2.2 Käsitteitä
2.2.3 Kolmiulotteisia kappaleita
Tasasivuinen kolmio ([4, s. 377-378])
”Kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja jokainen kulma on60◦. Seuraavat kaavat pätevät tasasivuiselle kolmiolle, jonka sivu on a:
korkeus = a
sisään piirretyn ympyrän säde = a
√3 6
ympäri piirretyn ympyrän säde = a
√ 3 3 .”
Ympyrä ([4, s. 424-425])
”Tason käyrä, joka muodostuu kaikista niistä pisteistä, joilla on sama etäisyys (säde) annettuun kiintopisteeseen (keskipiste).Jänne on jana, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä toisiinsa.Halkaisijaon jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Halkaisijan pituus on kaksi kertaa säteen pituus.
- - -”
2.2.3 Kolmiulotteisia kappaleita
Kolmiulotteisten kappaleiden luettelossa on sellaisia yleisimpiä avaruusgeo-metrian kuvioita, joita käsitellään tämän tutkimuksen kohteena olevissa op-pikirjoissa.
Kartio ([4, s. 183-184])
”Geometriassa suljettu avaruuspinta, jonka määrittävät suljettu taso-käyräC(tukikäyrä) ja avaruuden pisteP (kärki), joka ei sijaitse samas-sa tasossamas-sa käyrän C kanssa; kartio muodostuu kaikista suorista, jotka piirretään pisteestäP käyrälleC, sekäkantapinnasta, joka on käyränC rajoittama tasopinta (ks. pyramidi). Jokaista suoraa pisteestä P käy-rälle C sanotaan kartionemäviivaksi (ks.generatis). Kartion korkeus on pisteestä P kohtisuora korkeus tasolle, jonka kantapinta määrittää.
Kartiota sanotaan ympyräkartioksi, jos tukikäyrä on ympyrä ja ellipsi-seksi, jos tukikäyrä on ellipsi. Kuperassa kartiossa tukikäyrä on kupera eli konveksi. Jos tukikäyrällä on keskipiste, suoraa keskipisteen ja kär-kipisteen P välillä sanotaan akseliksi. Jos akseli on kohtisuorassa kan-tapintaa vastaan, kartiota sanotaan suoraksi, muuten vinoksi.
- - -”
Kuutio ([4, s. 224])
”Suorakulmainen suuntaissärmiö, jonka kaikki kuusi rajapintaa ovat
ne-liöitä. Siinä on 12 yhtä pitkää särmää ja 8 kulmaa. Sellaisen kuution, jonka särmän pituus ona, tilavuus ona3 ja kokonaispinta-ala on 6a2. - - - ”
Pyramidi ([4, s. 325-326])
”Monitahokas, jonka määräävät monikulmio ABC . . . ja piste V (kär-ki), joka ei ole samassa tasossa kuin monikulmio. Pyramidi on kartio, jonka tukikäyrä on monikulmio. KolmiotVAB,VBC,. . . ovat pyrami-din tahkot, monikulmio ABC . . . sen kanta ja janat VA, VB, VC, . . . sen särmät.
Pyramidia sanotaankuperaksi, jos kannan monikulmio on kupera. Kor-keus on kohtisuora etäisyys kannan tason ja kärjen välillä. Pyramidin tilavuus on 13hB, jossa h on korkeus ja B on kannan pinta-ala.
Tetraedrin eli kolmisivuisen pyramidin kanta on kolmio, nelisivuisen pyramidin kanta on nelikulmio jne. Säännöllinen pyramidi on sellai-nen, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja jonka korkeusjana kul-kee kannan keskipisteen O kautta. Tällaisen pyramidin tahkot ovat kongruentteja tasakylkisiä kolmioita.
