Kykyajattelu

1970-luvulla oppimista suunnattiin opetussuunnitelmilla tavoiteoppimiseen (luku 4). Tavoitteiden saavuttamista kaikkien osalta pidettiin keskeisenä.

Osaamiseen liitettiin konteksti kyky-käsitteellä, millä tarkoitettiin oppilaan toivottua käyttäytymistä joko tietyssä oppisisällössä tai yleisemmällä tasolla (Leino 1977). Tällä voidaan Leinon mukaan saada aikaan muutoksia myös opetussuunnitelmien yleisen tason tavoitteissa edistämällä matemaattisessa ajattelussa ja toiminnassa kokonaiskehitystä; yksilön kehittymisen ja muuttu-van yhteiskunnan tarpeiden kannalta tarkoituksenmukaisilla tietojen ja taitojen alueilla sekä itsenäisen matemaattisen tiedon hankintaan ja käyttöön tarvittavi-en työsktarvittavi-entelytapojtarvittavi-en ja mtarvittavi-enetelmitarvittavi-en omaksumisessa. (Leino 1977.)

Tutkimukseni mittari rakentuu 1970-luvun kyky-ajatteluun ja se on Paaso-sen (1979) käyttämästä mittarista sovellettu mittari peruskoulun päättöluokal-le. Tutkimuksessa käytetyt kyvyn komponentit ovat numeerinen laskeminen, matematiikan rakenteet, arviointi ja matematiikan soveltaminen sanallisissa tehtävissä. Näihin komponentteihin on päädytty yhdistämällä opetussuunnitel-man käytännöntason tavoitteet ja Treuopetussuunnitel-manin kyky-jaottelu (Kuvio 6), josta on otettu edellä perustellulla tavalla tietyt kyvyn komponentit.

R D

gf

Vz,S I gc

N V

ac

mat

Kuvio 6. Faktorianalyyttisesti määritetty matematiikan kykyrakenne (Treumann 1974, 316).

Kuvion 6 tummennetulla merkityissä komponenteissa ovat päättelyn kompo-nentit numeerisen ja verbaalisen komponentin lisäksi. Treumannin (1974) mu-kaan gc on matemaattisen kykyrakenteen se tekijä, johon voidaan helpommin vaikuttaa. Sen komponentit ovat numeerinen tekijä (N), verbaalinen tekijä (V), joka ilmenee kyvyssä ymmärtää kirjoitettua tekstiä, yleinen päättelytekijä (R), joka kuvaa loogista päättelyä ja deduktiivisen päättelyn tekijä (D) vastaavassa järjestyksessä. Lisäksi hänen tutkimukseensa nojaten gf on verraten pysyvä ky-kyrakenteen komponentti, joka jakaantuu visuaaliseen ja avaruustajun tekijään sekä induktiivisen päättelyn tekijään (I). (Paasonen 1979.) Lisäksi Treumannin matemaattiseen kykyrakenteeseen kuuluu ainespesifi komponentti mat. Siihen voidaan ajatella sisältyvän tietyyn sisältöalueeseen kuuluva tietämys

Paasonen on yhdistänyt opettajien matematiikan tavoitteet (Leino 1975a) ja Treumannin kyky-jaottelun kyvyt neljäksi komponentiksi:

• kyky suorittaa numeerisia laskuja

• kyky muodostaa numeerisessa ja yleisessä muodossa esitettyjä mate-matiikan rakenteita sekä induktion että deduktion kautta

• kyky suorittaa arviolaskuja

• kyky soveltaa matematiikkaa käytäntöön.

Numeerinen kyky

Numeerisen kyvyn suhteesta matemaattisiin kykyihin on erilaisia käsityksiä;

Krutetskii (1976) arvio laskutaitoon liittyvän kyvyn olevan verraten kaukana muista matemaattisista kyvyistä. On vastakkaisiakin käsityksiä, joiden mukaan laskutaito on tärkeä siksi, että matemaattinen kyvykkyys edellyttää laskutai-toa, mutta kääntäen laskutaito ei edellytä matemaattista kyvykkkyyttä. Tässä keskustelussa ei ole huomioitu kompetenssiajattelua.

Tutkimuksen numeerisen laskemiskyvyn testi (Num) sisältää ilman laskin-ta lasketlaskin-tavia nopeustestejä peruslaskutoimituksislaskin-ta kokonais- ja murtolukujen kontekstissa, sekä hallinnan syvällisyyttä soveltamalla niitä vaikeampiin lasku-tehtäviin. Testin aikarajoituksella tarkastellaan suoritusten automatisoitumisen tasoa, millä tarkoitetaan vakioisissa olosuhteissa tapahtuvan toiston ansiosta tehtävän suorittamisen helpottumista olennaisesti ja työmuistin kuormittavuu-den vähentymistä (ks. esim. Schneider ja Shiffrin 1977; Saariluoma 1994).

Tämä on oleellista tiedon käsittelyssä muistikapasiteetin rajoitukset huomioon ottaen. Automatisoituminen on välttämättömyys lyhytmuistin pienen kapasi-teetin takia. Toimiessaan vain mekaanisena oppimiskeinona se saattaa luoda

”kontrollivapaana” virheellistä, pinnallista ja ymmärtämätöntä tietoa.

