Mittarin rakenne

Määrällisessä tarkastelussa aritmetiikka-algebra-aluetta käsitellään mittarin viidessä testissä (ks. liite 2), jotka vastaavat tutkimuskysymykseen 1:

• Kyky suorittaa numeerisia laskuja (Num), missä tarkastellaan numero-osaamista rationaalilukualueella. Testiä voidaan pitää myös automati-soitumisen astetta mittaavana testin aikarajoituksesta johtuen.

• Kyky ymmärtää matematiikan periaatteita ja soveltaa niitä numeerisesti (NumRak). Aikarajoituksella varmistetaan, että suoritukset perustuvat rakenteiden tarkasteluun, eivät proseduureihin.

• Kyky ymmärtää matematiikan rakenteita yleisellä tasolla (YlRak).

• Kyky suorittaa arviolaskuja (Arv).

• Kyky soveltaa matematiikkaa sanallisiin tehtäviin (Sov).

Edellä mainittujen lisäksi mittariin on sisällytetty ajattelun tason mittaaminen, sekä opetussuunnitelmien vaikuttavuuden arvioiminen tarkastelujaksolla:

• Kompetenssiajatteluun liittyvä osaaminen tulee esille mittarin kaikissa testeissä Wilsonin tasoilla arvioituna.

• Opetussuunnitelman muutosten vaikutusta osaamiseen arvioidaan mit-tarin eri osien raportoinnin yhteydessä.

Testien alkuun jätettiin helppoja osioita tehtävien vaikeutuessa vähitellen.

Vaikka näin alennettiin laskennallista reliabiliteettia, tuntui menettely pe-rustellulta. Testit saatiin lähemmäksi oppilaille tuttuja koulukokeita, lisättiin motivaatiota yrittää osioita, torjuttiin osaltaan koepelkoa ja palveltiin yleisesti koulun kasvatustavoitteita. Vertailuaineistona on vuosina 1981 ja 1987 kerätty 351 oppilaan aineisto peruskoulun päättöluokalta. Testit tehtiin kokonaisuu-dessaan ilman laskinta.

Numeerisen kyvyn testiä (Num), joka on produktityyppinen sisältäen numee-risia laskutoimituksia positiivisilla ja negatiivisilla rationaaliluvuilla, voi pitää päässälaskutestinä (mental arithmetic), koska instruktiolla vastausaika oli ra-joitettu viiteen minuuttiin (liite 1, instruktio). Myöskin testin voidaan samasta syystä ajatella mittaavan työmuistin kapasiteettia ja tiedon automatisoitumis-astetta sekä hallinnan syvällisyyttä vaikeampien päässälaskujen sovelluksissa.

Testin osioista (Num1–Num25) annettiin pisteitä 1, 2 tai 3 sen mukaan, oliko vastaus oikein vai väärin, tai puuttuiko tehtävän ratkaisu. Numeerisen laske-miskyvyn pistemääräksi annettiin osioista saatu pistesumma.

Numeerisessa muodossa olevia rakenteita (NumRak) testattiin 20:llä tosi-epätosi-väitteellä. Aikarajoituksen avulla varmistettiin, että oppilaat suorittivat arviointeja, eivätkä käyttäneet algoritmeja. Testin osioista (NumRak1 – Num-Rak20) annettiin pisteitä 1, 2 tai 3 sen mukaan, oliko vastaus oikein vai väärin, tai puuttuiko tehtävän ratkaisu. Testiin liittyi neljän minuutin aikarajoitus.

Yleisessä muodossa olevia rakenteita testattiin osioilla (YlRak1-YlRak9).

Jokaisessa osiossa oli vastausvaihtoehtoja viisi. Yleistä muotoa olevien raken-teiden pistemääräksi annettiin osioista saatu oikeiden vastausten määrän muo-dostama pistesumma. Eri osioita analysoimalla saatiin tietoa oppilaan ajatte-lusta. YlRak testikokonaisuuden muodostavat yhdeksän väitettä. Testiin liittyi viiden minuutin aikarajoitus.

Arviolaskennan kyvyn testinä (Arv) käytettiin lukujen ja laskutoimitusten vastausten suuruusluokan arviointiin liittyvää testiä. Aikarajoituksen avulla varmistettiin, että oppilaat suorittivat arviointeja, eivätkä käyttäneet algorit-meja. Testin osioista (Arv1 – Arv10) annettiin pisteitä 1, 2 tai 3 sen mukaan, oliko vastaus oikein vai väärin, tai puuttuiko tehtävän ratkaisu. Osioissa, jois-sa oli useampia vaihtoehtoja, kirjattiin annetun vastausvaihtoehdon numero.

Arviointikyvyn pistemääräksi annettiin osioista saatu pistesumma. Arvioinnin testissä 10 väitteen tulkitseminen viiden minuutin aikarajoituksella varmistet-tiin, että tehtävät suoritettiin arvioimalla, ei algoritmisella laskemisella.

