TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma
Virpi Mäkinen
Geometrian oppikirjoista ammatillisella perusasteella
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka
Lokakuu 2009
Tampereen yliopisto
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
MÄKINEN, VIRPI: Geometrian oppikirjoista ammatillisella perusasteella Pro gradu -tutkielma, 24 s., 4 liites.
Matematiikka Lokakuu 2009
Tiivistelmä
Geometria on yksi matematiikan osa-alue. Itsenäiseksi tieteeksi se kehittyi antiikin Kreikassa. Geometria luokitellaan useisiin osa-alueisiin. Tärkeimmät ja tunnetuimmat osa-alueet ovat euklidinen ja epäeuklidinen geometria.
Ammatillisella perusasteella geometria keskittyy taso- ja avaruusgeomet- rian käytännön tehtäviin. Ammatillisen matematiikan oppikirjoja kustantaa mm. Edita, Otava ja WSOY. Oppikirjoja on sekä koulutusalakohtaisina että yleisopintoihin soveltuvina yleisteoksina. Näiden oppikirjojen välillä on vain pieniä eroavaisuuksia. Oppikirjat esittelevät tärkeimmät taso- ja avaruusgeo- metrian kuviot ja kappaleet sekä niihin liittyvät tilavuuksien ja pinta-alojen kaavat.
Sisältö
1 Johdanto 4
2 Mitä geometria on? 5
2.1 Historiaa . . . 5
2.2 Käsitteitä . . . 6
2.2.1 Peruskäsitteitä . . . 7
2.2.2 Tasokuvioita . . . 8
2.2.3 Kolmiulotteisia kappaleita . . . 12
3 Oppikirjavertailua 14 3.1 Opetussuunnitelmien perusteet . . . 16
3.2 Alakohtaista vertailua . . . 17
3.2.1 Yleisteokset . . . 17
3.2.2 Elintarvike- ja ravitsemisalat . . . 18
3.2.3 Sosiaali- ja terveysala . . . 19
3.2.4 Liiketalous . . . 19
3.2.5 Tekniset alat . . . 20
3.3 Teorian osuus . . . 21
3.3.1 Yleisimpiä käsitteitä . . . 21
3.3.2 Tasokuvioita . . . 21
3.3.3 Kolmiulotteisia kappaleita . . . 23
3.4 Tehtävien määrä ja laatu . . . 24
4 Yhteenveto 25
Viitteet 27
A Oppikirjat 28
B Ammatilliset perustutkinnot 29
1 Johdanto
Tässä tutkielmassa tutustutaan ammatillisen perusasteen matematiikan op- pikirjojen tarjontaan geometrian osalta. Tarkastelua varten on kolmelta kus- tantajalta pyydetty toukokuussa 2008 luettelot heidän kustantamistaan oppi- kirjoista sekä niiden näytekappaleet. Oppikirjoja on yhteensä 14 kappaletta, joista 13 oppikirjaa on otettu lähempään tarkasteluun.
Tarkastelun ja keskinäisen vertailun ulkopuolelle on jätetty erityisille oppi- joille suunnattu oppikirjaNäppärästi numeroilla, sillä kyseinen teos on suun- nattu niille opiskelijoille, joille matematiikan opiskelu tavallista matematii- kan oppikirjaa käyttäen olisi hankalaa, eikä teoksen sisältöä ole mielekästä verrata muihin käsiteltyihin oppikirjoihin.
Tutkielman aluksi käydään läpi pääpiirteitä geometrian historiasta alaluvus- sa 2.1 sekä geometrian käsitteitä alaluvussa 2.2.
Oppikirjoja esitellään luvussa 3. Esittelyä ja keskinäistä vertailua varten op- pikirjat on jaettu koulutusaloittain. Oppikirjoista verrataan, kuinka paljon kussakin on käytetty sivuja geometrian esittämiseen suhteessa koko oppikir- jan sivumäärään. Lisäksi on tarkemmin jaoteltu, kuinka paljon geometriasi- vuista on teoriaa, esimerkkejä ja tehtäviä.
Tutkielmassa ei pyritä asettamaan tarkasteltuja oppikirjoja paremmuusjär- jestykseen, vaan tutkielman tarkoituksena on kartoittaa ammatilliselle pe- rusasteelle suunnattuja oppikirjoja ja niiden sisältöä geometrian osalta.
2 Mitä geometria on?
2.1 Historiaa
Geometria on käytännön mittaustehtävistä alkunsa saanut matematiikan osa-alue. Geometriaa on tutkittu jo muinaisten babylonialaisten ja egypti- läisten toimesta, mutta itsenäiseksi tieteeksi se kehittyi vasta antiikin Krei- kassa. Kreikkalainen matemaatikkoEukleides Aleksandrialainen(n. 325 - 265 eKr.) kirjoitti teoksen Alkeet, jota pidetään yhtenä länsimaisen sivistyksen tärkeimmistä teoksista. ([3, s. 7])
Alkeet koostuu 13 ”kirjasta” ja 465 propositiosta, sisältäen koko Eukleidesta edeltävän ajan matematiikan yleisesityksen ([2, s. 20]). Eukleideen kokoamien tietojen esitystä kutsutaan euklidiseksi geometriaksi.
Eukleides määritteli teoksessaan Alkeet monia käsitteitä (mm. piste, viiva).
Myöhemmin määritelmät on kuitenkin havaittu puutteellisiksi ja viimeiste- lemättömiksi. Koska kaikkea ei voi määritellä, on nykyaikaisessa aksiomaat- tisessa menetelmässä jätetty peruskäsitteet määrittelemättä ja määritelmien sijaan niiden väliset suhteet esitetään aksioomilla eli tosiksi sovituilla lausu- milla. (vrt. [3, s. 7])
Kolme ensimmäistä Eukleideen postulaattia koskevat mahdollisuutta piirtää suora kahden pisteen kautta, mahdollisuutta jatkaa suoraa rajatta kumpaan- kin suuntaan ja mahdollisuutta piirtää ympyrä, jonka keskipiste ja säde ovat annetut. Neljännen postulaatin mukaan kaikki suorat kulmat ovat yhteneviä.
Viides postulaatti on ns.paralleeliaksiooma. ([2, s. 20-21]
Viidennestä postulaatista käytetään myös nimitystä yhdensuuntaisuuspostu- laatti ([4, s. 96]).
Postulaatti 2.1 (Yhdensuuntaisuuspostulaatti). ([4, s. 81])
”Yhdensuuntaisuuspostulaatti sanoo, että jos on olemassa piste ja suora, joka ei kulje annetun pisteen kautta, on olemassa täsmälleen yksi sellainen suora, joka kulkee annetun pisteen kautta ja on yhdensuuntainen em. suoran kanssa eli ei leikkaa annettua suoraa.”
Useat matemaatikot ovat eri aikoina yrittäneet todistaa yhdensuuntaisuus- postulaatin johtamalla sen muista aksioomista, siinä kuitenkaan onnistumat- ta. 1800-luvulla yritykset on osoitettu mahdottomiksi ja konstruoituepäeukli- disia geometrioita, joissa yhdensuuntaisuusaksiooma on korvattu jollain muul- la suorien yhdensuuntaisuutta koskevalla oletuksella. ([2, s. 21]
Vaikka geometria onkin nykyisin laajentunut monille eri osa-alueille ja hyvin- kin kauas Eukleideesta, on Eukleideen asema geometrian perustana säilynyt.
([3, s. 8])
René Descartesin (1596-1650) metodina oli antaa symboli jokaiselle tunne- tulle ja tuntemattomalle osalle, johtaa symbolien välille riittävä määrä al- gebrallisia yhtälöitä ja ratkaista tuntematon. Pierre de Fermat (1601-65) keksi analyyttisen geometrian peruskäsitteet. ([2, s. 45-46])
Girard Desargues (1593-1662) aloitti kuvioiden projektioissa säilyvien omi- naisuuksien tutkimisen ([2, s. 79]). Projektiivinen geometria tutkii suorien ja tasojen keskinäistä leikkaamista ilman, että kiinnitetään huomiota niiden mitallisiin ominaisuuksiin ([1, s, 224]).
Deskriptiivisessä geometriassa tutkitaan kolmiulotteisten kappaleiden omi- naisuuksia kuvaamalla niitä kaksiulotteiseen tasoon.
