2.2 Laattarakenteiden värähtely
2.2.1 Värähtelyilmiön teoriatausta
Värähtelyllä tarkoitetaan systeemin dynaamista ajasta riippuvaa liikettä tasapainoasemansa suhteen (Braun et al. 2002; Ventsel & Krauthammer 2001; Duggal 2013). Systeemien vä-rähtelyt voidaan jakaa ominaisvärähtelyyn ja pakotettuun värähtelyyn. Ominaisvärähtelyllä tarkoitetaan ilmiötä, jossa systeemiin ei kohdistu ulkoisia voimia, vaan herätteen systeemille aiheuttaa alkutilanteessa vallitsevat häiriöt, joita voivat olla esimerkiksi alkutilanteen siir-tymä tai nopeus ajanhetkellä t = 0 (Duggal 2013; Humar 2012; Ventsell & Krauthammer 2001).
Rakenteiden dynaamista käyttäytymistä kuvaavat matemaattiset mallit voidaan johtaa sovel-tamalla Newtonin mekaniikan 2. lakia yhden vapausasteen omaavaan värähtelevään systee-miin (Kuva 6) (Labonnote 2012). Systeemin massa on kuvattu jäykällä kappaleella, jonka liikettä on rajoitettu rullatuin, jotka mahdollistavat liikkeen vain yhteen suuntaan. Systeemin
10
elastinen resistanssi on varmistettu jäykkyyden k omaavalla jousella ja värähtelyä vaimentaa vaimennusparametrin c omaava vaimennin. Kun systeemi vapautetaan alkutilastaan se alkaa värähtelemään tasapainoasemansa ympärillä. Yhden vapausasteen omaavan systeemin omi-naisvärähtelyllä kuvaava yhtälö voidaan kirjoittaa seuraavasti:
𝑚𝜕2𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 + 𝑐𝜕𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡 + 𝑘𝑤(𝑥, 𝑡) = 0 ( 1 )
missä, m on kappaleen massaa kuvaava parametri c on vaimentavaa voimaa kuvaava parametri k on kappaleen jäykkyyttä kuvaava parametri w on ajasta riippuvainen kappaleen siirtymä
Kappaleen vaimentamattoman ominaisvärähtelyn taajuus voidaan ratkaista asettamalla c=0 ja ilmaisemalla ominaiskulmataajuuden neliö systeemin massan ja jäykkyyden suhteena:
𝜔2 = 𝑘
𝑚 ( 2 )
missä, ω on ominaiskulmataajuus
Tämän jälkeen yhtälö 1 voidaan lausua tunnetun ratkaisun avulla:
𝑤(𝑡) = 𝐴1sin(𝜔𝑡) + 𝐴2𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) ( 3 )
missä, A1 ja A2 ovat alkuehdoista riippuvia integroimisvakioita
Kuva 6. Yhden vapausasteen värähtelevä systeemi (Labonnote 2012, s.61)
Yhtälöä 1 voidaan muokata kuvaamaan systeemin pakkovärähtelyä, kun systeemiin vaikut-taa voimavektorin p mukaisia voimia. Yhden vapausasteen omaavan systeemin pakkoväräh-telyä kuvaava yhtälö voidaan esittää seuraavasti.
𝑚𝜕2𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2 + 𝑐𝜕𝑤(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡 + 𝑘𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑝(𝑥, 𝑡) ( 4 )
missä, p on voimavektori
Laattarakenteen dynaamista käyttäytymistä voidaan kuvata soveltamalla Newtonin mekanii-kan 2. lakia sekä yhtälöitä 1 ja 4. Matemaattisen mallin muodostamista varten on systeemistä
11
tunnettava sen fysikaaliset ominaisuudet, kuten systeemin massa, elastiset ominaisuudet (joustavuus tai jäykkyys) sekä energian hälventymisominaisuudet eli vaimennussuhde (Dug-gal 2013). Yhtälöä 4 muokkaamalla sekä tekemällä tiettyjä oletuksia, sitä voidaan käyttää kahden vapausasteen omaavan systeemin värähtelyanalyysiin. Yhtälöstä 4 on huomioitava, että muuttujat m, c ja k ovat kaikki ajasta riippumattomia (Humar 2012). Kahden vapausas-teen värähtelijän, kuten laattarakenvapausas-teen värähtelyä voidaan kuvata yhtälön 5 avulla. Yhtä-lössä 5 on sovellettu Kirchhoffin laattateoriaa ja siihen liittyvä oletuksia. Tämän lisäksi ole-tetaan, että värähtelyä ei vaimenneta, jolloin yhtälö 4 saa muodon:
𝐷𝛻2𝛻2𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡) = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑡) − 𝜌ℎ𝜕2𝑤
𝜕𝑡2 (𝑥, 𝑦, 𝑡) ( 5 )
missä, w on kappaleen ajasta riippuva siirtymä p on voimavektori
ρ on kappaleen tiheys h on laatan paksuus
D on laatan taivutusjäykkyys, jossa on huomioitu Poissonin ilmiön vaikutuk-set, D voidaan esittää muodossa:
𝐷 = 𝐸ℎ3
12×(1−ν2) ( 6 )
missä, E on materiaalin kimmokerroin h on laatan paksuus
