D 3.1 Legendren funktiot

Yhtälöissä2.10ja2.11funktiotPovatLegendren¹funktioita, jotka pulpah-tavat esiin aina, kun Laplacen kaltainen yhtälö ratkaistaan pallokoordi-naateissa. Niiden laskemiseen on käytettävissä erilaisia tehokkaita niin sanottuja rekursiivisia algoritmeja, kuten seuraava, joka on algoritmi vain tavallisille Legendren polynomeilleP_n=P_n0:

nP_n(t) = − (n−1)P_n−2(t) + (2n−1)tP_n−1(t). (3.1) Vastaavanlaisia yhtälöitä löytyy myös funktioilleP_nm,m >0. Jopa va-linnan varaa löytyy, vaikka useimmat yhtälöt ovat mutkikkaita. Niiden ohjelmoinnissa on varottava, etteivät fakulteetit mene yli laidan. Jo 30-fakulteetti on suurempi luku kuin tietokoneet osaavat käsitellä edes 64-bittisinä kokonaislukuina — luvusta 360-fakulteetti puhumattakaan.

Toisin kuin sanotaan, Heiskasen ja Moritzin (1967) yhtälö 1-62eisuoraan kelpaa tietokonekäyttöön!

Ensimmäiset Legendren polynomit luetteloidaan taulukossa3.1. Tätä korkeampia polynomeja tarvitaan käsilaskennassa harvoin.

1Adrien-Marie Legendre (1752–1833) oli ranskalainen matemaatikko ja tunnettu työstään lukuteoriassa, tilastotieteessä ja elliptisten funktioiden saralla. Hän keksi Gaussista riippumatta pienimmän neliösumman menetelmän. Hänen nimensä löytyy myös Eiffel-tornista,Eiffel Tower, 72 names.

– 55 –

D Taulukko3.1. Legendren polynomeja.t=sinϕ.

t:n funktiona Ilmaistuna sineihin ja kosineihin P₀(t) =1 P₀(sinϕ) =1

Vertailun vuoksi, myös Fourier’nkantafunktiot(kuten, mutkikkaam-malla tavalla, myös sinit ja kosinit!)

F_j(x) =exp(

jossai² = −1, voidaan laskea rekursiivisesti:

F_j+1(x) =F_j(x)·F₁(x).

D 3.1.1 Legendren polynomien ominaisuudet

◦ Parilliset polynomit, joiden astelukunon parillinen, ovat peili-symmetrisiä origon ϕ = t = 0 eli päiväntasaajan tason kautta:

P_n(−t) = P_n(t), eli vastaavastiP_n(

sin(−ϕ))

= P_n(sinϕ). Tämä merkitsee, että niiden arvot samalla leveysasteella päiväntasaajan molemmin puolin ovat identtisiä. Parittomat polynomit ovat taas antisymmetrisiä:P_n(−t) = −P_n(t)eliP_n(

sin(−ϕ))

= −P_n(sinϕ), eli niiden arvot samalla leveysasteella päiväntasaajan pohjois- ja eteläpuolella ovat vastakkaisia.

◦ Kuvasta3.1, nähdään, että polynomitPn(t)menevät koko välillä t ∈[−1, 1]eliϕ∈[−90^◦, 90^◦]tarkastinkertaa nollan läpi.

◦ Kun päätepisteident=±1,ϕ=±90^◦arvot ovat±1, seuraa, että on tarkastin+1 ”etumerkkiväliä” eli välejä, joilla polynomin arvot ovat joko yksinomaan positiivisia tai yksinomaan negatiivisia.

D 3.1.2 Legendren liitännäisfunktioiden ominaisuudet

Legendren liitännäisfunktioista P_nm,m ̸= 0 esitetään esimerkkeinä muutama taulukossa3.2.

Eräs niitä määrittelevä yhtälö on Pnm(t) =(

1−t²)^m/2 d^mP_n(t)

dt^m . (3.2)

◦ Myös Legendren liitännäisfunktiot ovat joko peilisymmetrisiä origon eli päiväntasaajan tason kautta, P_nm(−t) = P_nm(t), tai vastaavasti P_nm(

sin(−ϕ))

= P_nm(sinϕ), tai antisymmetrisiä, P_nm(−t) = −P_nm(t)eliP_nm(

sin(−ϕ))

= −P_nm(sinϕ), riippuen järjestysluvunmja asteluvunnlukuarvoista.