Riippuen siitä, mitä käsitteellä suora geometriassa tarkoitetaan, on yhden- suuntaisuusaksiooma joko voimassa tai ei ole. Jos ko. aksiooma ei ole voimas- sa, on kyseessäepäeuklidinen geometria. Esimerkkinä epäeuklidisesta geomet- riasta voidaan tutkia suoraa pallon pinnalla, jolloin se ei olekaan intuitiivinen mielikuva suorasta, vaan kyseessä on isoympyrä. ([1, s, 222-223])
David Hilbert (1862-1943) esitti teoksessaan Grundlagen der Geometrie mo- dernin geometrian aksiomatiikan ([1, s, 222]).
Hilbert jättää määrittelemättä peruskäsitteet (viiva, piste) ja esittää nii- den väliset suhteet aksioomilla. Eukleideen geometria esitetäänkin nykyisin useimmiten juuri Hilbertin järjestelmän mukaisesti. ([3, s. 7-8]
2.2 Käsitteitä
Tässä kappaleessa on luettelonomaisesti koottuna keskeisten tasogeometrian käsitteiden määritelmät siinä muodossa kuin Matematiikan käsikirja [4] ne määrittelee. Matematiikan käsikirja on matemaattisten käsitteiden yleisteos, joka esittelee käsitteet sanakirjamaisesti aakkosjärjestyksessä. Esitystapa on hyvä, kun halutaan käyttää käsikirjaa puhtaasti käsitteiden hakuteoksena, eikä oppikirjana. Teos sopii yleisteokseksi matematiikasta kiinnostuneille ja käsitteitä jo tunteville henkilöille. Ammatillisen oppilaitoksen oppilaiden it- senäisessä käytössä Matematiikan käsikirja saattaisi olla liian teoreettinen.
Tässä esiteltävät käsitteet on jaoteltu alalukuihin peruskäsitteet, tasokuviot ja kolmiulotteiset kappaleet. Käsitteet esitellään alaluvuissa käsikirjan mal- lin mukaisesti aakkosjärjestyksessä, eikä tässä työssä oteta kantaa käsitteiden tärkeysjärjestykseen tai niiden keskinäiseen käytön yleisyyteen. Määritelmät saattavat sisältää entuudestaan tuntemattomia käsitteitä. Matematiikan kä- sikirjassa on lihavoidulla tekstillä merkitty ne käsitteet, joiden määritelmät ovat luettavissa käsikirjasta. Tähän koottujen käsitteiden määritelmiin käsi- kirjan lihavoinnit on jätetty sellaisenaan.
2.2.1 Peruskäsitteitä
Peruskäsitteisiin on koottu sellaisia geometrian käsitteitä, joita käytetään sekä taso- että avaruusgeometriassa.
Luettelon ulkopuolelle on jätetty ne peruskäsitteet, joita ei nykyaikaisessa aksiomaattisessa geometriassa (ks. luku 2.1) määritellä, esim. piste ja suora (analyyttisessa geometriassa em. käsitteet voidaan määritellä).
Halkaisija ([4, s. 127])
”Metrisen avaruuden (M, d) osajoukon A halkaisija on luku diamA = sup d(x, y) :x, y ∈A Jos A on suljettu, A:n halkaisija on siis kahden A:n pisteen maksimietäisyys.
A onrajoittamaton, jos diamA=∞, ja rajoitettu, jos diamA <∞.
Klassisessa geometriassa halkaisijalla tarkoitetaan usein myös janaa, joka yhdistää joukon kaksi kauimmaista pistettä (eikä vain sen pituut- ta). Esim. ympyrän halkaisija on keskipisteen kautta kulkeva jänne ja monikulmion halkaisija sen pisin lävistäjä.”
Kehäkulma ([4, s. 187])
”Kulma, joka kärki on ympyrän kehällä ja kylkinä kaksi saman ympyrän jännettä. - - - ”
Keskuskulma ([4, s. 190])
”Kulma, jonka kärki on ympyrän keskipisteessä. - - - ” Kulma ([4, s. 216])
”Kulma muodostuu kahdesta puolisuorasta, jotka kulkevat saman pis- teen O (kulman kärki) kautta. Puolisuoria kutsutaan kulman sivuiksi eli kyljiksi. Kaksi samasta pisteestä lähtevää puolisuoraa määrittävät kaksi kulmaa; kuvassa ne on merkitty kaarilla. Kaksi kulmaa ovat yh- tenevät eli samat, jos toinen saadaan toisesta translaatioiden ja rotaa- tioiden avulla.
Kulmia mitataan asteina ja radiaaneina. Radiaani on tavallaan ”luon- nollinen” kulman yksikkö. Piste O keskipisteenä ja yksi pituusyksikkö säteenä piirretty ympyrä leikkaa kulman sivut pisteissä A ja B. Näi- tä pisteitä yhdistävän ympyränkaaren pituus x on kulman AOB suu- ruus radiaaneina, kunhan määrätään, kumpi kaari mitataan ja montako kierrosta ympyrää kierretään. - - - ”
Lävistäjä ([4, s. 249-250])
”Tasossa olevan monikulmion lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi ei- vierekkäistä kulmaa. Kolmiossa ei ole lävistäjää, neliössä niitä on kak- si, viisikulmiossa viisi ja n-kulmiossa n(n−3)2 . Avaruudessa olevan mo- nitahokkaan lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi nurkkaa, eikä kuulu mihinkään tahkoon.”
Piiri ([4, s. 311])
”Tasokuvion reunaviivan tai muun suljetun (itseään leikkaamattoman) käyrän pituus. - - - ”
Pinta ([4, s. 312-313])
”Pinta on yleisesti avaruuden Rn osajoukko, joka on lokaalisti homeo- morfinen alempidimensioisen lineaariavaruuden Rk kanssa. Tässä pin- nalla tarkoitetaan euklidisen avaruudenR32-ulotteista pintaa. Pinta on sileä, jos sen määrittelevät kuvaukset ovat mielivaltaisen monta kertaa jatkuvastidifferentioituvia.
Pinta voidaan esittää joko tasa-arvojoukkona tai parametrisoituna pin- tana.
- - - ”
Säde ([4, s. 374])
”Ympyrän (pallon) säde on jana, joka yhdistää keskipisteen ja pisteen ympyrältä (pallolta).”
Taso ([4, s. 378-379])
”Yksi avaruusgeometrian peruskäsitteistä. Se on kaksiulotteinen kuvio, jolla on seuraava ominaisuus: se sisältää koko suoran, joka yhdistää sen kaksi mielivaltaista pistettä, ja siinä on ainakin kolme pistettä, jotka ei- vät ole kaikki samalla suoralla. Määritelmästä seuraa, että taso ulottuu äärettömän kauas kaikissa suunnissa. Tasoalue on (avoin ja) yhtenäi- nen osajoukko. Puolitaso muodostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat toisella puolella tasolla olevaa suoraa (suora voi olla mukana tai ei).
- - -”
Vaippa ([4, s. 402])
”Kartion tai sylinterin pinta ilman kantapintoja.”
2.2.2 Tasokuvioita
Tasokuvioiden käsitteistä on luetteloon poimittu sellaisia yleisimpiä kuvioita, joita käsitellään tämän tutkimuksen kohteena olevissa oppikirjoissa.
Ellipsi ([4, s. 79-81])
”Ellipsi on suljettu tasokäyrä, joka voidaan määritellä seuraavilla ekvi- valenteilla tavoilla:
- - -
(2) Ellipsi toteuttaa seuraavat ehdot: molemmista polttopisteistä F ja F0 mitattujen etäisyyksien summa ellipsin mille tahansa pisteelleP on vakio eli|P F|+|P F0| = vakio. (Tätä pidetään usein ellipsin määritel- mänä. Ellipsi on siis täysin määritelty, kun tunnetaan polttopisteet ja
yksi piste ellipsin kehältä.) - - -”
Kolmio ([4, s. 201])
”Monikulmio, jossa on kolme kulmaa. Se muodostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla (kolmion kulmat) sekä kolmesta janasta (sivut), jotka yhdistävät kulmat toisiinsa. Kolmio on monikulmio, jol- la on pienin määrä sivuja. Lisäksi jokainen monikulmio voidaan jakaa kolmioiksi.