ν on Poissonin luku
Yhtälö 5 kuvaa pakotettua ja vaimentamatonta laatan värähtelyliikettä (Ventsel & Kraut-hammer 2001). Nivelellisesti tuetulle neliskulmaiselle vapaasti värähtelevälle laatalle voi-daan olettaa seuraava ratkaisu:
𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑡) = (𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡)𝑊(𝑥, 𝑦) ( 7 ) missä, A ja B ovat integroimisvakioita
ω on systeemin kulmataajuus (Kaava 10) 𝑊(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝐶𝑚𝑛𝑠𝑖𝑛𝑚𝜋𝑥
𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑛𝜋𝑦
𝑏
∞𝑚,𝑛=1 ( 8 )
missä, m, n = 1,2, …
a ja b kuvaavat laatan dimensioita
C on värähtelyamplitudi, jokaiselle m ja n arvolle
Sijoittamalla testifunktio 8 yhtälöön 6 ja olettamalla kappaleen värähtely vapaaksi värähte-lyksi saadaan:
𝐷∆2𝑊(𝑥, 𝑦) − 𝜔2𝜌ℎ𝑊(𝑥, 𝑦) = 0 ( 9 )
missä,
12 𝜔𝑚𝑛 = 𝜋2(m2
a2 +n2
b2)√𝜌hD ( 10 )
Yhtälö 10 kuvaa systeemin ominaiskulmataajuutta, jonka avulla voidaan ratkaista systeemin ominaistaajuudet:
𝑓𝑚𝑛 = 𝜔𝑚𝑛
2𝜋 ( 11 )
Systeemin alin ominaistaajuus saadaan sijoittamlla yhtälöön 10 m=1, n=1 ja sijoittamalla tämä edelleen yhtälöön 11 (Ventsel & Krauthammer 2001).
Kuten yhtälöstä 11 nähdään laattarakenteet voivat värähdellä useilla eri ominaistaajuuksilla.
Jokainen ominaistaajuus vastaa tiettyä värähtelymuotoa, joka kuvastaa rakenteen muodonmuutosta, eri värähtleytaajuuksilla (Braun et al. 2002; Jarnerö 2014; Schirén &
Swahn 2019). Värähtelymuoto sisältää informaation kahdesta värähtelyn elementistä: väräh-telyn ajanmuutoksesta sekä värähtelyamplitudin paikallisesta vaihtelusta rakenteen läpi (Braun et al. 2002). Ajan vaihtelu määrittelee värähtelytaajuuden kasvun tai nousun ja pai-kallinen vaihtelu määrittelee eri amplitudit rakenteen pisteestä toiseen (Braun et al. 2002).
Kuvassa 7 on havainnollistettu laattarakenteiden kolme ensimmäistä värähtelymuotoa, jotka vastaavat kolmea alinta ominaistaajuutta. Kuvan 7 rakenne on kahdelta reunalta nivelelli-sesti tuettu ja kahdelta reunalta jäykästi tuettu
Kuva 7. Laattarakenteen kolme ensimmäistä värähtelymuotoa (Lal & Saini 2017, s.2855) 2.2.2 Värähtelylähteet
Värähtelylähteet tai -ärsykkeet ovat usein dynaamisia kuormia. Dynaamiset kuormat eroavat staattisista kuormista siten, että ne ovat ajasta riippuvaisia. Ajasta riippuvia parametrejä dy-naamisilla kuormilla voivat olla:
• Kuorman tai muun herätteen voimakkuus
• Vaikutussuunta
• Vaikutuspiste systeemissä tai rakenteessa
Kuorman vaikutuksesta rakenteeseen tai systeemiin syntyvät jännitykset ja muodonmuutok-set ovat tällöin myös ajasta riippuvaisia. Dynaamimuodonmuutok-set kuormat voidaan jakaa ennalta määrät-tyihin ja satunnaisiin kuormituksiin. Kuormat ovat ennalta määrättyjä, mikäli ne voidaan kuvailla tunnetun ajasta riippuvan funktion avulla, satunnaisia dynaamisia kuormituksia ovat
13
esimerkiksi maanjäristyskuormat. Dynaamiset kuormat voidaan jakaa myös jaksottaisiin ja ei-jaksottaisiin kuormiin. (Duggal 2013)
Laatat tai muut rakennusten osat reagoivat dynaamisiin herätteisiin värähtelemällä. Laatta-rakenteet voidaan jakaa värähtelykäyttäytymisensä mukaan korkea- ja matalataajuuslattioi-hin. Korkeataajuuslattioiden alin ominaistaajuus määritellään usein olevan yli f0=8-10Hz ja rakenteen painon alle 300 kg/m3, matalataajuuslattioiden ylin ominaistaajuus määritellään usein olevan alle f0=8-10Hz ja rakenteen painon yli 300 kg/m3 (Jarnerö 2014; Schirén &
Swahn 2019; Talja et al. 2002). Matalataajuuslattiat ovat usein massaltaan suuria esimerkiksi betonirakenteisia välipohjia, jotka reagoivat värähtelemällä impulssinomaisiin kuormiin (Jarnnerö 2014; Schirén & Swahn 2019). Korkeataajuuslattiat ovat kevytrakenteisia, kuten puu- tai teräsrakenteisia ja ne reagoivat matalataajuuslattioita herkemmin ympäristössä syn-tyviin herätteisiin, kuten ihmisten kävelyyn (Jarnerö 2014; Zhang et al. 2013). CLT-raken-teiset välipohjat luokitellaan lähes poikkeuksetta korkeataajuuslattioiksi.
