Intravaskulaarinen kvantitatiivinen fotoakustinen tomografia

Intravaskulaarinen kvantitatiivinen fotoakustinen tomografia

Antti Mikkonen Pro gradu -tutkielma Sovelletun fysiikan koulutusohjelma Itä-Suomen yliopisto, Sovelletun fysiikan laitos 30. tammikuuta 2019

ITÄ-SUOMEN YLIOPISTO, Luonnontieteiden ja metsätieteiden tiedekunta Sovelletun fysiikan koulutusohjelma, laskennallinen fysiikka

Antti Mikkonen: Intravaskulaarinen kvantitatiivinen fotoakustinen tomografia Pro gradu -tutkielma, 48 sivua

Tutkielman ohjaajat: Apulaisprofessori Tanja Tarvainen, tutkijatohtori Aki Pulkkinen Tammikuu 2018

Avainsanat: inversio-ongelmat, fotoakustiikka, kvantitatiivinen fotoakustinen tomogra- fia, diffuusi optiikka, Baysilainen inversio, intravaskulaarinen fotoakustinen kuvanta- minen

Kvantitatiivisessa fotoakustisessa tomografiassa (QPAT) pyritään rekonstruoimaan koh- teen optiset ominaisuudet valaisemalla kohdetta laserpulssilla ja mittaamalla fotoa- kustisen ilmiön seurauksena syntyvä akustinen paineaikasarja kohteen reunoilla. Fo- toakustisessa ilmiössä valopulssin absorptio aiheuttaa lokaalin paineenkasvun, joka lähtee etenemään väliaineessa. Tässä työssä tutkittiin QPAT:ia intravaskulaarisessa kuvantamistilanteessa, missä sekä valonlähde että ultraäänisensori ovat verisuonen si- sällä. QPAT:n akustinen inversio-ongelma oletettiin ratkaistuksi. QPAT:n optisessa inversio-ongelmassa estimoitiin kohteen absorptio- ja sirontakertoimet Bayesiläisellä lähestymistavalla käyttäen Gaussisia kohina- ja priorijakaumia. Kohinatason sekä aal- lonpituuden vaikutusta rekonstruktion laatuun, inkluusioiden havaitsemista sekä me- netelmän soveltuvuutta ateroskleroottisten plakkien kuoren paksuuden määrittämi- seen tutkittiin. Kohteen absorptiokertoimet saatiin rekonstruoitua hyvin ja sironta- kertoimet tyydyttävästi. Ateroskleroottisen plakin kuori saatiin havainnoitua onnistu- neesti.

Keywords: inverse problems, photoacoustics, quantitative photoacoustic tomography, diffuse optics, Bayesian inversion, intravascular photoacoustic imaging

The aim of quantitative photoacoustic tomography (QPAT) is to reconstruct the op- tical properties of an object by illuminating it with a laser pulse and measuring a pressure time series caused by the photoacoustic phenomenon on its boundary. In pho- toacoustic phenomenon, light pulse is absorbed into a medium which causes a localized pressure increase which propagates through the medium. In this work, QPAT is inves- tigated in an intravascular setting, where the light source and the ultrasound sensor are both inside the blood vessel. The acoustic inverse problem of QPAT is assumed to be solved. In the optical inverse problem of QPAT the absorption and scattering coefficients of the object are estimated using Bayesian approach utilizing Gaussian noi- se and prior distributions. The effects of noise level and wavelength on the quality of the reconstruction, inclusion detection and the feasibility of the method for determi- ning the thickness of an atherosclerotic plaque cap are investigated. The results show that absorption coefficients of the object can be estimated well and the scattering coefficients can be estimated satisfactorily. The cap of an atherosclerotic plaque was observed successfully.

Sisältö

1 Johdanto 6

2 Työn tavoitteet 8

3 Kvantitatiivinen fotoakustinen tomografia 9

3.1 Suora ongelma . . . 9

3.2 Inversio-ongelma . . . 11

4 Bayesilainen inversio 13 4.1 Uskottavuusjakauma . . . 13

4.2 Priorimallit . . . 14

4.2.1 Korreloimaton Gaussinen . . . 15

4.2.2 Ornstein-Uhlenbeck . . . 16

4.2.3 Anisotrooppinen Ornstein-Uhlenbeck . . . 16

4.3 Piste-estimaatit . . . 17

4.3.1 Gauss-Newton -menetelmä . . . 19

5 Simulointi 21 5.1 Simulaatiogeometriat . . . 21

5.2 Datan simulointi . . . 21

5.3 Inversio-ongelman ratkaisu . . . 24

6 Tulokset 27 6.1 Kohinatason vaikutus rekonstruktioon . . . 27

6.2 Aallonpituuden vaikutus rekonstruktioon . . . 35

6.3 Inkluusioiden havaitseminen . . . 39

6.4 Ateroskleroottisen plakin fibroosikuoren kvalitatiivinen havaitse- minen . . . 41

7 Pohdinta 45

Lyhenteet ja merkinnät

PAT Fotoakustinen tomografia

MRI Magneettiresonanssikuvantaminen

IVPA Intravaskulaarinen fotoakustinen kuvantaminen QPAT Kvantitatiivinen fotoakustinen kuvantaminen RTE Säteilynsiirtoyhtälö

DA Säteilynsiirtoyhtälön diffuusioapproksimaatio FEM Äärellisten elementtien menetelmä

KG Korreloimaton Gaussinen priori OU Ornstein-Uhlenbeck -priori

AOU Anisotrooppinen Ornstein-Uhlenbeck -priori MAP Maximum a posteriori

ˆ

s,sˆ^′ Yksikkösuuntavektori

n Dimensio, FEM-kantafunktioiden määrä, tai iteraatioindeksi Sⁿ⁻¹ Yksikköympyrä tai yksikköpallo avaruudessa IRⁿ

r Paikkavektori tai residuaali

Ω Alue, jossa kuvantaminen mallinnetaan

φ Radianssi

µ_s Optinen sirontakerroin µ_a Optinen absorptiokerroin

Θ Sirontakerneli

∂Ω AlueenΩreuna

g Henyey-Greenstein sirontaparametri

Φ Fotonivuontiheys

µ^′_s Rajoitettu sirontakerroin γ_n Dimensiosta riippuva vakio

A Reunan absorboivuutta kuvaava vakio

R Reunan reflektanssi

I Reunan fotonivuontiheys

φi i:nnes FEM-kantafunktio

G Grüneisenin parametri

H Optinen energiatiheys

p0 Alkupaine

x Tuntematon parametri

π(x),πx(x) Priorijakauma

y_obs Havaintodata

π(x|y_obs) Posteriorijakauma π(y_obs|x) Uskottavuusjakauma

h Havaintomalli

e Mittausvirhe

π_e Mittausvirheen todennäköisyystiheysjakauma Γ_e Mittausvirheen kovarianssimatriisi

σ² Mittausvirheen varianssi

Γx Priorijakauman kovarianssimatriisi ηx Priorijakauman odotusarvo σ_x² Priorijakauman varianssi

Γ_KG Korreloimattoman Gaussisen priorijakauman kovarianssimatriisi

N Normaalijakauma

k Kernelifunktio tai minimointiaskeleen pituus l Karakteristinen pituus

v_tan Tangentiaalinen korrelaatiosuunta v_rad Radiaalinen korrelaatiosuunta

l_tan Tangentiaalinen karakteristinen pituus l_rad Radiaalinen karakteristinen pituus

S Korrelaatiosuunnat- ja pituudet sisältävä matriisi tai normeerauskerroin ˆx_MAP Muuttujanxmaximum a posteriori -estimaatti.

rx x−ηx

rz y_obs−h(x)

Lx Priorijakauman kovarianssimatriisin käänteismatriisin Cholesky-tekijä Le Mittausvirhejakauman kovarianssimatriisin käänteismatriisin Cholesky-tekijä f Minimoitava funktionaali

H_f f:n Hessin matriisi

J_r Residuaalin Jacobin matriisi x_n Muuttujanxarvo iteraatiollan d_n Minimointisuunta iteraatiollan

1 Johdanto

Alexander Graham Bell löysi fotoakustisen ilmiön vuonna 1880 kehittäessään langatonta äänensiirtolaitetta moduloidun auringonvalon avulla [4]. Hän havait- si optisesti absorboivien materiaalien tuottavan kuultavissa olevan äänen, kun niitä valaistiin jaksottaisesti. Seuraavan kerran tieteellinen mielenkiinto fotoa- kustiseen ilmiöön ilmeni 1970-luvun alussa, jolloin sitä käytettiin ensi kertaa kaasujen analysoinnissa [26]. Tästä eteenpäin fotoakustiikalle on löytynyt pal- jon sovelluskohteita fysiikasta, kemiasta, biologiasta sekä lääke- ja insinööritie- teistä. Fotoakustisella ilmiöllä voidaan sen kytkeytyneestä luonteesta johtuen tutkia aineiden optisten ja akustisten ominaisuuksien lisäksi myös niiden me- kaanisia ja termisiä ominaisuuksia.

Fotoakustinen ilmiö ilmenee fotoakustisessa kuvantamisessa kudokseen ab- sorboituvan laserpulssin aiheuttamana paineaaltona [2]. Fotoakustinen kuvanta- minen on hybridimenetelmä, joka yhdistää optisen kuvantamisen lähestymista- van ja korkean kontrastin ultraäänikuvantamisen tarkkaan resoluutioon. Fotoa- kustisen kuvantamisen soveltuvuutta lääketieteellisenä kuvantamismenetelmänä alettiin tutkia 1990-luvun puolessa välissä [2]. Terminä fotoakustinen kuvanta- minen pitää sisällään muun muassa fotoakustisen tomografian ja fotoakustisen mikroskopian. Tämä työ käsittelee näistä ensimmäistä.