Mikä tahansa sivu voidaan valita kolmionkannaksi. Janaa, joka piirre- tään kolmion kulmasta vastakkaisen sivun normaalin suuntaisena ko.
sivulle tai sen jatkeelle, sanotaan kolmion korkeudeksi. Mediaani on jana, joka yhdistää kulman ja sen vastakkaisen sivun keskipisteen. Ul- kokulma on kulma, joka muodostuu sivun ja viereisen sivun jatkeen välille. Kuvassa 1 kulma A ja sivu a ovat vastakkaiset; b ja c ovat kul- man A viereiset sivut.”
korkeus
C C C C C C C C C C CC
mediaani
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@
@@
A
B
C a
b c
”Euklidisessa geometriassa kolmion kulmien summa on aina 2R, kaksi suoraa kulmaa,π radiaania eli 180 astetta. Ulkokulma on vastak- kaisten sisäkulmien summa. Kuvassa siis kulma C on kulmien A ja B summa.Epäeuklidisessa geometriassa tämä ei päde.
Jokaisen kolmion ympäri voidaan piirtää ympyrä; keskipiste on sivujen keskipisteisiin piirrettyjen normaalien leikkauspiste. Jokaisen kolmion sisäänkin voidaan piirtää ympyrä; tämän keskipiste on kulmanpuolit- tajien yhteinen leikkauspiste. Kolmion korkeusjanat leikkaavat yhdessä pisteessä, painopisteessä, ja ne jakavat toisensa suhteessa 2:1 kulmas- ta lukien. Voidaan osoittaa, että ympäri piirretyn ympyrän keskipis- te, korkeusjanojen leikkauspiste ja painopiste ovat samalla suoralla, ns.
Eulerin suoralla.
1Kuva on identtinen lähdeteoksen kuvan kanssa, mutta on tämän tutkimuksen tekijän LATEX:lla laatima.
Kaksi kolmiota ovat yhdenmuotoisia, jos kulmat ovat pareittain sa- mat tai jos vastinsivujen suhteet ovat samat (ks. yhdenmuotoisuus- lauseet).
Kolmion pinta-ala A on 12bh, jossa b on kannan pituus ja h korkeus kantaa vastaan. Pinta-ala voidaan lausua myös sivujen a, b ja cavulla Heronin kaavalla:A=p
p(p−a)(p−b)(p−c), jossap = 12(a+b+c).
Ympäri piirretyn ympyrän säde on abc4A ja sisään piirretyn ympyrän sä- de Ap.
Tasokolmioon liittyvät tehtävät on selvittää kulmien suuruudet ja si- vujen pituudet niin vähillä alkutiedoilla kuin mahdollista. Ratkaisemi- sessa käytetään trigonometrisia menetelmiä. - - -”
Nelikulmio ([4, s. 275])
”Monikulmio, jossa on neljä sivua. Jos nelikulmion kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset, sitä sanotaan puolisuunnikkaaksi, ja jos molemmat vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, sitä sanotaan suunnikkaaksi.
Suorakulmio on suunnikas, jonka kaikki kulmat ovat yhtä suuret, ja neliö on suorakulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät. (Ympyrän sisään piirretty nelikulmio, ks. ympäri piirretty ympyrä).
Täydellinen nelikulmio on projektiivisessa geometriassa tasokuvio, jon- ka määrittävät neljä suoraaa,b,cjad(siten, että kolme ei kulje saman pisteen kautta) sekä suorien kuusi leikkauspistettä.”
Neliö ([4, s. 275])
”Tasogeometriassa sellainen nelikulmio, jonka sekä sivut, että kulmat ovat yhtäsuuret (kongruentit). Yksikköneliössä sivujen pituus on 1. Ne- liöllä, jonka sivujen pituus on a, on piiri 4a ja pinta-ala a2.
Algebrassa neliö on lauseke, joka on korotettu potenssiin kaksi; esim.
kokonaisluku (polynomi), joka on toisen kokonaisluvun (polynomin) toinen potenssi, esim,52 tai (2x+ 3)2.”
Puolisuunnikas ([4, s. 325])
”Nelikulmio, jonka kaksi sivua ovat yhdensuuntaiset. Yhdensuuntai- sia sivuja kutsutaan puolisuunnikkaankannoiksi. Jos toiset kaksi sivua ovat keskenään yhtä pitkät, puolisuunnikasta sanotaan tasakylkiseksi.
Puolisuunnikkaan korkeus on sen kantojen välinen etäisyys. Mediaa- ni on suora, joka yhdistää ei-yhdensuuntaisten sivujen keskipisteet. Se on yhdensuuntainen kantojen kanssa, ja sen pituus on kantojen arit- meettinen keskiarvo 12(b1 +b2), jossa b1 ja b2 ovat kantojen pituudet.
Puolisuunnikkaan pinta-ala on 12h(b1+b2)eli korkeus kertaa mediaani.
Suora, joka leikkaa kolmion kahta sivua ja on kolmion kolmannen si- vun kanssa yhdensuuntainen, erottaa puolisuunnikkaan. Jos kolmio on tasakylkinen ja leikkaava suora piirretään kannan kanssa yhdensuun- taiseksi, puolisuunnikkaasta tulee tasakylkinen.”
Suorakulmainen kolmio ([4, s. 362])
”Tasossa oleva kolmio, jonka yksi kulma on suora. Sivuja, jotka muo- dostavat suoran kulman, sanotaan kateeteiksi ja kolmatta sivua hypo- tenuusaksi. KuuluisaPythagoraan lause antaa suorakulmaiselle kol- miolle yhtälön a2 +b2 = c2, jossa a ja b ovat kateettien pituudet ja c on hypotenuusan pituus.
Suorakulmaisella kolmiolla on kaksi tärkeää ominaisuutta: (1) jokai- nen suorakulmainen kolmio voidaan piirtää ympyrän sisään; (2) hy- potenuusaa vastaan piirretty korkeus on sen hypotenuusasta jakamien osien geometrinen keskiarvo.”
Suorakulmio ([4, s. 363])
”Nelikulmio, jonka kaikki kulmat ovat suoria. Vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät. Suorakulmio on siis suunnikkaan eri- koistapaus. Mikä tahansa sivuista voidaan valita kannaksi (yleensä toi- nen pitemmistä). Korkeus on kohtisuora etäisyys kannan ja vastakkai- sen sivun välillä.
Lävistäjä on jana, joka yhdistää vastakkaiset kulmat. Suorakulmion kaksi lävistäjää ovat yhtä pitkät. Jos kaksi vierekkäistä sivua ovat a ja b, suorakulmion pinta-ala on ab, piiri2(a+b) ja lävistäjä √
a2+b2.”
Suunnikas ([4, s. 364])
”Nelikulmio, jonka vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. Mikä tahansa sivu voidaan valita kannaksi; korkeus on kahden yhdensuuntaisen kan- nan välinen kohtisuora etäisyys. Lävistäjä on jana, joka yhdistää kaksi vastakkaista kulmaa. Suunnikkaalla on mm. seuraavat ominaisuudet:
(1) lävistäjät puolittavat toisensa; (2) vastakkaiset sivut ovat yhtä pit- kät; (3) vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret; (4) vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset. Kääntäen, jos nelikulmiolla on jokin em. omi- naisuus, se on suunnikas.
Suunnikkaat luokitellaan seuraavasti.Vinoneliö eli neljäkäs on suunni- kas, jossa vierekkäiset sivut ovat yhtä pitkät (ja siten kaikki sivut ovat yhtä pitkät). Suorakulmio on suunnikas, jossa kulmat ovat suoria. Ne- liö on suunnikas, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kulmat suorat.
Suunnikkaan pinta-ala on kanta kertaa korkeus. Jos sivut ovat a ja b, ja niiden välinen kulma θ, pinta-ala on absinθ.”
Säännöllinen monikulmio ([4, s. 374])
”Monikulmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja kaikki kulmat ovat yhtä suuria. Esim. tasasivuinen kolmio, neliö, jne. Jokaisen säännölli- sen monikulmion ympäri ja sisään voidaan piirtää ympyrä. Näiden kah- den ympyrän keskipistettä sanotaan säännöllisen monikulmion keski- pisteeksi. Keskuskulma on keskipisteestä kahteen vierekkäiseen kärkeen piirrettyjen janojen välinen kulma; säännöllisen n-kulmaisen monikul- mion keskuskulma on 2πn. Kaava r = acosπn antaa yhteyden ympäri
piirretyn ympyrän säteen a ja sisään piirretyn ympyrän säteen r välil- le. Yhden sivun pituus on2rtan πn; piiri on siisnkertaa tämä. Pinta-ala on puolet piiristä kertaa sisään piirretyn ympyrän säde elin r2tanπn. - - -”
Tasasivuinen kolmio ([4, s. 377-378])
”Kolmio, jonka kaikki sivut ovat yhtä pitkät ja jokainen kulma on60◦. Seuraavat kaavat pätevät tasasivuiselle kolmiolle, jonka sivu on a:
korkeus = a
√ 3 2
pinta-ala = a2
√3 4
sisään piirretyn ympyrän säde = a
√3 6
ympäri piirretyn ympyrän säde = a
√ 3 3 .”