Ihmiset ovat hyvin herkkiä aistimaan ympäristössään tapahtuvia värähtelyjä, minkä vuoksi rakenteiden värähtelyt aiheuttavat rakennuksen käyttäjille herkästi epämiellyttävän ärsyk-keen (Toratti & Talja 2006). Yleisin värähtelylähde rakennuksissa on ihmisen toiminta, joka voi aiheuta esimerkiksi kävelystä, juoksemisesta tai hyppimisestä, muita yleisiä värähtely-lähteitä rakennuksille ovat mm. kodinkoneet, liikenne sekä tuuli (Jarnerö 2014; Ljunggren 2006; Toratti & Taja 2006; Zhang et al. 2013). Ihminen aistii herkimmin värähtelyn, joka tapahtuu 4–8 Hz taajuusalueella, minkä jälkeen taajuuden kasvaessa suuremmaksi aistitta-vuus heikkenee ja värähtelyn aiheuttama ärsyke ihmiselle pienenee (Jarnerö 2014; Ljung-gren 2006; Talja et al. 2002). Värähtely aiheuttama ärsyke ihmiselle koetaan usein suurem-pana, mikäli värähtely on pitkäkestoista ja jatkuvaa, lyhyitä ja harvoin toistuvia iskuja ei usein koeta yhtä haitallisina (Talja et al. 2002). Myös tunnetusta värähtelylähteestä, kuten samassa asunnossa asuvan ihmisen aiheuttamaa värähtelyä ei koeta yhtä haitallisena, kuin esimerkiksi naapuriasunnossa asuvan ihmisen aiheuttamaa (Jarnerö 2014; Toratti & Talja 2006).
Ihmisen toiminnasta aiheutuva mekaaninen -ja akustinen värähtely tapahtuu 0–80 Hz taa-juusalueella (Zhang et al. 2013), yleisimmin kävely tapahtuu 1,6–2,4 Hz taajuudella, mutta kuormituskomponentteja voi esiintyä myös taajuuksien monikerroilla, jolloin taajuusalue saattaa olla yhdenmukainen lattian alimpien ominaistaajuuksien kanssa (Jarnerö 2014;
Ljunggren 2006; Talja et al. 2002). Ilmiö saattaa olla ongelmallinen korkeataajuuslattioiden tapauksessa, mikäli värähtelyä ei vaimenneta muilla keinoin. Matalataajuuslattioiden ta-pauksessa ihmisen kävely on usein samalla taajuusalueella rakenteen ominaistaajuuden kanssa, jolloin rakenne reagoi herätteeseen resonoivalla värähtelyllä (Jarnerö 2014), tällöin lattian päällä oleva henkilö kykenee usein aistimaan resonanssin, mikäli rakenteen vaimen-nus on puutteellinen (Toratti & Talja 2006). Matalataajuuslattioille tyypillinen suuri massa kykenee kuitenkin vaimentamaan värähtelyn nopeasti.
2.2.3 Värähtelyyn vaikuttavat tekijät
Laattarakenteiden värähtelykäyttäytymiseen vaikuttavat mm. rakenteen taivutusjäykkyys, käytettävistä materiaaleista ja rakenteen reunaehdoista riippuva vaimennussuhde, rakenteen massa sekä rakenteen ominaistaajuus (Jarnerö 2014; Ljunggren 2006; Schirén & Swahn 2019). Rakenteen massa sekä jäykkyys määrittävät ominaistaajuuden, kun taas vaimennus määrittää miten nopeasti värähtelevä rakenne palaa takaisin tasapainoasemaansa (Jarnerö et
14
al. 2015; Ljunggren 2006; Schirén & Swahn 2019; Weckendorf et al. 2008). Laattarakentei-den värähtelyanalyysissä on tärkeää huomioida, että rakenne saattaa värähdellä eri taajuuk-silla, joista jokainen aiheuttaa omanlaisensa värähtelymuodon rakenteelle (Schirén & Swahn 2019). Värähtelymuotoon vaikuttavat pitkäliti samat tekijät, kuin laattarakenteen värähtely-käyttäytymiseen yleensä (Jarnerö 2014), värähtelyyn vaikuttavat tekijät on lueteltu aiemmin tässä kappaleessa.