Kliininen kiinnostus fotoakustiseen tomografiaan (PAT) juontaa juurensa sen ansioihin verrattuna muihin lääketieteellisiin kuvantamistekniikoihin [33].

PAT voi kuvantaa syvemmältä tarkemmalla resoluutiolla kuin optiset mikrosko- pia- tai heijastusmenetelmät sekä paremmalla kontrastilla kuin pelkkään ultra- ääneen perustuvat menetelmät. Magneettiresonanssikuvantamiseen (MRI) ver- rattuna PAT on nopeampi ja halvempi vaihtoehto. PAT on turvallisempi kuin positroniemissio- ja röntgentomografiat, sillä fotoakustiikassa käytetyt lyhyim- mät aallonpituudet ovat näkyvän valon alueella, eli käytetty säteily ei ole ioni- soivaa. PAT:n laserpulssin aiheuttama lämpötilan nousu kudoksessa säädellään siten, että se pysyy turvallisissa rajoissa: noin 0.1 K nousu ei aiheuta kudokselle vaurioita tai fysiologisia muutoksia [2].

Eräs ominaisuus, joka rajaa PAT:n sovelluskohteita on sen rajattu kuvan- tamissyvyys [2]. Yleisimmin käytetyn lähi-infrapuna-alueen laserpulssi vaime- nee biologisessa kudoksessa kokonaan muutaman senttimetrin matkalla. Lähes kaikilla alueen aallonpituuksilla veren hemoglobiini vaimentaa säteilyä huomat- tavasti suurimmassa osassa kudoksista. Tästä syystä PAT ei todennäköisesti kykene kuvantamaan yhtä syvältä kuin esimerkiksi menetelmät, jotka perustu- vat pelkkään ultraääneen, jonka suurin kuvantamisetäisyys on enemmän kuin 10 senttimetriä.

PAT:in käyttöä on tutkittu laajasti lääketieteellisessä kuvantamisessa muun muassa syöpien, aivojen, verenkierron ja kudosteknologian tutkimisessa [1]. Tä- män työn kannalta mielenkiintoisia ovat erityisesti intravaskulaariset fotoakus- tiset (IVPA) sovelluskohteet [7, 15, 6, 10]. Lääketieteellisen tutkimuksen lisäksi PAT:ia sovelletaan esimerkiksi biologisissa tutkimuksissa pieneläinten reaaliai- kaiseen elintoimintojen seurantaan koko kehon alalta [5].

IVPA:ssa ollaan kiinnostuneita ateroskleroottisen plakin rakenteesta [15].

Ateroksleroottinen plakki koostuu valtimon seinämän tulehduksesta syntyvis- tä lipidipitoisista kuolleista makrofageista ja niitä ympäröivästä fibroottisesta kuoresta. Plakin koostumuksen perusteella voidaan arvioida sen riskiä kompli- kaatioihin joko plakin kuoren ohuuteen tai plakin sisuksen lipidipitoisuuteen perustuen [7]. Ateroskleroottiset plakit aiheuttavat sepelvaltimotautia ja aivo- verenkierron häiriöitä tai plakin kuoren murtuessa akuutisti sydäninfarktin tai aivohalvauksen. Ateroskleroottisten plakkien kehitystä on voitu kuvantaa esi- merkiksi MRI:llä, mutta siinä tarvittavat varjoaineet ovat terveydelle haitallisia [31]. Näistä syistä IVPA on aktiivisen tutkimuksen kohteena. IVPA:a voidaan myös hybridikuvantamisessa yhdistää pelkkään ultraääneen perustuviin kuvan- tamismenetelmiin [6].

Ideaalisesti PAT:lla voitaisiin tunnistaa kudoksia niihin absorboituneen la- serpulssien aihettamien painejakaumien perusteella eri aallonpituuksilla [9]. Pai- neen kasvu on suoraan verrannollinen siihen, kuinka paljon optista energiaa ku- dokseen on absorboitunut. Tästä johtuen tavanomaisen PAT:n avulla kromofo- rikonsentraatiosta saadaan vain kvalitatiivista informaatiota, jolloin sitä täytyy laajentaa kvantitatiivisella fotoakustisella tomografialla (QPAT) [27].

QPAT:ssa estimoidaan kudoksen kromoforikonsentraatiota laserpulssin ab- sorboitumisesta aiheutuvasta alkupaineesta [11]. Tällöin käänteisongelmasta tu- lee kaksivaiheinen: ensin on tehtävä akustinen inversio, jonka ratkaisua käy- tetään seuraavaksi tehtävän optisen inversion datana. Akustisessa inversiossa määritetään laserpulssin aiheuttama alkupaine kohteen reunoilla mitatusta pai- neaikasarjasta. Tämä vastaa tavanomaista PAT:aa. Jos otetaan kohteessa vaih- televa tiheys, äänennopeus tai akustinen absorptio huomioon, tulee akustisesta inversiota huomattavasti haastavampaa [28]. QPAT:n toinen vaihe on optinen inversio, jossa rekonstruoidaan kohteen kromoforikonsentraatio alkupainedatas- ta.Kromoforikonsentraatioiden rekonstruointi on huonokuntoinen inversio-ongel- ma. Ongelman huonokuntoisuus tarkoittaa sitä, että pienet virheet mittauksissa tai mallinnuksissa voivat aiheuttaa suuria virheitä rekonstruktioihin [11]. Lisäk- si optisen sironnan estimointi on haastavaa, sillä se vaikuttaa vain välillisesti absorboituneeseen optiseen energiaan. QPAT:n käänteisongelman huonokuntoi- suutta on pyritty korjaamaan käyttämällä useita erilaisia valaisuja [25], regula- risoinnilla [34, 11, 35] tai Bayesilaisilla menetelmillä [21, 27, 29, 28].

Bayesilaiset menetelmät käsittävät useita data-analyysissa ja inversio-ongel- missa käytettyjä metodeja, jotka perustuvat todennäköisyyslaskennasta tuttuun Bayesin kaavaan. Inversio-ongelmien tapauksessa Bayesiläinen lähestymistapa toimii tavanomaisille regularisaatiomenetelmille vaihtoehtona, joissa pyritään ratkaisemaan tuntemattoman muuttujan arvo selvittämällä sen sijaan muuttu- jasta tiedettävissä oleva informaatio [16]. Käytännössä tämä tapahtuu kvanti- fioimalla muuttujaa koskeva ennakkotieto todennäköisyystiheysjakaumien avul- la sekä valitsemalla sopiva virhemalli.

2 Työn tavoitteet

Tässä työssä tutkittiin kvantitatiivista fotoakustista tomografiaa intravaskulaa- risessa kuvantamistilanteessa, missä valonlähde on alueen sisässä. Kuvantamisen akustinen käänteisongelma oletettiin ratkaistuksi. Optisessa käänteisongelmassa rekonstruoitiin absorptio- ja sirontakertoimet koko mallinnusgeometriassa käyt- täen datana absorboituneesta optisesta energiasta johtuvaa alkupainetta.

Optisen suoran ongelman mallina käytettiin säteilynsiirtoyhtälön diffuusio- approksimaatiota, jota approksimoitiin numeerisesti käyttäen äärellisten ele- menttien menetelmää. Käänteisongelma ratkaistiin Bayesilaisella lähestymista- valla hyödyntäen kolmea erilaista Gaussista priorijakaumaa. Käänteisongelmaan liittyvä optimointiongelma ratkaistiin Gauss-Newton -menetelmällä.

Intravaskulaarisen tilanteen malliksi luotiin kaksi erilaista kaksiulotteista mallinnusgeometriaa. Yhdessä tutkittiin erityisesti intravaskulaarisen kuvanta- mistilanteen rekonstruktion stabiiliutta ja toisessa realististen dimensioiden vai- kutusta rekonstruktion laatuun.

Yleisesti tämän työn tarkoituksena oli tutkia absorption ja redusoidun si- ronnan rekonstruointia sekä rekonstruktion laatua intravaskulaarisessa kuvan- tamistilanteessa. Tarkemmin työssä tutkittiin erityisesti neljää erilaista tutki- mustapausta: selvitettiin kuinka kohinan suuruus vaikuttaa rekonstruktioiden laatuun eri prioreilla, vertailtiin rekonstruktioita kolmella eri valon aallonpituu- della, tutkittiin kuinka hyvin absorptio- tai sirontainkluusioita voidaan rekon- struoida sekä selvitettiin kuinka hyvin ateroskleroottisen plakin paksuus saa- daan määritettyä.

3 Kvantitatiivinen fotoakustinen tomografia

Kvantitatiivisessa fotoakustisessa tomografiassa pyritään rekonstruoimaan alu- een optiset parametrit, kun tiedetään paineaikasarja alueen reunoilla [21]. Mit- taustilanteessa aluetta valaistaan sen reunalta, jonka seurauksena valo absor- boituu alueeseen tai poistuu alueesta. Alueeseen absorboitunut optinen energia kasvattaa lokaalisti lämpötilaa ja täten lämpölaajetessaan myös painetta. Lo- kaali paineenkasvu alueessa etenee akustisena aaltona, joka mitataan alueen reunoilla. Tyypillisesti rekonstruktio jaetaan kahteen osaan: akustiseen ja op- tiseen inversioon. Akustisen inversio-ongelman ratkaisu toimii optisen inversio- ongelman datana. Tämä jako on mahdollista, koska valonkulku ja paineen kas- vu tapahtuu nanosekunneissa, kun taas ultraäänen eteneminen on huomattavaa vasta mikrosekuntien aikaskaalassa [11].