Ympyrä ([4, s. 424-425])
”Tason käyrä, joka muodostuu kaikista niistä pisteistä, joilla on sama etäisyys (säde) annettuun kiintopisteeseen (keskipiste).Jänne on jana, joka yhdistää kaksi ympyrän pistettä toisiinsa.Halkaisijaon jänne, joka kulkee keskipisteen kautta. Halkaisijan pituus on kaksi kertaa säteen pituus.
- - -”
2.2.3 Kolmiulotteisia kappaleita
Kolmiulotteisten kappaleiden luettelossa on sellaisia yleisimpiä avaruusgeo- metrian kuvioita, joita käsitellään tämän tutkimuksen kohteena olevissa op- pikirjoissa.
Kartio ([4, s. 183-184])
”Geometriassa suljettu avaruuspinta, jonka määrittävät suljettu taso- käyräC(tukikäyrä) ja avaruuden pisteP (kärki), joka ei sijaitse samas- sa tasossa käyrän C kanssa; kartio muodostuu kaikista suorista, jotka piirretään pisteestäP käyrälleC, sekäkantapinnasta, joka on käyränC rajoittama tasopinta (ks. pyramidi). Jokaista suoraa pisteestä P käy- rälle C sanotaan kartionemäviivaksi (ks.generatis). Kartion korkeus on pisteestä P kohtisuora korkeus tasolle, jonka kantapinta määrittää.
Kartiota sanotaan ympyräkartioksi, jos tukikäyrä on ympyrä jaellipsi- seksi, jos tukikäyrä on ellipsi. Kuperassa kartiossa tukikäyrä on kupera eli konveksi. Jos tukikäyrällä on keskipiste, suoraa keskipisteen ja kär- kipisteen P välillä sanotaan akseliksi. Jos akseli on kohtisuorassa kan- tapintaa vastaan, kartiota sanotaan suoraksi, muuten vinoksi.
- - -”
Kuutio ([4, s. 224])
”Suorakulmainen suuntaissärmiö, jonka kaikki kuusi rajapintaa ovat ne-
liöitä. Siinä on 12 yhtä pitkää särmää ja 8 kulmaa. Sellaisen kuution, jonka särmän pituus ona, tilavuus ona3 ja kokonaispinta-ala on 6a2. - - - ”
Pyramidi ([4, s. 325-326])
”Monitahokas, jonka määräävät monikulmio ABC . . . ja piste V (kär- ki), joka ei ole samassa tasossa kuin monikulmio. Pyramidi on kartio, jonka tukikäyrä on monikulmio. KolmiotVAB,VBC,. . . ovat pyrami- din tahkot, monikulmio ABC . . . sen kanta ja janat VA, VB, VC, . . . sen särmät.
Pyramidia sanotaankuperaksi, jos kannan monikulmio on kupera.Kor- keus on kohtisuora etäisyys kannan tason ja kärjen välillä. Pyramidin tilavuus on 13hB, jossa h on korkeus ja B on kannan pinta-ala.
Tetraedrin eli kolmisivuisen pyramidin kanta on kolmio, nelisivuisen pyramidin kanta on nelikulmio jne. Säännöllinen pyramidi on sellai- nen, jonka kanta on säännöllinen monikulmio ja jonka korkeusjana kul- kee kannan keskipisteen O kautta. Tällaisen pyramidin tahkot ovat kongruentteja tasakylkisiä kolmioita.
Katkaistu pyramidi on avaruuskappale, joka määräytyy tasosta, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa ja leikkaa kaikki pyramidin särmät, kannasta sekä niistä alkuperäisen pyramidin sivupintojen osis- ta, jotka ovat kannan ja leikkaavan tason välissä. Katkaistun pyramidin tilavuus on 13h(B1+B2+√
B1B2), jossaB1 ja B2 ovat kantojen pinta- alat ja h on katkaistun pyramidin korkeus. Jos katkaiseva taso ei ole yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa (mutta leikkaa kaikki pyra- midin särmät), lopputulosta sanotaanvinoksi katkaistuksi pyramidiksi.
- - -”
Suora ympyräkartio ([4, s. 362])
”Kartio, jonka kanta on ympyrä ja korkeuden kantapiste on ympyrän keskipiste.”
Suorakulmainen särmiö ([4, s. 363])
”Suuntaissärmiö, jonka kannat ovat suorakulmioita ja tahkot kohtisuo- rassa kantoja vastaan. Jos kolmen samasta nurkasta lähtevän särmän pituudet ovata,bjac, tilavuus onabc, kokonaispinta-ala2(ab+bc+ca) ja lävistäjän pituus √
a2+b2+c2.”
Säännöllinen pyramidi ([4, s. 375])
”Säännöllinen pyramidi onpyramidi, jonka kanta on säännöllinen mo- nikulmio ja jonka korkeusjana kulkee kannan keskustan kautta.”
Ympyräkartio ([4, s. 425])
”Kartio, jonka kanta on ympyrä.”
3 Oppikirjavertailua
Tässä tutkimuksessa on tarkasteltu ammatillisen perusasteen matematiikan oppikirjoja. Tarkasteltavia oppikirjoja on kolmelta eri kustantajalta, yhteen- sä 14 kpl. Taulukossa 1 on lueteltu oppikirjat jaoteltuina koulutusaloittain.
Tarkemmat tiedot oppikirjoista löytyy liitteestä A. Kirjan nimen perässä sul- keissa oleva tieto viittaa kirjan tunnistetietoihin kyseisessä liitteessä. Oppi- kirjat on jaoteltu liitteessä kustantajittain siten, että oppikirjat 1a−1d ovat Editan, 2a Otavan ja3a−3i WSOY:n kustantamia.
Koulutusala Oppikirjat
Elintarvikeala, Ruokamatematiikkaa (3d)
ravitsemisala Catering-alan matematiikka (3e)
Sosiaali- ja terveysala Helmitaulu (1c)
Matematiikkaa lähihoitajalle (3a) Sosiaali- ja terveysalan matematiikka (3b) Liiketalouden ala Merkonomin matematiikka (1d)
Taloutta ja tilastoja (3i)
Tekniset alat Pythagoras 1 (1b)
Teknisten ammattien matematiikka 1 (3f) Yleisopinnot Ammattilaisen matematiikka (1a)
ProbleMatikka (2a)
Uusi Origo (3c)
Numerotaito (3g)
Erilaiset oppijat Näppärästi numeroilla (3h) Taulukko 1: Oppikirjat koulutusaloittain jaoteltuina
WSOY:nNäppärästi numeroilla on suunnattu niille opiskelijoille, joille mate- matiikan opiskelu tavallista matematiikan oppikirjaa käyttäen olisi hankalaa.
Kirjan teksti on laadittu selkeäkieliseksi ja käytännönläheiseksi. Kirjassa on 259 sivua, joista 32 sivua (12,4 %) käsittelee geometriaa. Koska kirjan sisältö on kevennetty, sitä ei ole otettu mukaan oppikirjojen keskinäiseen vertailuun.
Osassa oppikirjoista yksikkömuunnokset on sijoitettu geometria-alalukuun, joten vertailtavuuden vuoksi kyseisen aihepiirin sivut on laskettu mukaan myös niiden oppikirjojen osalta, joissa ne on sijoitettu erilleen geometriasta.
Trigonometriaa käsittelevät sivut ja tehtävät on laskettu mukaan, mutta nii- hin liittyvää aineistoa ei ole tässä tutkimuksessa sen tarkemmin käsitelty, vaan on keskitytty taso- ja avaruusgeometrian osa-alueisiin. Trigonometri- aa on käsitelty tarkasteltavana olevista oppikirjoista vain teknisten alojen oppikirjoissa ja yleisteoksissa.
Vektorit on jätetty kokonaan tämän tutkimuksen tarkastelun ulkopuolelle,
vaikka ne ovatkin osassa oppikirjoista mukana geometrian osa-alueena. Vek- toreita käsittelevät sivut on jätetty huomioimatta geometrian sivumäärissä.