Puurakenteisten laattarakenteiden, joiden ominaistaajuus on yli 8 Hz tapauksessa on huo-mattu, että värähtelyiden luonne on lyhytaikaista (Hu & Gagnon). Luonteeltaan lyhytaikaista värähtelyä voidaan kontrolloida helposti hallitsemalla rakenteen massan ja jäykkyyden kom-binaatioita (Hu & Gagnon 2012). Rakenteen massaa on suhteellisen helppo arvioida tai muuttaa tarpeen mukaan esimerkiksi, jos lattian alinta ominaistaajuutta halutaan pienentää, suurempi massa johtaa pienempään ominaistaajuuteen, mikäli rakenteen jäykkyys ei kasva lisätyn massan kanssa samassa suhteessa (Schirén & Swahn 2019). Rakenteen taivutusjäyk-kyys vaikuttaa herätteen aiheuttamaan muodonmuutokseen eli taipumaan (Schirén & Swahn 2019; Toratti & Talja 2006). Taivutusjäykkyyttä on massan tavoin suhteellisen helppo arvi-oida ja tarpeen tullen kasvattaa. Jäykkyyttä varvi-oidaan yksinkertaisimmin kasvattaa kasvatta-malla rakennepaksuutta esimerkiksi pintavaluin. Pintavalut mahdollistavat myös tehok-kaamman kuormien jakautumisen kantavalle laatalle sekä rakenteen kokonaismassan kas-vattamisen, jolloin myös rakenteen värähtelyominaisuudet paranevat (Jarnerö 2014; Schirén
& Swahn 2019; Toratti & Talja 2006). Pintavalujen kanssa on huomioitava, että valun on toimittava rakenteellisesti yhdessä puulaataston kanssa, jotta sen jäykkyys voidaan analyy-sissä huomioida. Mikäli kuitenkin laattarakenteen taivutusjäykkyys on kantosuuntaa vastaan kohtisuoraan suuntaan huomattavasti heikompi värähtelymuotojen määrä kasvaa ja näin ol-len heikentää värähtelyominaisuuksia verrattaessa molempiin suuntiin suuren taivutusjäyk-kyyden omaavaan rakenteeseen (Jarnerö 2014).
Laattarakenteiden vaimennuskertoimen arviointi on huomattavasti haastavampaa, kuin mas-san tai taivutusjäykkyyden arviointi (Jarnerö 2014; Schirén & Swahn 2019). Rakenteen vai-mennus kerroin riippuu kaikista rakenteeseen liittyvistä komponenteista ja niiden vaimen-nuskertoimista (Jarnerö 2014), esimerkiksi puurakenteisen välipohjan vaimennuskertoimeen vaikuttavat eri materiaalien ja materiaalikerrosten välinen kitka, materiaalien väliset liitokset sekä koko laattarakenteen reunojen tuentatavat (Schirén & Swahn 2019). Vaimennuskertoi-meen vaikuttavat myös rakenteeseen liittyvät sekundääriset rakenteet, kuten alakatot, väli-seinät ja lopulta myös huonekalut (Schirén & Swahn 2019). Erilaisten rakenteiden värähtely- ja vaimentumisominaisuuksia on pyritty mittaamaan laboratorio-olosuhteissa, minkä jälkeen kertoimille on annettu karkeita arvioita, joita voidaan hyödyntää rakenteiden mitoituksessa (Jarnerö et al. 2015). Värähtelyn vaimennuksesta on kerrottu tarkemmin kappaleessa 2.2.5.
2.2.4 Resonanssi
Resonanssiksi kutsutaan ilmiötä, jossa värähtelevään systeemiin vaikuttavien pakkovoimien aiheuttamat taajuuskomponentit yhtyvät tai ovat erittäin lähellä systeemin esimerkiksi laat-tarakenteen ominaistaajuutta (Jarnerö 2014; Salonen 2019; Törnqvist & Talja 2006). Pakko-voima voi olla esimerkiksi välipohjarakenteen päällä kävelevä ihminen, jonka askeleen taa-juus on yhtenevä välipohjarakenteen ominaistaajuuden kanssa. Resonanssissa rakenteen vä-rähtely vahvistuu voimakkaasti, ilmiötä on havainnollistettu kuvassa 8. Mikäli vävä-rähtely on täysin vaimentamatonta värähtelyamplitudi kasvaa kohti ääretöntä ja riski systeemin tai
15
rakenteen vaurioitumiselle kasvaa (Talja et al. 2008), käytännössä rakenteissa on kuitenkin aina jonkin verran vaimennusta (Salonen 2019).
Resonanssiin riski pienenee merkittävästi jo pienelläkin vaimennuksella (Salonen 2019), vaimennuksen merkitystä värähtelyamplitudin kasvuun on havainnollistettu kuvassa 9. Re-sonanssi-ilmiöstä on huomioitava, että amplitudi ei todellisuudessa koskaan kasva äärettö-mäksi, koska rakenteissa on aina jonkin verran vaimennusta (Salonen 2019). Vaimennuksen puute on usein suurin tekijä resonanttiin värähtelyyn (Ljunggren 2006).
Kuva 8. Kävelyherätteen aiheuttama laattarakenteen resonanssivärähtely (Jarnerö 2014, s.14) Rakenteiden suunnittelun kannalta resonanssin välttäminen on keskeistä (Salonen 2019), tämä korostuu erityisesti puurakenteisissa laatoissa, kuten CLT-välipohjissa, jotka ovat luonteeltaan korkeataajuuksisia ja kevyitä rakenteita, mikäli rakenteen värähtelyä ei erityisin keinoin vaimenneta. Vaimennuksen puuttuessa resonanssin todennäköisyys kasvaa ja raken-teen kiihtyvyys saattaa nousta ihmisten kannalta epämiellyttäväksi (Weckendorf et al. 2015).