Yleisen päättelykyvyn testinä on sanallisessa muodossa oleva osioiden (Sov1-Sov6) muodostama testi, jonka osiot pisteytettiin 2, 1 tai 0 tai -1 sen mukaan, oliko vastaus täysin oikein, osittain oikein vai väärin, vai puuttuiko se kokonaan Jos ratkaisuperiaate on oikea ja väärä vastaus johtui pienehköstä laskuvirheestä tai jos laajemman tehtävän periaate oli selvästi oivallettu vaikka tehtävää ei oltu osattu suorittaa, annettiin tehtävästä yksi piste.Yleisen päätte-lykyvyn pistemääräksi annettiin osioista laskettu pistesumma. Testiin liittyi 17 minuutin aikarajoitus.

Testit 1 ja 5, Num ja Sov, olivat tuottamistason tehtäviä, mittarin testit 2–4, missä arvioidaan matematiikan rakenteiden osaamista numeerisella ja yleisellä tasolla sekä numeerisen suuruusluokan arviointia testeillä NumRak, YlRak ja Arv olivat tunnistamistason tehtäviä

Tutkimuksessa tarkastellaan edellä esitettyjä matemaattisia kykyjä aritme-tiikan ja algebran kontekstissa Wilsonin tasojen mukaisissa luokissa. Tällöin saadaan matriisimainen esitystapa, missä toisena dimensiona ovat tarkastelta-vana olevat kykyluokat ja toisena käyttäytymistä kuvaavat tavoiteluokat. Ta-voiteluokat on saatu yhdistämällä Wilsonin ajattelun tasot ja Leinon vuonna

1977 peruskoulun opettajien tutkimuksessaan saamat luokat opetussuunnitel-mien tavoitteiden tulkinnoista:

Mittari: Num. testi Rakenteet, laskulait, nu-meerinen taso

Rakenteet, laskulait, yleinen taso

Arviointi Sovellus-tehtävät Kyvyn

komponentit N D D, I N, R N, V, R

Laskutaito,

peruskäsitteet x x x

Ymmärtäminen,

kielenkäyttö x x x x x

Soveltaminen x x x x

Analysoiminen,

uuden luominen x x x x

Kuvio 7. Mittarin matriisirakenne.

Wilsonin mallin tasojen erotteleminen ei ole yksikäsitteistä, koska toisen opis-kelijan analysointitason tehtävä voikin olla toiselle opiskelijalle entuudestaan tuttu soveltamistason tehtävä. Tästä syystä käytän pelkistettyä tehtäväluoki-tusta. Olen erottanut laskutaidon tason omaksi luokakseen tutkimustehtävän luonteen takia,

1. Laskutaito (L-taso) – algoritmia ei tarvitse osata valita, käsitteen tietä-minen riittää

2. Ymmärtäminen (Y-taso) – käsitteen valitseminen ja käyttäminen 3. Ymmärtäminen/Soveltaminen (YS-taso) – useiden vaiheiden

peräkkäi-nen käyttämiperäkkäi-nen

4. Soveltaminen/Analyysi (SA-taso) – luovuus.

Wilsonin tasot näin luokiteltuina eivät välttämättä kerro yleispätevästi oppi-laan yleisestä ajattelutasosta (vrt. esim. Silfverberg 1999), vaan pikemminkin voidaan luokitella tehtävien vaikeusastetta ja siten arvioida, minkä tasoista kognitiivista ajattelua tehtävän ratkaiseminen vähintään edellyttää. Oppilaan matemaattisen ajattelun tasoa voidaan arvioida eri sisältöalueilla poissulkevas-ti. Alimmilla tasoilla korostuvat faktojen ja algoritmien käyttämiseen liittyvät taidot. Keskimmäisillä tasoilla opiskelija hallitsee proseduureja ja kykenee sekä siirtämään että soveltamaan niitä analogialtaan samanlaisissa tilanteissa.

Ylimmillä tasoilla tarvitaan käsitteellistä tietoa ja strategiatietoa ongelmanrat-kaisutilanteissa. (Joutsenlahti 2005, 123.) Wilsonin tasot kuvaavat osaamiseen liittyviä ajattelun tasoja tietyssä kontekstissa kompetenssimerkityksessä. Vaik-ka proseptia kuvatessa käytetään samansuuntaisia sanoja, kuvaa se kuitenkin

tietyn käsitteen muodostumiseen liittyviä proseduureja ja prosesseja, ja siten Wilsonin luokat ja proseptin vaiheet eivät ole sellaisinaan vertailukelpoisia.