Sivumääriä laskettaessa on käytetty kahta laskutapaa. Ensinnäkin on lasket- tu kokonaisina sivuina geometriaa käsittelevät sivut ja verrattu tätä sivumää- rää koko oppikirjan sivumäärään. Lisäksi on tehty silmämääräinen arvio siitä, kuinka suuri osa geometriaa käsittelevistä sivusta on teoriaa ja kuinka suuri osa esimerkkejä tai tehtäviä. Näin on saatu verrattua teorian, esimerkkien ja tehtävien sivumäärien välisiä suhteita (näistä tarkemmin alaluvussa 3.3).
Oppikirjojen sivuista keskimäärin 15,7 % käsitteli geometriaa. Tätä selkeäs- ti pienempiin osuuksiin jäivät liiketalouden oppikirjat ja sosiaali- ja tervey- salan oppikirjoista muut, paitsi Helmitaulu (1c). Selkeästi suurempi osuus geometriaa puolestaan löytyy teknisten alojen oppikirjoista, yleisopintojen oppikirjoista ja ravitsemisalan oppikirjasta Ruokamatematiikkaa (3d) (vrt.
kuva 1).
Kuva 1: Geometrian osuus koko oppikirjan sivumäärästä (kirjojen tunniste- tiedot liitteessä A)
Osassa oppikirjoista teoriaosuus on käsitelty kokonaan ensin ja esimerkit ja tehtävät tulevat tämän jälkeen, mutta osassa oppikirjoista teoria, esimerkit ja tehtävät vuorottelevat pienempinä asiakokonaisuuksina. Kirjassa Teknisten ammattien matematiikka 1 (3f ) kaikki kirjan harjoitustehtävät on sijoitettu kirjan loppuun omaksi kokonaisuudekseen.
Eri tavoilla on omat hyvät ja huonot puolensa. Kun teoria käsitellään pie- nissä osissa, on oppilaiden helppo yhdistää tehtävien ongelmat ja teoriassa esitellyt kaavat toisiinsa. Toisaalta tämä tapa on myös huono, sillä tällöin ei
edesauteta oppilaiden oman ongelmanratkaisukyvyn kehittymistä eikä kehi- tetä taitoa valita oikea kaava oikeaan tilanteeseen.
Jos isomman asiakokonaisuuden teoriaosuus on kokonaan ensin ja esimerkit tämän jälkeen ja vasta sitten tulevat tehtävät, saadaan paremmin koottua saman aihealueen asiat kokonaisuudeksi ja oppilaiden ongelmanratkaisutai- to ja oikean kaavan valinta pääsevät koetukselle. Toisaalta tällöin joudutaan oppitunnin asiasisällön mukaan käymään asioita läpi sieltä täältä, mikä voi aiheuttaa epäselvyyttä, jos oppilaat eivät osaa yhdistää teoriaa, esimerkkejä ja tehtäviä toisiinsa.
Se, että ovatko harjoitustehtävät välittömästi isomman teoriakokonaisuuden perässä, vai vasta kirjan loppuun koottuna, ei sinänsä eroa toisistaan kirjan käytön kannalta. Harjoitusten kokoaminen kirjan loppuun on eduksi siinä mielessä, että tällöin kirjan alkuosa on yhtenäisempi ja tiiviimpi teoriapaket- ti, jota harjoitustehtäväsivut eivät katkaise.
3.1 Opetussuunnitelmien perusteet
Opetushallituksen laatimien opetussuunnitelman perusteiden osalta ei oteta tarkkaan kantaa siihen, mitä asioita geometriasta tulisi kullakin koulutusalal- la opiskella. Eri koulutusalojen opetussuunnitelmien perusteita tutkittaessa voidaankin havaita niiden olevan lähes samansisältöisiä.
Tähän on esimerkkinä poimittu matkailu-, ravitsemis- ja talousalanCatering- alan perustutkinnon opetussuunnitelman perusteista (valmistunut 17.2.2000, astunut voimaan 1.8.2000 alkaen) [6] yhteisten opintojen tavoitteet, keskeiset sisällöt ja arviointi matematiikan osalta, ja sieltä erityisesti geometrian osuus.
Tavoitteet ja keskeiset sisällöt on eritelty kiitettävän tason ja tyydyttävän tason osuuksiin.
Kiitettävä taso ([6, s. 29-30])
”Opiskelijan tulee osata tulevassa ammatissaan monipuolisesti sovel- taa matematiikkaa ja käyttää sitä ongelmanratkaisussa. Opiskelijan on osattava sujuvasti peruslaskutoimitukset, kuten prosenttilaskenta ja yksiköiden muuntaminen, ammattiinsa liittyvissä tehtävissä. - - - Opiskelijan on osattava soveltaa geometriaa catering-alan vaatimassa laajuudessa, esimerkiksi laskea pinta-aloja ja tilavuuksia ja käyttää mit- takaavaa.
• Keskeinen sisältö on ammatissa esiintyvien matemaattisten teh- tävien ratkaisu käyttäen hyväksi peruslaskutoimituksia, mallinta- mista ja geometriaa.
- - -”
Tyydyttävä taso ([6, s. 30])
”Opiskelijan tulee osata - - -
• laskea käyttämiensä yleisimpien kappaleiden pinta-aloja ja tila- vuuksia
- - -”
Opetussuunnitelmien perusteiden ollessa näin avoimet, jää oppilaitoksille hy- vinkin vapaat kädet laatia tarkempi opetussuunnitelma.
Myös oppikirjojen tekijöillä on vapaus käyttää omaa harkintaansa esimerkik- si yllä mainittujen ”ammattiinsa liittyvissä tehtävissä” -tyyppisten asioiden kokoamiseen oppikirjaksi.
Avoimuus antaa paljon vapautta, mutta tuo myös vastuuta. Kun valtakun- nallisesti ei ole yksiselitteisesti määritelty, mitä asioita oppimäärään sisältyy, saattaa eri oppilaitoksissa tulla pieniä eroja opiskeltavien asioiden sisältöi- hin. Opetushenkilökunnan ammattitaidon ja työelämätuntemuksen puitteis- sa voidaan rajata käsiteltävät asiat sellaisiksi, joita kyseisellä alalla käytän- nön työelämässä tarvitaan. Eikä myöskään ole kiellettyä ottaa oppimäärään mukaan yleishyödyllisiä asioita oman alan ulkopuolelta.
Monialaisissa ammattioppilaitoksissa yleisopintojen matematiikan opettaja joutuu työssään kohtaamaan useiden eri alojen oppilaita, jolloin hänellä ei voi olla omakohtaista kokemusta jokaisen alan tarpeista. Tällöin korostuu oppikirjojen tekijöiden ammattitaidon merkitys. Alakohtaisissa oppikirjois- sa sisältö lienee hyvinkin loppuun saakka mietittyä, mutta yleisteoksissa on varmasti jouduttu tekemään rajauksia, ainakin harjoitustehtävien aiheiden suhteen. Opettajalle jää aina kuitenkin vapaat kädet karsia tai lisätä oppi- kirjojen asiasisältöä vastaamaan kunkin oppilasryhmän tarpeita.
3.2 Alakohtaista vertailua
Seuraavassa tarkastellaan oppikirjoja koulutusalakohtaisesti jaoteltuna. Jako koulutusaloihin on tutkimuksen tekijän oma näkemys tutkittavana olevista oppikirjoista, kuitenkin huomioiden oppikirjojen tekijöiden kuvaukset kirjo- jen esipuheissa. Koulutusalat on poimittu opetushallituksen verkkosivuilta (vrt. liite B).
3.2.1 Yleisteokset
Ammatillisen peruskoulutuksen yleisopinnoissa käytettäväksi soveltuvat op- pikirjat ovatAmmattilaisen matematiikka,ProbleMatikka,Uusi OrigojaNu-
merotaito. Taulukossa 2 on esitetty näiden oppikirjojen kokonaissivumäärät sekä geometriaan käytettyjen sivujen osuus koko kirjasta.
Kirja Sivuja Geometriasivuja %
Ammattilaisen matematiikka 287 39 18,8 %
ProbleMatikka 187 39 21,9 %
Uusi Origo 260 44 20,4 %
Numerotaito 237 49 23,6 %
Taulukko 2: Yleisteosten sivumäärät
Kaikissa neljässä oppikirjassa on geometria jaettu alalukuihin (esim. tasogeo- metria, avaruusgeometria) ja kukin alaluku esittelee ensin teorian, esimerk- kejä käyttäen, ja tämän jälkeen seuraa harjoitustehtävät.
Numerotaidossa harjoitustehtävät on jaettu kolmeen eri tasoon, joista taso 1 on perustehtäviä ja taso 3 haastavia tehtäviä. Tämä mahdollistaa oppilaiden eriyttämisen ratkaisemaan kunkin omien taitojen mukaisia tehtäviä. Muut oppikirjat jättävät tehtävien vaikeustason arvioinnin opettajan harkinnan varaan.