Ó » Š . î á

P₃₁

Kuva3.2. Legendren liitännäisfunktioita. Huomaa äärimmäisen erilainen mit-takaava funktiolleP_25,25, katso yhtälö3.7.

D

◦ Kuva 3.2 antaa uskoa, että polynomit P_nm(t) menevät välillä t ∈ [−1, 1] eli ϕ ∈ [−90^◦, 90^◦] tarkasti n−m kertaa nollan läpi.

Tämä pitää tosiaankin paikkansa.

◦ Kun myös päätepisteiden t = ±1, ϕ = ±90^◦ arvot ovat nolla, seuraa, että on tarkastin−m+1 ”etumerkkiväliä”.

D Taulukko3.2. Legendren liitännäisfunktioita.

t:n funktiona trigonometrisena funktiona P₁₁(t) =√

D 3.1.3 Pintapallofunktiot

Lähtien yhtälöstä2.10voidaan kirjoittaa Yn(ϕ,λ) =

=

∑n m=0

(a_nmP_nm(sinϕ)cosmλ+b_nmP_nm(sinϕ)sinmλ)

=

=

∑n m=−n

v_nmY_nm(ϕ,λ), jossa nytmkulkee−n:stä+n:ään. Tässä

Y_nm(ϕ,λ) =

⎧⎨

⎩

P_nm(sinϕ)cosmλ josm⩾0,

P_n|m|(sinϕ)sin|m|λ josm <0. (3.3) Nämä ovatasteluvunnja järjestysluvunmpintapallofunktiot.

Pintapallofunktioita löytyy kolmenlaisia:

Zonaalisia eli vyöhykefunktioita m = 0. Funktiot riippuvat vain le-veysasteesta.

Sektoriaalisia eli sektorifunktioita m = n. Funktioiden etumerkki vaihtelee vain pituus- eikä leveysasteen mukaan. Funktiot itse kuitenkinriippuvatsekä leveys- että pituusasteesta!

Tesseraalisia eli ruutufunktioita 0 < m < n. Funktiot, joiden etu-merkki vaihtelee sekä leveys- että pituusasteen mukaan, muo-dostavat pallon pinnalle ”shakkilauttamaisen” kuvion, jos posi-tiiviset arvot maalataan valkoisiksi ja negaposi-tiiviset harmaiksi (lat.

tessera= tiili mosaiikin tekoon).

Jokainen funktio menee välillä sinϕ∈ [−1,+1]tarkastin−m kertaa nollan läpi. Jokainen funktio on joko symmetrinen tai antisymmetrinen origon kauttaϕ:n tait=sinϕ:n funktiona.

Pallofunktiot edustavat siis eräänlaista aaltoilmiötä. Ne eivät kui-tenkaan ole aaltofunktioita (sinuksia ja kosinuksia), yhteys näihin on

Ó » Š . î á

(a)

Zonaalisia:P₅₀(sinϕ)

(b) Sektoriaalisia:

P₆₆(sinϕ)cos 6λ

(c) Tesseraalisia:

P_11,6(sinϕ)cos 6λ Kuva3.3. Eri pallofunktioiden etumerkit Maan pinnalla. Valkoinen

positiivi-nen, harmaa negatiivinen. Funktiot ”aaltoilevat” sini- tai kosinifunk-tioiden tavoin.

D

vähintään mutkikas. On kuitenkin mielekästä puhua niiden aallonpituu-desta.

Kuvassa3.3on kuvattu, miten eri pallofunktioiden etumerkit käyttäy-tyvät Maan pinnalla — ja sen yläpuolella. Tämä on perspektiivikuva, eivätkä kaikki valkoiset ja harmaat alueet näy!