Yleinen päättelykyky

Matemaattinen ja looginen ajattelu liittyvät läheisesti toisiinsa. Matemaatti-nen ajattelu laajasti ymmärrettynä edellyttää taitoa ajatella loogisesti ja toi-saalta se myös kehittää tätä taitoa. Tätä ajattelua voidaan sanoa päättelyksi eri muodoissaan. (Silfverberg 1999.) Silfverbergin (1999) mukaan päättely ymmärretään toimintana, joka tähtää johtopäätösten tekoon lähtöoletuksistaan käsin. Päättelykyvyn pääkomponentteina pidetään tässä tutkimuksessa yleistä päättelykykyä R (general reasoning), induktiivista päättelyä I (inductive abi-lity) ja deduktiivista päättelyä D (deductive abiabi-lity). Yleinen päättelykyky on Thurstonen mukaan loogista ajattelua, joka tulee esille kaikenlaisissa päättelyä vaativissa ongelmissa (Thurstone 1938). Yleisen päättelykyvyn testinä käyte-tään matematiikan soveltamista sanallisissa tehtävissä. Tähän testimuotoon on päädytty, koska tehtävämuoto oli oppilaille tuttu.

Induktiivinen päättelykyky

Induktiivinen päättelykyky etenee yksittäisistä tiedoista yleiseen ja vaatii siten todistuksen ollakseen pätevä. Omaksi induktiivisen päättelyn tyypikseen muun muassa Silfverberg erottaa analogisen päättelyn, jonka esimerkiksi English ja Sharry (1996) luonnehtivat strukturaalisen informaation siirroksi systeemistä toiseen. He ajattelevat eri tilanteissa olevien samankaltaisuuksien hahmotta-misen ja yleistähahmotta-misen perustuvan merkittävältä osin induktiiviseen päättelyyn.

Samoin kuin Silfverbergillä (1999), heillä käsitteenmuodostus, yleisellä tasol-la analogioiden hahmottaminen, metaforien ymmärtäminen ja käyttö, ongel-manratkaisu ja teorian muodostus ovat suurelta osaltaan induktiivista päätte-lyä. Treumannin tavoin erottelen kuitenkin tässä tutkimuksessa induktiivisen päättelyn deduktiivisesta päättelystä siten, että induktiivinen päättely nostaa yksittäisen tiedon abstraktiotasoa.

Deduktiivinen päättelykyky

Deduktiivisen päättelyn premissit ovat usein induktiivisia yleistyksiä (Meh-täläinen 1992, 43), missä annettujen yksityistapausten perusteella ajatellaan hahmotettavan yleinen sääntö (Leino 1977). Johnson-Laird ja Byrne (1991) kuvaavat deduktiivista päättelyä edellyttävien tehtävien olevan seuraavanlai-sia:

• Deduktiivisen päättelyn tehtävät, joissa päättelyprosessin oletetaan noudattavan logiikan formaaleja päättelysääntöjä. Deduktiivisen päät-telyn ajatellaan tällöin tarkoittavan niin sanottua ”johtamista” samalla abstraktiotasolla.

• Sisältöspesifi t päättelytehtävät, joissa konteksteilla ja käsitteisiin liitty-villä teorioilla on merkitystä päättelyprosessissa.

• Mentaalimallien konstruoinnissa käytettävä deduktiivinen päättely so-vellettaessa jotakin yleistä matematiikan tulosta johonkin erikoistapa-ukseen kontekstit ja siihen liittyvät premissit huomioiden.

Induktiivisen ja deduktiivisen päättelyn osaamisen tutkimiseksi käytetään tut-kimuksessa matematiikan rakenteisiin liittyvien periaatteiden ymmärtämisen (NumRak) ja (YlRak) testien osioista muodostettuja osatestejä. Testin aikara-joituksella vaikutettiin siihen, että suoritukset testaavat automaattisoitumisen tasoa.

Hiebert ja Lefevre (1986) erottavat kaksi tasoa, joilla matemaattisen tiedon osien välisiä suhteita voidaan luoda ja tarkastella. Primaaritaso tarkoittaa sitä tasoa, jolla itse tietokin esiintyy. Tällöin tiedon osien välinen suhde ei ole abst-raktimpi, kuin itse informaatio, jota kyseinen suhde yhdistää. Wilsonin tasoin puhutaan tuolloin YS-tasosta (ymmärtämis-soveltamistasosta). Termi abstrakti

viittaa heidän mukaansa siihen, kun tieto vapautuu kontekstistaan joidenkin suhteiden rakentuessa korkeammalla, abstraktimmalla tasolla kuin se infor-maatio, jota ne yhdistävät. Tällaista tasoa he kutsuvat refl ektoivaksi tasoksi.

Wilsonin termein kyseessä on SA-taso (soveltamis-analysointitaso). Tämän tason suhteet ovat heikommin sidoksissa erityisiin konteksteihin (Hiebert &

Lefevre 1986, 4–5).

9.3.2 Ajattelun tason mittaaminen tutkimuksen määrällisessä osiossa