3.2.2 Elintarvike- ja ravitsemisalat
Elintarvike- ja ravitsemisalojen käyttöön on tarjolla kaksi oppikirjaa,Ruoka- matematiikkaa jaCatering-alan matematiikka (ks. taulukko 3). NäistäRuo- kamatematiikkaa on koko oppikirjajoukon runsaimmin kuvitettu oppikirja.
Kuvia on käytetty runsaasti mm. harjoitustehtävien havainnollistamisessa.
Kirja Sivuja Geometriasivuja %
Ruokamatematiikkaa 153 30 19,6 %
Catering-alan matematiikka 133 14 10,5 %
Taulukko 3: Elintarvike- ja ravitsemisalojen oppikirjojen sivumäärät Ruokamatematiikkaa -kirjassa on yksikkömuunnosten lisäksi käsitelty taso- kuvioita ja kolmiulotteisia kappaleita. Catering-alan matematiikka -kirjan geometriaosuus keskittyy lähinnä yksikkömuunnoksiin pinta-ala- ja tilavuus- laskujen osuuden jäädessä muutaman harjoitustehtävän varaan osiossa ”Li- sätehtäviä nopeille”.
Esimerkki 3.1 osoittaa kuinka hyvin tehtävissä on osattu huomioida ravitse- musala niin, että geometrisia taitoja voidaan hyödyntää.
Esimerkki 3.1. (liite A 3d, s. 88, tehtävä 17)
Pyöreäpohjaiseen hyytelökakkuun, jonka halkaisija on 30 cm, tarvitaan täy- tettä 12 dl. Kuinka paljon täytettä tarvitaan suorakaiteen muotoiseen kak- kuun (30 cm x 45 cm), jos hyytelökerroksen halutaan olevan yhtä paksu kuin pyöreäpohjaisessa kakussa?
3.2.3 Sosiaali- ja terveysala
Sosiaali- ja terveysalan opintoihin soveltuvia oppikirjoja on kolme,Helmitau- lu, Matematiikkaa lähihoitajalle ja Sosiaali- ja terveysalan matematiikka.
Kirja Sivuja Geometriasivuja %
Helmitaulu 326 51 15,6 %
Matematiikkaa lähihoitajalle 180 5 2,8 %
Sosiaali- ja terveysalan matematiikka 277 26 9,4 % Taulukko 4: Sosiaali- ja terveysalan oppikirjojen sivumäärät Näistä Matematiikkaa lähihoitajalle sisältää vain yksikkömuunnoksia.
Helmitaulu jaSosiaali- ja terveysalan matematiikka sisältävät yksikkömuun- nosten lisäksi taso- ja avaruusgeometrian yleisimmät kuviot ja niihin liittyvät laskukaavat (näistä tarkemmin luvussa 3.3).
Helmitaulu käsittelee geometriaa muita saman koulutusalan oppikirjoja laa- jemmin (ks. taulukko 4). Sisällöllisesti se ei kuitenkaan eroa kirjassaSosiaali- ja terveysalan matematiikka käsiteltävistä asioista.
Kaikkien kirjojen tehtävät ovat sisällöltään hyvin yleisluontoisia (vrt. esi- merkki 3.2). Yksi tehtävä on positiivinen poikkeus, koska siinä on ongel- manasettelussa käytetty ”houkuttimena” alakohtaista terminologiaa (vrt. esi- merkki 3.3).
Esimerkki 3.2. (liite A 1c, s. 237, tehtävä 5)
Kellon minuuttiviisari on 8,0 cm pitkä. Kuinka pitkän matkan sen kärki kul- kee 15 minuutissa?
Esimerkki 3.3. (liite A 3b, s. 137, tehtävä 2)
Mikä on sellaisen lääkeruiskun halkaisija, jonka asteikolla 1,0 ml:n tilavuus on 1,0 cm:n korkuinen?
3.2.4 Liiketalous
Kaikista tarkastelluista oppikirjoista vähiten geometriaa on liiketalouden op- pikirjoissa Merkonomin matematiikka ja Taloutta ja tilastoja (ks. taulukko 5).
Kirja Sivuja Geometriasivuja %
Merkonomin matematiikka 326 15 4,6 %
Taloutta ja tilastoja 349 19 5,4 %
Taulukko 5: Liiketalouden oppikirjojen sivumäärät
Näistä Taloutta ja tilastoja -kirjassa geometriaa käsittelevä luku on otsikoitu
”Pinta-aloja ja tilavuuksia”, mikä kuvaa hyvin ko. luvun sisältöä. Luvussa käydään läpi tavallisimmat tasokuviot ja kolmiulotteiset kappaleet.
Merkonomin matematiikka sisällyttää geometria-alaotsikon alle mittayksi- köt, tasokuviot ja kolmiulotteiset kappaleet. Myös tässä kirjassa käydään läpi vain tavallisimpiin kuvioihin ja kappaleisiin liittyvät laskukaavat.
Jo oppikirjan nimiMerkonomin matematiikka kertoo, millaisille opiskelijoille kirja on suunnattu. Oppikirjan tehtävistä suurin osa on hyvin yleispäteviä, mutta mukana on myös tehtäviä, joiden voidaan katsoa olevan kaupallisesti suunnattuja (vrt. esimerkki 3.4). MyösTaloutta ja tilastoja -kirjan tehtävistä suurin osa on enemmän yleispäteviä kuin alakohtaisesti suunnattuja.
Esimerkki 3.4. (liite A 1d, s. 73, tehtävä 5)
Ulkomainostaulu on 460 cm leveä ja 220 cm korkea. Kuinka suuri on mai- nostaulun pinta-ala neliömetreinä?
3.2.5 Tekniset alat
Pythagoras 1 ja Teknisten ammattien matematiikka 1 menevät geometrian sisällöissä muita oppikirjoja syvemmälle. Tämä näkyy myös geometrian osuu- dessa oppikirjojen sisällössä (ks. taulukko 6).
Kirja Sivuja Geometriasivuja %
Pythagoras 1 306 61 30,4 %
Teknisten ammattien matematiikka 1 277 54 22,4 % Taulukko 6: Teknisten alojen oppikirjojen sivumäärät
Teknisten ammattien matematiikka 1 esittelee ainoana oppikirjana pyöräh- dyskappaleet ja niihin liittyvät pyörähdyspinnan alan ja tilavuuden lasku- kaavat.
Teknisten alojen kirjoissa on eniten alakohtaisesti suunnattuja tehtäviä (vrt.
esimerkiksi esimerkki 3.5) verrattuna muiden alojen oppikirjoihin. Tämä hou- kuttaa tekemään johtopäätöksen, että geometriaa tarvittaisiin teknisillä aloil- la enemmän kuin joillain muilla aloilla. Toinen vaihtoehto voi olla myös se, että teknisiin laitteisiin liittyvät tehtäväksiannot vaikuttavat ”hienommilta”, joten niitä käytetään runsaasti, kun muilla aloilla pitäydytään yleisluontei- sissa tehtävissä.
Esimerkki 3.5. (liite A 1b, s. 233, tehtävä 3117)
Halkaisijaltaan 80 mm:n akseliin on porattava reikä, jonka ala on puolet akselin poikkileikkausalasta. Kuinka suuri on reiän halkaisijan oltava?
3.3 Teorian osuus
Kuvassa 2 on verrattu oppikirjoissa teoriaan, esimerkkeihin ja harjoitustehtä- viin käytettyjen sivumäärien suhdetta. Teoriaksi on laskettu kaavojen esittely ja niihin mahdollisesti liittyvät selvennykset. Sivumääristä on pyritty karsi- maan pois kuvien käyttö silloin, kun kuvat eivät suoranaisesti ole liittyneet käsiteltyyn aiheeseen. Teorian, esimerkkien ja harjoitustehtävien sivumäärät ovat siis ”puhtaasti asiaa” sisältävä osuus geometrian sivuista.
Kuvasta erottuu Catering-alan matematiikka (3e), jossa on selvästi eniten harjoitustehtäväsivuja suhteessa teoriaan ja esimerkkeihin. Vähiten harjoi- tustehtäväsivuja on oppikirjassa Merkonomin matematiikka (1d).
Kuva 2: Teorian, esimerkkien ja tehtävien suhde sivuina (kirjojen tunniste- tiedot liitteessä A)
3.3.1 Yleisimpiä käsitteitä
Taulukkoon 7 on koottu yleisimpien käsitteiden käyttöä tarkasteltavana ol- leissa oppikirjoissa.