Kuva 9. Vaimennussuhteen vaikutus värähtelyamplitudin kasvuun (Salonen 2019, s.15)
16
Matalataajuuslattioilla on korkeataajuuslattioita suurempi riski resonanssille (Jarnerö 2014), mutta niille ominainen suuri massa sekä riittävä taivutusjäykkyys kuitenkin pienentävät ra-kenteen kiihtyvyyttä värähtelytilanteissa, eikä värähtelyamplitudin kasvu ääretöntä kohti ole usein ongelma. Matalataajuuslattioiden vaimennus on usein heikompaa, kuin korkeataajuus-lattioilla (Weckenderf et al. 2008)
2.2.5 Värähtelyn vaimentaminen
Kuten edellisessä kappaleessa todettiin suurin syy resonanssille, on usein vaimennuksen puute, jonka takia rakenne on värähdellessään alttiimpi vakavalle vaurioitumiselle. Vaimen-nuksen arviointi on kuitenkin laskennallisesti vaikeaa, sillä se riippuu useista eri tekijöistä (Jarnerö 2014; Schirén & Swahn 2019), kuten kappaleessa 2.2.3 todettiin, näitä tekijöitä ovat esimerkiksi laatan rakenne, liitokset ympäröiviin rakenteisiin, tuentojen toteutus ja sekun-dääristen rakenteiden vaikuts (Lin & Gagnon 2012). Värähtelyn vaimennuksen tai vaimen-nussuhteen määrittely on tärkeä osa-alue laattarakenteiden värähtelyn tutkimuksessa, sillä sen vaikutukset rakenteen värähtelyamplitudiin ja mitoitukseen ovat merkittävät (Jarnerö 2012). Mitoituksen kannalta vaimennus on merkittävä, koska värähtely on usein puuraken-teita mitoittavin parametri (Zhang et al. 2013).
Rakenteellisella vaimennuksella tarkoitetaan rakenteen ominaisuuksista riippuvaa värähte-lyenergian hälventymistä, mikä palauttaa rakenteen lopulta tasapainotilaan (Kareem & Gur-ley 1996; Jarnerö 2014). Värähtelyn vaimentuessa värähtelyenergia muuttuu lopulta lämpö-energiaksi ja hälvenee ympäristöön (Jarnerö 2014). Värähtelyn vaimentumismekanismeja rakenteilla tai systeemeillä on yhtä monta, kuin tapoja, jolla mekaaninen värähtelyenergia pystyy muuntumaan lämpöenergiaksi (Kareem & Gurley 1996).
Värähtelyn vaimentumisilmiötä voidaan helpoiten kuvailla yhden vapausasteen omaavan systeemin vapaan värähtelyn vaimenemisella (Kuva 6). Kuvan 6 värähtelevässä systeemissä systeemin kokonaismassa on kuvattu yhdellä jäykällä kappaleella. Systeemi kokee harmo-nista värähtelevää liikettä, kun se vapautetaan alkuasemastaan, jolloin palauttavat voimat (mm. veto, puristus, systeemissä vaikuttavat leikkausvoimat, tai systeemiin vaikuttava pai-novoima) yrittävät palauttaa sen tasapainoasemaansa. Tämä johtaa systeemin edestakaiseen liikkeeseen tasapainoaseman ympärillä. Ilmiötä voidaan kuvata matemaattisesti Newtonin 2. lain avulla, esitettävät kaavat pohjautuvat jo luvussa 2.2.1 esiteltyihin värähtelyilmiön teoriapohjan esittelyyn:
𝐹𝑝+ 𝐹𝑣 = 𝑚𝑎 ( 12 )
missä, Fp on systeemin palauttava voima
Fv on systeemin värähtelyä vaimentava voima m on systeemin massa
a on systeemin kiihtyvyys
Kun oletetaan, että systeemin jäykkyys k ja vaimennusta kuvaava parametri c ovat vakioita yhtälö 12 voidaan esittää samassa muodossa, kuin yhtälö 1 asettamalla voimavektori arvoon nolla. Tämän jälkeen seuraamalla kappaleen 2.2.1 analogiaa, voidaan lopulta määritellä systeemin vaimentamaton ominaistaajuus:
17 𝜔𝑛 = 2𝜋𝑓𝑛 = √𝑘
𝑚 ( 13 )
Vaimennussuhde kuvaa vaimmennukseen liittyvän parametrin c suhdetta kriittiseen vaimennukseen (Weckendorf et al. 2008). Kriittinen vaimennus kuvaa viskoosisen vaimennuksen pienintä arvoa, jolla systeemissä ei ilmene värähtelyä, kun se vapautetaan alkutilastaan (Labonnote 2012), arvo on riippuvainen systeemin massasta ja jäykkyydestä ja näin ollen myös värähtelyn ominaistaajuudesta. Kriittinen vaimennus on määritelty seuraavasti:
𝑐𝑐𝑟 = 2𝑚𝜔𝑛 = 2√𝑘𝑚 ( 14 )
Yhtälön 14 perusteella voidaan edelleen määrittää vaimmenussuhde seuraavasti:
ξ = c
ccr = c
2√km= c𝜔n
2k ( 15 )
Kuten kaavasta 15 nähdään vaimennussuhde on dimensioton luku, joka voidaan ilmaista myös prosentteina. Systeemiä, jonka ξ < 1 kutsutaan alivaimennetuksi, mikäli ξ >1 systeemi on ylivaimennettu ja, jos ξ =1 systeemi on kriittisesti vaimennettu, systeemin värähtelyä voi tapahtua vain alivaimennetussa tilanteessa (Labonnote 2012). Kriittisen -sekä yli- ja alivaimennuksen merkitystä värähtelyamplitudiin on havainnollistettu kuvassa 10.