3.1 Suora ongelma

QPAT:ssa valon etenemiselle käytetty malli on säteilynsiirtoyhtälö (RTE) tai sen approksimaatiot kuten diffuusioapproksimaatio (DA) [27]. RTE on siirtoyhtälön approksimaatio, jossa on oletettu että hiukkasten energia ei muutu sironnassa ja että taitekerroin on vakio. Aikariippumaton RTE, vektorinsˆ∈Sⁿ⁻¹ suuntaan alueessaΩ⊂IRⁿ, n= 2tai3, kunr∈Ω, on

ˆ

s· ∇φ(r,ˆs) + (µ_s+µ_a)φ(r,ˆs) =µ_s

∫

Sⁿ⁻¹

Θ(ˆs·ˆs^′)φ(r,sˆ^′)dˆs^′, (1) missäφ(r,ˆs)on radianssi,µ_s:=µ_s(r)on optinen sirontakerroin,µ_a:=µ_a(r)on optinen absorptiokerroin,Sⁿ⁻¹ on yksikköympyrä tai yksikköpallo dimensiosta riippuen jaΘ(ˆs·sˆ^′)on sirontakerneli. Reunaehtoina yhtälölle (1) toimii

φ(r,s) =ˆ

{φ0(r,s),ˆ r∈ϵ, ˆs·ˆn <0

0, r∈∂Ω\ϵ, ˆs·ˆn <0, (2) missäϵ⊂∂Ωon alueenΩreunan valaiseva osa janˆ on alueesta poispäin osoit- tava reunan normaalivektori [27]. Sirontakerneli Θ(ˆs·sˆ^′) kuvaa todennäköi- syyttä sille, että vektorin sˆsuuntaan kulkeva fotoni siroaa suuntaan sˆ^′. Ylei- simmin biologisissa kudoksissa käytetty sirontakerneli on Henyey-Greenstein - sirontakerneli, joka on muotoa

Θ(ˆs·sˆ^′) =

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩ 1 2π

1−g²

1 +g²−2gˆs·ˆs^′, n= 2 1

4π

1−g²

(1 +g²−2gˆs·sˆ^′)^3/2, n= 3

(3)

missäg∈]−1,1[on anisotropiaparametri, joka kertoo todennäköisyystiheysja- kauman muodon. Kung= 0, siroaminen on täysin isotrooppista; fotonin siroa- minen on yhtä todennäköistä jokaiseen suuntaan. Josg <0, siroaminen tapah- tuu pääasiassa fotonin kulkusuuntaa vastaan. Biologisissa kudoksissa paramet- rin g arvo on useimmiten välillä 0.90 – 0.95 näkyvän valon ja lähi-infrapunan

aallonpituuksilla, eli fotoni sirotessaan ei todennäköisesti muuta kulkusuuntaan- sa juurikaan [14].

RTE voi olla kuitenkin laskennallisesti raskas, joten sille vaihtoehtoisena mallina on yleensä käytetty sen diffuusioapproksimaatiota. Siinä oletetaan, että radianssi on liki isotrooppista sekä että valon siroaminen on paljon yleisempää kuin absorptio [11, 13]. Tämä olettamus pätee hyvin biologisissa kudoksissa. Ma- temaattisesti tämä ilmaistaan approksimoimalla radianssia käyttämällä apuna suunnasta riippumatonta fotonivuontiheyttäΦ

Φ(r) =

∫

Sⁿ⁻¹

φ(r,ˆs^′)dsˆ^′. (4) RadianssiaφDA:ssa approksimoidaan muodossa

φ(r,s)ˆ ≈ 1

|Sⁿ⁻¹|Φ(r)− n

|Sⁿ⁻¹|sˆ·

( 1

n(µ_a+µ^′_s)∇Φ(r) )

. (5)

Termiä µ^′_s kutsutaan rajoitetuksi sironnaksi, joka on muotoa µ^′_s = (1−g)µ_s. Tästedes rajoitettua sirontakerrointaµ^′_skutsutaan vain sirontakertoimeksi. Kun kehitetään vastaavanlainen approksimaatio vaihefunktiolleΘja sijoittamalla se kaavaan (1), voidaan se edelleen johtaa muotoon

− ∇ · 1

n(µ_a+µ^′_s)∇Φ(r) +µ_aΦ(r) = 0. (6) Saatua yhtälöä (6) kutsutaan DA:ksi [27].

DA:n reunaehdot voidaan johtaa RTE:n reunaehdoista. Sijoittamalla reu- naehtoihin (2) approksimaatio (5) saadaan DA:lle Robin-tyyppinen reunaehto

Φ(r) + 1 2γ_n

A n(µ_a+µ^′_s)

∂Φ(r)

∂nˆ =

{I/γn, r ∈ϵ

0, r ∈∂Ω\ϵ, (7) missäγ_n on dimensiosta riippuva vakio, joka saa arvokseenγ₂ = 1/π ja γ₃ = 1/4, ja

A=1 +R

1−R, (8)

jossaRon reunan reflektanssi ja I on reunan fotonivuontiheys.

Tässä työssä yhtälön (6) ratkaisemiseksi numeerisesti se diskretisoitiin käyt- täen äärellisten elementtien menetelmää (FEM). FEM käsittää laajasti erilai- sia funktioiden diskretisointitapoja, mutta tässä työssä funktioita approksimoi- tiin paloittain lineaarisessa FEM-kannassa. Karkeasti sanottuna FEM:ssä vali- taan alueestaΩnkappaletta pisteitä, joista kukin toimii pyramidimaisen FEM- kantafunktion huippuna. Pyramidin pohjana tällöin toimii huippupisteen naa- puripisteiden määräämä monikulmio. Funktiot µ_a(r), µ^′_s(r) ja Φ(r) approksi- moitiin paloittain lineaarisiksi funktioiksi alueessaΩ. Tällöin ne saavat muodot

µ_a(r)≈

n

∑µa,iφi(r), (9)

µ^′_s(r)≈

n

∑

i=1

µ^′_s,iφi(r) (10)

ja

Φ(r)≈

n

∑

i=1

Φ_iφ_i(r), (11)

joissa φi(r) on i:nnes FEM-kantafunktio ja µa,i = µ_a(ri), kun ri on FEM- kantafunktionφi huipun paikkavektori [21].

Akustinen malli kytkeytyy optiseen Grüneisenin parametrin Gja absorboi- tuneen optisen energiatiheydenH avulla:

p0(r) =G(r)H(r), (12)

missäp₀ on alkupaine ja

H(r) =µ_a(r)Φ(r). (13)

Tällöin alkupaineen (12) FEM-approksimaatio on muotoa

p0(r)≈G ( _n

∑

i=1

µa,iφi(r) ) ( _n

∑

i=1

Φiφi(r) )

. (14)

Alkupaine toimii alkuarvona akustiselle aaltoyhtälölle, jolla mallinnetaan ultra- äänen etenemistä alueessa:

⎧

⎪⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎪

⎩ 1 c²

∂²

∂t²p(r, t)− ∇²p(r, t) = 0, r∈IRⁿ p(r, t= 0) =p0(r),

∂

∂tp(r, t= 0) = 0,

(15)

missäp(r, t)on akustinen paine,con äänen nopeus väliaineessa jat∈[0,∞[on aika [21]. Yhtälössä (15) oletetaan, että äänennopeuscon vakio ja että väliaine ei vaimenna ääntä.

3.2 Inversio-ongelma

Akustisessa inversiossa pyritään selvittämään valopulssin vaimenemisen aiheut- tama alkupainep0(r)alueessaΩ⊂IRⁿ, käyttämällä datana alueen Ωreunoilla

∂Ωmitattua paineaikasarjaap(r, t)[21]. Eräs usein käytetty menetelmä tämän inversio-ongelman ratkaisemiseksi on käänteisen ajan menetelmä (eng.time re- versal method) [28, 30]. Siinä mitattua ultraäänisignaalia käytetään käänteisessä aikajärjestyksessä aikariippuvana Dirichlet-reunaehtona aaltoyhtälölle. Akusti- nen inversio on haastava varsinkin tapauksissa joissa ultraääntä mitataan vain osalta reunaa [30] tai joissa äänennopeusc on tuntematon ja ei-homogeeninen [3].

Optisessa inversiossa pyritään estimoimaan kohteen optista absorptiota, si- rontaa ja Grüneisenin parametria perustuen alkupainejakaumaan valon eri aal- lonpituuksilla [20]. Näiden parametrien perusteella saadaan kromoforikonsent- raatiot rekonstruoitua ja täten kudos karakterisoitua. Optiseen inversioon on useita menetelmiä, mutta kattavin lähestymistapa on mallipohjainen minimoin- ti [11]. Mallipohjaisessa minimoinnissa etsitään ratkaisu iteratiivisesti päivittä- mällä tuntemattomia ja evaluoimalla suoraa mallia niillä kunnes suoran mallin ratkaisu on riittävän lähellä dataa.

Yleinen lähestymistapa käänteisongelmiin on olettaa mittauskohinan olevan nollakeskiarvoista, korreloimatonta ja Gaussisesti jakautunutta [28]. Tämä olet- tamus ei QPAT:ssa aina päde, koska optisen inversion datana käytetään akusti- sen inversio-ongeman ratkaisua, jonka kohinaisuuteen vaikuttaa huomattavasti sen ratkaisumenetelmä. Tästä johtuen QPAT:n yhteydessä on tutkittu erilaisia kohinamalleja ja approksimaatiovirheitä [29, 28].