Kirja Matematiikkaa lähihoitajalle (3a) erottuu, koska siinä käsittely rajoit- tuu yksikkömuunnoksiin (ks. alaluku 3.2.3).
3.3.2 Tasokuvioita
Yleisteoksissa sekä teknisten alojen oppikirjoissa on taulukossa 8 esitettyjen kuvioiden lisäksi esitelty myös säännöllisen monikulmion pinta-alan laskemi-
Käsite 3d 3e 1c 3a 3b 1d 3i 1b 3f 1a 2a 3c 3g
Pituus x x x x x x x x x x x x
Kanta x x x x x x x x x x
Korkeus x x x x x x x x x x x
Piiri, kehä x x x x x x x x x x x x
Pinta-ala x x x x x x x x x x x x x
Tilavuus x x x x x x x x x x x x x
Säde x x x x x x x x x x x x
Halkaisija x x x x x x x x x x x x
Lävistäjä x x x x x x
Pohja x x x x x x x x x x x
Pinta x x x x x x x x
Tahko x x x x x x x
Särmä x x x x x x x x
Vaippa x x x x x x x x x
Taulukko 7: Yleisimpiä käsitteitä (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) nen. Yleisteoksista Uusi Origo (3c) ja Numerotaito (3g) esittelevät lisäksi myös epäsäännöllisen monikulmion pinta-alan laskemisen.
Kuvio 3d 3e 1c 3a 3b 1d 3i 1b 3f 1a 2a 3c 3g
Suorakulmio x x x x x x x x x x x x
Neliö x x x x x x x x x x x x
Suunnikas x x x x x x x x x x x x
Vinoneliö x x x x x
Puolisuunnikas x x x x x x x x x x x
Kolmio x x x x x x x x x x x x
Ympyrä x x x x x x x x x x x x
Ellipsi x
Monikulmio x x x x x x x x
Taulukko 8: Tasokuviot (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A)
Useimmissa oppikirjoista on kolmion kulmien summa kerrottu faktana mui- den joukossa. Lauseen paikkansapitävyyttä ei ole näissä oppikirjoissa todis- tettu.
Lause 3.1 (Kolmion kulmien summa). Kolmion kulmien summa on 180◦. Suurimmassa osassa oppikirjoja on kolmioiden osalta erikseen käyty läpi suo- rakulmainen kolmio ja tasasivuinen kolmio. Osassa on näiden lisäksi esitelty myös tasakylkinen kolmio.
Pythagoraan lause [vrt. lause 3.2 (liite A 1b, s. 177)] on esitelty kaikissa
oppikirjoissa lukuun ottamatta kirjoja Catering-alan matematiikka (3e) ja Matematiikkaa lähihoitajalle (3a).
Lause 3.2 (Pythagoraan lause). Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusan neliö on kateettien neliöiden summa eli
c2 =a2+b2.
Vaikka Pythagoraan lause on esitelty suurimmassa osassa oppikirjoista, sitä ei ole kaikissa kirjoissa todistettu.
Vaikka matemaattinen todistaminen ei sisällykään ammatillisen perusasteen oppimäärään tavoitteisiin, on Pythagoraan lause niin yleiskäyttöinen, että sen todistuksen esittäminen voitaisiin katsoa kuuluvaksi yleissivistävän ai- neksen piiriin. Todistuksen olisikin voinut sisällyttää kaikkiin Pythagoraan lauseen esitteleviin oppikirjoihin.
Muilta osinhan ei ratkaisukaavoja ole edes esitetty matemaattisina lauseina.
Kaavojen käyttäminen lauseiksi muotoiltuna ja niiden todistaminen toisikin ammatillisella puolella vain turhaa teoreettisuutta matematiikkaan. Tarkoi- tuksenahan on kuitenkin tuoda matematiikka osaksi käytännön ongelmien ratkaisua, eikä todistaa, mihin ongelmanratkaisussa käytetyt kaavat perustu- vat.
3.3.3 Kolmiulotteisia kappaleita
Taulukko 9 havainnollistaa oppikirjoissa esiteltyjen kolmiulotteisten kappa- leiden käsittelyä.
Kappale 3d 3e 1c 3a 3b 1d 3i 1b 3f 1a 2a 3c 3g
Suorakulmainen
särmiö x x x x x x x x x x x x
Kuutio x x x x x x x x x x x x
Suora
ympyrälieriö x x x x x x x x x x x x
Muut lieriöt x x x x x x
Kartio x x x x x x x x x x x
Pyramidi x x x x x x x x x x x
Pallo x x x x x x x x x x x
Taulukko 9: Kolmiulotteiset kappaleet (kirjojen tunnistetiedot liitteessä A) Taulukossa esitettyjen kappaleiden lisäksi on kirjoissa Ruokamatematiikkaa (3d),Pythagoras 1 (1b),Ammattilaisen matematiikka (1a)jaUusi Origo (3c) erikseen esitetty katkaistu pyramidi, sekä kirjassaNumerotaito (3g) edellisen lisäksi myös katkaistu kartio.
3.4 Tehtävien määrä ja laatu
Tehtävien määrässä on jokainen alakohta (esimerkiksi1a,1b,1cjne.) lasket- tu omaksi tehtäväkseen. ”Laskutehtäväksi” on tässä tutkimuksessa luokiteltu sellaiset tehtävät, joissa ratkaisu voidaan laskea suoraan nähtävissä olevilla lukuarvoilla. ”Sanallisen tehtävän” ratkaisemisessa tarvitaan ongelman hah- mottamista, mallikuvan piirtämistä, yhden tai useamman kaavan soveltamis- ta jne. (vrt. kuva 3).
Kuva 3: Lasku- ja sanallisten tehtävien suhde (kirjojen tunnistetiedot liit- teessä A)
Kaikki muut oppikirjat antavat kirjan lopussa harjoitustehtäviin oikeat vas- taukset, paitsi Uusi Origo (3c), jossa vastauksia ei ole annettu ollenkaan.
Missään oppikirjassa ei ole annettu valmiita ratkaisuja, vaan pelkät vastauk- set. Tämä on geometrian osalta ihan hyvä periaate, sillä samaan lopputulok- seen voidaan joissain tapauksissa päästä erilaisilla ratkaisuilla, jolloin vain yhden ratkaisutavan esittäminen oikeana ratkaisuna olisi hyvin harhaanjoh- tavaa. Toisaalta pitää muistaa myös, että matematiikassa ei saa tyytyä pelk- kään oikeaan vastaukseen, vaan oppilaita tulisi kannustaa kirjaamaan ylös ratkaisun välivaiheita. Lähes kaikissa oppikirjojen esittämissä esimerkeissä näin on tehtykin, mutta opettajan tulisi edellyttää samaa myös oppilailta.
Jos oppilaalla on tehtävästä pelkkä virheellinen lopputulos, hän ei mistään näe, missä kohdassa virhe on syntynyt.
4 Yhteenveto
Tarkastelluissa oppikirjoissa ei pääsääntöisesti käydä läpi asioita kovin teo- reettisesti. Kaavat ovatkin suurimmaksi osaksi tuttuja jo peruskoulun oppi- määrästä. Oppikirjoissa on yleisenä metodina ensin palauttaa mieleen kaava ja konkretisoida se jollakin perusesimerkillä, jonka jälkeen sitä voidaan sovel- taa alakohtaisiin harjoitustehtäviin. Tämä lähestymistapa vie oppilaan suo- raan omaa alaa, ja oletettavasti silloin myös omaa kiinnostuksen kohdetta koskeviin asioihin. Toki kaikille koulutusaloille ei ole tarjolla omia alakohtai- sia oppikirjoja ja yleisteoksissa on jouduttu tekemään karsintaa esimerkkien ja harjoitustehtävien aiheiden suhteen, jotta oppikirjojen sivumäärät pysyi- sivät kohtuullisina. Kuitenkin myös yleisteoksista löytyy aihealueita hyvin laajalti ja niistä voidaan poimia erityisesti oman alan harjoitustehtävät se- kä sellaiset harjoitustehtävät, joiden aihealueiden voidaan katsoa liittyvän jokapäiväisiin arjen ongelmanratkaisuihin.
