IEC 34-16:n määrittelemät magnetoinnin mallit
3 SIMULOINTIMENETELMÄT
3.1 P iiri - ja kenttäyhtälöiden ratkaisu
Elementtimenetelmä
FEM (finite element method) eli elementtimenetelmä on numeerinen tietokonemenetelmä, joka perustuu jatkuvien suureiden diskretointiin. Sitä käytetään lähes kaikilla tekniikan alueilla reuna-arvotehtävien ratkaisemiseen. Sähkökoneen magneettikentän ratkaiseminen on monimutkaista, koska sen kenttä on kolmiulotteinen ja ajasta riippuva. Raudan kyllästymisen takia yhtälöistä tulee epälineaarisia. Lisäksi yhtälöt ovat kytkeytyneet käämien piiriyhtälöihin ja roottorin liikeyhtälöön. Kenttä voidaan kuitenkin ratkaista kaksiulotteisena eli koneen poikkileikkauksen alueella, jolloin ratkaisu yksinkertaistuu huomattavasti. Kentästä ratkaistaan vektoripotentiaali, jolla kaksiulotteisessa tapauksessa on vain koneen akselin suuntainen komponentti.
Elementtimenetelmässä tutkittava alue jaetaan pienempiin osiin eli elementteihin.
Ratkaistavaa suuretta eli tässä tapauksessa vektoripotentiaalia kuvaa funktio, yleensä polynomi. Approksimaatio on mahdollisimman lähellä todellista arvoa, kun kenttäenergia minimoituu. Poissonin yhtälöön
Vu1 +g = 0 (3.1)
liittyvä energiafunktionaali on
(3.2)
Yhtälössä и on potentiaalin tarkka ratkaisu, g on kentän lähde ja Q ratkaistava alue.
Vektoripotentiaali ratkaistaan solmupisteissä, ja koska se on jatkuva elementtien välisillä rajoilla, sitä voidaan interpoloida solmupisteiden välillä polynomeilla.
(3.3) Mh=X^j«j
M
Yhtälössä щ on potentiaali ja N¡ muotofunktio solmupisteessä j. Energiafunktionaalin arvon minimistä saadaan yhtälöryhmä, jonka ratkaisu on vektoripotentiaalin approksimaatio.
S(u) u = f (3.4)
Kaksiulotteisessa tapauksessa kerroinmatriisin S alkiot ovat muotoa 5у=|к(У^).(У^№ = /к
ЭN{ dTVj dTVj d/\j
dx dx dy dy dO. (3.5)
jossa k on väliaineeseen liittyvä kerroin. Integraali lasketaan elementti kerrallaan, jonka jälkeen koko integraali saadaan laskemalla elementtien osuuden yhteen
i=IJ*
Johtimet voidaan jakaa massiivisiin ja ohuisiin johtimiin. Staattorikäämitys mallinnetaan yleensä ohuilla johtimilla, mutta massiivisissa johtimissa pyörrevirrat täytyy ottaa huomioon. Virran ja jännitteen välinen riippuvuus saadaan yhtälöstä
J_ = -(7^=-oV<j> dA (3.8)
dt
Yhtälössä <7 on johtavuus, A on vektoripotentiaalivektori, ф on sähkökentän skalaaripotentiaali ja J on virrantiheysvektori. Kaksiulotteisessa mallissa vektoripotentiaali ja virrantiheys ovat z-akselin suuntaisia. Lisäksi, kun integroidaan
virrantiheys johtimen poikkipinnan S yli, saadaan massiivisen johtimen tapauksessa virran yhtälöksi
r dA (7 S i =
-<7\—dS+----i dt l (3.9)
jossa / on johtimen pituus. Kun sijoitetaan elementtimenetelmän approksimaatio, saadaan yhtälöryhmä
Sa + Tà = Fi (3.10)
jossa matriisien alkiot ovat K, r
Kun mukaan otetaan myös käämien jänniteyhtälöt
u = Ri + Li + Gä (3.13)
saadaan lopullinen yhtälöryhmä '5 -F— -- a + — —T 0" à — "0"
0 R i G L i_ и (3.14)
Koska väliaine on epälineaarista, kenttäsuureiden aikariippuvuus täytyy ratkaista diskreetisti esimerkiksi Crank-Nicholsonin menetelmällä
. .11 Э A Ak+l — Au j “37
_ 2 I dt k+1 dA
dt >A t (3.15)
Kuvassa 19 on turbogeneraattorin ensimmäisen asteen elementeistä koostuva verkko.
Kuva 19. Turbogeneraattorin elementtiverkko.
Piirimalli
Magnetointijärjestelmä ja virtapiiri mallinnetaan SIMULINK-ohjelmalla. Se ei ole piirisimulaattori, mutta sillä voidaan mallintaa komponentteja tilayhtälöiden avulla.
