Miten algebraa opitaan?

Mietittäessä algebran oppimista ja opettamista, tulee lähtökohdaksi tutkimuk-sen perusteella ottaa matemaattitutkimuk-sen käsitteenmuodostuktutkimuk-sen duaalisuuteen liit-tyvät teoriat. Tämä näkyy numerosymbolien yleistämisenä kirjainsymboleiksi,

algebrallisten lausekkeiden proseduurimaista vahvistamista eri konteksteis-saan ja algebrallisen lausekkeen kapseloitumista objektiksi. Rajoitan käsittely-ni lähtökohdaksi aritmeettisen algebran käsittelemättä muita lähestymistapoja, kuten esimerkiksi monin kohdin hyödyllistä geometrista lähestymistapaa al-gebran oppimiseksi.

Käsitteenmuodostuksen teoriat näkyvät esimerkiksi Fosterin (1994) tutki-muksessa muodoltaan erilaisista lineaarisista yhtälöistä:

(A) (B) (C)

Aloittelija ymmärtää ne erilaisina proseduureina.Yhtälö (A) voidaan suorittaa millä tahansa yhteenlaskuproseduurilla. Yhtälö (B) vaatii vähintään ”päälle-laskemis-proseduuria” ja yhtälö (C) vaatii tätä proseduuria ennen käytettäväk-si yhteenlaskun vaihdannaisuutta. Yhtälöt (B) ja (C) ovat ekvivalentteja, mutta tarvitsevat eritasoista prosessointia. Prosept-ajattelun kehittyessä oppija ei näe eri proseduureja erillisinä, vaan siirtyy sujuvasti tarvittaessa efektiltään vas-taavaan muotoon. Yleistetty aritmetiikka muodostuu näin oppijalle luonnolli-seksi. Algebralliset ilmaukset on nähtävä objekteina, prosepteina, jotta niihin liittyviä proseduureja voidaan käyttää abduktiivisen ajatteluin tavoin kääntei-sesti. (Tall & Thomas 1997.)

Johdettaessa tästä yleisempiä algebrallisia rakenteita, kehitys voi tapahtua kahdella eri tavalla (Tall & Thomas 1997). Algebra voidaan käsittää kognitiivi-sen struktuurin laajennukkognitiivi-sena ja toisaalta uudelleen konstruoimikognitiivi-sena, mikä on kognitiivisesti vaikeampi (Harel & Tall 1991). Tämä johtaa kahteen erimuo-toiseen algebraan, aritmetiikasta yleistetyn algebran laajentamiseen ja erimuo-toiseen määritelmiin ja deduktiiviseen ajatteluun pohjautuvaan.

Lakien ja todistusten merkitys muuttuu riippuen kumpaa kehityslinjaa tar-kastellaan. Ensinmainitussa lait liittyvät aritmetiikan operaatioihin, esimerkiksi yleistettyyn muotoon yhteen- ja kertolaskun vaihdannaisuudesta. Jälkimmäi-sessä uudet ominaisuudet johdetaan deduktiivisesti. Olen seuraavissa kappa-leissa käsitellyt aritmeettistä algebraa ja deduktiivista algebraa vielä erikseen.

7.3.1 Aritmeettinen algebra

Kiinnostus algebrassa kohdistuu yleisellä tasolla oleviin rakenteisiin. Tähän tutustuminen ja ymmärtämiseen perustuva oppiminen on kuitenkin aloitettava konkreetista ympäristöstä, mikä tarkoittaa esimerkiksi numeerista kontekstia.

Sfardin ja Linchevskin (1994) mukaan algebrallisten rakenteiden kehittyminen tulisi aloittaa operationaalisista (prosessi-orientoituneista) käsitteistä päätyen

rakenteellisiin käsitteisiin. Väheksymättä geometrian merkitystä olen tutki-mukseeni valinnut näkökulmaksi aritmetiikan osaamisen merkityksen algebran rakenteiden ymmärtämiseksi. Aritmetiikka on ensimmäinen ja resursseiltaan laajin matematiikan osa-alue alkeisopetuksessa. Siten sen merkitys algebran oppimiseen on suurin ja siksi myös luontevin. Aritmeettisten laskutoimitusten yhteydessä esille tullut (luku 6) prosept-käsite, joka kerää kaikki efektiltään samat proseduurit, voidaan yleistää myös algebran käsitteisiin.

