Rekonstruktioissa käytettiin kolmea erilaista Gaussista priorijakaumaa. Kaikilla priorijakaumilla käytettiin odotusarvona vektoriaηx= [ηµa, ηµs′]T, missäηµaja ηµs′ on alueen absorptio- ja sirontakertoimien keskiarvo. Jakaumien kovarians-sina käytettiin matriisia σx,sΓvastaavasti sirontakertoimen priorikovarianssimatriisi. MatriisiΓon muo-dostettu kappaleessa 4.2 esitetyllä tavalla kullekin priorille käyttäen taulukon 4
Absorptioµa Sirontaµ′s
Suoni1mmSuoni9mm
Kuva 5: Absorptio- ja sirontakertoimien todelliset arvot molemmissa geomet-rioissa aallonpituudedella 1100 nm. Ylemmällä rivillä on esitetty Suoni1mm-geometrian parametrien arvot ja alemmalla rivillä Suoni9mm-Suoni1mm-geometrian pa-rametrien arvot. Kummankin geometrian keskellä on valonlähde, jota ympäröi veri (µa= 0.04). Kaikista heikoiten absorboiva alue on lipideistä koostuva pla-kin sisus (µa = 0.01). Muut rakenteet suonen sisällä ovat fibroottista kudosta (µa= 0.03). Geometrian ulkoreunalla on suonen seinämää (µa= 0.02) Punaiset katkoviivat absorptiokertoimien kuvissa merkitsevät poikkileikkaussuoria, joita pitkin kuvan 10 käyrät on piirretty.
parametrejä ellei toisin mainita ja varianssit σx,a= 1
16(max(µa,real)−min(µa,real))2 (48) ja
σx,s= 1
16(max(µ′s,real)−min(µ′s,real))2 (49) skaalaavat kovarianssimatriisin. Näytteistyksiä absorptiorekonstruktioissa käy-tetyistä priorijakaumista on esitetty kuvassa 1.
Kaikkien rekonstruktioiden optimointiongelmat ratkaistiin käyttämällä Gauss-Newton -iteraatiota. Iteraatioaskeleita otettiin 10 ja jokaisen askeleen pituusk määritettiin viivahakualgoritmilla väliltä k ∈ [0,2]. Gauss-Newton -iteraation
Taulukko 4: Rekonstruktioissa käytettyjen sileyspriorien karakteristiset pituu-detl kummassakin geometriassa. Karakterististen pituuksien yksikkö on mm.
Priorin nimi Suoni1mm Suoni9mm
OU l= 0.1 l= 1
AOU ltan= 0.4, lrad= 0.1 ltan = 4,lrad = 1
muuttujien alkuarvona käytettiin todellisen absorptio- ja sirontakertoimien me-diaaniarvoja. Kaikki rekonstruktiot suppenivat alle seitsemällä iteraatiolla. Kun-kin rekonstruktion laskemisessa kului noin kolme tuntia.
Rekonstruktioiden luotettavuutta tutkittiin posteriorijakauman Gaussisel-la approksimaatiolGaussisel-la MAP-estimaattien ympäristöissä kaavan (35) mukaisesti.
Luotettavuusväliksi valittiin kaksi keskipoikkeamaa.
Rekonstruktioiden virheitä tutkittiin prosentuaalisten suhteellisten virhei-den avulla spatiaalisesti sekä koko alueen kattavasti. Molemmissa tapauksissa µreal on rekonstruktiohilaan interpoloidut todelliset arvot. Rekonstruktioiden spatiaalisia suhteellisia virheitä määritettiin rekonstruktioalueen kullekin ele-mentilleikaavalla
SVi= 100%· |µiest−µireal|
µireal , (50)
missä µi on kertoimen µ arvo i:nnessä FEM-kantafunktiossa. Rekonstruktion laatu voitiin myös ilmaista yksittäisenä numerona koko alueen kattavasti. Täl-löin virhe laskettiin prosentuaalisella ratkaisun normin suhteellisella virheellä
SV= 100%·||µest−µreal||
||µreal|| , (51)
missä µest (µreal) on joko estimoitu (todellinen) absorptio- tai sirontakerroin tilanteesta riippuen.
6 Tulokset
6.1 Kohinatason vaikutus rekonstruktioon
Kohinatason vaikutusta rekonstruktion laatuun tutkittiin kuvan 5 mukaisessa tilanteessa molemmissa geometrioissa. Valon aallonpituutena oli 1100 nm. Kai-kissa tapauksissa simuloitiin data käyttäen 30 kohinan keskipoikkeaman arvoa väleiltä 0.1 % - 5 % alkupaineenp0 kokonaisvaihteluvälistä.
