Prisma ja dispersio

Aineen taitekerroin n riippuu

yleensŠ aallonpituudesta l. Kun n esitetŠŠn l:n funktiona, saadaan dispersiokŠyrŠ, jossa n normaa-listi pienenee l:n kasvaessa. Kun valkoinen kaikkia nŠkyviŠ aallon-pituuksia sisŠltŠvŠ valo suunna-taan prismaan, sen eri vŠrit taittuvat eri tavalla. Jokaisella

aalonpituudella on oma poikkeamansa eli deviaationsa d, jolla tarkoitetaan prismaan tulevan sŠteen suunnasta laskettua poikkeamakulmaa.

Prisman avulla voidaan mitata tulevan sŠteilyn aallonpituus-jakautuma eli spektri. Mittaus voidaan tehdŠ prismaspektros-koopilla, jossa tuleva sŠteily ensin yhdensuuntaistetaan kolli-maattorissa kapean raon ja linssin avulla. SŠde ohjataan sen jŠlkeen prismaan, josta lŠhtevien ja eri suuntiin taittuneiden sŠteiden suunnat mitataan tarkasti kaukoputkella.

Voidaan osoittaa, ettŠ deviaatiolla d on minimi d_min, kun sŠde kulkee prisman lŠpi symmetrisesti. TŠllšin kolmiosta PQR nŠhdŠŠn, ettŠ taitekulman r ja prisman taittavan kulman f vŠlillŠ on relaatio 2r + (p Ð f) = p, joten r = f / 2.

Kolmiosta PQS nŠhdŠŠn, ettŠ 2(i Ð r) + (p Ð d) = p, joten d = 2(i Ð r) ja i = d/2 + r. Jos prisman ja sen ympŠristšn taite-kertoimet ovat n ja 1, Snelliuksen lain mukaan sin i = n sin r.

SŠteen aallonpituutta vastaava taitekerroin on (kun d = d_min)

joka voidaan mŠŠrittŠŠ mittaamalla minimideviaatio d_min. n = sin f + dmin

2 sin f 2

, (35.6)

35.6. Tasopeilit

Kun pisteestŠ S lŠhtevŠt valonsŠteet heijastuvat tasopeilistŠ, niiden jatkeet leikkaavat toisensa pisteessŠ S'. Koska silmŠ nŠkee sŠteiden tulevan tŠstŠ pisteestŠ, sitŠ sanotaan pisteen S kuvaksi. Yleisesti pisteen kuva on siitŠ lŠhteneiden sŠteiden tai niiden jatkeiden yhteinen leikkauspiste. Todellisten sŠtei-den leikkauspiste on todellinen

kuva (engl. real image) ja niiden jatkeiden leikkauspiste on vale-kuva (engl. virtual image).

Todellinen kuva, toisin kuin vale-kuva, voidaan saada nŠkyviin asettamalla sen kohdalle varjos-tin. Piste S' on siis S:n valekuva.

Esineen jokaisella pisteellŠ (esim. O) on oma kuvapisteensŠ (I). Heijastuslaista seuraa, ettŠ suorakulmaisten kolmioiden OMA ja IMA kaikki kulmat ovat samat, joten piste ja sen kuva ovat samalla etŠisyydellŠ peilistŠ

sen samalla normaalilla. TŠmŠ tulos ei riipu valitusta sŠteestŠ, joten kaikkien sŠteiden jatkeet yhtyvŠt samassa pisteessŠ ja kuvapiste on siis yksikŠsitteinen.

Esine ja sen tasopeilissŠ nŠkyvŠ kuva ovat yhtŠ suuria, mutta sen vasen ja oikea puoli ovat vaihtaneet paikkaa. Erityisesti oikeakŠtisestŠ suorakulmaisesta koordinaatistosta tulee va-senkŠtinen ja pŠinvastoin.

Esim. 35.6. Esine on asetettu kahden toisiaan vastaan kohti-suoran peilin vŠliin. Kuinka monta kuvaa on nŠhtŠvissŠ?

Esim. 35.7. MikŠ on seinŠlle ripustetun peilin pienin korkeus, kun siitŠ tulee nŠkyŠ kuvaansa katsova henkilš kokonaisuu-dessaan? Kuinka katselijan etŠisyys vaikuttaa asiaan?

35.7. Pallopeilit

Kovera (engl. concave) ja kupera (engl. convex) pallopeili muodostuvat pallopinnoista, joiden sisŠ- tai ulkopinta on heijastava. Peilipinnan keskipisteen normaali, joka kulkee kaarevuuskeskipisteen eli pallon keskipisteen kautta, on peilin pŠŠakseli. Koveraan tai kuperaan peiliin kapeana kimppuna saapuvat pŠŠakselin suuntaiset sŠteet tai niiden jatkeet

leikkaavat toisensa peilin (todellisessa tai virtuaalisessa) polt-topisteessŠ (engl. focal point, focus) F, joka on polttovŠlin (engl. focal length) f pŠŠssŠ peilistŠ sen pŠŠakselilla.

Jos sŠdekimppu ei ole kapea verrattuna peilin kaarevuus-sŠteeseen, sŠteet tai niiden jatkeet eivŠt leikkaa toisiaan pŠŠakselin samassa pisteessŠ. TŠmŠ kuvaa vŠŠristŠvŠ palloaberraatio (engl. spherical aberration) voidaan korjata kŠyttŠmŠllŠ pallopinnan sijasta paraboloidia.