Kuva 10. Vaimennussuhteen suuruuden vaikutus värähtelyamplitudiin (Salonen 2019, s.10) Rakenteellinen vaimennus voidaan jakaa materiaaliominaisuuksista riippuvaan vaimentumi-seen ja rakenteen osien rajapinnoista eli toisin sanoen liitoksista riippuvaan vaimentumivaimentumi-seen (Kareem & Gurley 1996). Materiaalista riippuvainen vaimennus pohjautuu siihen, että kiin-teät materiaalit, kuten rakennusmateriaalit tarvitsevat aikaa reagoidakseen tiettyyn kuor-maan tai muuhun ärsykkeeseen (Labonnote 2012). Materiaalista riippuva vaimennukseen vaikuttaa mm. materiaalin tyyppi (orgaaninen vai epäorgaaninen), valmistusmenetelmät sekä viimeistelyt ja mahdolliset pintakäsittelyt (Jarnerö 2014; Kareem & Gurley 1996).
Tämä korostuu erityisesti puurakenteiden tapauksessa. Puu on orgaaninen materiaali, joka sisältää luonnollisia polymeerejä sekä luonnollisia epälineaarisuuksia, kuten oksakohtia, syi-den rajapintoja ja epäpuhtauksia, jotka kaikki vaikuttavat rakenteen tai systeemin
18
vaimennukseen (Labonnote 2012). Nämä mikrorakenteen virheet aiheuttavat materiaalissa sisäistä kitkaa sen kohdatessa erilaisia dynaamisia kuormituksia ja aiheuttavat näin värähte-lyn vaimentumiseen johtavan ilmiön (Labonnote 2012).
Rakenteen rajapinnoista riippuva vaimennus aiheutuu erilaisten liitosten välisistä kitkavoi-mista, vaimennusta aiheuttavat liitokset voivat olla mm. rakennuksen rungon tai eri raken-nekomponenttien välisiä liitoksia, esimerkiksi välipohjarakenteiden liitoksia väliseiniin tai erilaisiin verhoilurakenteisiin, kuten asennuslattioihin tai alakattojärjestelmiin (Kareem &
Gurley 1996; Labonnote 2012). Kitkaa syntyy rakenteiden rajapinnoissa, kun vallitsevista kuormista tai muista dynaamisista ärsykkeistä johtuva mekaaninen energia muuttuu lämpö-energiaksi liitoskohdissa ensin rakenteiden liike-lämpö-energiaksi, minkä jälkeen rajapintojen kon-taktien kautta lämpöenergiaksi (Labonnote 2012). Rajapinnoissa dynaamisten kuormien ai-heuttama värähtelyenergia muuntuu lämpöenergiaksi pääasiassa leikkausvoimien ja lokaa-lien taipumien kautta (Labonnote 2012). Rakenteen rajapinnoista aiheutuvaa värähtelyn vai-mennusta voidaan pitää vaimennustyypeistä merkittävämpänä, materiaaliominaisuuksista riippuvan vaimennuksen suhde rakenteen rajapinnoista riippuvaan vaimennukseen on rapor-toitu eri tutkimuksissa olevan noin 1:6 (Labonnote 2012).
Ihmiset toimivat erinomaisina vaimentimina värähteleville laattarakenteille (Lenzen 1966).
Ihmiset pystyvät absorboimaan värähtelyenergiaa tehokkaasti ja näin vaimentamaan laatta-rakenteen värhtelyä (Lenzen 1966; Weckendorf et al. 2015). Ihmiset reagoivat lyhytaikaisiin värähtelyihin vaimentamalla niitä ja mikäli vaimennus hälventää värähtelyamplitudin riittä-vän nopeasti, ihminen ei välttämättä huomaa rakenteen värähtelyä (Lenzen 1966). Lenzen (1966) huomasi ilmiön tutkiessaan betonilaattojen värähtelyä, tutkimuksessa havaittiin il-miö, kun erään koulun opettajat alkoivat koulupäivien jälkeen tuntea epämielittäviä raken-teista kantautuvia värähtelyjä. Luokat olivat tällöin tyhjillään, jolloin ihmisistä johtuvaa vä-rähtelyn vaimentumista ei tapahdu. Koulupäivien aikana luokkien ollessa täynnä oppilaita epämiellyttävää värähtelyä ei enää havainnoitu. Värähtelevän rakenteen päällä olevat ihmi-set siis kasvattavat rakenteen vaimennussuhdetta (Weckendorf et al. 2015).
