kulma q_c = 42°. TŠstŠ syystŠ sŠde kokee kokonais- heijastuksen, jonka avulla sen suuntaa voidaan muuttaa paljon pienemmin hŠvišin kuin normaalia peiliŠ kŠytettŠessŠ.

Peili heijastaa parhaimmillaankin vain n. 95 % tulevasta ener- giasta. SŠdettŠ voidaan kŠsitellŠ eri tavoin kŠyttŠmŠllŠ

erilaisia prismoja, jotka voidaan suunnitella esim. kŠŠntŠmŠŠn optisen systeemin vŠlittŠmŠ kuva oikein pŠin. Esim. kiikari.

Kuituoptiikka

Lasista ja muoveista voidaan valmistaa pienemmŠn

taitekertoimen omaavalla aineella pŠŠllystettyjŠ ohuita kuituja (ytimen halkaisija 10 Ð 100 mm), joiden sisŠllŠ valo etenee pienin hŠvišin (vaimennus esim. 0.2 dB/km) toistuvien kokonaisheijastusten avulla. TŠllaisten optisten kuitujen muodostamaa kimppua voidaan kŠyttŠŠ kuvan siirtŠmiseen esim. lŠŠketieteellisissŠ tŠhystyslaitteissa, joilla voidaan tarkastella ihmisen sisŠelimiŠ.

Optisia kuituja kŠytetŠŠn myšs tietoliikenteessŠ, jossa informaa- tiota voidaan kuljettaa infra- punasŠteellŠ, aallonpituuksilla, joilla vaimennus on alhainen,

esim. 1300 nm ja 1550 nm. Korkea taajuus antaa hyvin suuren

siirtokapasiteetin, ja signaaliin eivŠt sŠhkšiset hŠirišt vaikuta.

35.5. Prisma ja dispersio

Aineen taitekerroin n riippuu

yleensŠ aallonpituudesta l. Kun n esitetŠŠn l:n funktiona, saadaan dispersiokŠyrŠ, jossa n normaa- listi pienenee l:n kasvaessa. Kun valkoinen kaikkia nŠkyviŠ aallon- pituuksia sisŠltŠvŠ valo suunna- taan prismaan, sen eri vŠrit taittuvat eri tavalla. Jokaisella

aalonpituudella on oma poikkeamansa eli deviaationsa d, jolla tarkoitetaan prismaan tulevan sŠteen suunnasta laskettua poikkeamakulmaa.

Prisman avulla voidaan mitata tulevan sŠteilyn aallonpituus- jakautuma eli spektri. Mittaus voidaan tehdŠ prismaspektros- koopilla, jossa tuleva sŠteily ensin yhdensuuntaistetaan kolli- maattorissa kapean raon ja linssin avulla. SŠde ohjataan sen jŠlkeen prismaan, josta lŠhtevien ja eri suuntiin taittuneiden sŠteiden suunnat mitataan tarkasti kaukoputkella.

Voidaan osoittaa, ettŠ deviaatiolla d on minimi d_min, kun sŠde kulkee prisman lŠpi symmetrisesti. TŠllšin kolmiosta PQR nŠhdŠŠn, ettŠ taitekulman r ja prisman taittavan kulman f vŠlillŠ on relaatio 2r + (p Ð f) = p, joten r = f / 2.

Kolmiosta PQS nŠhdŠŠn, ettŠ 2(i Ð r) + (p Ð d) = p, joten d = 2(i Ð r) ja i = d/2 + r. Jos prisman ja sen ympŠristšn taite- kertoimet ovat n ja 1, Snelliuksen lain mukaan sin i = n sin r.

SŠteen aallonpituutta vastaava taitekerroin on (kun d = d_min)

joka voidaan mŠŠrittŠŠ mittaamalla minimideviaatio d_min. n = sin f + dmin

2 sin f 2

, (35.6)

35.6. Tasopeilit

Kun pisteestŠ S lŠhtevŠt valonsŠteet heijastuvat tasopeilistŠ, niiden jatkeet leikkaavat toisensa pisteessŠ S'. Koska silmŠ nŠkee sŠteiden tulevan tŠstŠ pisteestŠ, sitŠ sanotaan pisteen S kuvaksi. Yleisesti pisteen kuva on siitŠ lŠhteneiden sŠteiden tai niiden jatkeiden yhteinen leikkauspiste. Todellisten sŠtei- den leikkauspiste on todellinen

kuva (engl. real image) ja niiden jatkeiden leikkauspiste on vale- kuva (engl. virtual image).

Todellinen kuva, toisin kuin vale- kuva, voidaan saada nŠkyviin asettamalla sen kohdalle varjos- tin. Piste S' on siis S:n valekuva.