4 Bayesilainen inversio

Bayesilainen lähestymistapa inversio-ongelmiin perustuu idealle, jossa kaikki tuntemattomat muuttujat, kuten esimerkiksi mallin parametrit tai mittaustilan- teen kohina, ovat kvantifoitu todennäköisyystiheysjakaumin [8]. Bayesilaisessa inversiossa kiinnostavien parametrien ennakkotieto esitetään priorijakaumaksi kutsutulla todennäköisyystiheysjakaumalla. Bayesilaisen inversio-ongelman rat- kaisu ei ole vain yksi parametrivektori vaan ratkaisua kuvaa posteriorijakaumak- si kutsuttu todennäköisyystiheysjakauma, josta käy ilmi parametreihin liittyvät epävarmuudet.

Bayesilaisen inversion ytimessä on Bayesin kaava, joka käsittelee ehdollisia todennäköisyyksiä. Posteriorijakaumaπ(x|y_obs), eli ehdollinen todennäköisyys sille, että havaintodatalla y_obs ∈ IR^m saadaan parametrien arvoksi x ∈ IRⁿ, määritetään kaavalla

π(x|y_obs) = π(x)π(y_obs|x)

π(y_obs) , (16)

missäπ(x)on priorijakauma,π(y_obs|x)on uskottavuusjakauma (eng.likelihood) jaπ(y_obs)on havaintojen todennäköisyystiheysfunktion arvo pisteessäy_obs. Ter- miπ(y_obs) normeeraa posteriorijakauman, mutta usein riittää tarkastella nor- meeraamatonta todennäköisyystiheysjakaumaa

π(x|y_obs)∝π(x)π(y_obs|x). (17) On todettava, että josπ(y_obs) = 0, niin posteriorijakauman tarkastelu ei on- nistu. Tämä tilanne tarkoittaisi mittaustulosta, jonka todennäköisyys on nolla, mikä kielisi siitä, etteivät käytetyt mallit kuvaisi juurikaan todellisuutta [16].

4.1 Uskottavuusjakauma

Uskottavuusjakaumaπ(y_obs|x)kuvaa todennäköisyyttä saada mittaustulokseksi y_obs joillakin parametreilläx. Kun havaintomalli on muotoa

y_obs=h(x) +e, (18)

missä h(x) on suoran ongelman malli parametrien arvoilla x ja e ∈ IR^m on parametreistä riippumaton additiivinen mittausvirhe, niin voidaan osoittaa, että uskottavuusjakauma saa muodon

π(y_obs|x) =πe(y_obs−h(x)), (19) missäπeon virheen todennäköisyystiheysjakauma [8]. Kaavasta (19) havaitaan, että virheen mallin valinta vaikuttaa oleellisesti uskottavuusjakauman raken- teeseen. QPAT:ssa optisen inversio-ongelman datana toimii akustisen inversio- ongelman ratkaisu, jonka virhejakaumassa voi olla ristikorrelaatioita ja nollasta poikkeava odotusarvo [29]. Tässä työssä kuitenkin käsitellään vain QPAT:n op- tista inversio-ongelmaa, joten yksinkertaisuuden vuoksi käytetään nollakeskiar- voista ja normaalijakautunutta virhettä, eli

π_e(e) = 1

√det(2πΓe)exp(−1

2e^TΓ⁻¹_e e), (20)

KG OU AOU

Suoni1mmSuoni9mm

Kuva 1: Rekonstruktioissa käytettyjen priorijakaumien (kaavat (22), (25) ja (30)) korreloimaton Gaussinen, Ornstein-Uhlenbeck ja anisotrooppinen Ornstein-Uhlenbeck näytteistyksiä kummassakin tämän työn rekonstruktioissa käytetyissä geometrioissa Suoni1mm ja Suoni9mm. Geometrioista löytyy lisä- tietoja luvusta 5.1.

missäΓ_e=σ²I, eli virhe on identtisesti, riippumattomasti ja nollakeskiarvoisesti normaalijakautunut.

4.2 Priorimallit

Priorimallin avulla esitetään paras tieto estimoitavista muuttujista ennen kuin mitään mittausta on tehty, ja niiden määrittely on oleellinen ongelma Bayesilai- sessa inversiossa. Priorimallia rakennettaessa on pyrittävä kuvailemaan kvalita- tiivinen ennakkotieto sovelluskohteesta kvantitatiivisesti todennäköisyystiheys- jakaumin. Priorimalli voi sisältää tiedon muuttujien rajoitteista ja keskinäisistä yhteyksistä: esimerkiksi parametrien vaihteluvälistä ja sileydestä.

Formaalisti priorimalli on todennäköisyystiheysfunktio π_x(x) : IRⁿ → IR, jolle

∫

IRⁿπ_x(x)dx= 1,

mutta tilanteessa jossa suhteelliset todennäköisyydet riittävät, kuten eräiden piste-estimaattien määrittämisesssä, voi priorimalli olla mikä tahansa funktio jonka arvo on suuri odotettavissa olevilla muuttujien arvoilla ja pieni ei-halutuilla muuttujien arvoilla [16].

KG OU AOU

Kuva 2: Gaussisten priorijakaumien kovarianssimatriisienΓ_x sama rivi esitetty simulaatioalueessa korreloimattomalla Gaussisella priorilla, Ornstein-Uhlenbeck -priorilla ja anisotrooppisella Ornstein-Uhlenbeck -priorilla.

Gaussiset todennäköisyystiheysjakaumat ovat laajassa käytössä tilastollises- sa inversiossa niiden yksinkertaisuuden vuoksi ja siksi, että Gaussinen jakauma approksimoi hyvin keskeisen raja-arvolauseen mukaan ei-Gaussisten todennä- köisyystiheysjakaumien summaa [16]. Tästä syystä Gaussiset priorit ovat yleen- sä ensimmäiset, joiden avulla tutkitaan uutta inversio-ongelmaa. Tässä työssä kaikki käytetyt prioritodennäköisyystiheysjakaumat ovat Gaussisia, eli ne ovat muotoa

πx(x) = 1

√det(2πΓ_x)exp(

−1

2(x−ηx)^TΓ⁻¹_x (x−ηx) )

, (21)

missäΓxon priorijakauman kovarianssimatriisi jaηxsen odotusarvo. Gaussinen jakauma määräytyy täysin sen odotusarvon ja kovarianssimatriisin mukaan ja niiden avulla haluttu ennakkoinformaatio täytyy esittää.

Tässä työssä käytettiin kolmea erilaista Gaussista priorijakaumaa: korre- loimatonta Gaussista prioria (KG), Ornstein-Uhlenbeck -prioria (OU) ja ani- sotrooppista Ornstein-Uhlenbeck -prioria (AOU). Kuvassa 1 on esitetty tämän työn rekonstruktioissa käytetyistä prioritodennäköisyystiheysjakaumasta vedet- tyjä näytteitä. Kyseisiä prioreja käytettiin tässä työssä absorptiokertoimen re- konstruktioissa. Sironnan rekonstruktioissa käytettiin vastaavanlaisia jakaumia, mutta eri keskiarvolla ja varianssilla.

4.2.1 Korreloimaton Gaussinen

Jos oletetaan, että kukin xi ∈ IR on Gaussisesti jakautunut odotusarvonaan ηx, varianssinaanσ_x² ja että xi ⊥xj, kuni̸=j, voidaan tämä yksinkertaisesti ilmaista kovarianssimatriisin

Γ_KG=σ_x²I (22)

avulla muodossa

πx(x) = 1 σⁿ_x√

2πexp(

−1 2

(x−ηx)^T(x−ηx) σ_x²

) (23)

Saatua priorimallia kutsutaan korreloimattomaksi Gaussiseksi prioriksi.

4.2.2 Ornstein-Uhlenbeck

Usein muuttujatxi eivät ole täysin riippumattomia toisistaan vaan esimerkik- si spatiaalisesti läheisten muuttujien arvot voivat korreloida keskenään. Tämä informaatio voidaan ilmaista esimerkiksi erilaisin sileys- tai totaalivariaatioprio- rein [16]. Eräs keino Gaussisten priorien rakentamiseen on käyttää kernelifunk- tioita, joita tässä yhteydessä kutsutaan myös kovarianssifunktioiksi. [23]. Tällöin kovarianssimatriisi on

Γij =σ_x²k(ri, rj), (24) missäk(ri, rj)on jokin kernelifunktio sekärijarjovat muuttujienxijaxj spa- tiaaliset lokaatiot. Kuvassa 2 on esitetty kunkin priorijakauman kovarianssimat- riisin yksittäinen rivi, mikä kuvaa parametrien korrelaatiota toistensa kanssa.

Tässä työssä käytettiin Ornstein-Uhlenbeck -kerneliä, joka on muotoa k(r, r^′) =exp(

−∥r−r^′∥ l

)

, (25)

missälon karakteristinen pituus, jonka avulla ilmaistaan spatiaalisen korrelaa- tion pituutta. Huomioitavaa on, että kunl →0, niin tällöin kovarianssimatrii- siksi saadaan

Γ_ij =

{σ_x² kuni=j

0 kuni̸=j, (26)

mikä vastaa korreloimatonta tilannetta kaavassa (22).