Pysyvän kuorman eli käytännössä rakenteen oman painon kasvattamisella on päinvastainen vaikutus vaimennussuhteeseen, kuin henkilömäärän eli hyötykuorman kasvattamisella (Weckendorf et al. 2008). Ilmiö voidaan havaita kaavan 15 perusteella, kaavan mukaan ra-kenteen massan kasvaessa rara-kenteen vaimennussuhde pienenee. Tästä johtuu myös korkea-taajuuslattioiden suurempi vaimennussuhde matalataajuuslattioihin verrattaessa. Ilmiön huomasi myös Lenzen (1966) tutkiessaan betonilattioiden värähtelyjä, tutkimus toteutettiin kokeellisin menetelmin asettamalla betonirakenteisen laatan päälle betonisylintereitä simu-loimaan pysyvää kuormitusta. Tutkimuksessa havaittiin, että betonisylintereillä kuormitetun rakenteen vaimennussuhde oli merkittävästi alhaisempi, kuin ilman ylimääräistä pysyvää kuormaa (Lenzen 1966). Tutkimusten löydökset näkyvät myös nykyisen puurakenteiden suunnittelustandardin Eurokoodi 5:en ominaistaajuuden laskentakaavassa (Weckendorf et al. 2008). Eurokoodilaskentaan tutustutaan tarkemmin kappaleessa 2.3.
Puurakenteiden ja kevytrakenteisten teräsrakenteiden vaimennuskertoimille on löydetty eri-laisia arvoja useissa eri tutkimuksissa. Standardit määrittelevät vaimennuskertoimen nor-maaleille kevytrakenteisille lattioille olevan 1 % (SFS-EN 1995-1-1). Tutkimuksissa on huo-mattu, että mitattuun vaimennuskertoimen arvoon vaikuttaa suuresti mittausolosuhteet, ku-ten ympäröivien rakenteiden valmiusaste, liitosku-ten toteutustavat ja suoritetaanko mittaukset työmaalla vai laboratorio-olosuhteissa (Jarnerö et al. 2015; Hamm et al. 2010). Arvoissa on
19
pientä hajontaa, sillä ne on toteutettu hieman eri järjestelyin verrattuna toisiinsa, mutta ne antavat hyvän yleiskuvan puurakenteiden värähtely- ja vaimentumiskäyttäytymisestä. Eri tutkimuksissa mitattuja puurakenteisten laattojen ominaistaajuuksia ja vaimennussuhteita rakenteen alimmalla ominaistaajuudella on listattuna taulukossa 2. CLT-rakenteiden tapauk-sessa on myös huomattu, että niiden vaste ominaisvärähtelyyn on lyhyempi kestoinen, kuin muilla kevytrakenteisilla välipohjarakenteilla, mikä viittaa siihen, että CLT:n vaimennus-suhde olisi näitä suurempi (Weckendorf et al. 2015).
Taulukko 2. Eri tutkimuksissa mitattuja puurakenteisten laattojen ominaistaajuuksia ja vai-mennuskertoimia
Tutkimus Mitattu
ominaistaa-juus [Hz] Mitattu vai-mennussuhde
21,4 5,7 CLT-ripalaatta
Weckendorf et al.
2008 12,7–22,16 1,16–2,83 Lastulevylaatta + LVL-palkisto
Homb 2006 10,2–20,4 1,5–5,1 Ripalaatta
Ljunggren &
Åg-ren 2006 10,3 1,3 Teräsrakenteinen
liitto-laatta + teräspalkit Casagrande et al.
2018
Laboratorio-olo-suhteet
13,1 0,9 CLT-massiivilaatta
Casagrande et al.
2018
Työmaaolosuhteet
26,2 3,54 CLT-massiivilaatta
Lu & Tardif 1999 Laboratorio-olo-suhteet
8,9–12,2 2,3–7 Puurakenteinen ripalaatta
20
2.3 Eurokoodi
Eurokoodit ovat sarja eurooppalaisia standardeja, joissa on määritelty säännöt ja raja-arvot koskien rakenteiden suunnittelua ja toteutusta. Lisäohjeita eri maissa tapahtuvaan rakenta-miseen tarjoavat lisäksi Eurokoodien kansalliset liitteet, joissa on määritelty tarkemmin kan-sallisella tasolla rakenteiden suunnitteluun ja toteutukseen liittyvistä säännöistä ja raja-ar-voista. Eurokoodit perustuvat rajatilamitoitukseen ja suunnittelu on tehtävä sekä murtoraja-tilassa, jossa varmistetaan rakenteen tai rakenneosan riittävä kapasiteetti, laatta- tai palkki-rakenteiden tapauksessa taivutusmomenttia ja leikkausvoimaa vastaan, että käyttörajatilassa, jossa varmistetaan rakenteen tai rakenneosan funktionaalisuus eli, että mm. taipumat, hal-keamat ja värähtelyt ovat hyväksyttävällä tasolla. Rajatilamitoituksessa sekä vallitsevat kuormat, että materiaalin lujuutta kuvaavat arvot kerrotaan osavarmuuskertoimilla, jotka kuormien tapauksessa kasvattavat niiden arvoa ja materiaaliominaisuuksien tapauksessa pie-nentävät niiden arvoja. Näin voidaan varmistua, että rakenteet tai rakenteiden osat kestävät kohtaamiaan kuormia riittävällä varmuudella Murto- ja käyttörajatilan yleinen periaate on esitetty vastaavasti kaavojen 16 ja 17 avulla. Puurakenteita koskevat säännöt ja raja-arvot on esitetty Eurokoodi 5:ssä (SFS-EN 1995-1-1).