Suoni1mm-geometrian rekonstruktiot eri kohinan arvoilla jokaisella kolmella eri priorilla on esitetty kuvassa 6 ja näiden rekonstruktioiden suhteelliset virheet kuvassa 7. Suoni1mm-geometrian pääasiallinen tarkoitus oli tutkia estimaattien stabiiliutta mahdollisimman hyväkuntoisella datalla, jossa koko geometria tulee valaistuksi. Absorptiokerrointen estimaattien laatu Suoni1mm-geometriassa il-menee myös estimoiduista absorptiojakaumista ja niiden suhteellisista virheistä kuvista 6 ja 7. Kuvan 6 absorptioestimaatit näyttävät visuaalisesti tarkasteltu-na liki samoilta kuin kuvassa 5 esitetyt oikeat absorption arvot sekä kuvan 7 absorptioestimaatin suhteelliset virheet ovat liki nollaa kaikkialla alueessa. Sen sijaan molempien geometrioiden sirontaestimaattien suhteelliset virheet kohina-tason funktiona (kuvan 11 alarivi) ovat samaa kokoluokkaa keskenään. Tästä voidaan päätellä, että hyväkuntoinen data ei juurikaan helpota sirontakertoi-mien rekonstruointia. Tämä on havaittavissa myös kuvista 6 ja 7: sirontaesti-maatit eivät vastaa juurikaan todellisia arvoja ja suhteellinen virhe on useam-missa tapauksissa yli 50 % liki kaikkialla alueessa. Näiden havaintojen pohjalta voidaan todentaa seikka, että sirontakertoimen estimoiminen on intravaskulaa-risessa QPAT:ssa huonokuntoinen inversio-ongelma. Voidaan epäillä, että tä-mä on syynä myös kuvan 11 Suoni1mm-sarakkeen kuvaajien piikkeihin lähellä nollaa. Rekonstruktiossa luotetaan dataan liian paljon, eikä prioritietoa huo-mioida liki ollenkaan, mikä on odotettua käytetyltä virhemallilta. Suoni1mm-simulaatioiden datan hyväkuntoisuus ilmenee esimerkiksi kuvan 11 absorptio-kertoimien estimaattien suhteellisista virheistä kohinan funktiona: Suoni1mm-geometrian estimaattien suhteelliset virheet ovat suurimmillaankin samaa koko-luokkaa Suoni9mm-geometrian pienimpien suhteellisten virheiden kanssa.
Suoni9mm-geometrian rekonstruktiot eri kohinan arvoilla jokaisella kolmel-la eri priorilkolmel-la on esitetty kuvassa 8 ja näiden rekonstruktioiden suhteelliset virheet kuvassa 9. Realistisen kokoisessa Suoni9mm-geometriassa data on hei-kompilaatuista kuin Suoni1mm-geometriassa, sillä siinä etäisyys valonlähtees-tä alueen ulkoreunalle on 8.9 mm kun Suoni1mm:ssä se on vain 0.9 mm. Täsvalonlähtees-tä huolimatta absorptiokertoimen estimoiminen alueessa onnistui yllättävän hyvin.
Kuvissa 8 ja 9 voidaan havaita, että estimaatin laatu heikkenee mitä kauem-maksi valonlähteestä siirrytään. Tämä näkyy absorptioestimaatin rakeisuutena kaukana valonlähteestä sekä suhteellisen virheen kasvuna siirryttäessä kauem-maksi valonlähteestä. Tämä ilmenee myös kuvan 10 poikkileikkauksista, joissa Suoni9mm-geometrian absorptioestimaattien luotettavuusväli kasvaa tasaisesti etäisyyden kasvaessa.
Kuvien 6 - 9 rekonstruktioissa käytettiin kolmea eri priorijakaumaa: korreloi-matonta Gaussista, Ornstein-Uhlenbeckiä ja anisotrooppista Ornstein-Uhlenbeckiä.
Näistä parhaiten onnistui Ornstein-Uhlenbeck, mikä näkyy myös suhteellisen virheen käyristä kuvasta 11: OU:lla on liki aina pienimmät rekonstruktiovirheet kummassakin geometriassa. AOU sen sijaan voi olla liian rajoittava priorijakau-ma, erityisesti Suoni9mm-geometrian tapauksessa, vaikka sillä saatiinkin koko tutkimuksen tarkin estimaatti Suoni1mm-geometriassa 0.8 % kohinalla. Muu-ten AOU -priorin avulla tehdyt rekonstruktiot vain näyttävät kvalitatiivisesti parhailta: kohteen eri alueiden paloittain vakioisuus ja rajat käyvät rekonstruk-tioista ilmi, mutta itse muuttujien arvot saattavat olla pielessä. Kuvien yleisem-mällä tarkastelulla voidaan kuitenkin sanoa, että OU ja AOU antavat hyvinkin samankaltaisia estimaatteja. Sileyspriorit OU ja AOU rajoittvat myös artefak-toja, joita ilmenee sirontaestimaateissa KG-priorilla. Niissä yksittäiset pisteet saavat huomattavan pieniä arvoja lähellä valonlähdettä. Tämä nähdään kaikis-ta sironkaikis-tarekonstruktioiskaikis-ta ja poikkileikkauksiskaikis-ta kummassakin geometriaskaikis-ta.