Jos sŠde saapuu koveraan pallopeiliin etŠisyydellŠ h pŠŠ-akselista, sen tulo- ja heijastuskulma a (pinnan normaalin CP suhteen) noudattaa yhtŠlšŠ sina = h/R, missŠ R on peilin kaarevuussŠde eli CP:n pituus. Jos h/R on hyvin pieni, a » h/R.

TŠllšin heijastunut sŠde PF leikkaa pŠŠakselin polttovŠlin f pŠŠssŠ peilistŠ, joten tan 2a » 2a » h/f. Koska a » h/R, polttovŠli on puolet kaarevuussŠteestŠ,

f = R / 2.

TŠmŠn tuloksen johti ensimmŠisenŠ G. Della Porta v. 1591.

SŠdediagrammit

Pallopeilin antama kuva voidaan konstruoida sŠdediagrammil-la etsimŠllŠ esineen pisteistŠ muodostuneiden kuvien paikat graafisesti. TŠmŠ tapahtuu piirtŠmŠllŠ kaksi tarkasteltavasta pisteestŠ lŠhtevŠŠ sŠdettŠ ja paikantamalla niiden tai niiden jatkeiden leikkauspiste. Valekuvat piirretŠŠn yleensŠ katko-viivoja kŠyttŠen. MitkŠ tahansa kaksi seuraavista sŠteistŠ riit-tŠvŠt kuvan lšytŠmiseen:

1.Kaarevuuskeskipisteen kautta peiliin tuleva sŠde heijastuu samaa tietŠ takaisin.

2.PŠŠakselin suuntaisena peiliin tuleva sŠde heijastuu polttopisteen kautta.

3.Polttopisteen kautta peiliin tuleva sŠde heijastuu pŠŠakselin suuntaisena.

4.PŠŠakselin kohdalla peiliin osuva sŠde ja heijastunut sŠde muodostavat akselin kanssa yhtŠ suuret kulmat.

(35.7)

SŠteet (2) ja (3) kŠyttŠytyvŠt kuvatulla tavalla vain pŠŠakselin lŠhellŠ. Toisaalta juuri nŠiden sŠteiden kŠyttš on tavallisesti suoraviivaisinta.

Pallopeilin kuvausyhtŠlš

Tarkastellaan koveran pallopeilin pŠŠakselilla etŠisyydellŠ p peilistŠ olevaa pistemŠistŠ esinettŠ O. MikŠ tahansa siitŠ lŠh-tevŠ sŠde heijastuu peilistŠ ja leikkaa pŠŠakselin kuvapistees-sŠ I, jonka etŠisyys peilistŠ on q. PienillŠ kulmilla on voimassa

Koska tŠmŠ yhtŠlš on voimassa mille tahansa O:sta lŠhtevŠlle sŠteelle, kaikki tŠllaiset sŠteet leikkaavat toisensa pisteessŠ I, joka nŠin ollen on O:n kuvapiste (edellyttŠen, ettŠ sŠteiden lŠhtškulmat b ovat pieniŠ). Saatu tulos on pallopeilin kuvau-syhtŠlš. Se on voimassa myšs kuperalle pallopeilille, jos sovitaan, ettŠ sen polttovŠli f ja kuvan etŠisyys q ovat negatii-visia. Kuperan pallopeilin polttopiste on virtuaalinen ja kuva on valekuva, ja molemmat ovat peilin heijastamattomalla puo-lella. TŠmŠ voidaan yleistŠŠ seuraavaksi peilien merkkisopi-mukseksi:

¥ Kun valo tulee vasemmalta, p, q ja f ovat peilin vasemmalla puolella positiivisia ja oikealla puolella negatiivisia.

(35.8) 1p + 1

q = 1 f .

Suurennus

Kuvan koko ei yleensŠ ole sama kuin esineen koko. Poikittai-nen (tai lineaariPoikittai-nen) suurennus m on kuvan korkeuden y_I suhde esineen korkeuteen y_O. MŠŠritellŠŠn y negatiiviseksi, jos piste on pŠŠakselin alapuolella.

Koska tan a = y_O/p = Ðy_I/q, suurennus on m = y_I / y_O = Ð q / p.

¥ Jos m > 0, kuva on oikeinpŠin (engl. erect).

¥ Jos m < 0, kuva on ylšsalaisin (engl. inverted).

¥ Jos |m| > 1, kuva on suurennettu (engl. enlarged).

¥ Jos |m| < 1, kuva on pienennetty (engl. reduced).

Peilin vasemmalla puolella olevasta esineestŠ (p > 0) vasem-malle puolelle muodostunut todellinen kuva on aina ylšsalaisin ja oikealle puolelle muodostunut valekuva on aina oikeinpŠin.

Suurennuksen yhtŠlš (35.9) on voimassa molemmissa tapauk-sissa, sillŠ valekuvalla q < 0.

(35.9)

Esim. 35.8. Esine, jonka korkeus on 1.2 cm, on asetettu 2.0 cm:n etŠisyydelle pallopeilistŠ, jonka kaarevuussŠde on 8.0 cm. MŠŠrŠŠ kuvan paikka ja koko, kun (a) peili on kovera ja kun (b) peili on kupera.

Esim. 35.9. Esine, jonka korkeus on 2.0 cm, on etŠisyydellŠ 12.0 cm pallopeilistŠ. OikeinpŠin olevan kuvan korkeus on 3.2 cm. Millainen peili on kyseessŠ?