SIMULINK myös sisältää Power System Blockset -kirjaston, jossa on valmiita sähkökone- ja muuntajamalleja sekä tehoelektroniikan komponentteja. Kirjasto sisältää kaksi tahtikoneen mallia, joista toinen on yksinkertainen perusmalli ja toinen operaattori-induktansseilla toteutettu standardimalli. Malliin syötetään generaattorin nimellisjännite ja -teho sekä aikavakiot ja reaktanssit. Myös kyllästyminen voidaan tarvittaessa ottaa huomioon tyhj äkäyntikäyrän avulla. Tehoelektroniikan komponenteille on kirjastossa valmiina mm. diodi- ja tyristorisillan mallit sekä tyristorisillan ohjaus, johon syötetään synkronointijännitteet ja ohjauskulma.
PSB:ssä epälineaariset mallit kuvataan jänniteohjattuina virtalähteinä ja piiristä muodostetaan ratkaistava tilamalli. Komponentteja voidaan yhdistää muiden kirjastojen malleihin tai itse ohjelmoituihin lohkoihin eli S-funktioihin. S-fimktioita voi ohjelmoida Matlab-kielen lisäksi esimerkiksi C:llä tai Fortranilla.
PSB-malleja sisältävän piirin simuloiminen on melko hidasta. Simulointia voidaan nopeuttaa käyttämällä diskreettejä malleja, joita on myös valmiina PSB-kirjastossa.
Malleja voi rakentaa itse lohkoista ja yhdistää ne PSB-piiriin ohjattujen jännite- ja virtalähteiden avulla. Tästä on esimerkkinä diskreetin integrointilohkon avulla mallinnettu induktanssi Kuvassa 20. PSB-mallit taas yhdistetään SIMULINK-malliin jännite- ja virtamittauslohkojen avulla. Tässä työssä PSB-komponenteilla on mallinnettu sähköverkko, generaattorimuuntaja ja magnetointimuuntaja. Valmis tyristorisillan malli on havaittu liian hitaaksi, joten suuntaaja on mallinnettu SIMULINK:ssä luvun 2 mukaisesti.
G>
Voltage Measurement
■£>—1 т
Discrete-Time Controlled Current Source Integrator
-+Œ) Output to PSB
Kuva 20. SIMULINK-lohkoista koottu induktanssin malli.
Piirimallin yhdistäminen FEM-malliin
Kanerva, (2001) on esittänyt FCSMEK-elementtimenetelmäohjelman (Arkkio, 1987) yhdistämisen SIMULINK-ohjelmaan. Tässä piiri- ja kenttäyhtälöt ratkaistaan itsenäisesti ja muuttujat siirtyvät niiden välillä joka aika-askeleella. Sähkökoneen FEM-malli on toteutettu S-funktiona, jolloin sitä käsitellään SIMULINK-mallissa yhtenä lohkona. Ohjelmien välinen tiedonsiirto tapahtuu kahdella tavalla:
Välitiedostojen avulla tallennetaan esimerkiksi koneen laskettu alkutila, mutta piirin muuttujat siirtyvät ohjelmien välillä jokaisella aika-askeleella. Välitiedostot ovat MAT-tiedostoja ja niitä käytetään silloin, kun täytyy siirtää suuri määrä dataa ohjelmien välillä. Kun tiedonsiirto tapahtuu joka aika-askeleella, ohjelmien välinen rajapinta on toteutettu muiden ohjelmointikielien hyödyntämiseen tarkoitettujen MEX-funktioiden avulla. Välitiedostot, eli koneen elementtiverkko ja alkutila,
voidaan laskea ensin FCSMEK-ohjelmalla ja muuntaa sen jälkeen MAT-tiedostoiksi SIMULINK:ssä tapahtuvaa aika-askellaskentaa varten. Ne voidaan myös laskea suoraan MATLAB:ssa, koska kaikki tarvittavat ohjelmat on myös yhdistetty siihen MEX-funktioilla.
PSB-malli liitetään FEM-malliin liitäntälohkon avulla. Lohkossa on jännitemittaukset PSB-piiristä tulevista vaihejännitteistä, jolloin FEM-malliin saadaan pääjännitteitä kuvaavat puhtaat lukuarvot. Lohkosta saadaan myös vaihejännitteitä kuvaavat lukuarvot esimerkiksi tyristorisiltaa varten. Tahtikoneen SIMULINK-lohko on Kuvassa 21.
PSB - FEM interface for3-phase machinel
OUTPUT: stator 1 —
OUTPUT: stator 3 — OUTPUT: rotor >
OUTPUT: torque >
INPUT: stator 3 OUTPUT: speed >
OUTPUT: angle >
OUTPUT: flux ST 1 >
> INPUT: rotor
OUTPUT: flux ST2 >
> INPUT: torque
OUTPUT: flux ST3 >
OUTPUT: flux RT >
Synchronous machine (FEM model)
Kuva 21. Tahtikoneen FEM-malli SIMULINK:ssä.