Kuvassa 10 esiteltävät poikkileikkaukset valittiin kuvan 11 perusteella: kum-mankin geometrian onnistuneimmat rekonstruktiot 0.8 prosentin kohinalla, jo-ta verrattiin korreloimattomaan Gaussisen priorin rekonstruktioon. Huomat-tava on, että liikuttaessa poikkileikkausjanan suuntaisesti AOU ja OU aset-tavat muuttujille hyvin samanlaisen sileysoletuksen. Poikkileikkauksista havai-taan, että kaikki priorijakaumat estimoivat absorptiota hyvin. Sirontaestimaat-tien poikkileikkauksissa estimoinnin huonokuntoisuutta ilmentää laajat luotet-tavuusvälit. Niissä myös sileysoletuksen tärkeys tulee ilmeiseksi: Suoni1mm-geometriassa sileysoletus tarvitaan edes jossainmäärin realistisen sirontaesti-maatin saamiseksi. Mielenkiintoista on, että Suoni9mm-geometriassa sirontaes-timaatti rekonstruoitu KG-priorijakaumalla sen sijaan noudattelee todellista si-rontaa jossain määrin.
0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s
KG OU AOU
Kuva6:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ srekonstruktiotSuoni1mm-geometriassa.Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessa datankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolimmaisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatonta gaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-UhlenbeckiäjaalimmallaanisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.
0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s
KG OU AOU
Kuva7:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ ssuhteellisetvirheetSuoni1mm-geometriassa.Suhteellisetvirheetlaskettiin käyttämälläkaavaa(50).Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessadatankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolim- maisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatontagaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-Uhlenbeckiäjaalimmalla anisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.Virheidenvärikarttaonkatkaistu50prosenttiin.
0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s
KG OU AOU
Kuva8:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ srekonstruktiotSuoni9mm-geometriassa.Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessa datankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolimmaisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatonta gaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-UhlenbeckiäjaalimmallaanisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.
0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s
KG OU AOU
Kuva9:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ ssuhteellisetvirheetSuoni9mm-geometriassa.Suhteellisetvirheetlaskettiin käyttämälläkaavaa(50).Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessadatankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolim- maisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatontagaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-Uhlenbeckiäjaalimmalla anisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.Virheidenvärikarttaonkatkaistu50prosenttiin.
µa,0.8%µ′ s,0.8%µa,4.2%µ′ s,4.2%
Suoni1mm, KG Suoni1mm, AOU Suoni9mm, KG Suoni9mm, OU
Kuva10:Poikkileikkauksiaabsorptio-jasirontaestimaateistakuvassa5esitettyäsuoraapitkinSuoni1mm-jaSuoni9mm- geometrioissakahdellaerikohinanarvolla(0.8%ja4.2%)jakolmellaeripriorijakaumalla:korreloimatongaussinen,Ornstein- UhlenbeckjaanisotrooppinenOrnstein-Uhlenbeck.Punainenkäyräontodellinenparametrienarvo,sininenkäyräonparamet- rienMAP-estimaattijasininenkatkoviivakuvaaestimaatinkahdenstandardipoikkeamanluotettavuusväliä.
Suoni1mmSuoni9mm 012345 Kohinataso (%)
Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen 012345 Kohinataso (%)
0
Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen
Absorptioµa
Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen 012345 Kohinataso (%)
010
Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen
Sirontaµ′s
Kuva11:Absorptio-(yllä)jasirontakertoimien(alla)estimaattiensuhteellisenvirheetSuoni1mmjaSuoni9mm-geometrioissaeri kohinanarvoillakäyttäenkolmeaeripriorijakaumaa.Suhteellisetvirheetlaskettiinkäyttäenkaavaa(51).Punaisetpystysuorat pisteviivatmerkitsevätkohinanarvoja,joistakuvat6-9ongeneroitu.Käyrilläolevatympyrätmerkitsevätkohinanarvoja, joistakuvan10poikkileikkauksetonlaskettu.