Katkaistu pyramidi on avaruuskappale, joka määräytyy tasosta, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa ja leikkaa kaikki pyramidin särmät, kannasta sekä niistä alkuperäisen pyramidin sivupintojen osis-ta, jotka ovat kannan ja leikkaavan tason välissä. Katkaistun pyramidin tilavuus on 13h(B1+B2+√
B1B2), jossaB1 ja B2 ovat kantojen pinta-alat ja h on katkaistun pyramidin korkeus. Jos katkaiseva taso ei ole yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa (mutta leikkaa kaikki pyra-midin särmät), lopputulosta sanotaanvinoksi katkaistuksi pyramidiksi.
- - -”
Suora ympyräkartio ([4, s. 362])
”Kartio, jonka kanta on ympyrä ja korkeuden kantapiste on ympyrän keskipiste.”
Suorakulmainen särmiö ([4, s. 363])
”Suuntaissärmiö, jonka kannat ovat suorakulmioita ja tahkot kohtisuo-rassa kantoja vastaan. Jos kolmen samasta nurkasta lähtevän särmän pituudet ovata,bjac, tilavuus onabc, kokonaispinta-ala2(ab+bc+ca) ja lävistäjän pituus √
a2+b2+c2.”
Säännöllinen pyramidi ([4, s. 375])
”Säännöllinen pyramidi onpyramidi, jonka kanta on säännöllinen mo-nikulmio ja jonka korkeusjana kulkee kannan keskustan kautta.”
Ympyräkartio ([4, s. 425])
”Kartio, jonka kanta on ympyrä.”
3 Oppikirjavertailua
Tässä tutkimuksessa on tarkasteltu ammatillisen perusasteen matematiikan oppikirjoja. Tarkasteltavia oppikirjoja on kolmelta eri kustantajalta, yhteen-sä 14 kpl. Taulukossa 1 on lueteltu oppikirjat jaoteltuina koulutusaloittain.
Tarkemmat tiedot oppikirjoista löytyy liitteestä A. Kirjan nimen perässä sul-keissa oleva tieto viittaa kirjan tunnistetietoihin kyseisessä liitteessä. Oppi-kirjat on jaoteltu liitteessä kustantajittain siten, että oppiOppi-kirjat 1a−1d ovat Editan, 2a Otavan ja3a−3i WSOY:n kustantamia.
Koulutusala Oppikirjat
Elintarvikeala, Ruokamatematiikkaa (3d)
ravitsemisala Catering-alan matematiikka (3e)
Sosiaali- ja terveysala Helmitaulu (1c)
Matematiikkaa lähihoitajalle (3a) Sosiaali- ja terveysalan matematiikka (3b) Liiketalouden ala Merkonomin matematiikka (1d)
Taloutta ja tilastoja (3i)
Tekniset alat Pythagoras 1 (1b)
Teknisten ammattien matematiikka 1 (3f) Yleisopinnot Ammattilaisen matematiikka (1a)
ProbleMatikka (2a)
Uusi Origo (3c)
Numerotaito (3g)
Erilaiset oppijat Näppärästi numeroilla (3h) Taulukko 1: Oppikirjat koulutusaloittain jaoteltuina
WSOY:nNäppärästi numeroilla on suunnattu niille opiskelijoille, joille mate-matiikan opiskelu tavallista matemate-matiikan oppikirjaa käyttäen olisi hankalaa.
Kirjan teksti on laadittu selkeäkieliseksi ja käytännönläheiseksi. Kirjassa on 259 sivua, joista 32 sivua (12,4 %) käsittelee geometriaa. Koska kirjan sisältö on kevennetty, sitä ei ole otettu mukaan oppikirjojen keskinäiseen vertailuun.
Osassa oppikirjoista yksikkömuunnokset on sijoitettu geometria-alalukuun, joten vertailtavuuden vuoksi kyseisen aihepiirin sivut on laskettu mukaan myös niiden oppikirjojen osalta, joissa ne on sijoitettu erilleen geometriasta.