Yhtälössä 2.10 esiintyvät ilmaisut cosmλ ja sinmλ menevät koko ympyrällä eli päiväntasaajalla, 0^◦ ⩽ λ < 360^◦eli 0 ⩽ λ < 2π, tarkasti 2mkertaa nollan läpi. ”Puoliaallonpituus” on siis

2πR

2m =πR m, jossaRon maapallon säde.

Samanlainen kaava pätee myös funktioihinP_nm(sinϕ): kun funktio menee nollan läpin−mkertaa navasta napaan välillä−90^◦< ϕ <90^◦eli

−π/

2 < ϕ < π/

2, seuraa, että tässäkin tapauksessa puoliaallonpituus

on πR

n−m.

Jos sijoitetaan tähän eri järjestysluvun m ja ilmaisun n −m arvot, saadaan tuloksena taulukko3.3.

Ó » Š . î á

Kuva3.4. Pintapallofunktiot karttoina. Vaaka-akseliλ ∈ [0, 360^◦) = [0, 2π), pystyakseliϕ∈[−90^◦, 90^◦] =[

−π/ 2 ,π/

2]

. Kuvatut funktiot ovat P₅₀(sinϕ) P₆₆(sinϕ)cos 6λ P_11,6(sinϕ)cos 6λ

P₄₀(sinϕ) P₆₅(sinϕ)cos 5λ P_10,6(sinϕ)cos 6λ . D

Tämä taulukko antaa myös pallofunktiokehitelmällä saavutettavaa erotuskykyä, eli kuinka yksityiskohtaisesti kehitelmä voi kuvata Maan painovoimakenttää. Nykyisin käytettävissä olevat kehitelmät, kuten

EGM2008-malli, menevät asteluvulle n = 2159 asti. Niiden luoman geopotentiaalikuvan ”terävyys” on siis 9 km. Satelliittiratahäiriöistä johdetut mallit menevät usein vain asteluvulle 20 saakka, jolloin näkyvät vain mantereen kokoiset — suuruusluokkaa 1000 km — yksityiskohdat.

D Taulukko3.3. Puoliaallonpituudet pallofunktioiden eri aste- ja järjestys-luvuille.

mtain−m Puoliaallonpituus (km) Asteina

10 2000 18

40 500 4^◦, 5

180 111 1

360 55 30^′=0^◦, 5

1800 11 6^′=0^◦, 1

10 800 1,85 1^′=0^◦, 017

Ó » Š . î á

Toisaalta kokeellisettopografianpallofunktiokehitelmät menevät jopa asteluvulle 10 800 saakka (Balmino ym.,2012).

D 3.2 Pallofunktiokehitelmän symmetriaominaisuudet

Toistetaan tässä jo luvun alussa annettu pallofunktiokehitelmäyhtälö 2.11:

V(ϕ,λ,r) =

∑∞ n=0

1 rⁿ⁺¹

∑n m=0

P_nm(sinϕ) (a_nmcosmλ+b_nmsinmλ).

D 3.2.1 Riippuvuus leveysasteesta ϕ

Nähdään, että riippuvuus leveysasteestaϕtoimii pelkästään Legendren funktionP_nm(sinϕ)kautta. Tämä funktio voi olla pohjoisen ja eteläisen pallonpuoliskon välisen peilisymmetrian kannalta joko symmetrinen argumentissaϕtaiantisymmetrinenargumentissaϕ. Tämä merkitsee, että joko (symmetrinen tapaus)

P_nm(sinϕ) =P_nm(

sin(−ϕ)) tai (antisymmetrinen tapaus)

P_nm(sinϕ) = −P_nm(

sin(−ϕ)) .

Vastaavasti se merkitsee, että kunt=sinϕ, pätee joko (symmetrinen tapaus)

P_nm(t) =P_nm(−t) tai (antisymmetrinen tapaus)

P_nm(t) = −P_nm(−t).

Kumpi tapaus pätee, riippuu molempien,njam, arvoista. Asian ratkai-semiseksi tutki vaikkapa yhtälöä3.2:

P_nm(t) =(

1−t²)^m/2 d^mP_n(t) dt^m . Tarvitaan vastaus pariin kysymykseen:

Ó » Š . î á

1) Millä asteluvunnarvoilla polynomiP_n(t)on symmetrinen, millä arvoilla antisymmetrinen argumentissat? Tämän ratkaisemisek-si voi tutkia polynomien rekurratkaisemisek-siivista laskenta-algoritmia 3.1.