Laadullinen tarkastelu

2000-luvun mittarissa on osio, missä oppilaat omin sanoin kuvaavat aritmetii-kan ja algebran alueen käsitteitä ja toimintoja. Tämä mahdollistaa oppilaiden käsitysten seuraamisen mainituilla alueilla. Näin saadaan viitteitä oppilaiden ajattelusta. Tutkimus pyrkii valottamaan sitä, miten oppilaat muodostavat käsi-tyksensä aritmetiikan ja algebran alueeseen kuuluvista käsitteistä, toiminnoista ja niiden merkityksistä ja millaisia laadullisia eroja tässä esiintyy. Konstrukti-vistisen oppimiskäsityksen näkökulmasta tällaista oppilaan muodostamien to-dellisten merkitysten tutkimusta pidetään keskeisenä, koska näiden oppilaiden omien konstruktioiden tulisi olla lähtökohta uuden oppimiselle (Silfverberg 1999). Fischbein ym. (2003) korostaa myös tarkastelua eri näkökulmista to-teamalla, että kaikessa matematiikanopetuksessa opettajan on tärkeää ymmär-tää ne vuorovaikutukset, jotka vallitsevat ymmärtämiseen, muistamiseen ja ongelmanratkaisuun liittyvien intuitiivisten, formaalisten ja proseduraalisten näkökohtien välillä. Jos intuitiiviset ajatukset hänen mukaansa sivuutetaan, ne jatkavat kuitenkin vaikuttamistaan oppilaan ratkaisuprosesseissa sivuttaen teoreettiset perustellut ajatukset. Tämä vaikutus kontrolloimattomana häiritsee yleensä matemaattista ajatteluprosessia. Jos taas formaali aspekti hylätään ja luotetaan pelkästään intuitiivisiin argumentteihin, se mitä opetetaan, ei ole ma-tematiikkaa. ( Fischbein 2003.) Silloin premissien huomioiminen ja aukoton johtaminen voivat jäädä toteutumatta.

Esityksissään Tall (2004) on laajentanut prosept-teoriansa teoriaksi mate-matiikan kolmesta maailmasta ja sen osana tähdentänyt kahden asian käsit-teisiin liittyvää rinnakkaisuutta; havaintoihin tai mielikuviin perustuvien ar-gumenttien vaikutuksien ja prosessin sisältämien proseduurien ilmentymien eli proseptien yhteyttä. Proseduuri on step-by-step-algoritmi, jossa yksilö käy läpi kunkin askeleen ennen seuraavaa. Proseduurin kehittyessä ja otettaessa käyttöön erilaisia strategioita prosessi kehittyy eri ajassa ja vaihtelee eri ihmi-sillä. Tutkimuksessani luokittelen fenomenografi an keinoin oppilaiden ajatte-lua murtolukualueella. Lisäksi tarkastelen teorialähtöisellä sisällönanalyysillä, missä prosessin vaiheessa peruskoulun päättöluokkalaiset ovat murtoluku-alueella.

Tall (2004) käsittelee matematiikan kolmea maailmaa laadullisen ajattelun mallissaan. Käsitteellis-havainnollisessa maailmassa (conceptual-embodied world) intuitionismin periaatteet toteutuvat havaitsemisen osalta esimerkiksi siten, että numeroa ”viisi” ei tässä teoriassa pidetä objektina, vaan mielikuvaa

”viidestä sormesta” voidaan pitää havaittuna objektina. Numerosymbolit, kuten numero ”viisi” mahdollistavat ajattelun vaihtamisen joustavasti mentaalisesta

käsitteestä mentaaliseen prosessiin maailmassa 2. Tätä prosessia tarkastelen tutkimukseni laadullisessa osiossa kokonais- ja murtolukujen peruslaskutoimi-tuksien kontekstissa. Käsitteillä on tärkeä merkitys asioiden jäsentämiseen ja keskustelun mahdollistamiseksi. Joustavuutta lisää tässä maailmassa käsittei-den monipuolisuus. Proseptuaalis-symbolista maailmaa (proseptual-symbolic world) eli Tallin toista maailmaa luonnehditaan toiminnan (laskemisen) maa-ilmaksi, missä toiminnalliset skeemat kootaan prosepteina käsitteiksi (sisäis-tetystä prosessista tulee objekti), joiden argumentit perustuvat proseduraalisiin algoritmeihin (Tall 2003).

Tutkimuksessani analysoin, millä tasolla oppilaan ajattelu on edellä ku-vatussa prosessissa viiden tehtävän avulla, joissa oppilas omin sanoin kuvaa laskutoimituksiin liittyviä merkityksiä (luku 10). Tutkimuksen laadullisessa osiossa tarkastelen aineistossa alkeisproseptin esiintymistä kolmen kompo-nentin yhdistelmänä; matemaattisen objektin ja sitä kuvaavan symbolin tul-kintaa joko prosessina tai objektina. Tässä prosept määritellään yhdistelmänä alkeisprosepteistä, joilla on sama objekti. (Gray & Tall 1994; Tall ym. 1999.)

Koska tutkimuksen lopullinen teoria muotoutuu vuorovaikutuksessa aineis-ton kanssa, etenee tutkimus spiraalina. Tutkimuksessani teoria laajenee oppi-laiden käyttämien strategioiden luokitteluna ja toisaalta teorian laajentamisena toisen kertaluvun perspektiivistä kolmannen kertaluvun perspektiiviksi.