Trigonometriaa käsittelevät sivut ja tehtävät on laskettu mukaan, mutta nii-hin liittyvää aineistoa ei ole tässä tutkimuksessa sen tarkemmin käsitelty, vaan on keskitytty taso- ja avaruusgeometrian osa-alueisiin. Trigonometri-aa on käsitelty tarkasteltavana olevista oppikirjoista vain teknisten alojen oppikirjoissa ja yleisteoksissa.
Vektorit on jätetty kokonaan tämän tutkimuksen tarkastelun ulkopuolelle,
vaikka ne ovatkin osassa oppikirjoista mukana geometrian osa-alueena. Vek-toreita käsittelevät sivut on jätetty huomioimatta geometrian sivumäärissä.
Sivumääriä laskettaessa on käytetty kahta laskutapaa. Ensinnäkin on lasket-tu kokonaisina sivuina geometriaa käsittelevät sivut ja verratlasket-tu tätä sivumää-rää koko oppikirjan sivumääsivumää-rään. Lisäksi on tehty silmämääräinen arvio siitä, kuinka suuri osa geometriaa käsittelevistä sivusta on teoriaa ja kuinka suuri osa esimerkkejä tai tehtäviä. Näin on saatu verrattua teorian, esimerkkien ja tehtävien sivumäärien välisiä suhteita (näistä tarkemmin alaluvussa 3.3).
Oppikirjojen sivuista keskimäärin 15,7 % käsitteli geometriaa. Tätä selkeäs-ti pienempiin osuuksiin jäivät liiketalouden oppikirjat ja sosiaali- ja tervey-salan oppikirjoista muut, paitsi Helmitaulu (1c). Selkeästi suurempi osuus geometriaa puolestaan löytyy teknisten alojen oppikirjoista, yleisopintojen oppikirjoista ja ravitsemisalan oppikirjasta Ruokamatematiikkaa (3d) (vrt.
kuva 1).
Kuva 1: Geometrian osuus koko oppikirjan sivumäärästä (kirjojen tunniste-tiedot liitteessä A)
Osassa oppikirjoista teoriaosuus on käsitelty kokonaan ensin ja esimerkit ja tehtävät tulevat tämän jälkeen, mutta osassa oppikirjoista teoria, esimerkit ja tehtävät vuorottelevat pienempinä asiakokonaisuuksina. Kirjassa Teknisten ammattien matematiikka 1 (3f ) kaikki kirjan harjoitustehtävät on sijoitettu kirjan loppuun omaksi kokonaisuudekseen.
Eri tavoilla on omat hyvät ja huonot puolensa. Kun teoria käsitellään pie-nissä osissa, on oppilaiden helppo yhdistää tehtävien ongelmat ja teoriassa esitellyt kaavat toisiinsa. Toisaalta tämä tapa on myös huono, sillä tällöin ei
edesauteta oppilaiden oman ongelmanratkaisukyvyn kehittymistä eikä kehi-tetä taitoa valita oikea kaava oikeaan tilanteeseen.
Jos isomman asiakokonaisuuden teoriaosuus on kokonaan ensin ja esimerkit tämän jälkeen ja vasta sitten tulevat tehtävät, saadaan paremmin koottua saman aihealueen asiat kokonaisuudeksi ja oppilaiden ongelmanratkaisutai-to ja oikean kaavan valinta pääsevät koetukselle. Toisaalta tällöin joudutaan oppitunnin asiasisällön mukaan käymään asioita läpi sieltä täältä, mikä voi aiheuttaa epäselvyyttä, jos oppilaat eivät osaa yhdistää teoriaa, esimerkkejä ja tehtäviä toisiinsa.
Se, että ovatko harjoitustehtävät välittömästi isomman teoriakokonaisuuden perässä, vai vasta kirjan loppuun koottuna, ei sinänsä eroa toisistaan kirjan käytön kannalta. Harjoitusten kokoaminen kirjan loppuun on eduksi siinä mielessä, että tällöin kirjan alkuosa on yhtenäisempi ja tiiviimpi teoriapaket-ti, jota harjoitustehtäväsivut eivät katkaise.