4.2.3 Anisotrooppinen Ornstein-Uhlenbeck

Kernelillä (25) saadaan ilmaistua isotrooppinen sileys, mutta jos kuvannettavas- ta kohteesta tiedetään, että erään vektorin suunnassa muuttujien arvot vaihtele- vat vähemmän kuin toisen, niin tällöin tarvitaan anisotrooppinen sileyskerneli.

Tässä työssä käsitellään intravaskulaarista kuvantamistilannetta, jossa voidaan perustellusti olettaa, että kohteessa on ympyränkaaria mukailevia rakenteita.

Näiden ympyränkaarien keskipisteenä toimii kuvantamissondin keskipiste. Ku- vantamistilannetta on esitelty tarkemmin luvussa 5. Ympyränkaaren suuntaiset muutokset muuttujissaxi, eli tangentiaaliset muutokset oletettiin sileämmiksi kuin ympyränkaaren kohtisuorat eli radiaaliset muutokset. Pisteessä r ∈ IR² olevat tangentiaalinen suuntavektoriv_tan ja radiaalinen suuntavektoriv_rad ovat muotoa

v_tan(r) = (−sinθ(r),cosθ(r))^T (27)

ja

v_rad(r) = (cosθ(r),sinθ(r))^T, (28) joissaθ(r)∈[0,2π]on vektorienrja(1,0)^Tvälinen kulma. Kun merkitään, että karakteristinen pituus tangentiaalisessa suunnassa onl_tan ja vastaavasti radiaa- lisessa suunnassal_rad, niin voidaan merkitä näiden avulla painotetut suuntavek- torit matriisiarvoisella kuvauksella

S(r) = [v_tan(r), v_rad(r)]^T

[l_tan 0 0 l_rad

]

[v_tan(r), v_rad(r)]. (29) Näin määritellyn kuvauksenS(r)avulla voidaan kirjoittaa anisotrooppinen Orn- stein-Uhlenbeck -kerneli

k(r, r^′) = 2|S(r)S(r^′)|¹⁴

√|S(r) +S(r^′)|exp(

−

√

2τ^T(S(r) +S(r^′))⁻¹τ )

, (30) missäτ =r−r^′ [23]. Lopullinen priorikovarianssimatriisi saadaan sijoittamalla tämä kerneli kaavaan (24).

Näin konstruoitu anisotrooppinen Ornstein-Uhlenbeck -kerneli ei ole, toisin kuin isotrooppinen versio, translaatioinvariantti. Translaatioinvariantille kerne- lille pätee

k(r, r^′) =k(r+c, r^′+c) (31) kaikilla c ∈ IRⁿ. Ei-translaatioinvariantin priorimallin käyttö voi olla hanka- laa todellisissa intravaskulaarisessa mittaustilanteissa, joissa esimerkiksi ei voi- da olettaa instrumentin olevan täysin keskellä oletettua rakennetta. Sen sijaan OU-kerneli on translaatioinvariantti, jolloin sen avulla rekonstruoitaessa ei kes- kipisteoletusta tarvita, vaan se rekonstruoisi yhtä hyvin riippumatta instrumen- tin paikasta kohteen sisällä.

4.3 Piste-estimaatit

Posteriorijakauma on Bayesilaisen käänteisongelman täydellinen ratkaisu. Piste- estimaatit ovat posteriorijakauman yksittäisiä pisteitä, jotka kuvaavat koko ja- kauman tiettyjä oleellisia ominaisuuksia. Voidaan ajatella, että klassiset inver- siomenetelmät, kuten esimerkiksi regularisointi, ovat menetelmiä piste-estimaattien luomiseen ilman taustalla olevaa tilastollista mallia [16]. Korkeadimensioisis- sa käänteisongelmissa posteriorijakauman laskennallinen määrittäminen on lii- an raskasta, joten yleensä pyritään estimoimaan posteriorijakaumaa piste-esti- maattien avulla. Saadun piste-estimaatin ympäristöön voidaan tällöin kuitenkin kehitää approksimaatio posteriorijakaumasta, jotta estimaatille saadaan määri- tettyä luotettavuusvälit [21].

Eräs suosituimpia piste-estimaatteja on maximum a posteriori (MAP) - estimaatti. Se on määritelty posteriorijakauman maksimiarvona

xˆ_MAP=arg max

x

π(x|y_obs), (32)

eli ikään kuin jakauman todennäköisimpänä pisteenä. Toinen yleisesti käytetty piste-estimaatti on posteriorijakauman odotusarvo

xˆ_CM=

∫

xπ(x|y_obs)dx, (33)

eliconditional mean-estimaatti [8].

MAP-estimaatin luotettavuutta voidaan tutkia määrittämällä sille luotet- tavuusvälit. Posteriorijakaumaa voidaan approksimoida Gaussisella jakaumalla N(x_MAP,Γ_post) MAP-estimaatin ympäristössä [21]. Kovarianssi Γ_post on ap- proksimaatiossa muotoa

Γ_post= (1

σ²Jr(x_MAP)^TJr(x_MAP) + Γ⁻¹_x )−1

. (34)

Tällöin posteriorijakauman Gaussisen approksimaation keskipoikkeama kullekin muuttujallexⁱ on

σⁱ_x,post=

√

Γⁱⁱ_post. (35)

Käsiteltäessä Gaussisia priori- ja uskottavuusjakaumia posteriorijakauma on muotoa

π(x|y_obs) = 1 Sexp(

−1

2r^T_xΓ⁻¹_x r_x−1

2r_z^TΓ⁻¹_e r_z )

, (36)

missä rx = x−ηx ja rz = y_obs−h(x). 1/S on normeerauskerroin, siten että

∫π(x|y_obs)dx= 1. MAP-estimaatti voidaan kuitenkin määrittää normeeratto- masta todennäköisyystiheysjakaumasta, koska vakiokerroin ei vaikuta funktion maksimipisteen sijaintiin [22]. Tällöin MAP-estimaatti saa muodon

xˆ_MAP=arg max

x

exp(

−1

2r^T_xΓ⁻¹_x r_x−1

2r^T_zΓ⁻¹_e r_z )

, (37)

joka voidaan edelleen kirjoittaa muodossa

ˆx_MAP=arg min

x

1

2r_x^TΓ⁻¹_x rx+1

2r^T_zΓ⁻¹_e rz

=arg min

x

1

2∥L_xr_x∥²+1

2∥L_er_z∥²,

(38)

missäLx ja Le ovat kovarianssimatriisien käänteismatriisien Cholesky-tekijät, eliL^T_xL_x= Γ⁻¹_x jaL^T_eL_e= Γ⁻¹_e . Kaavan (38) oikeanpuoleinen lauseke on mah- dollista kirjoittaa vektorin sisätulona itsensä kanssa

xˆ_MAP=arg min

x

1

2∥Lxr_x∥²+1

2∥Ler_z∥²

=arg min

x

1 2r^Tr,

(39)

kun

r=

[Lerz]

. (40)

Koska kohinaa mallinnetaan riippumattomana ja identtisesti jakautuneena, voi- daan kohinan kovarianssin käänteismatriisin Cholesky-tekijää merkitäLe=_σ¹I.

Lopulta residuaalitermiksi tulee r=

[₁

σ(y_obs−h(x)) Lx(x−ηx)

]

. (41)

Merkitään vielä minimoitavaa funktionaalia ¹₂r^Tr=:f. Sijoittamalla residuaali (41) MAP-estimaatin kaavaan (40) saadaan kirjallisuudesta tuttu muoto

ˆx_MAP=arg min

x

1

2∥σ⁻¹(y_obs−h(x))∥²+1

2∥Lx(x−ηx)∥². (42) Kvalitatiivisesti voidaan ajatella, että kohinan keskipoikkeaman käänteislu- ku1/σmäärää, kuinka paljon mittausdataan luotetaan rekonstruktiota tehdes- sä. Jos kohinan keskipoikkeama on pieni, niin tällöin residuaali saadaan pie- nimmäksi minimoimalla termiäy_obs−h(x)ja jos se on suuri, niin tällöin termi Lx(x−ηx)dominoi residuaalia.

4.3.1 Gauss-Newton -menetelmä

Eräs laajasti käytetty tapa ratkaista konveksi optimointiongelma on Newtonin menetelmä. Se kuuluu gradienttimenetelmien luokkaan, joissa optimaalista rat- kaisua lähestytään iteratiivisesti gradienttifunktion avulla [18]. Gradienttimene- telmissä valitaan parametriavaruudessa minimointisuunta, josta haetaan funk- tionaalin minimoivaa parametrien arvoja. Gradienttimenetelmät eroavat toisis- taan oleellisesti minimointisuunnan valinnalla.

Newtonin menetelmässä funktionaalin gradientin nollakohta, eli piste jossa funktionaali saavuttaa lokaalin ääriarvonsa, pyritään löytämään iteratiivisesti.

Iteraation seuraava parametriavaruuden pistexn+1 saadaan kaavasta

xn+1=xn−H_f⁻¹∇fn, (43) missäHf on funktionaalinfHessin matriisi pisteessäxn[18]. Koska funktionaali f on muotoa f = ¹₂r^Tr, niin ∇fn =J_r^Trn, missä Jr on residuaalin r Jacobin matriisi pisteessäx_n. Tällöin Hessin matriisiH_f saa edelleen muodon

Hf =J_r^TJr+

m

∑

i=1

rⁱ_n∇²rⁱ_n. (44) Kaavan (44) summatermin ja täten Hessin matriisin Hf määrittäminen on laskennallisesti raskasta, joten emme tee sitä. Sen sijaan approksimoimmeHf ≈ J_r^TJ_r, jolloin kaava (43) saa muodon

x_n+1=x_n−(J_r^TJ_r)⁻¹J_r^Tr_n. (45) Tätä iteraatiota kutsutaan nimellä Gauss-Newton -menetelmä.