Oppilaiden tulisi kehittyä käyttämään algebran lausekkeita joustavasti ja luovasti automatisoitumisen asteelle asti, koska muistikapasiteettia vaativa varsinainen fokus lausekkeiden käytössä on objektitasolla. Havainnollistavaa kontekstia mietittäessä tulisi huomioida, että sen tulee olla käyttökelpoinen kaikilla lukualueilla. Väärin muodostuneen tai muodostetun skeeman poisop-piminen on työlästä ja aiheuttaa tarpeettomia ristiriitoja.

7.3.2 Algebran objektitason ajattelu

Vaihtaminen operationaalisesta lähestymisestä strukturaaliseen lähestymista-paan objektitasolle ei ole riippuvainen, käytetäänkö numero- vai kirjainsym-boleja, vaikkakin tutustuminen rakenteisiin tulisi aloittaa numerosymboleista.

Enemmänkin on kysymys kyvystä nähdä prosessi (esimerkiksi ”lisää lukuun 5”) uutena entiteettinä, objektina ja kykynä operoida tällä objektilla (esimer-kiksi ”lausekkeen arvo on 5+x”). Oppilas, joka ei kykene ajattelemaan struk-turaalisesti, näkee esityksen x+5 vain laskennallisena proseduurina päätyen usein vastaukseen 5x (Sfard 1991). Oppilaat näkevät yhtäsuuruusmerkin sig-naalina tehdä jotain mieluummin kuin että se olisi yhtäsuuruus vasemman ja oikean puolen välillä (Kieran 1992, 398).

Objektitasoa olevia funktiota, mallintamista ja yhtälöitä on käytetty läpi vuosisatojen. Ne ovat kehittyneet pitkässä prosessissa. Koulumaailmassa yhtä-lön aikaista käyttöönottoa perustellaan motivoivilla seikoilla. Yhtälöratkaisun esille ottamista ennen algebrallisen käsittelyn joustavaa hallintaa tulisi harkita.

Funktioissa, malleissa ja yhtälöissä algebrallinen lauseke on objektitasoa ja yhtälön rakenteen ymmärtäminen on Sfardin ja Tallin teorioiden pohjalta mah-dollista vasta, kun oppilas käsittelee algebran lauseketta objektina.

Edellä on esitelty keinot algebran harjoitteluun yleistämällä proseduureja ja kapseloimalla ne objekteiksi. Näin rakennetaan ymmärrystä kirjainsymbo-lista eri käyttömerkityksissään. Näiden objektien (funktio, malli, yhtälö) ra-kentuminen ei ole hierarkista. Kuitenkin kaikki erilaiset aspektit ovat tarpeen algebran oppimisessa. Voisiko puhua Tallin termein algebra-proseptistä, mikä takaa joustavuuden siirryttäessä tarkastelussa yhdestä näkökulmasta toiseen?

7.3.3 Deduktiivinen algebra

Ihmisen tiedonkäsittely ei nojaa yksinomaan mielikuviin vaan myös kykyyn luoda ja käyttää symbolista informaatiota (Kaufmann 1985). Matematiikassa on myös järjestelmiä, joissa symboleihin liittyvät käsitteet määritellään huo-mattavan tarkasti niin sanottuihin luonnollisen kielen taustalla oleviin käsit-teisiin verrattuna ja joissa prosessointi pidättäytyy tiukasti logiikan sääntöihin, määritelmiin ja käsitteiden välisiin suhteisiin. Päätteleminen kuuluu näihin.

Päätteleminen luokitellaan usein deduktiiviseksi, induktiiviseksi, analogiseksi ja useiksi näiden kombinaatioiksi. Deduktio yhdistetään siihen, että päätelmä saavutetaan annettujen oletusten pohjalta määritelmistä ja niiden välisistä suh-teista johtamalla yhden tai useamman päättelyketjun kautta. Tällöin liikutaan Tallin formaalis-aksiomaattisessa maailmassa. Deduktiivista päättelyä ei suo-riteta pelkästään logiikan sääntöjen nojalla, vaikkakin se on looginen.

Malinen (1993) on tutkinut peruskoulun 3.–6. luokan oppilaiden (N=40) ajatteluprosesseja päättelytilanteissa. Malisen tutkimus kohdistui kouluoppi-misen kannalta merkitykselliseen deduktiiviseen ajatteluun. Tutkimuksessa käytettiin Johnson-Lairdin & Byrnen (1991) mallia, jossa yhdistetään deduktii-vinen päättely ja mentaalimallin teoria. Tarkasteltavassa ilmiössä tarvittavista käsitteistä ja niiden välisistä suhteista muodostetaan mentaalimalli. Looginen ajattelu on näiden yksilöllisten mentaalimallien selittämistä deduktion avulla.