3.1 Opetussuunnitelmien perusteet
Opetushallituksen laatimien opetussuunnitelman perusteiden osalta ei oteta tarkkaan kantaa siihen, mitä asioita geometriasta tulisi kullakin koulutusalal-la opiskelkoulutusalal-la. Eri koulutusalojen opetussuunnitelmien perusteita tutkittaessa voidaankin havaita niiden olevan lähes samansisältöisiä.
Tähän on esimerkkinä poimittu matkailu-, ravitsemis- ja talousalan Catering-alan perustutkinnon opetussuunnitelman perusteista (valmistunut 17.2.2000, astunut voimaan 1.8.2000 alkaen) [6] yhteisten opintojen tavoitteet, keskeiset sisällöt ja arviointi matematiikan osalta, ja sieltä erityisesti geometrian osuus.
Tavoitteet ja keskeiset sisällöt on eritelty kiitettävän tason ja tyydyttävän tason osuuksiin.
Kiitettävä taso ([6, s. 29-30])
”Opiskelijan tulee osata tulevassa ammatissaan monipuolisesti sovel-taa matematiikkaa ja käyttää sitä ongelmanratkaisussa. Opiskelijan on osattava sujuvasti peruslaskutoimitukset, kuten prosenttilaskenta ja yksiköiden muuntaminen, ammattiinsa liittyvissä tehtävissä. -Opiskelijan on osattava soveltaa geometriaa catering-alan vaatimassa laajuudessa, esimerkiksi laskea pinta-aloja ja tilavuuksia ja käyttää mit-takaavaa.
• Keskeinen sisältö on ammatissa esiintyvien matemaattisten teh-tävien ratkaisu käyttäen hyväksi peruslaskutoimituksia, mallinta-mista ja geometriaa.
- - -”
Tyydyttävä taso ([6, s. 30])
”Opiskelijan tulee osata
-• laskea käyttämiensä yleisimpien kappaleiden pinta-aloja ja tila-vuuksia
- - -”
Opetussuunnitelmien perusteiden ollessa näin avoimet, jää oppilaitoksille hy-vinkin vapaat kädet laatia tarkempi opetussuunnitelma.
Myös oppikirjojen tekijöillä on vapaus käyttää omaa harkintaansa esimerkik-si yllä mainittujen ”ammattiinsa liittyvissä tehtävissä” -tyyppisten aesimerkik-sioiden kokoamiseen oppikirjaksi.
Avoimuus antaa paljon vapautta, mutta tuo myös vastuuta. Kun valtakun-nallisesti ei ole yksiselitteisesti määritelty, mitä asioita oppimäärään sisältyy, saattaa eri oppilaitoksissa tulla pieniä eroja opiskeltavien asioiden sisältöi-hin. Opetushenkilökunnan ammattitaidon ja työelämätuntemuksen puitteis-sa voidaan rajata käsiteltävät asiat sellaisiksi, joita kyseisellä alalla käytän-nön työelämässä tarvitaan. Eikä myöskään ole kiellettyä ottaa oppimäärään mukaan yleishyödyllisiä asioita oman alan ulkopuolelta.
Monialaisissa ammattioppilaitoksissa yleisopintojen matematiikan opettaja joutuu työssään kohtaamaan useiden eri alojen oppilaita, jolloin hänellä ei voi olla omakohtaista kokemusta jokaisen alan tarpeista. Tällöin korostuu oppikirjojen tekijöiden ammattitaidon merkitys. Alakohtaisissa oppikirjois-sa sisältö lienee hyvinkin loppuun oppikirjois-saakka mietittyä, mutta yleisteoksisoppikirjois-sa on varmasti jouduttu tekemään rajauksia, ainakin harjoitustehtävien aiheiden suhteen. Opettajalle jää aina kuitenkin vapaat kädet karsia tai lisätä oppi-kirjojen asiasisältöä vastaamaan kunkin oppilasryhmän tarpeita.