Gauss-Newton -menetelmää voidaan tehostaa niin kutsutulla viivahaulla, jossa minimikohdan löytämiseksi on päätettävä kuinka paljon siirrytään suun- taandn =−(J_r^TJr)⁻¹J_r^Trn, joten ratkaisemme uuden minimointiongelman

arg min

k

g(k) =arg min

k

f(xn+kdn), (46)

missäk on positiivinen skalaariluku. Tässä työssä tämä uusi yhden skalaaripa- rametrin optimointiongelma ratkaistaan etsintävälin puolittamismenetelmällä (eng.interval halving method) [18]. Tavanomainen lähestymistapa yhden muut- tujan optimointiongelman ratkaisemiseksi olisi etsiä derivaattafunktion nolla- kohdat numeerisesti, mutta meidän tapauksessa tämä on laskennallisesti liian raskasta. Puolittamismenetelmässä derivaattoja ei tarvita.

5 Simulointi

Tässä työssä rekonstruoitiin alueen optiset parametrit (µa,µ^′_s) käyttämällä da- tana neljän sisäisen valaisun alkupainettap0. Gruneisenin parametriGoletettiin tunnetuksi vakioksi arvonaanG= 0.14. Muut parametrit riippuvat tarkemmin tutkimustapauksesta. Käsittelyssä on neljä erilaista tutkimustapausta:

1. Kohinatason vaikutus rekonstruktioon

Kohinan vaikutusta rekonstruktion laatuun tutkittiin kahdessa eri geo- metriassa ja kolmella eri priorilla. Kohina vaihteli väliltä 0.1 % - 5 %.

2. Aallonpituuden vaikutus rekonstruktioon

Kolmea eri valon aallonpituutta käytettiin rekonstruktioissa. Aallonpi- tuutta, jolla parhaat rekonstruktiot saatiin käytettiin muissa tutkimus- tapauksissa.

3. Inkluusioiden havaitseminen

Tutkittiin muutoin homogeenistä kohdetta, jossa on kahta eri kokoa olevia inkluusioita vaihtelevilla etäisyyksillä. Inkluusioiden absorptio tai redusoi- tu sironta poikkesivat homogeenisestä taustasta.

4. Ateroskleroottisen plakin fibroosikuoren kvalitatiivinen havainnointi Kolmea erilaista plakkia rekonstruoitiin kolmella eri kohinan arvolla. Tä- mä tutkimustapaus toimi tutkimuksen kliinisenä motivaationa.

5.1 Simulaatiogeometriat

Tutkimuksissa käytettiin kahta erilaista kaksiulotteista geometriaa nimiltään Suoni1mm ja Suoni9mm, jotka molemmat olivat ympyrän muotoisia alueita, joiden keskellä oli ympyrän muotoinen intravaskulaarista sondia kuvaava auk- ko. Suoni1mm on sondin koon ja plakin rakenteen puolesta epärealistinen tes- tigeometria, jossa alue illuminoituu kokonaan jolloin data on erittäin hyväkun- toista. Suoni9mm on kokonsa ja geometriansa puolesta realistisempi geometria.

Geometrioiden dimensiot on esitetty taulukossa 1. Näille molemmille mittaus- geometrioille luotiin kaksi erilaista diskretisaatiota. Yhdessä diskretisaatiossa kuvantamistilanteen data simuloitiin ja toisessa ratkaistiin kuvantamisen op- tinen käänteisongelma. Käyttämällä eri hiloja simulointiin ja rekonstruointiin vältetään inversiorikoksen tekeminen [16]. Simulaatiohiloissa hilapisteiden si- joittuminen myötäili geometrian osien muotoja, kun taas rekonstruktiohilassa hilapisteet ovat tasaisesti jakautuneet alueeseen. Hilat ovat esitetty kuvassa 3 ja niiden ominaisuudet on esitelty tarkemmin taulukossa 1.

5.2 Datan simulointi

Diffuusioapproksimaation reunaehtoja varten alueen reunat jaettiin kolmeen ryhmään: absorboivaan ulkoreunaan, heijastavaan sisäreunaan sekä valaisevaan

Simulaatiohila Rekonstruktiohila

Suoni1mmSuoni9mm

Kuva 3: Datan simulaatioissa ja parametrien rekonstruoinnissa käytetyt kol- miohilat. Ylemmällä rivillä on Suoni1mm-geometrian kolmiohilat ja alemmalla rivillä on Suoni9mm-geometrian kolmiohilat. Hilojen ominaisuudet on esitetty taulukossa 1.

Taulukko 1: Datan simulaatioinnissa ja parametrien rekonstruoinnissa käytetyt geometriat, FEM-elementtien ja -solmujen määrä simulaatiohilassaE_simjaS_sim sekä rekonstruktiohilassa E_rek ja S_rek sekä ympyrägeometrioiden ulkoreunan säteetR_ulko ja sisäaukon säteetR_sisa.

Geometrian nimi E_sim E_rek S_sim S_rek R_ulko (mm) R_sisa (mm)

Suoni1mm 5546 5342 2861 2753 1 0.1

Suoni9mm 5424 5368 2796 2768 9 1.1

Suoni1mm Suoni9mm

Kuva 4: Esimerkki rekonstruktiossa käytetystä kohinaisesta simuloidusta da- tasta p0 interpoloituna rekonstruktiohilaan. Vasemmassa sarakkeessa on Suo- ni1mm-geomtrian data ja oikeassa sarakkeessa on Suoni9mm-geometrian data.

Jokainen datasetti koostuu neljästä valaisusta ja niihin on lisätty 2.5 % kohina.

Valaisut eroavat toisistaan sisäreunan reunaehtojen 90^◦ kiertämisellä.

ja heijastavaan sisäreunaan. Reunojen ominaisuudet on kuvattu sisäänpäin suun- natulla valovuon tiheydelläI_sja reunan heijastuvuutta kuvaavalla parametrilla A. Näiden reuna-alueiden parametrien arvot on esitetty taulukossa 2. Absorboi- valle reunalle reflektanssiR= 0ja heijastavalle reunalle reflektanssiR≈0.998 kaavan (8) mukaisesti. Heijastavan sisäreunan reflektanssin arvo kuvaa käytän- nöllisesti kaiken valon heijastavaa peilipintaa.

Jokaisessa simuloidussa mittaustilanteessa tehtiin neljä valaisua ja niistä seuranneet neljä alkupainejakaumaa toimivat inversio-ongelman mittausdata- na. Tämä simulaatiohilassa simuloitu alkupainedata interpoloitiin rekonstruk- tiohilaan. Tämän jälkeen kuhunkin interpoloituun alkupainejakaumaan lisät- tiin nollakeskiarvoista Gaussista kohinaa, jonka keskipoikkeamana käytettiin prosentuaalista osuutta interpoloidun alkupaineen kokonaisvaihteluvälistä. Va- laisut eroavat toisistaan vain sisäreunan reunaehtojen 90^◦kierrolla ja lisätyn ko- hinan realisaatiolla. Esimerkit valaisuista syntyneistä alkupaineista on esitetty kuvassa 4.

Muiden tutkimustapausten simuloinnissa, paitsi inkluusioiden havaitsemi- sessa, käytettiin kolmea eri valon aallonpituutta. Aallonpituuksien valinta on perusteltu luvussa 6.2. Diffuusioapproksimaatiossa valon aallonpituus vaikut- taa vain alueen absorptio- ja sirontakertoimiin. Kutakin aallonpituutta vastaa- vat absorptio- ja sirontakertoimet on esitetty taulukossa 3 kullekin väliaineelle.

Absorptiokertoimet ovat lähteistä [32, 24] ja sirontakertoimet lähteistä [14, 24].

Geometrioissa käytettiin neljää eri väliainetta ja ne on esitelty tarkemmin ku- vassa 5. Veren optiset parametrit riippuvat suuresti sen happipitoisuudesta, joka

Taulukko 2: Diffuusioapproksimaation reunaehtojen parametritI_sjaAkussakin reunasegmentissä.

Valonlähde Sisäreuna Ulkoreuna

I_s 1 0 0

A 1000 1000 1

Taulukko 3: Käytetyt aallonpituudet ja niitä vastaavat absorptio- ja sirontaker- toimet kullekin väliaineelle. Kertoimet ovat yksikössä mm⁻¹.

Aallonpituus (nm) Seinämä Veri Plakin kuori Plakin sisus

900 µ_a 0.02 0.13 0.05 0.01

µ^′_s 1.158 0.50 1.041 1.240

1100 µ_a 0.02 0.04 0.03 0.01

µ^′_s 0.919 0.38 0.751 1.083

1210 µ_a 0.12 0.19 0.08 0.17

µ^′_s 0.823 0.36 0.643 1.016

tässä tapauksessa oletettiin olevan 50 %. Plakin kuori on mallinnettu fibroot- tisena kudoksena, plakin sisus rasvakudoksena ja verisuonen seinämä puoliksi fibroottisena ja puoliksi rasvakudoksena.