Tämä oppikirjakokoelma olisi hyvä olla myös jokaisen peruskoulun ja lu- kion matematiikan opettajan käytettävissä. Useinhan oppilailla on vaikeuk- sia asioiden liittämisessä käytännön ongelmiin, mutta näistä ammatillisista oppikirjoista opettaja voisi valita eri alojen tehtäviä lisätehtäviksi. Tällöin myös valitettavan yleinen ajatus siitä, että matematiikkaa ei peruskoulun jälkeen enää tarvita mihinkään, voitaisiin osoittaa vääräksi ja näyttää, mihin konkreettisiin asioihin sitä sovelletaan työelämässä.
Ammatillisessa oppilaitoksessa työskentelevän matematiikan opettajan on helppo kerryttää omaakin tehtäväpankkia, sillä hänellä on käytettävissään oman oppilaitoksensa koulutusalojen ammattiaineiden opettajien tietämys kunkin alan tyypillisimmistä matemaattisesti ratkaistavista ongelmista. Yh- teistyö opetushenkilökunnan kesken on kaikkia osapuolia hyödyttävää, sillä matematiikan tunneilla ”teoriassa” tehty laskuharjoittelu on varmasti hyö- dyksi ammattiaineiden tunneilla käytännön tehtävissä. Näin saadaan myös purettua oppituntien välistä rajaa yleisaineiden ja ammattiaineiden välillä, ja tuotua lisää käytännönläheisyyttä myös yleisaineiden oppitunneille.
Jos opettajan oma tehtäväpankki on laajempi ja kattavampi kuin oppikir- jan tarjoamat tehtävät, herää kysymys oppikirjan tarpeellisuudesta. Ilman oppikirjaa opettajan tulisi tarjota oppilaille materiaali myös teorian ja esi- merkkien osalta, joten oppikirjan voidaan katsoa olevan joka tapauksessa kannattava apuväline. Eri kustantajien tarjoamia oppikirjoja kannattaa ver- tailla kokonaisuuksina ja valita niistä omaa opetustapaa parhaiten tukeva teos.
Editan, Otavan ja WSOY:n lisäksi oppikirjoja ammatillisiin opintoihin löy- tyy muiltakin kustantajilta. Esimerkiksi Pii-Kirjat Ky kustantaa liiketalou- den opintoihin suunnattuja oppikirjoja.
Tässä tarkasteltujen teosten lisäksi huomionarvoinen teos on Lasketaan lan-
gasta [5], joka on yksi TiNA - Tietoteollisuuden naiset -projektin tuotteista ja sisältää tekstiilityöhön liittyviä tehtäviä matematiikan, fysiikan ja kemian alueilta. Teoksessa on omat alaluvut taso- ja avaruusgeometrialle. Lisätie- toja projektista sekä teoksen sähköinen versio on saatavilla www-sivuilta:
http://tina.tkk.fi/.
Viitteet
[1] Kivelä, S. K. M niinkuin matematiikka. MFKA-Kustannus Oy, 2000.
[2] Lehtinen, M. Matematiikan historia. http://solmu.math.helsinki.fi/
2000/mathist/ 9.7.2009.
[3] Lehtinen, M., Merikoski, J., Tossavainen, T. Johdatus tasogeometriaan.
WSOY Oppimateriaalit, 2007.
[4] Thompson, J., Martinson, T.Matematiikan käsikirja. Tammi, 1994.
[5] Vähävihu, E. Lasketaan langasta. MFKA-Kustannus Oy, 2006.
[6] Ammatillisen peruskoulutuksen opetussuunnitelman ja näyttötutkinnon perusteet. Catering-alan perustutkinto. Opetushallitus, 2000.
A Oppikirjat
1. Edita
(a) Asunta, J., Ilomäki, R., Kämäräinen, K., Pösö, J., Tanila, J. Am- mattilaisen matematiikka. Edita, 2008.
(b) Aunola, H., Ilomäki, R., Keskinen, R., Nieminen, P., Pösö, J., Salo- nen, R., Tanila, J.Pythagoras 1. Tekniikan ammattimatematiikka.
Edita, 8.-9.painos 2006.
(c) Koivula, P., Niemi, J.Helmitaulu. Lähihoitajan matematiikka. Edi- ta, 2007.
(d) Saaranen, P., Kolttola, E., Pösö, J. Merkonomin matematiikka.
Edita, 1.-3. painos 2007.
2. Otava
(a) Karvonen, E., Koskinen, K.M.E., Möller, K., Poskela, T. Proble- Matikka. Matematiikka yhteisiin ammatillisiin opintoihin. Otava, Uudistetun laitoksen 6. painos 2006.
3. WSOY
(a) Ernvall, S., Pulli, A., Salonen, A.-M.Matematiikkaa lähihoitajalle.
WSOY, 1. painos 2008.
(b) Ernvall, S., Pulli, A., Salonen, A.-M. Sosiaali- ja terveysalan ma- tematiikka. WSOY, 4.-6. painos 2005.
(c) Helakorpi, S., Ansaharju, T. Uusi Origo. Ammatillinen matema- tiikka. WSOY, 5.-6. eurotarkistettu painos 2004.
(d) Häikiö, I., Ratilainen, A. Ruokamatematiikkaa. WSOY, 1.-3. pai- nos 2007.
(e) Jobe, T., Hakala, M. Catering-alan matematiikka. WSOY, 2.-5.
painos 2006.
(f) Kinnunen, V., Launonen, E., Sorvali, E, Toivonen, P. Teknisten ammattien matematiikka 1. WSOY, 9. painos 2006.
(g) Laakkonen, P., Salminen, M., Kettunen, E. Numerotaito. Amma- tillinen matematiikka. WSOY, 1. painos 2007.
(h) Peltola, M., Vuorenmaa S. Näppärästi numeroilla. Ammatillista matematiikkaa erilaiselle oppijoille. WSOY, 1. painos 2006.
(i) Pulkkinen, P. Taloutta ja tilastoja. Liiketalouden matematiikka.
WSOY, 1. painos 2005.
B Ammatilliset perustutkinnot
http://www.oph.fi→Opetussuunnitelmien ja tutkintojen perusteet
→Ammatilliset perustutkinnot
• Humanistinen ja kasvatusala
– Viittomakielisen ohjauksen perustutkinto – Lapsi- ja perhetyön perustutkinto
– Nuoriso- ja vapaa-ajanohjauksen perustutkinto
• Kulttuuriala
– Käsi- ja taideteollisuusalan perustutkinto – Audiovisuaalisen viestinnän perustutkinto – Kuvallisen ilmaisun perustutkinto
– Tanssialan perustutkinto – Musiikkialan perustutkinto – Sirkusalan perustutkinto
• Yhteiskuntatieteiden, liiketalouden ja hallinnon ala – Liiketalouden perustutkinto
• Luonnontieteiden ala
– Tietojenkäsittelyn perustutkinto
• Tekniikan ja liikenteen ala – Jalkinealan perustutkinto – Tekstiilialan perustutkinto – Vaatetusalan perustutkinto – Painoviestinnän perustutkinto – Kone- ja metallialan perustutkinto – Talotekniikan perustutkinto
– Autoalan perustutkinto
– Lentokoneasennuksen perustutkinto – Lennonjohdon perustutkinto
– Logistiikan perustutkinto
– Sähköalan perustutkinto – Rakennusalan perustutkinto – Maanmittausalan perustutkinto – Puualan perustutkinto
– Veneenrakennuksen perustutkinto – Verhoilu- ja sisustusalan perustutkinto – Pintakäsittelyalan perustutkinto – Kemiantekniikan perustutkinto – Laboratorioalan perustutkinto – Paperiteollisuuden perustutkinto – Elintarvikealan perustutkinto – Merenkulkualan perustutkinto
– Kello- ja mikromekaniikan perustutkinto – Suunnitteluassistentin perustutkinto – Turvallisuusalan perustutkinto
• Luonnonvara- ja ympäristöala – Maatalousalan perustutkinto – Puutarhatalouden perustutkinto – Kalatalouden perustutkinto – Metsäalan perustutkinto
– Luonto- ja ympäristöalan perustutkinto
• Sosiaali-, terveys- ja liikunta-ala
– Sosiaali- ja terveysalan perustutkinto – Hammastekniikan perustutkinto – Lääkealan perustutkinto
– Hiusalan perustutkinto
– Kauneudenhoitoalan perustutkinto – Liikunnanohjauksen perustutkinto
• Matkailu-, ravitsemis- ja talousala – Matkailualan perustutkinto – Catering-alan perustutkinto
– Hotelli- ja ravintola-alan perustutkinto
– Kotitalous- ja kuluttajapalvelun perustutkinto – Puhdistuspalvelujen perustutkinto
• Valmentava ja valmistava koulutus