Deduktiivisessa päättelyssä ei pitäydytä pelkästään triviaaleissa johtopäätök-sissä, vaan myös päätelmissä, jotka eivät välittömästi seuraa oletuksista. John-son-Laidin & Byrnen raportissa (1991) edellä kuvattu ajattelu ilmeni kolmella tasolla:

1. Deduktiivinen päättely pohjautuu formaaleihin deduktion sääntöihin.

Formaalit operaatiot voidaan esittää algoritmeina. (Genesereth & Nils-son 1987; Malinen 1993.)

2. Deduktio on analogian ja induktion ohella osana päättelyä käyttäen sisältö-spesifi siä sääntöjä.

3. Päätelmien johtaminen pohjautuu mentaalimallien teoriaan. Henkilö muodostaa oman mentaalimallinsa tilanteesta. Mentaalimalli-teorian mukaisesti deduktiivinen prosessi kehittyy kolmessa vaiheessa, ensiksi-kin käyttäen premissien informaatiota hyväksi ja konstruoiden sisäisen mallin, sitten tehden luonnosmaisen kuvauksen konstruoidusta mallista testaten sitä ja lopulta tutkien vaihtoehtoisia malleja. (Johnson-Laird &

Byrne 1991; Malinen 1993.)

Malinen (1993) havaitsi oppilaiden ajattelussa seuraavanlaisia prosesseja;

erityisesti yksinkertaisissa tilanteissa oppilaat päättelivät loogisesti suoraan oletuksista lähtien mentaalimallin teorian mukaisesti. Oppilaiden selitykset

sisälsivät kuitenkin myös sellaista kausaalista selitystä, missä perustelut eivät olleet loogisia tai yhtäpitäviä malliteorian rakenteen kanssa. Joissain tapauk-sissa oppilaat johtivat uusia premissejä, mikä johti tehtävän kannalta vääriin päätelmiin. Tutkimuksessa formaaleihin deduktion sääntöihin perustuva tapa tuotti vain muutaman oikean vastauksen. Empiirisen aineiston pohjalta Mali-nen identifi oi seuraavat kolme tasoa oppilaiden ajatteluprosesseille kyseisen kaltaisessa deduktiivisessa ajattelussa:

1. Päätelmä tehtiin useimmiten arvaamalla tai satunnaisilla yrityksillä.

Oppilaille ei ollut muodostunut todellista ajattelun mallia.

2. Sisältösidonnaisten sääntöjen varassa tehtyä päättelyä havaittiin. Pre-missejä ei käytetty. Oppilaat olivat riippuvaisia sisältö-spesifi sistä sään-nöistä ja tekivät omia yleistyksiään ja analogisia päätelmiään.

3. Oppilas kykeni kontrolloimaan tilannetta ratkaisten tehtäviä premissien pohjalta. Siitä huolimatta loogisten päättelyn sääntöjen käyttäminen ei ollut yleistä. Muutamassa tapauksessa oppilaat kykenivät arvioimaan valintojaan. Tässä tapauksessa oppilas operoi yhtäpitävästi mentaali-malli-teorian kanssa.

Yllä esitetyt ajattelumallit eivät ole todellisia kognitiivisia tyylejä, mutta ne kuvaavat eroja deduktiivisen päättelyn täsmällisyydessä mentaalimalleja käy-tettäessä. Käsitteiden merkitys korostuu. Perustelujen tarkkuus riippuu siitä, kuinka hyvin, mentaaliteorian mukaisesti, he onnistuvat toisen tai kolmannen vaiheen kehittymisessä. Malisen mukaan ongelma on siinä, osataanko lisätä oppilaiden perustelujen täsmällisyyttä. Kokemuksen myötä oppilaan kyky ymmärtää kieltä kehittyy, samoin kasvaa oppilaan työmuistin prosessointika-pasiteetti, joten on mahdollista lisätä refl ektiotaitoja omassa suorituksessaan.

(Johnson-Laird & Byrne 1991; Malinen 1993.)

Malisen (1993) tutkimuksen nojalla sekä mentaalimallin teorian mukainen deduktiivinen päättely että myös yleisen algebran mukainen sisältö-spesifi päättely, joka toimii yleisten sääntöjen mukaisesti, ovat sopivia matematiikan opetukseen konstruktivismin näkökulmasta.