Inkluusioiden havatsemisessa käytettiin muuttujien tausta-arvoinaµ_a= 0.1 mm⁻¹ ja µ^′_s = 0.6 mm⁻¹ koko geometriassa. Gaussisten inkluusioiden maksi- miarvo oli kaksinkertainen taustaan verrattuna. Simulaatioissa käytettiin tau- lukossa 2 esitettyjä reunaehtoja. Gaussiset inkluusiot standardipoikkeaminaan r= 0.5,1mm asetettiin geometriaan etäisyyksilled= 2,4,6,8mm kunkin valai- sun suuntaan. Käytetty geometria oli Suoni9mm. Priorina käytettiin Ornstein- Uhlenbeck -prioria, jonka karakteristisenä pituutena käytettiin inkluusion stan- dardipoikkeamaa, mutta muuten priorijakauma muodostettiin kappaleessa 5.3 esitetyllä tavalla. Absorptioinkluusioiden tapauksessa sironta oli tuntematon va- kio sekä vastaavasti sirontainkluusioiden tapauksessa absorptio oli tuntematon vakio ja niitä myös estimoitiin samalla priorilla jakaumana.

5.3 Inversio-ongelman ratkaisu

Rekonstruktioissa käytettiin kolmea erilaista Gaussista priorijakaumaa. Kaikilla priorijakaumilla käytettiin odotusarvona vektoriaηx= [ηµ_a, ηµ_s′]^T, missäηµ_aja ηµ_s′ on alueen absorptio- ja sirontakertoimien keskiarvo. Jakaumien kovarians- sina käytettiin matriisia

Γx=

[Γµ_a 0 0 Γµ_s′

]

, (47)

missäΓµ_a=σx,aΓon absorptiokertoimenµ_apriorikovarianssimatriisi jaΓµ_s′ = σx,sΓvastaavasti sirontakertoimen priorikovarianssimatriisi. MatriisiΓon muo- dostettu kappaleessa 4.2 esitetyllä tavalla kullekin priorille käyttäen taulukon 4

Absorptioµ_a Sirontaµ^′_s

Suoni1mmSuoni9mm

Kuva 5: Absorptio- ja sirontakertoimien todelliset arvot molemmissa geomet- rioissa aallonpituudedella 1100 nm. Ylemmällä rivillä on esitetty Suoni1mm- geometrian parametrien arvot ja alemmalla rivillä Suoni9mm-geometrian pa- rametrien arvot. Kummankin geometrian keskellä on valonlähde, jota ympäröi veri (µ_a= 0.04). Kaikista heikoiten absorboiva alue on lipideistä koostuva pla- kin sisus (µ_a = 0.01). Muut rakenteet suonen sisällä ovat fibroottista kudosta (µ_a= 0.03). Geometrian ulkoreunalla on suonen seinämää (µ_a= 0.02) Punaiset katkoviivat absorptiokertoimien kuvissa merkitsevät poikkileikkaussuoria, joita pitkin kuvan 10 käyrät on piirretty.

parametrejä ellei toisin mainita ja varianssit σ_x,a= 1

16(max(µ_a,real)−min(µ_a,real))² (48) ja

σx,s= 1

16(max(µ^′_s,real)−min(µ^′_s,real))² (49) skaalaavat kovarianssimatriisin. Näytteistyksiä absorptiorekonstruktioissa käy- tetyistä priorijakaumista on esitetty kuvassa 1.

Kaikkien rekonstruktioiden optimointiongelmat ratkaistiin käyttämällä Gauss- Newton -iteraatiota. Iteraatioaskeleita otettiin 10 ja jokaisen askeleen pituusk määritettiin viivahakualgoritmilla väliltä k ∈ [0,2]. Gauss-Newton -iteraation

Taulukko 4: Rekonstruktioissa käytettyjen sileyspriorien karakteristiset pituu- detl kummassakin geometriassa. Karakterististen pituuksien yksikkö on mm.

Priorin nimi Suoni1mm Suoni9mm

OU l= 0.1 l= 1

AOU l_tan= 0.4, l_rad= 0.1 l_tan = 4,l_rad = 1

muuttujien alkuarvona käytettiin todellisen absorptio- ja sirontakertoimien me- diaaniarvoja. Kaikki rekonstruktiot suppenivat alle seitsemällä iteraatiolla. Kun- kin rekonstruktion laskemisessa kului noin kolme tuntia.

Rekonstruktioiden luotettavuutta tutkittiin posteriorijakauman Gaussisel- la approksimaatiolla MAP-estimaattien ympäristöissä kaavan (35) mukaisesti.

Luotettavuusväliksi valittiin kaksi keskipoikkeamaa.

Rekonstruktioiden virheitä tutkittiin prosentuaalisten suhteellisten virhei- den avulla spatiaalisesti sekä koko alueen kattavasti. Molemmissa tapauksissa µreal on rekonstruktiohilaan interpoloidut todelliset arvot. Rekonstruktioiden spatiaalisia suhteellisia virheitä määritettiin rekonstruktioalueen kullekin ele- mentilleikaavalla

SVi= 100%· |µⁱ_est−µⁱ_real|

µⁱ_real , (50)

missä µⁱ on kertoimen µ arvo i:nnessä FEM-kantafunktiossa. Rekonstruktion laatu voitiin myös ilmaista yksittäisenä numerona koko alueen kattavasti. Täl- löin virhe laskettiin prosentuaalisella ratkaisun normin suhteellisella virheellä

SV= 100%·||µest−µreal||

||µreal|| , (51)

missä µ_est (µ_real) on joko estimoitu (todellinen) absorptio- tai sirontakerroin tilanteesta riippuen.

6 Tulokset

6.1 Kohinatason vaikutus rekonstruktioon

Kohinatason vaikutusta rekonstruktion laatuun tutkittiin kuvan 5 mukaisessa tilanteessa molemmissa geometrioissa. Valon aallonpituutena oli 1100 nm. Kai- kissa tapauksissa simuloitiin data käyttäen 30 kohinan keskipoikkeaman arvoa väleiltä 0.1 % - 5 % alkupaineenp0 kokonaisvaihteluvälistä.

Suoni1mm-geometrian rekonstruktiot eri kohinan arvoilla jokaisella kolmella eri priorilla on esitetty kuvassa 6 ja näiden rekonstruktioiden suhteelliset virheet kuvassa 7. Suoni1mm-geometrian pääasiallinen tarkoitus oli tutkia estimaattien stabiiliutta mahdollisimman hyväkuntoisella datalla, jossa koko geometria tulee valaistuksi. Absorptiokerrointen estimaattien laatu Suoni1mm-geometriassa il- menee myös estimoiduista absorptiojakaumista ja niiden suhteellisista virheistä kuvista 6 ja 7. Kuvan 6 absorptioestimaatit näyttävät visuaalisesti tarkasteltu- na liki samoilta kuin kuvassa 5 esitetyt oikeat absorption arvot sekä kuvan 7 absorptioestimaatin suhteelliset virheet ovat liki nollaa kaikkialla alueessa. Sen sijaan molempien geometrioiden sirontaestimaattien suhteelliset virheet kohina- tason funktiona (kuvan 11 alarivi) ovat samaa kokoluokkaa keskenään. Tästä voidaan päätellä, että hyväkuntoinen data ei juurikaan helpota sirontakertoi- mien rekonstruointia. Tämä on havaittavissa myös kuvista 6 ja 7: sirontaesti- maatit eivät vastaa juurikaan todellisia arvoja ja suhteellinen virhe on useam- missa tapauksissa yli 50 % liki kaikkialla alueessa. Näiden havaintojen pohjalta voidaan todentaa seikka, että sirontakertoimen estimoiminen on intravaskulaa- risessa QPAT:ssa huonokuntoinen inversio-ongelma. Voidaan epäillä, että tä- mä on syynä myös kuvan 11 Suoni1mm-sarakkeen kuvaajien piikkeihin lähellä nollaa. Rekonstruktiossa luotetaan dataan liian paljon, eikä prioritietoa huo- mioida liki ollenkaan, mikä on odotettua käytetyltä virhemallilta. Suoni1mm- simulaatioiden datan hyväkuntoisuus ilmenee esimerkiksi kuvan 11 absorptio- kertoimien estimaattien suhteellisista virheistä kohinan funktiona: Suoni1mm- geometrian estimaattien suhteelliset virheet ovat suurimmillaankin samaa koko- luokkaa Suoni9mm-geometrian pienimpien suhteellisten virheiden kanssa.

Suoni9mm-geometrian rekonstruktiot eri kohinan arvoilla jokaisella kolmel- la eri priorilla on esitetty kuvassa 8 ja näiden rekonstruktioiden suhteelliset virheet kuvassa 9. Realistisen kokoisessa Suoni9mm-geometriassa data on hei- kompilaatuista kuin Suoni1mm-geometriassa, sillä siinä etäisyys valonlähtees- tä alueen ulkoreunalle on 8.9 mm kun Suoni1mm:ssä se on vain 0.9 mm. Tästä huolimatta absorptiokertoimen estimoiminen alueessa onnistui yllättävän hyvin.

Kuvissa 8 ja 9 voidaan havaita, että estimaatin laatu heikkenee mitä kauem- maksi valonlähteestä siirrytään. Tämä näkyy absorptioestimaatin rakeisuutena kaukana valonlähteestä sekä suhteellisen virheen kasvuna siirryttäessä kauem- maksi valonlähteestä. Tämä ilmenee myös kuvan 10 poikkileikkauksista, joissa Suoni9mm-geometrian absorptioestimaattien luotettavuusväli kasvaa tasaisesti etäisyyden kasvaessa.

Kuvien 6 - 9 rekonstruktioissa käytettiin kolmea eri priorijakaumaa: korreloi- matonta Gaussista, Ornstein-Uhlenbeckiä ja anisotrooppista Ornstein-Uhlenbeckiä.