𝑆𝑑 ≤ 𝑅𝑑 ( 16 )
missä, Sd kuvaa kuormien tai muiden ärsykkeiden vaikutusten suunnitteluarvoa Rd kuvaa valitun materiaalin kestävyyden suunnitteluarvoa tietyssä kuormitustilaneessa
𝑆𝑑 ≤ 𝐶𝑑 ( 17 )
missä, Cd kuvaa standardissa tai kansallisissa liitteissä määriteltyä arvoa rakenteen toiminna vaatimuksista
Puurakenteiden värähtelyt mitoitetaan käyttörajatilassa, sillä ne vaikuttavat suurimmilta osin ihmisten mukavuuteen, eivätkä niinkään rakenteiden kestävyyteen erilaisia kuormia vastaan.
Eurokoodi 5:en mukaan värähtelymitoituksessa on tarkistettava seuraavat asiat:
• Rakenteen ominaistaajuus on oltava vähintään suurempi kuin 8 Hz, mikäli ominais-taajuus on alle hyväksytyn, rakenteelle on suoritettava erityistarkasteluja (tarvittavia erityistarkasteluja ei ole standardissa määritelty). Ominaistaajuuden alarajasta voi-daan antaa tarkemmat ohjeet kansallisissa liitteissä. Ominaistaajuuden 8 Hz raja-arvo perustuu ihmisten kykyä aistia värähtelyjä. Ihmiset ovat herkimpiä 4–8 Hz taajuus-alueella tapahtuvalle värähtelylle, minkä takia lattian ominaistaajuuden on oltava tätä suurempi
• Suurin lyhytaikainen pystysuuntainen taipuma, jonka 1kN suuruinen staattinen pis-tekuorma aiheuttaa rakenteelle, kuorman jakautuminen huomioituna on oltava pie-nempi kuin raja-arvo a (Kuva 11). Raja-arvot määritellään kunkin maan kansallisessa liitteessä tarkemmin. Kuorman vaikutuspiste pitää valita siten, että se aiheuttaa
21
rakenteelle maksimaalisen taipuman (yksiaukkoiselle rakenteella jännevälin keski-kohdassa)
• Suurin yksikköimpulssikuorman [1 Ns], jonka vaikutuspiste voi sijaita missä vain rakenteessa, aiheuttama värähtelynopeus v [m/Ns2] on oltava pienempi kuin sitä ra-joittava arvo b(fξ-1), jossa b on parametristä a riippuva nopeusvastetta kuvaava vakio (Kuva 11), f on rakenteen ensimmäinen ominaistaajuus ja ξ on vaimennussuhde
Kuva 11. Taipuman ja nopeusvasteen välinen suositeltava yhteys (SFS-EN 1995-1-1, s.52)
Tässä kappaleessa esitellään puurakenteiden suunnittelustandardin Eurokoodi 5:en (SFS-EN 1995-1-1) mukainen värähtelymitoitus. Kappaleessa käydään läpi laskennan toteutus ja esi-tellään siihen liittyvät kaavat ja kerrotaan mihin kaavat perustuvat. Kappaleessa käsiesi-tellään ensin Eurokoodin mukainen ominaistaajuuden laskenta, siihen liittyvät kaavat sekä niiden tausta. Tämän jälkeen käsitellään taipuman rajoittamiskriteeri, sen laskenta ja merkitys vä-rähtelymitoituksessa. Kappaleessa esiteltävät kaavat ja suunnitteluperusteet perustuvat Suo-men kansalliseen liitteeseen Eurokoodi 5:stä. Kappaleen lopuksi esitellään lyhyesti valmis-teilla oleva uusi Eurokoodiluonnos ja sen mukainen värähtelymitoitus.
2.3.1 Ominaistaajuuden laskenta
Rakenteiden ominaistaajuuksien laskenta perustuu Leissan (1969) ja Ohlssonin (1988) tut-kimuksiin ja niissä esitettyihin yhtälöihin (Homb 2006). Esitettävät kaavat on johdettu kap-paleessa 2.2 esiteltyjen yhtälöiden pohjalta. Neliskulmaisten isotrooppisten nivelellisesti tu-ettujen laattarakenteiden ominaistaajuudet voidaan määrittää yhtälöstä:
𝑓𝑚𝑛 = λ𝑚𝑛
2𝜋𝑙2× √𝑚𝐷
𝑟𝑎𝑘 ( 18 )
missä, λmn on laatan sivujen pituuksista riippuva parametri
22 l on jännevälin pituus
D on laatan taivutusjäykkyys (Kaava 6) mrak on rakenteen massa
Ortotrooppisten laattojen tapauksessa ominaistaajuudet voidaan määrittää kaavasta:
fmn = 𝜋
Dx on laatan taivutusjäykkyys kantosuuntaan
Dy on laatan taivutusjäykkyys kantosuuntaa vastaan kohtisuoraan
Dxy on laatan yhdistetty taivutusjäykkyys, joka on määritelty seuraavasti:
𝐷𝑥𝑦 = νDx+ 2Dk ( 20 )
missä, Dk =Gℎ3
12 ( 21 )
missä, G on materiaalin leikkausmoduuli
missä, G on materiaalin leikkausmoduuli