Esineen jokaisella pisteellŠ (esim. O) on oma kuvapisteensŠ (I). Heijastuslaista seuraa, ettŠ suorakulmaisten kolmioiden OMA ja IMA kaikki kulmat ovat samat, joten piste ja sen kuva ovat samalla etŠisyydellŠ peilistŠ

sen samalla normaalilla. TŠmŠ tulos ei riipu valitusta sŠteestŠ, joten kaikkien sŠteiden jatkeet yhtyvŠt samassa pisteessŠ ja kuvapiste on siis yksikŠsitteinen.

Esine ja sen tasopeilissŠ nŠkyvŠ kuva ovat yhtŠ suuria, mutta sen vasen ja oikea puoli ovat vaihtaneet paikkaa. Erityisesti oikeakŠtisestŠ suorakulmaisesta koordinaatistosta tulee va- senkŠtinen ja pŠinvastoin.

Esim. 35.6. Esine on asetettu kahden toisiaan vastaan kohti- suoran peilin vŠliin. Kuinka monta kuvaa on nŠhtŠvissŠ?

Esim. 35.7. MikŠ on seinŠlle ripustetun peilin pienin korkeus, kun siitŠ tulee nŠkyŠ kuvaansa katsova henkilš kokonaisuu- dessaan? Kuinka katselijan etŠisyys vaikuttaa asiaan?

35.7. Pallopeilit

Kovera (engl. concave) ja kupera (engl. convex) pallopeili muodostuvat pallopinnoista, joiden sisŠ- tai ulkopinta on heijastava. Peilipinnan keskipisteen normaali, joka kulkee kaarevuuskeskipisteen eli pallon keskipisteen kautta, on peilin pŠŠakseli. Koveraan tai kuperaan peiliin kapeana kimppuna saapuvat pŠŠakselin suuntaiset sŠteet tai niiden jatkeet

leikkaavat toisensa peilin (todellisessa tai virtuaalisessa) polt- topisteessŠ (engl. focal point, focus) F, joka on polttovŠlin (engl. focal length) f pŠŠssŠ peilistŠ sen pŠŠakselilla.

Jos sŠdekimppu ei ole kapea verrattuna peilin kaarevuus- sŠteeseen, sŠteet tai niiden jatkeet eivŠt leikkaa toisiaan pŠŠakselin samassa pisteessŠ. TŠmŠ kuvaa vŠŠristŠvŠ palloaberraatio (engl. spherical aberration) voidaan korjata kŠyttŠmŠllŠ pallopinnan sijasta paraboloidia.

Jos sŠde saapuu koveraan pallopeiliin etŠisyydellŠ h pŠŠ- akselista, sen tulo- ja heijastuskulma a (pinnan normaalin CP suhteen) noudattaa yhtŠlšŠ sina = h/R, missŠ R on peilin kaarevuussŠde eli CP:n pituus. Jos h/R on hyvin pieni, a » h/R.

TŠllšin heijastunut sŠde PF leikkaa pŠŠakselin polttovŠlin f pŠŠssŠ peilistŠ, joten tan 2a » 2a » h/f. Koska a » h/R, polttovŠli on puolet kaarevuussŠteestŠ,

f = R / 2.

TŠmŠn tuloksen johti ensimmŠisenŠ G. Della Porta v. 1591.

SŠdediagrammit

Pallopeilin antama kuva voidaan konstruoida sŠdediagrammil- la etsimŠllŠ esineen pisteistŠ muodostuneiden kuvien paikat graafisesti. TŠmŠ tapahtuu piirtŠmŠllŠ kaksi tarkasteltavasta pisteestŠ lŠhtevŠŠ sŠdettŠ ja paikantamalla niiden tai niiden jatkeiden leikkauspiste. Valekuvat piirretŠŠn yleensŠ katko- viivoja kŠyttŠen. MitkŠ tahansa kaksi seuraavista sŠteistŠ riit- tŠvŠt kuvan lšytŠmiseen:

1.Kaarevuuskeskipisteen kautta peiliin tuleva sŠde heijastuu samaa tietŠ takaisin.

2.PŠŠakselin suuntaisena peiliin tuleva sŠde heijastuu polttopisteen kautta.

3.Polttopisteen kautta peiliin tuleva sŠde heijastuu pŠŠakselin suuntaisena.

4.PŠŠakselin kohdalla peiliin osuva sŠde ja heijastunut sŠde muodostavat akselin kanssa yhtŠ suuret kulmat.

(35.7)

SŠteet (2) ja (3) kŠyttŠytyvŠt kuvatulla tavalla vain pŠŠakselin lŠhellŠ. Toisaalta juuri nŠiden sŠteiden kŠyttš on tavallisesti suoraviivaisinta.