Näistä parhaiten onnistui Ornstein-Uhlenbeck, mikä näkyy myös suhteellisen virheen käyristä kuvasta 11: OU:lla on liki aina pienimmät rekonstruktiovirheet kummassakin geometriassa. AOU sen sijaan voi olla liian rajoittava priorijakau- ma, erityisesti Suoni9mm-geometrian tapauksessa, vaikka sillä saatiinkin koko tutkimuksen tarkin estimaatti Suoni1mm-geometriassa 0.8 % kohinalla. Muu- ten AOU -priorin avulla tehdyt rekonstruktiot vain näyttävät kvalitatiivisesti parhailta: kohteen eri alueiden paloittain vakioisuus ja rajat käyvät rekonstruk- tioista ilmi, mutta itse muuttujien arvot saattavat olla pielessä. Kuvien yleisem- mällä tarkastelulla voidaan kuitenkin sanoa, että OU ja AOU antavat hyvinkin samankaltaisia estimaatteja. Sileyspriorit OU ja AOU rajoittvat myös artefak- toja, joita ilmenee sirontaestimaateissa KG-priorilla. Niissä yksittäiset pisteet saavat huomattavan pieniä arvoja lähellä valonlähdettä. Tämä nähdään kaikis- ta sirontarekonstruktioista ja poikkileikkauksista kummassakin geometriasta.

Kuvassa 10 esiteltävät poikkileikkaukset valittiin kuvan 11 perusteella: kum- mankin geometrian onnistuneimmat rekonstruktiot 0.8 prosentin kohinalla, jo- ta verrattiin korreloimattomaan Gaussisen priorin rekonstruktioon. Huomat- tava on, että liikuttaessa poikkileikkausjanan suuntaisesti AOU ja OU aset- tavat muuttujille hyvin samanlaisen sileysoletuksen. Poikkileikkauksista havai- taan, että kaikki priorijakaumat estimoivat absorptiota hyvin. Sirontaestimaat- tien poikkileikkauksissa estimoinnin huonokuntoisuutta ilmentää laajat luotet- tavuusvälit. Niissä myös sileysoletuksen tärkeys tulee ilmeiseksi: Suoni1mm- geometriassa sileysoletus tarvitaan edes jossainmäärin realistisen sirontaesti- maatin saamiseksi. Mielenkiintoista on, että Suoni9mm-geometriassa sirontaes- timaatti rekonstruoitu KG-priorijakaumalla sen sijaan noudattelee todellista si- rontaa jossain määrin.

0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s

KG OU AOU

Kuva6:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ srekonstruktiotSuoni1mm-geometriassa.Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessa datankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolimmaisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatonta gaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-UhlenbeckiäjaalimmallaanisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.

0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s

KG OU AOU

Kuva7:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ ssuhteellisetvirheetSuoni1mm-geometriassa.Suhteellisetvirheetlaskettiin käyttämälläkaavaa(50).Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessadatankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolim- maisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatontagaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-Uhlenbeckiäjaalimmalla anisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.Virheidenvärikarttaonkatkaistu50prosenttiin.

0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s

KG OU AOU

Kuva8:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ srekonstruktiotSuoni9mm-geometriassa.Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessa datankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolimmaisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatonta gaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-UhlenbeckiäjaalimmallaanisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.

0.8%2.5%4.2% µaµ′ sµaµ′ sµaµ′ s

KG OU AOU

Kuva9:Absorptio-jasirontakertoimienµajaµ′ ssuhteellisetvirheetSuoni9mm-geometriassa.Suhteellisetvirheetlaskettiin käyttämälläkaavaa(50).Vasemmanpuolimmaisessasarakkeessadatankohinaon0.8%,keskimmäisessä2.5%jaoikeanpuolim- maisessa4.2%.Ylimmällärivilläkäytettiinkorreloimatontagaussistaprioria,keskimmäiselläOrnstein-Uhlenbeckiäjaalimmalla anisotrooppistaOrnstein-Uhlenbeckiä.Virheidenvärikarttaonkatkaistu50prosenttiin.

µa,0.8%µ′ s,0.8%µa,4.2%µ′ s,4.2%

Suoni1mm, KG Suoni1mm, AOU Suoni9mm, KG Suoni9mm, OU

Kuva10:Poikkileikkauksiaabsorptio-jasirontaestimaateistakuvassa5esitettyäsuoraapitkinSuoni1mm-jaSuoni9mm- geometrioissakahdellaerikohinanarvolla(0.8%ja4.2%)jakolmellaeripriorijakaumalla:korreloimatongaussinen,Ornstein- UhlenbeckjaanisotrooppinenOrnstein-Uhlenbeck.Punainenkäyräontodellinenparametrienarvo,sininenkäyräonparamet- rienMAP-estimaattijasininenkatkoviivakuvaaestimaatinkahdenstandardipoikkeamanluotettavuusväliä.

Suoni1mmSuoni9mm 012345 Kohinataso (%)

0

2

4

6

810

12

Suhteellinen virhe (%)

Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen 012345 Kohinataso (%)

0

510

15

20

25

30

35

Suhteellinen virhe (%)

Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen

Absorptioµ_a

012345 Kohinataso (%)

10

20

30

40

50

60

Suhteellinen virhe (%)

Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen 012345 Kohinataso (%)

010

20

30

40

50

60

Suhteellinen virhe (%)

Ornstein-Uhlenbeck Anisotrooppinen O-U Korreloimaton Gaussinen

Sirontaµ^′_s

Kuva11:Absorptio-(yllä)jasirontakertoimien(alla)estimaattiensuhteellisenvirheetSuoni1mmjaSuoni9mm-geometrioissaeri kohinanarvoillakäyttäenkolmeaeripriorijakaumaa.Suhteellisetvirheetlaskettiinkäyttäenkaavaa(51).Punaisetpystysuorat pisteviivatmerkitsevätkohinanarvoja,joistakuvat6-9ongeneroitu.Käyrilläolevatympyrätmerkitsevätkohinanarvoja, joistakuvan10poikkileikkauksetonlaskettu.

6.2 Aallonpituuden vaikutus rekonstruktioon

Absorptio- ja sirontaparametrien rekonstruoitiin kolmella eri aallonpituudella Suoni1mm- ja Suoni9mm-geometrioissa parhaimman aallonpituuden selvittä- miseksi. Aallonpituudet ja niitä vastaavat parametrit on esitetty taulukossa 3.

Tutkittaviksi aallonpituuksiksi valittiin 900 nm, koska plakin fibroosikuorella on tällä aallonpituudella absorptiomaksimi, 1100 nm, koska verellä on tällä aal- lonpituudella absorptiominimi ja 1210 nm, koska plakin lipiditäytteellä on ab- sorptiomaksimi. Kullakin aallonpituudella käytettiin anisotrooppista Ornstein- Uhlenbeck -prioria ja dataan oli lisätty 0.5 % kohina. Kuvassa 12 on esitet- ty Suoni1mm- ja Suoni9mm-geometrioiden parametrien todelliset arvot valon aallonpituuksilla 900 nm ja 1210 nm. 1100 nm aallonpituuden todelliset para- metrien arvot on esitetty kuvassa 5. Kuvissa 13 ja 14 on esitetty absorptio- ja sirontakertoimien rekonstruktiot ja niiden suhteelliset virheet Suoni1mm- ja Suoni9mm-geomtrioissa.

Suoni1mm-geometriassa ei ilmennyt rekonstruktioiden laatueroja juurikaan eri aallonpituuksien välillä alueen pienen koon vuoksi. Isommassa Suoni9mm- geometriassa kullakin aallonpituudella absorptio estimoitui kvalitatiivisesti hy- vin lähes koko geometriassa, mutta kun vertaillaan absorption virheitä, havai- taan että 1100 nm aallonpituudella estimaatti on selvästi lähimpänä todellisia arvoja. Sillä veren absorptio on huomattavasti pienempää tällä aallonpituudella kuin kahdella muulla, saatiin alueeseen mahdollisimman paljon valoa. Lisään- tynyt valon määrä paransi huomattavasti kuvantamisyvyyttä. Tämä poikkeaa tavanomaisesta IVPA:sta, jossa valitaan aallonpituus lipidien tai väriaineiden absorbtiopiikkien mukaisesti [15, 6]. Sirontaestimaateissa laatuerot eivät ole yh- tä suuret, mutta niissäkin on havaittavissa 1100 nm aallonpituuden verrattain pienempi suhteellinen virhe.

AbsorptioµaSirontaµ′ s Suoni1mmSuoni9mmSuoni1mmSuoni9mm

900 nm 1210 nm

Kuva12:Absorptio-jasirontakertoimetSuoni1mmjaSuoni9mm-geometrioissa900nmja1210nmaallonpituuksilla.

900 nm 1100 nm 1210 nm

AbsorptioµaAbsorptionvirheSirontaµ′ sSironnanvirhe

Kuva 13: Absorptio- ja sirontakertoimien rekonstruktiot ja niiden suhteelliset virheet kun käytetyn valon aallonpituuksina oli 900, 1100 ja 1210 nm Suoni1mm- geometriassa. Parametrien oikeat arvot on esitetty kuvissa 5 ja 12. Rekonstruk- tiossa käytettiin anisotrooppista Ornstein-Uhlenbeck -prioria. Virheiden väri-

900 nm 1100 nm 1210 nm

AbsorptioµaAbsorptionvirheSirontaµ′ sSironnanvirhe

Kuva 14: Absorptio- ja sirontakertoimien rekonstruktiot ja niiden suhteelliset virheet kun käytetyn valon aallonpituuksina oli 900, 1100 ja 1210 nm Suoni9mm-