Tiedämme jo, ettäP₀(t) =1 on symmetrinen jaP₁(t) =ton anti-symmetrinen. Muidenn-arvojen sääntö saadaan rekursiivisesti tai voit luntata taulukosta3.1.

2) Millä tavalladifferentiaatio _dt^d vaikuttaa funktion symmetrisyyteen tai antisymmetrisyyteen?

Kertominen ilmaisulla√

1−t² =cosϕei muuta mitään, koska tämä kerroin on itse symmetrinen argumentissattaiϕ.

Jos halutaan, että kehitelmä 2.11 on peilisymmetrinen pohjoisen ja eteläisen pallonpuoliskon välillä, tulee asettaa nollaksi ne kertoimet anm,bnm, joiden vastaavaPnmon antisymmetrinen. Silloin ne termit häviävät sarjakehitelmästä. Jäljelle jäävät silloin kertoimet ja termit, joiden vastaavaPnmon symmetrinen.

Taulussa3.4annetaan koodipätkä^octave-skriptauskielellä mielivaltai-sen pintapallofunktion piirtämiseksi ja mielivaltai-sen symmetriaominaisuuksien arvioimiseksi silmämääräisesti. Älä luule, vaan kokeile.

D 3.2.2 Riippuvuus pituusasteesta λ

Tämä riippuvuus toimii ”Fourier’n kantafunktioiden” cosmλja sinmλ kautta. Mielenkiintoisin ominaisuus tässä onpyörähdyssymmetria: muut-tuuko pallofunktiokehitelmä2.11, kun pituusasteλmuuttuu?

Näemme heti, että josm ̸=0, on olemassa riippuvuutta pituusasteesta λ, jos kertoimistaa_nm,b_nmyksikin eroaa nollasta. Saadakseen aikaan pyörähdyssymmetriaa kaikkien kerrointen a_nm,b_nm arvoille m > 0 tulee nollata:a₁₁ =b₁₁ =a₂₁ =b₂₁ =a₂₂ =b₂₂=· · ·=0.

Jäljelle jäävistä kertoimista voimme sanoa, että josm =0, sinmλ =0 identtisesti, siis kertoimet b₀₀,b₁₀,b₂₀, . . . ovat yksinkertaisesti ilman merkitystä. Niiden arvot saavat olla mitä vain, mukaan lukien nolla.

Kertoimet a₀₀,a₁₀,a₂₀, . . . taas ovat merkityksellisiä, koska josm = 0,

Ó » Š . î á

D Taulu3.4. Pintapallofunktion kartan piirtäminen.

% Pintapallofunktioiden piirtäminen phi=linspace(-90,90,72);

lab=linspace(0,360,144);

[f,l]=meshgrid(phi,lab);

n=5; m=-3;

leg=legendre(n,sin(phi.*pi./180));

if m >= 0

cs=cos(m.*lab.*pi./180);

else

cs=sin(abs(m).*lab.*pi./180);

end

v=leg(abs(m)+1,:)’*cs;

contourf(l,f,v’)

xlabel(’Pituusaste’, ’FontSize’, 16) ylabel(’Leveysaste’, ’FontSize’, 16)

str=sprintf(’Pintapallofunktio n=%d, m=%d’, n, m)%

title(str, ’FontSize’, 20) axis ([0 360 -90 90]) colorbar()

print(’legendre2D.jpg’,’-djpg’)

silloin cosmλ = 1 identtisesti. Näin saamme pyörähdyssymmetrisenä kehitelmänä

V(ϕ,λ,r) =V(ϕ,r) =

∑∞ n=0

1

rⁿ⁺¹a_nP_n(sinϕ), jossaP_n=P_n0ovat tutut Legendren polynomit, jaa_n=a_n0.

In document Fysikaalinen geodesia (sivua 83-92)